概率论与数理统计1.4事件的独立性与二项概型

P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 An ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P( An ).
P ( Ai A j Ak ) P ( Ai ) P ( A j ) P ( Ak ) P ( Ai An ) P ( Ai ) P ( An ) P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j )
k Pn (k ) Cn pk qnk ,
k 0, 1, 2, , n
其中 p + q = 1.
证明 n次试验中事件A在某k次发生， 在其余 n-k次 不发生，由试验的独立性，有
P Ai1 Ai 2 Aik Ai ,k 1 Ain pk (1 p)nk pk qnk .
k 在n次试验中，A发生k次的方式有 Cn 种.且任何两种
方式都是互不相容的，于是有
k P (k ) Cn pk q nk , n
显然
k Pn (k ) Cn p k q n k ( p q)n 1. k 0 k 0
n
n
此式刚好是二项式(p+q)n 的展开式中的第k+1项，故 亦称为二项概率公式.
例4设随机试验E中,事件A出现的概率0＜P(A)＜1， 试证不断独立重复试验时，A迟早会出现的概率为1．
证 设Ai={A在第i次试验出现}， i=1,…,n
P（Ai）=r ，前n次试验中，A都不出现的概率为
P( A1 A2 An ) (1 r )n ,
因此，在n次试验中，A至少出现一次的概率为
或
P(C) 1 P(A B)
1 (1 P( A))(1 P( B))
2、多个事件的独立性 2.1 3个事件的独立性的定义 三个事件A、B、C，如果满足下面四个等式
P( AB) P( A) P( B), P( AC ) P( A) P(C ),
则称三事件A、B、C相互独立。 P BC P( B) P(C ), P( ABC ) P( A) P( B) P(C ),
如果A、B、C仅满足上式中的前三个等式，则称三事件A、B、 C两两相互独立。 事件两两独立， 不一定 相互独立 一定 事件相互独立， 两两独立，
2.2 n个事件的独立性的定义
定义2 设A1,A2,…,An为n个事件，如果对一切可能的组合 1≤i<j ≤n,下列概率等式都成立 P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j )
的罹病或不罹病，育种分离世代中植株的选择等。本 概型将在下一章继续研究。
{ A, A}
P(A) = p，P( A ) = 1－p=q
（ 0＜p＜1）
4. n重伯努利试验 n次重复独立的伯努利试验，称为n重伯努利试验. 如：掷硬币，射击，种子发芽，投篮等. 5. 伯努利公式 定理3 在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发 生的概率为p，0＜p＜1，则在n次试验中事件A恰好发 生k次（0≤k≤n）的概率为
P( A | B) P( A) P ( AB ) P ( A)
P( B)
P(AB) = P(A)P(B),
1、两个事件的独立性
定理1 设A、B二事件，如果满足等式 P(AB) = P(A)P(B), 则称A、B为相互独立的事件. 由定义得：必然事件及不可能事件Φ与任何事件 都相互独立. 1.2. 性质 1) 若P(A)>0, P(B)>0, 则A和B独立
0 P6 (k ) 1 P6 (0) 1 C6 (0.67)0 (0.33)6 0.9987.
6
k 1
(3) 要保证出苗率为98% ，即要使 n 1- Pn(0) ≥ 0.98 0.33 0.02
解得 n = 4.
lg 0.02 n lg0.33 lg0.02 n lg 0.33
1.4 事件的独立性与二项概型
一、事件的独立性
一般地 P(A|B)≠P(A), 即B的发生，会对A的发生产生影响，但 在某些情况下有Ｐ(A|B)＝P(A) A＝{甲击中目标}，B＝{乙击中目标}, 定义1 若P(B)>0, 事件A发生的概率不受事件B发生与否的 影响，即 P(A|B) = P(A), 则称事件A、B为相互独立,简称A与B独立.
所以 A 和B相互独立．
例1 甲、乙两人各向一架敌机炮击一次.已知甲击中 敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5.求敌机被击 中的概率. 解 设A=“甲击中敌机”，B=“乙击中敌机”，C=“目 由于 C=A∪B，且A，B独立得 标被击中”, P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB) =P(A)+P(B)－P(A)P(B) =0.6+0.50.6×0.5 =0.8
1 P( A1 A2 An ) 1 (1 r ) n 1, (n )
说明在不断独立重复试验时, A迟早会出现的概率为1， 即使A是小概率事件，也迟早要发生。
贝努里概型是概率中研究得最多的一种数学模型，
尽管比较简单，却概括了许多实际问题。在农业科学
试验中应用也很广泛，如施药后害虫的死或活，植株
K
P6(k)
0
0.0013
1
0.0157
2
0.0798
3
0.2162
4
0.3292
5
Байду номын сангаас0.2673
6
0.0905
Pn (k ) C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2, , n
例3 有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六粒， 求解下列问题： (1) 恰有k粒种子出苗的概率； (2) 至少有一粒出苗的概率； (3)要以98%的概率保证不缺苗，应每穴至少播几粒？ 解 (2) 至少有一粒出苗的概率为
P(B|A)=P(B); P(A|B)=P(A).
2) 如果 A、B 相互独立, 则 A 与 B, A 与 B , A 与 B 也相互独立.
证明 因为 A B=B－AB，且 B AB，所以有
P( AB) P(B AB) P(B) P( AB) P( B) P( A) P( B) P( B)[1 P( A)] P( A)P(B).
要说明A1，A2，…，An相互独立，需验证上述多个等式成立.
2 3 n 0 1 (Cn Cn Cn (1 1)n Cn Cn 2n 1 n 个）
注：(1)若n个事件A1, A2, …, An独立，则其部分事件组也独立；
(2)若n个事件A1，A2，…，An独立，则将其中部分事件换 为对立事件所得的事件组也独立． (3) 若A1，A2，…An是相互独立的，则 P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P(An)，
1 P( A1 )P( A2 )P( A100 )
1 (1 0.004)100 0.33
二 伯努利（Bernoulli)概型 1. 独立试验
试验E1发生的结果和试验E2发生的结果互不影响.
2.n次重复独立试验 若E可以在相同的条件下重复 进行 n 次，各次试验相互独立，且各种结果的概率保 持不变，则称这 n 次试验为 n次重复独立试验 . 如：掷硬币，射击，种子发芽，投篮等. 3.伯努利试验 如果试验E只有两个相互对立的结果A和 A ，则 称试验E为伯努利试验.
P ( Ai A j Ak ) P ( Ai ) P ( A j ) P ( Ak ) P ( Ai An ) P ( Ai ) P ( An )
则称A1,A2,…,An相互独立. 说明 上式共含有
2 n 3 n
2 n1
n
n n
个等式.
0 1 (1 1)n Cn Cn 2n 1 n 个） (C C C
例3有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六粒， 求解下列问题： (1) 恰有k粒种子出苗的概率； (2) 至少有一粒出苗的概率； (3) 要以98%的概率保证不缺苗 ，应每穴至少播几粒？ 解 恰有k粒种子出苗的概率为
k P (k ) C6 0.67k 0.336k ,(k 0,1, 2,3, 4,5,6). 6
例2 设每人血清中含有肝炎病毒的概率为0.004，混
合100人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.
解 令Ai＝“第i个人的血清中含有肝炎病毒”
P( A1 A2 A100 )
1 P( A1 A2 A100 ) 1 P( A1 A2 A100 )