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最新高一数学暑假预科讲义 第3讲 集合关系与运算中等班教师版

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暑假衔接班讲义 高中数学

暑假衔接班讲义 高中数学

（ ）
A．命题“若 x2 － 3x － 4 ＝ 0，则 x ＝ 4”的逆否命题为“若 x ≠ 4，则 x2 － 3x －
4 ≠ 0”
B．“x ＝ 4”是“x2 － 3x － 4 ＝ 0”的充分条件
C．命题“若 m>0，则方程 x2 ＋ x － m ＝ 0 有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若 m2 ＋ n2 ＝ 0，则 m ＝ 0 且 n ＝ 0”的否命题是“若 m2 ＋ n2 ≠ 0，则 m ≠ 0 或 n ≠ 0”
（） D．③④
例4
命题“若 x，y 都是偶数，则 x ＋ y 也是偶数”的逆否命题是 A．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
B．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
C．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
D．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
（ ）
第二讲 常用逻辑用语 11
例7
对于命题“任何实数的平方都是非负的”，下列叙述正确的是
A．是全称命题
B．是存在性命题
（）
C．是假命题
D．是“若 p 则 q”形式的命题
例8
设 a, b 是实数，则“a > b”是“a2 > b2”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
A．{0,2}
B．{1,2}
C．{0}
D．{ － 2，－ 1,0,1,2}
第一讲 集合的概念与运算 5
例 8 设 集 合 A ＝ {x| － 1 ≤ x<2}，B ＝ {x|x<a}， 若 A ∩ B ≠ Ø， 则 a 的 取 值 范 围 是 （ ）
A．－ 1<a ≤ 2

初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习1.2 集合间的基本关系(教师版)

初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习1.2 集合间的基本关系(教师版)

1.2集合间的基本关系【知识梳理】知识点一子集、真子集、集合相等1．子集、真子集、集合相等2.Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.知识点二空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.2．规定：空集是任何集合的子集．【基础自测】1．下列四个集合中，是空集的是()A．{0}B．{x|x>8，且x<5}C．{x∈N|x2－1＝0}D．{x|x>4}【答案】B【详解】选项A，C，D都含有元素，而选项B中无元素，故选B.2．下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅⫋{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1B．2C．3D．4【答案】C【详解】对于①，是集合与集合的关系，应为{0} {0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅⫋{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③④是正确的．3．若集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>a}，满足A⫋B，则实数a的取值范围是()A．{a|a≥2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≤2}【答案】B【详解】如图所示，A⫋B，所以a≤1.4．满足{}1A⊆⫋{1，2，3}的所有集合A是___________．【答案】{1}或{1，2}或{1，3}【详解】因为{}1A⊆⫋{1，2，3}，所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．【答案】{0,1，－1}【详解】因为集合A有且仅有2个子集，所以A中仅有一个元素，当a ＝0时，方程化为2x ＝0，方程只有一个根x ＝0，符合题意．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋a ＝0有两个相等的实数根，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.【例题详解】一、子集、真子集命题点1.判断集合的子集（真子集）的个数例1(1)集合{0,1,2}A =的非空真子集的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】根据真子集的定义即可求解.【详解】由题意可知，集合A 的非空真子集为{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}，共6个.故选：B.(2)已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N=-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D.【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.跟踪训练1(1)定义集合A ★B ={,,}xx ab a A b B =∈∈∣，设{2,3},{1,2}A B ==，则集合A ★B 的非空真子集的个数为（）A ．12B ．14C ．15D ．16【答案】B【分析】结合非空真子集个数(22n -)的算法即可.【详解】{2,3,4,6}A B =å，所以集合A B å的非空真子集的个数为42214-=，故选：B .(2)若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.命题点2.求集合的子集（真子集）例2已知集合(){},2,,A x y x y x y =+=∈∈N N ，试写出A 的所有子集.跟踪训练2写出集合A ＝{x |0≤x ＜3，x ∈N }的所有真子集．【答案】∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}【分析】先求得A ，然后求得A 的所有真子集.【详解】依题意A ＝{0，1，2}，其真子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．二、包含关系命题点1.判断两个集合的包含关系例3(1)给出下列关系式：①0∈∅；②3-∈Z ；③{}{}20x x x ⊆=；④*{0}⊆N ；⑤{}211(,)45x y x y x y ⎧⎫-=⎧⊆⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合11,,,2442k k A x x k Z B x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则（）A ．ABB ．BAC ．A B=D ．A 与B 关系不确定跟踪训练3(1)已知集合{|A x x =是平行四边形}，{|B x x =是矩形}，{|C x x =是正方形}，{|D x x =是菱形}，则（）A ．AB ⊆B ．C B⊆C ．D C⊆D ．A D⊆【答案】B【详解】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D ⊂A ，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B ⊂A ，C ⊂A ，正方形是矩形，所以C ⊆B ．故选B ．(2)已知集合11{|,N}{|,N}623n M x x m m N x x n ==+∈==-∈，，则,M N 的关系为（）A ．M N =B ．N ⫋MC ．M ⫋ND ．N M⊆命题点2.根据集合的包含关系求参数例4(1)已知集合{}21,2,2A a =+，{}1,3B a =，若B A ⊆，则=a （）A ．1或2B ．2C ．3D ．1或2或23【答案】D【分析】利用子集的定义讨论即可.(2)已知集合{}14M x x =-≤≤．①若{}22N x m x m =≤≤-，N M ⊆，求实数m 的取值范围；②若{}621N x m x m =-≤≤-，M N ⊆，求实数m 的取值范围．跟踪训练4(1)已知集合{}2,0,1M =-，{}220N x x ax =+-=，若N M ⊆，则实数a ＝（）A ．2B ．1C ．0D ．-1【答案】B【分析】对于集合N ，元素x 对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及N M ⊆，可确定出其中的元素，进而求解.【详解】对于集合N ，因为280a ∆=+>，所以N 中有两个元素，且乘积为-2，又因为N M ⊆，所以{}2,1N =-，所以211a -=-+=-．即a ＝1．故选：B.(2)设a ，b 是实数，集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}|||3,B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b -的取值范围为（）A ．[]0,2B ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞三、相等关系例5(1)设Q 所示有理数集，集合{},,0X x x a a b Q x ==+∈≠，在下列集合中：①{}2x x X ∈；②X ⎫∈⎬⎭；③1x X x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭；④{}2x x X ∈；与X 相同的集合有（）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①②③【答案】D【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案(2)已知{}1,,A x y =，{}21,,2B x y =，若A B =，则x y -=（）A ．2B ．1C ．14D ．23跟踪训练5(1)已知R b R a ∈∈，，若集合{}2,,1,,0a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20222023a b +的值为（）A ．2-B ．1C ．1-D ．2(2)已知集合A ={|x x =,},3n B +∈Z ={|x x =1,}3n Z +∈，则集合A B 、的关系为__________．四、空集例6(1)下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】根据空集的定义和性质判断即可.【详解】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0.答案：A.(2)设集合{}2|10A x ax ax =-->，若A 为空集，则实数a 的取值范围是（）A ．(4,0)-B ．(4,0]-C ．[4,0)-D ．[4,0]-【答案】D【分析】分0,0a a =≠两种情况分类讨论，0a =时符合题意，0a ≠时只需满足0a <⎧⎨∆≤⎩即可求解.【详解】当0a =时，原不等式为10->，A 为空集；当0a ≠时，因为A 为空集所以210ax ax -->无解，只需满足2040a a a <⎧⎨+≤⎩，解得40a -≤<，综上实数a 的取值范围是[4,0]-.故选D【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解为空集，分类讨论的思想，属于中档题.跟踪训练6(1)(多选)给出下列选项，其中正确的是（）A ．{}{}∅∈∅B ．{}{}∅⊆∅C ．{}∅∈∅D ．∅⫋{}∅【答案】BCD 【分析】利用空集的特征，以及元素和集合，集合与集合之间的关系逐项判断【详解】对于A ，∅不是{}{}∅的元素，故不正确；对于B ，∅是任何集合的子集，所以∅是{}{}∅的子集，故正确；对于C ，∅是{}∅的元素，故正确；对于D ，∅是任何非空集合的真子集，{}∅有一个元素∅，是非空集合，故正确.故答案为：BCD .(2)若∅是{}2x x a a R ≤∈，的真子集，则实数a 的取值范围是_________．【课堂巩固】1．集合{}2|7,Z x x x <∈的真子集个数是__________.【答案】31【分析】先化简集合，再利用公式即可求得集合{}2|7,Z x x x <∈的真子集个数【详解】{}2|7,Z =x x x <∈{}2,1,0,1,2--则集合{}2|7,Z x x x <∈的真子集的个数是52131-=.故答案为：312．下列各式中：①{}{}00,1,2∈；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}0∅=；⑤{}(){}0,10,1=；⑥{}00=.正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{}{}0,1,22,1,0⊆，正确；③空集是任意集合的子集，故{}0,1,2∅⊆，正确；④空集没有任何元素，故{}0∅≠，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故{}(){}0,1,0,1为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.3．若集合()1|21,9A x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，41|,99B x x k ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭Z ，则集合A ，B 之间的关系表示最准确的为（）A ．A B⊆B ．B A ⊆C ．=A B D ．A 与B 互不包含4．下列各组集合中，表示同一个集合的是（）A ．(){}(){}3223M N ==，，，B ．(){}{}3232M N ==，，，C ．{}{}11M x x y N y x y =+==+=，D ．(){}(){}2121M x y x y N y x x y =+==+=，，，5．集合{1A x x =<-或}1x ≥，{}20B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．[)2,2-C ．()[),22,-∞-+∞ D ．[)()2,00,2-6．（多选）下列关系式错误的是（）A ．{0}∅∈B ．{2}{1,2}⊆C Q D ．0∈Z 【答案】AC【分析】由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可.【详解】A 选项由于符号∈用于元素与集合间，∅是任何集合的子集，所以应为{0}∅⊆，A 错误；B 选项根据子集的定义可知正确；C 选项由于符号⊆用于集合与集合间，C 错误；D 选项Z 是整数集，所以0∈Z 正确.故选：AC.7．（多选）已知集合{}220,A x ax x a a R =++=∈∣，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值有（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】BCD 【分析】根据条件可知集合A 中仅有一个元素，由此分析方程220ax x a ++=为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出a 的值.【详解】因为集合A 仅有2个子集，所以集合A 中仅有一个元素，当0a =时，20x =，所以0x =，所以{}0A =，满足要求；当0a ≠时，因为集合A 中仅有一个元素，所以2440a ∆=-=，所以1a =±，此时{}1A =或{}1A =-，满足要求，故选：BCD.8．某个含有三个实数的集合既可表示为,,0b b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{a ，a ＋b ，1}，则a 2015＋b 2015的值为____．【答案】0【分析】根据所给的一个集合的两种表达形式，看出第一种表达形式中，只有a ＋b 一定不等式0，重新写出集合的两种形式，把两种形式进行比较，得出a ，b 的值，得到结果.9．若集合{}2210A x ax ax a φ=-+-==，则实数a 的取值范围是______.10．已知集合2{|210}A x R mx x =∈-+=，在下列条件下分别求实数m 的取值范围：(1)A =∅；(2)A 恰有一个元素.【答案】(1)()1,+∞；(2){}0,1【分析】()1若A =∅，则关于x 的方程2210mx x -+=没有实数解，则0m ≠，且440m ∆=-<，由此能求出实数m 的取值范围．11．设集合{}23A x x =-≤≤，{}121B x m x m =-<<+．(1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；(2)当B A ⊆时，求m 的取值范围．12．已知集合{}2320A x x x =-+=，集合{}10B x mx =-=.(1)求A ；(2)若B A ⊆，求实数m 的取值集合.【课时作业】1．同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆，②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M 有（）A ．6个B ．7个C ．15个D ．16个【答案】B【分析】根据所给条件确定M 中元素，再根据M 是所给集合的子集，得到所有的M 即可求解.【详解】1a =时，65a -=；2a =时，64a -=；3a =时，63a -=；4a =时，62a -=；5a =，61a -=，∴非空集合M 为{}3，{}1,5，{}2,4，{}1,3,5，{}2,3,4，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5，共7个．故选：B2．已知集合{}2,N A x x n n ==∈，{}21,N B x x n n ==+∈，{}41,N C x x n n ==+∈，若a A ∈，b B ∈，则（）A ．a b A+∈B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．以上都不对3．已知集合{}21,P x x k k N *==-∈和集合{|}M x x a b a P b P ==⊕∈∈，，，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（）A ．加法B ．除法C ．乘法D ．减法4．若集合1|,6 A x x m m Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， 1|,23n B x x n Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1|26p C x x p Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则A ，B ，C 之间的关系是（）A ．A B C==B ．A ⫋B=C C ．A ⫋B ⫋C D ．AC B ⊄⊄5．已知六个关系式①{}∅∈∅；②{}≠∅⊂∅；③{}0≠⊃∅；④0∉∅；⑤{}0∅=；⑥{}∅≠∅，它们中关系表达正确的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.【详解】根据元素与集合、集合与集合关系：∅是{}∅的一个元素，故{}∅∈∅，①正确；∅是任何非空集合的真子集，故{}≠∅⊂∅、{}0≠⊃∅，②③正确；∅没有元素，故0∉∅，④正确；且{}0∅≠、{}∅≠∅，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确.故选：C6．下列集合中，结果是空集的是()A ．{x ∈R |x 2-1=0}B ．{x |x >6或x <1}C ．{(x ，y )|x 2+y 2=0}D ．{x |x >6且x <1}【答案】D【分析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.【详解】A 选项：21{|10}x R x ±∈∈-=，不是空集；B 选项：7∃∈{x |x >6或x <1}，不是空集；C 选项：(0,0)∈{(x ，y )|x 2+y 2=0}，不是空集；D 选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x |x >6且x <1}=∅.故选：D 7．（多选）下列说法中不正确的是（）A ．集合{}1,N x x x <∈为无限集B ．方程()()2120x x --=的解构成的集合的所有子集共4个C ．(){}{},11x y x y y x y +==-=-D ．{}{}2,Z 4,Z y y n n x x k k =∈⊆=∈8．（多选）已知集合{}23180A x x x =∈--<R ，22270B x x ax a =∈++-<R ，则下列命题中正确的是（）A ．若AB =，则3a =-B ．若A B ⊆，则3a =-C ．若B =∅，则6a ≤-或6a ≥D ．若B ⫋A 时，则63a -<≤-或6a ≥9．(多选)给出下列四个集合，其中为空集的是（）A ．{∅}B ．{x ∈R|x 2+x +1＝0}C ．{（x ，y ）|1y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，x ，y ∈R}D ．{x ∈R||x |＜0}10．（多选）下列说法正确的是（）A ．E 由3x <-所有实数组成集合，F 由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.E F 、均不存在.B ．2{|440}E x x x =-+=，F 由5个2组成的集合.则{}2E F ==C ．{|E x Z =∈32x -}Z ∈，{}1,1-⊆F ⊆E ，则F 可能有4个.D ．(){,|2,1,}E x y y x x x Z ==≤∈，用列举法表示集合E 为()(){}1,2,1,2--.11．满足{2,3}P {2,3,4,5,6}⊆Ü的集合P 的个数为______________．【答案】7【分析】又题意可知集合P 中至少有2个元素，最多有4个元素.分别写出来即可.【详解】∵{2,3}P {2,3,4,5,6}⊆Ü∴集合P 中至少有2个元素，最多有4个元素.当集合P 中有2个元素时，集合P 可为：{2,3};当集合P 中有3个元素时，集合P 可为：{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6};当集合P 中有4个元素时，集合P 可为：{2,3,4,5},2,3,{4,6},{2,3,5,6};故答案为：7.12．设非空集合Q M ⊆，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，则其偶子集Q 的个数为___________.【答案】63【分析】对集合Q 中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q 的个数，综合可得结果.【详解】集合Q 中只有2个奇数时，则集合Q 的可能情况为：{}1,3、{}1,5、{}1,7、{}3,5、{}3,7、{}5,7，共6种，若集合Q 中只有4个奇数时，则集合{}1,3,5,7Q =，只有一种情况，若集合Q 中只含1个偶数，共3种情况；若集合Q 中只含2个偶数，则集合Q 可能的情况为{}2,4、{}2,6、{}4,6，共3种情况；若集合Q 中只含3个偶数，则集合{}2,4,6Q =，只有1种情况.因为Q 是M 的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合Q 中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q 的个数为7；若集合Q 中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；若集合Q 中的元素是2个奇数1个偶数，共6318⨯=种；若集合Q 中的元素为2个奇数2个偶数，共6318⨯=种；若集合Q 中的元素为2个奇数3个偶数，共616⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数1个偶数，共133⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数2个偶数，共133⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.综上所述，满足条件的集合Q 的个数为771818633163+++++++=.故答案为：63.13．集合{x|1＜x ＜6，x ∈N*}的非空真子集的个数为_____【答案】14【分析】化简集合{x|1＜x ＜6，x ∈N *}={2,3,4,5},根据集合的真子集定义即可求出.【详解】因为{x|1＜x ＜6，x ∈N *}={2,3,4,5}所以非空真子集为{2}，{3}，{4}，{5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，共14个，故填14.【点睛】本题主要考查了集合的真子集，属于中档题.14．已知集合{}{}24,3,56,3,A m B m =-=，若B A ⊆，则实数m =___________.【答案】2-或3【分析】利用子集关系B A ⊆可知，24m =或256m m -=，求出m 再验证即得结果.【详解】B A ⊆ ，∴24m =或256m m -=，解得2m =或2m =-或3m =，将m 的值代入集合A 、B 验证，知2m =不符合集合的互异性，故2m =-或3.故答案为：2-或3.15．已知a 为常数，集合{}260A x x x =+-=∣，集合{20}B x ax =-=∣，且B A ⊆，则a 的所有取值构成的集合为______;16．已知集合2={320}A x ax x -+=，若A ≠∅，则实数a 的取值范围为___．17．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy x y+，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0，2}，B ＝{1，2}．(1)求集合A ⊗B 的所有元素之和．(2)写出集合A ⊗B 的所有真子集．【答案】(1)9(2)∅，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{4，5}【分析】（1）分别将A ，B 中的元素代入，从而求出A ⊗B 中的元素，进而求出元素之和；（2）由（1）A ⊗B ＝{0，4，5}，逐项写出即可．【详解】（1）因为A ⊗B ＝{0，4，5}，所以集合所有元素和9（2）∅，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{4，5}共7种可能．18．（1）设集合{}24,||,2A a a a a =+-，若3A ∈，求a 的值；（2）设集合11,,22M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，集合{}2|10N x ax ax =-+=，若N M ⊆，求a 的取值范围.。

初升高数学暑期衔讲义集合

初升高数学暑期衔讲义集合

初升高暑假数学(一) 集合的含义与表示（Ⅰ）、基本概念及知识体系：1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、∉关系；元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。

集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：｛y=x 2+1｝；｛x 2-x-2=0｝，｛x| x 2-x-2=0｝,｛x|y=x 2+1｝；｛t|y=t 2+1｝；｛y|y=x 2+1｝；｛(x,y)|y=x 2+1｝； ∅；｛∅｝,｛0｝3、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：一、集合的概念以及元素与集合的关系：1、 元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。

集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；元素与集合的关系：∈、∉②、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；③、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：★【例题1】、已知集合A=｛a-2,2a 2+5a,10｝,又-3∈A ，求出a 之值。

▲★课堂练习：1、书本P5：练习题1；P11：习题1.1：题1、2、5：①②2、已知集合A=｛1，0，x ｝,又x 2∈A ，求出x 之值。

3、已知集合A=｛a+2,（a+1）2，a 2+3a+3｝,又1∈A ，求出a 之值。

二、集合的表示---------列举法和描述法★【例题2】、书本P3：例题1、P4：例题2★【例题3】、已知下列集合：（1）、1A =｛n | n = 2k+1,k ∈N,k ≤5｝；（2）、2A =｛x | x = 2k, k ∈N, k ≤3｝；（3）、3A =｛x | x = 4k ＋1,或x = 4k －1,k ,N ∈k ≤3｝；问：（Ⅰ）、用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）、对集合1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A ，2A ，3A 所表示的集合分别是什么？并说明3A 与1A 的关系。

新高一暑假预习课程：第3讲 集合的概念及其关系

新高一暑假预习课程：第3讲 集合的概念及其关系

第3讲集合的概念及其关系一、集合的概念及其表示（一）集合的概念1.对象：我们所看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或，都可以看作对象．集合：一般地，把一些能够的的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．集合常用大写字母来表示．2.元素：构成集合的叫做这个集合的元素（或成员）．集合的元素通常用英语小写字母表示．3.元素与集合的关系：若a是集合A的元素，就说a属于A，记作，读作“a属于A”．若b不是集合A的元素，就说b不属于A，记作，读作“b不属于A”．4.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作．5.集合中元素的三大特征集合中的元素必须满足：、与；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），即在同一集合中不能重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合与不同元素的排列顺序无关，按照这个原则，集合里的元素的顺序是可以任意调整的．6.集合的分类依据集合所含元素的个数分为和．有限集：含有元素的集合叫做有限集．无限集：含有元素的集合叫做无限集．7.常用的一些数集非负整数全体构成的集合，叫做，记作；在自然数集内排除0的集合，叫做，记作；整数全体构成的集合，叫做，记作；有理数全体构成的集合，叫做，记作；实数全体构成的集合，叫做，记作．（二）集合的表示如何表示一个集合呢？1.列举法把集合的所有元素都，写在大括号“{}”内表示这个集合．（注：元素之间用逗号隔开）适合用“列举法”的集合：，，①元素不太多的有限集；如：{123}②有些元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示；，，，，如：{123100}，可表示为③元素的排列呈现一定的规律无限集，有时也用列举法．如：正整数集N，，，，，{123}n2. 描述法{|()}x I p x ∈（注：竖杠前的x 是代表元素，竖杠后是x 满足的关系式或性质）特征性质：一般地，如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质)(x p ，不属于集合A 的元素都不具有性质)(x p ，则性质)(x p 叫做集合A 的一个特征性质．如：集合2{|40}R A x x =∈-=的特征性质是240x -=．在不致发生误解的情况下，x 的取值可以省略不写．例如，在实数集R 中取值，“R ∈”常常省略不写．如：集合2{|40}R A x x =∈-=也可写作2{|40}A x x =-=．3. 集合的表示法之间的转换如：①33Z N A xx x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，，用列举法表示为{}02A =， ②a b A x x a b a b ⎧⎫⎪⎪==+⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，是非零实数，用列举法表示为{}202A =-，，4. 数集与点集：代表元素是的集合是数集，代表元素是的集合是点集；如：集合{}2x y x =表示自变量x 值的全体，即{}x x ∈R ，是数集； 集合{}2y y x =表示函数值y 的全体，即{}0y y ≥，是数集；集合{}2()x y y x =，表示抛物线2y x =上的点的全体，是点的集合（一条抛物线）；而集合{}2y x=则是用列举法表示的单元素集，它的元素是2y x=．二、集合之间的关系1. 子集：一般地，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集．记作A B ⊇⊆或B A ．读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”． 注：venn 示意图：如果集合A 中存在着不是集合B 的元素，那么集合A 不包含于B ，或B 不包含A ．分别记作A B Ú或B A ?．2. 真子集：如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中 不属于A ，那么集合A叫做集合B 的真子集．记作A B Ü或B A Ý，读作“A 真包含于B ”，或“B 真包含A ”注：一个集合除去它本身以外的子集都是它的真子集．3. 我们规定：空集是任意一个集合的，是任意一个非空子集的．4. 子集的传递性：①如果A B ⊆，B C ⊆，则②如果A B Ü，B C Ü，则 ③如果A B ⊆，B C Ü，则 ④如果A B Ü，B C ⊆，则BA探究集合 元素个数子集个数 {}a {}a b ， {}a b c ，， {}a b c d ，，，①你能找出“元素个数”与“子集个数”之间的关系的规律吗？②如果一个集合有n 个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？有多少个非空子集？有多少个非空真子集？【例1】 下列语句能否确定一个集合？ （1）高一（1）班，矮个子的同学全体． （2）平方后值等于4-的实数的全体． （3）与100接近的实数的全体． （4）中国古代四大发明 （5）地球上的小河流（6）方程210x -=的实数解 （7）周长为10cm 的三角形【例2】 判断下列语句是否正确？（1）由1，3，4，2，1，3，5构成的一个集合，这个集合共有7个元素； （2）2012年参加伦敦奥运会的中国代表团成员构成的集合是有限集； （3）所有的正方形构成的集合是无限集； （4）面积为32cm 的三角形构成的集合是有限集； （5）周长为16cm 的正方形构成的集合是有限集；【例3】 用列举法表示下列集合：（1）自然数集N ； （2）{|32}Z A x x =∈-<≤ ； （3）2{|230}B x x x =--=； （4）27{(,)|}25x y D x y x y +=⎧=⎨-=⎩（5）已知集合126A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭【例4】 用列举法表示集合{x|x 2－2x ＋1＝0}为( )A ．{1,1}B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}【例5】 用描述法表示下列集合：（1）{22}-，； （2）小于10的全体奇数构成的集合； （3）大于2且小于6的有理数； （4）二元一次方程210x y -+=的解集．【例6】 求集合2{,2,}x x x -中的元素x 的取值范围．【例7】 （1）给出下列关系：①12R ∈； ②2Q ∈；③ *3N ∈；④0Z ∈. 其中正确的个数是（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4（2）设集合{2A =，1a -，22}a a -+，若4A ∈，则(a = )A ．3-或1-或2B ．3-或1-C ．3-或2D ．1-或2（3）设a ，b R ∈，集合{0，b ，}{1ba=，a ，}a b +，则2(a b += )A ．1B ．0C ．1-D ．不确定【例8】 （1）如果集合2{|210}A x ax x =++=只有一个元素，则实数a 的值为 ． （2）若集合2{|10}A x R ax ax =∈++=其中只有一个元素，则(a = ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或4【例9】 已知集合2{|320}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围 ． 【例10】 已知集合2{|0}A x x x m =++=，若A R =∅，则实数m 的取值范围是 ．【例11】 已知集合212{|,},{|1,}33n nA x x n ZB x x n Z +==∈==+∈，则集合A 、B 的关系为 ． 【例12】 已知{1}{1A ⊆⊆，2，3}，则这样的集合A 有 个．【例13】 （1）下列四个集合中，不同于另外三个的是( )A ．{y|y ＝2}B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x|x 2－4x ＋4＝0} （2）下列各选项中的M 与P 表示同一集合的是（ ）A.{0},M P ==∅B.{(3,7)},{(7,3)}M P =-=-C.2{(,)|3,}M x y y x x R ==+∈, 2{|3,}P y y x x R ==+∈ D. 22{|1,},{|(1)1,}M y y t t R P t t y y R ==+∈==-+∈【例14】 说出下列集合之间的关系（1）{12345}A =，，，，，{135}B =，， （2）{(,)|1,2}E x y x y ===，{(,)|2}F x y y x == （3）{|1},{|1}A x x B x x =>=>-（4）{|}A x x =是菱形，{|}B x x =是对角线互相垂直的平行四边形【例15】 用适当的符号填空（1）{1}___2{|320}x x x -+= （2）{1,2}___2{|320}x x x -+=（3）{|2,}N x x k k =∈___{|6,}N x x ττ=∈ （4）∅___2{R |20}x x ∈+= （5）∅___{}∅【例16】 确定整数x 、y ，使{}{}2,7,4x x y +=．【例17】 已知{123}A a b c =，，，，，，则A 的子集有 个，真子集有 个． 【例18】 已知集合2{1}p x x ==|，集合{1}Q x ax ==|，若Q P ⊆，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．01，或1-【例19】 已知Z a ∈，{}(,)3A x y ax y =-≤，且(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，求满足条件的a 的值．【例20】 有下列三个集合：①2{|1x y x =+，1y …，}y R ∈；②2{|1y y x =+，}x R ∈；③2{(,)|1}x y y x =+； （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们的各自含义是什么？【例21】 已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围．【例22】 已知集合2{|320A x R ax x =∈-+=，}a R ∈． （1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来．。

初三升高一数学暑假班衔接课：06—集合的运算-教师版

初三升高一数学暑假班衔接课：06—集合的运算-教师版

高一数学暑假班（教师版）高一数学暑假课程集合的运算（教师版）1 / 382 / 38高一数学暑假课程集合的运算（教师版）3 / 38高一数学暑假课程1．下列对象能构成集合的是（）A 、2016年央视春节联欢晚会上的所有好看的节目B 、我国从1991~2016年发射的所有人造卫星C 、2015年夏季世界大学生运动会中的高个子女运动员D 、5，4，4，7【难度】★ 【答案】B【解析】“好看节目”“高个子”均不确定，故排除A 、C ；D 中含有相同的元素4，故排除D ，选B2．已知集合{}421，，=A ，则集合B =中元素的个数为 ．4 / 38高一数学暑假课程集合的运算（教师版）【难度】★ 【答案】93．用描述法表示平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合为 ． 【难度】★【答案】(){}0,<xy y x 或()(){}在第二或第四象限点y x y x ,,4．满足{}{}7654321321，，，，，，，，⊆⊆M 的集合M 共有 个． 【难度】★★ 【答案】16【解析】由题意可得集合M 中必含有元素、2、3，可能含有4、5、6、7中的某些或没有，即求集合{}7654，，，的子集的个数，故共有1624=个5．设A 是整数集的一个非空子集，对于A k ∈，如果A k ∉-1，A k ∉+1，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定{}87654321，，，，，，，=S ，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 【难度】★★ 【答案】6【解析】依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数，故这样的集合共有6个．5 / 38高一数学暑假课程集合的运算（教师版）一、集合的交集交集：由集合A 与集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作“A B ”，读作“A 交B ”，即{}|AB x x A x B =∈∈且 ①A B BA =；②AA A =，A∅=∅；③C B A C B A )()(=；④,A B A A B B ⊆⊆；⑤若A B A =，则A B ⊆；文氏图：用封闭曲线直观地表示集合及其关系的图形成为文氏图（以英国逻辑学家John Veen 命名）【例1】求下列两个集合的交集．(1)A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{－1，0，1，2，3}； (2)A ＝{x |x <－2}，B ＝{x |x >－5}．6 / 38高一数学暑假课程集合的运算（教师版）【难度】★【答案】(1)如图所示，A ∩B ＝{1，2，3}．(2)结合数轴(如图所示)得： A ∩B ＝{x |－5<x <－2}．【例2】已知集合{}R x x y y M ∈==,|2，{}32|2+-==x y y N ，求N M ；【难度】★★ 【答案】[]0,3【例3】已知集合{}R x x y y x M ∈==,|),(2，{}32|),(2+-==x y y x N ，求N M ；【难度】★ 【答案】()(){}1,1,1,1-【解析】N M 表示方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==3222x y x y 的解得集合，也可以理解为两个函数图像的交点坐标的集合【例4】设)0(},,01{2<=∈=++=y y B R x mx x x A ，若∅=B A ，求实数m 的取值范围【难度】★★ 【答案】)2,(-∞【例5】已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若A∩B＝{9}，求a的值【难度】★★【答案】∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}．此时A∩B＝{－4，9}≠{9}．故a＝5舍去．当a＝3时，B＝{－2，－2，9}，不符合要求，舍去．经检验可知a＝－3符合题意．【例6】设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．若A∩B＝B，求a的值；【难度】★★【答案】化简集合A，得A＝{－4，0}．由于A∩B＝B，则有B⊆A可知集合B或为空集，或只含有根0或－4.①若B＝∅，由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，得a<－1.②若0∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，得a2－1＝0，即a＝1或a＝－1，当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}＝A，符合题意；当a＝－1时，B＝{x|x2＝0}＝A，也符合题意．③若－4∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，得a2－8a＋7＝0，即a＝7或a＝1，当a＝1时，②中已讨论，符合题意；当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}，不合题意．综合①②③得a＝1或a≤－1．高一数学暑假课程集合的运算（教师版）7 / 388 / 38高一数学暑假课程集合的运算（教师版） 【巩固训练】1．设集合{}{}2|110,,|1236,A x x x N B y y x x x A =≤≤∈==-+∈，则集合A B =【难度】★★ 【答案】{}1,4,92．集合}02{2=++=p x x x A ，已知∅=+R A ，则实数P 的取值范围是【难度】★★★ 【答案】}0{≥p p3．已知集合A ＝{－4，2a －1，a 2}，B ＝{a －5，1－a ，9}，若9∈A ∩B ，求a 的值 【难度】★★【答案】∵9∈A ∩B 且9∈B ，∴9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝±3. 而当a ＝3时，a －5＝1－a ＝－2，故舍去．∴a ＝5或a ＝－3.4．A ∩B 设集合A=B ，若A ∩B 求实数a 的值； 【难度】★★ 【答案】3,1--二、集合的并集并集：由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 与B 的并集，记作“AB ”，{}2|320,x x x -+={}22|2(1)(5)0.x x a x a =+++-={}2,=9 / 38高一数学暑假课程集合的运算（教师版）读作“A 并B ”，即{}|AB x x A x B =∈∈或 ①A B B A =；②AA A =，AA ∅=；③CB AC B A )()(=；④,A A B B A B ⊆⊆；⑤若AB B =，则A B ⊆；（1）)()()(C A B A C B A =（2）)()()(C A B A C B A =【例7】求下列两个集合的交集．(1)A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{－1，0，1，2，3}； (2)A ＝{x |x <－2}，B ＝{x |x >－5}． 【难度】★【答案】(1)如图所示，A ∪B ＝{－1，0，1，2，3，4，5}， (2)结合数轴(如图所示)得：A ∪B ＝R ，【例8】设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若A ∪B ＝B ，求a 的值． 【难度】★★【答案】化简集合A ，得A ＝{－4，0}．因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，又A ＝{－4，0}，而B 至少只有两个根，且根据一元二次方程根的特点，10 / 38高一数学暑假课程集合的运算（教师版） 因此应有A ＝B .由(1)知，a ＝1.【例9】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2m －1≤x ≤2m ＋1}，若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围． 【难度】★★【答案】∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥－22m ＋1≤5，∴－12≤m ≤2.【例10】已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －6＝0}且A ∪B ＝A ，求实数a 的值组成的集合 【难度】★★【答案】因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，当B ＝∅时，a ＝0；当B ≠∅时，由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或2；当x ＝1时，a ＝6；当x ＝2时，a ＝3；所以C ＝{0，3，6}．【例11】已知，或， 若，求的取值范围.【难度】★★ 【答案】， ∴. ∴或， 或∴若，则的取值范围是；若，则的取值范围是.【例12】设集合A=B 若A B=A ，求实数a 的取值范围； 【难度】★★ 【答案】3-≤a【巩固训练】1．下列四个推理：①a ∈(A ∪B )⇒a ∈A ；②a ∈(A ∩B )⇒a ∈(A ∪B )；③A ⊆B ⇒A ∪B ＝B ；④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B .其中正确的个数是( ){|3}A x a x a =≤≤+{|1B x x =<-5}x >A B B =a AB B =A B ⊆31a +<-5a >4a <-5a >A B =∅a [1,2]-A B B ⋃=a (,4)(5,)-∞-⋃+∞{}2|320,x x x -+={}22|2(1)(5)0.x x a x a =+++-=11 / 38高一数学暑假课程 集合的运算（教师版）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】C【解析】②③④正确2．设A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x <0或x ≥2}，则A ∪B 等于【难度】★【答案】{x |x <0或x ≥1}3．已知A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，B ＝{x |a <x <4}，若A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是【难度】★★ 【答案】a ≤－14．满足条件M ∪{1}＝{1，2，3}的集合M 的个数是【难度】★★ 【答案】2三、集合的补集补集：设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于集合A 的元素组成的集合叫做集合A 在全集U 中的补集，记作“C U A ”，读作“A 补”，即{}C |U A x x U x A =∈∉且①()C C UU A A =，,U U C U C U =∅∅=；②若A C B C B A U U ≠≠⊂⊂则,；12 / 38高一数学暑假课程集合的运算（教师版）③C U A A =∅，U C AA U =；④若A B ⊆，则C U AB =∅；若A B ⊆，则U BC A U =⑤()C C C UU U A B AB =，()C C C UU U A B AB =【例13】已知全集}11{},15{},35{<≤-=-<≤-=≤≤-=x x B x x A x x U ，求B C A C U U , 【难度】★★【答案】}3115{};31{≤≤-<≤-=≤≤-=x x x B C x x A C U U 或【例14】设全集R U =，集合{}R t t x x A ∈-==,|2，{}R a a y y B ∈+==,5|，则()U C A B =【难度】★★ 【答案】}50{<<x x【例15】已知全集U 、集合A ＝{1，3，5，7，9}，∁U A ＝{2，4，6，8}，∁U B ＝{1，4，6，8，9}，求集合B . 【难度】★★【答案】B={2，3，5，7}．【例16】50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语的有8人，则既会讲英语又会讲日语的人数为【难度】★★【答案】14【解析】【巩固训练】1．已知U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则(A∩∁U B)∪(B∩∁U A)等于【难度】★★【答案】{x|x>0或x≤－1}2．设全集为实数集R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(∁R M)∩N等于【难度】★★【答案】{x|x<－2}3．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，B＝{3，4，5}，C＝{3，4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝__________.【难度】★【答案】{2，5}高一数学暑假课程集合的运算（教师版）13 / 3814 / 38高一数学暑假课程集合的运算（教师版）4．已知A ＝{正方形}，当U ＝{菱形}时，则∁U A ＝________________；当U ＝{矩形}时，则∁U A ＝________________.【难度】★【答案】{内角不等于90°的菱形} {邻边不相等的矩形}5．下列表述中错误的是（ ） A ．若A B A B A =⊆ 则, B ．若B A B B A ⊆=，则C ．)(B A A)(B A D ．()()()B C A C B A C U U U =【难度】★★ 【答案】C6．若{}{}{}.,,|,,M C A M A x x B b a A B 求=⊆== 【难度】★★【答案】{}{}{},,,,,x A x a b a b φ⊆=则或，{}{}{}{},,,,B a b a b φ=∴{}{}{},,BC M a b φ=四、集合的综合运算集合的交、并、补运算的混合运算，以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，常常借助文氏图和数轴解决含有参数的问题，这里端点处的值不太好判断，比较好的方法是求出结果带入端点验证是否符合题意。

初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习1.1 集合的概念与表示(教师版)

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第一章《集合与常用逻辑用语》1.1集合的概念【知识梳理】知识点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a ，b ，c …表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合，(简称为集)，常用大写拉丁字母A ，B ，C …表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．知识点二元素与集合的关系1．属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A .2．不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A .知识点三常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN *或N ＋ZQR知识点四列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．知识点五描述法一般地，设A 是一个集合，把集合A 中所有具有共同特征P (x )的元素x 所组成的集合表示为{x ∈A |P (x )}，这种表示集合的方法称为描述法．【基础自测】1．已知集合{1,,}{0,}ba ab b a+=，，则下列结论正确的是（）A ．0a =B ．1a =C ．1a b ==-D ．11a b =-=，2．已知集合{}21,49,2021A a a a =++-，若4A -∈，则实数a 的值为（）．A ．5-B ．1C ．5或1-D ．5-或1【答案】B【详解】{}21,49,2021A a a a =++- ，且4A -∈，4=1a ∴-+或24=49a a -+-⑴当24=49a a -+-即=5-a 或=1a ，①当=5-a 时，1=4a +-，249=4a a +--，此时{}4,4,2021A =--，不满足集合元素的互异性，故舍去；②当=1a 时，1=2a +，249=4a a +--，此时{}2,4,2021A =-，符合题意；⑵当1=4a +-即=5-a 时，此时{}4,4,2021A =--，不满足集合元素的互异性，故舍去；综上所述：实数a 的值为1.故选：B3．已知集合{}1,2,3A =，则集合{},B x y x A y A =-∈∈∣中元素的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．54．下列说法中：①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________．【答案】②④【详解】因为集合N*表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．5．用列举法表示集合：{(,)|4,,}x y x y x y +=∈∈N N 为________．【答案】()()()()(){}0413223140，，，，，，，，，【详解】由题知：(){}|4x y x y x +=∈∈N N ，，，y =()()()()(){}0413223140，，，，，，，，，故答案为：()()()()(){}0413223140，，，，，，，，，.【例题详解】一、集合的概念例1(1)下面给出的四类对象中，构成集合的是（）A ．某班视力较好的同学B ．长寿的人C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数【答案】D【分析】根据集合的定义分析判断即可.【详解】对于A ，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于B ，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于C ，π的近似值没有明确近似到小数点后面几位，不是明确的定义，故不能构成集合；对于D ，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；故选：D.(2)（多选）下列各组中的M ，P 表示同一集合的是（）A ．M ={3，-1}，P ={(3，-1)}B ．M ={(3，1)}，P ={(1，3)}C ．M ={y |y =x -1}，P ={t |t =x -1}D ．集合M ={m |m +1≥5}，P ={y |y =x 2+2x +5，x ∈R }【答案】CD跟踪训练1(1)以下元素的全体能构成集合的是（）A ．中国古代四大发明B ．接近于1的所有正整数C ．未来世界的高科技产品D ．地球上的小河流【答案】A【分析】根据集合的知识可选出答案.【详解】中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A 满足；接近于1的正整数不确定，不能构成集合，故B 不满足；未来世界的高科技产品不确定，不能构成集合，故C 不满足；地球上的小河流不确定，不能构成集合，故D 不满足；故选：A(2)已知集合A ={x |x 2+px +q =0}={2}，则p =_______，q =_______．【答案】-44【分析】根据A ={x |x 2+px +q =0}={2}，由2是方程x 2+px +q =0的等根求解.【详解】因为A ={x |x 2+px +q =0}={2}，所以2420-40p q p q ++=⎧⎨=⎩，解得-44p q =⎧⎨=⎩，故答案为：-4，4二、元素与集合例2(1)下列元素与集合的关系中，正确的是（）A ．1-∈NB ．*0∉N C QD ．25∉R(2)如果集合2210A x ax x =--=只有一个元素，则a 的值是（）A ．0B ．0或1C ．1-D ．0或1-跟踪训练2(1)已知集合(){}|10M x x x =-=,那么（）A ．0M ∈B ．1M∉C ．1M-∈D ．0M∉【答案】A【分析】确定结合(){}|10M x x x =-=的元素，根据元素和集合的关系判断各选项，即得答案.【详解】由题意知集合(){}|10{0,1}M x x x =-==，故0M ∈，故A 正确，D 错误，1M ∈，故B 错误，1M -∉，故C 错误，故选：A(2)已知集合{}220A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是__________．三、集合中元素的特性例3(1)若{}22,a a a ∈-，则a 的值为（）A ．0B ．2C ．0或2D ．2-【答案】A【分析】分别令2a =和2a a a =-，根据集合中元素的互异性可确定结果.【详解】若2a =，则22a a -=，不符合集合元素的互异性；若2a a a =-，则0a =或2a =（舍），此时{}{}22,2,0a a -=，符合题意；综上所述：0a =.故选：A.(2)由实数2,,|,x x x -所组成的集合，最多可含有（）个元素A ．2B ．3C ．4D ．5跟踪训练3(1)集合{3，x ，x 2–2x }中，x 应满足的条件是（）A ．x ≠–1B ．x ≠0C ．x ≠–1且x ≠0且x ≠3D ．x ≠–1或x ≠0或x ≠3【答案】C【分析】利用集合元素的互异性求解.【详解】集合{3，x ，x 2–2x }中，x 2–2x ≠3，且x 2–2x ≠x ，且x ≠3，解得x ≠3且x ≠–1且x ≠0，故选：C ．(2)若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合{},,M a b c =中的元素是ABC 的三边长，则a b c ≠≠，所以ABC 一定不是等腰三角形．故选：D ．四、集合的表示方法例4(1)用列举法表示集合*6,5A aN a Z a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-__________．(2)用适当的形式表示下列集合，并指明它是有限集还是无限集．①方程32320x x x -+=的解集；②不等式3523x x +>+的解集；③被5除余1的自然数的集合；④二次函数2=23y x x --的值组成的集合．【答案】①{}0,1,2，有限集；②{}|2x x >-，无限集；③{}|51,x x k k N =+∈，无限集；④2{|23}y y x x =--，无限集.【分析】①直接解出方程即可，用列举法；②解不等式，解集为无限，用描述法表示；(3)元素有无限个，所以用描述法；④代表元素为y ，解集为无限集用描述法表示.【详解】①解方程可得解集为{}0,1,2，有限集；②解不等式可得解集为{}|2x x >-，无限集；③被5除余1的自然数的集合为{}|51,x x k k N =+∈，无限集；④二次函数223y x x =--的值组成的集合为2{|23}y y x x =--，无限集；跟踪训练4用列举法表示下列集合：（1）方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集；（2）不大于10的非负奇数集；（3）6{|Z,N}4A x x x=∈∈-．【答案】（1）解集是{(2,1)}；（2）不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}；（3）{3,2,1,2}A =-.【分析】根据列举法的定义进行表示即可．跟踪训练5表示下列集合：(1)210y +=的解集；(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；(4)请用描述法表示二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合．【课堂巩固】1．下列各组对象中不能形成集合的是（）A ．高一数学课本中较难的题B ．高二（2）班全体学生家长C ．高三年级开设的所有课程D ．高一（12）班个子高于1.7m 的学生【答案】A【分析】根据集合的三要素确定性，互异性和无序性逐个判断即可；【详解】对A ，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；对BCD ，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合故选：A2．下列说法正确的是（）A ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1B ．∅与{}0是同一个集合C ．集合{}21x y x =-与集合{}21y y x =-是同一个集合D ．集合{}2560x x x ++=与集合{}2560x x ++=是同一个集合3．设a ,b ∈R ，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -=（）A ．1B ．-1C ．2D ．-24．下列关系中，正确的是（）A NB ．14∈ZC ．{}00∈D ．12∉Q5．若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形【答案】C【分析】根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，结合选项，即可求解.【详解】由题意，集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.6．（多选）下面说法中正确的是（）A ．集合N +中最小的数是1B ．若N a +-∉，则N a +∈C ．若N ,N a b ++∈∈，则a b +的最小值是2D ．244x x +=的解组成的集合是{2}x =【答案】AC【分析】根据正整数集的含义即可判断A ，B ，C 的正误，根据集合中列举法即可判断D 选项的正误.【详解】对于A ，因为N +是正整数集，而最小的正整数是1，故A 正确；对于B ，当0a =时，N a +-∉，且N a +∉，故B 错误；对于C ，若N a +∈，则a 的最小值是1，若N b +∈，则b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a b +取得最小值2，故C 正确；对于D ，由244x x +=得()220x -=，解得2x =，故其解集为{}2，而{2}x =不符合集合的表示方法，故D 错误.故选：AC ．7．用列举法表示集合6|Z,2M x x x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭N ________________．【答案】{4,1,0,1}--【分析】根据题意可得21,2,3,6x -=，求出x 的值即可求解.【详解】由题意得21,2,3,6x -=，所以1,0,1,4x =--，所以{4,1,0,1}M =--.故答案为:{4,1,0,1}--.8．已知集合{}1,2,3,4,6A =，,x B x y A y ⎧⎫=∈⎨⎬⎩，则集合B 中的元素个数为______．1故答案为：139．已知,x y 均为非零实数，则代数式xy x y x y xy++的值所组成的集合的元素个数是______．10．给出下列说法：①平面直角坐标系中，第一象限内的点组成的集合为(){},0,0x y x y >>；②20y ++=的解集为{}2,2-；③集合{}21,y y x x =-∈R 与{}1,y y x x =-∈R 是不相等的．其中正确的是______（填序号）．11．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x ≤2且x ∈Z 的元素组成的集合A ；(2)方程(x －2)2(x －3)＝0的解组成的集合M ；(3)方程组281x y x y +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合B ；(4)15的正约数组成的集合N .12．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合（1）所有能被3整除的自然数（2）不等式²230x x +-<的解集（3）²230x x +-=的解集【答案】答案见解析．【分析】根据集合的表示法求解．【详解】（1）{|3,}x x n n N =∈，集合中元素个数无穷，不能用列举法表示；（2）2230x x +-<，即(1)(3)0x x -+<，31x -<<，集合为{|31}x x -<<，集合中元素有无数个，不能用列举法表示；（3）集合可表示为2{|230}x x x +-=，列举法表示为{3,1}-．【课时作业】1．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }，B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3}，当A ＝{2}时，集合B ＝（）A ．{1}B ．{1，2}C ．{2，5}D ．{1，5}【答案】D【分析】根据集合的相等的意义得到x 2＋px ＋q ＝x 即()210x p x q +-+=有且只有一个实数解2x =,由此求得p ,q 的值，进而求得集合B .【详解】由A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x }＝{2}知，x 2＋px ＋q ＝x 即()210x p x q +-+=有且只有一个实数解2x =,∴22＋2p ＋q ＝2，且Δ＝(p －1)2－4q ＝0.计算得出p ＝－3，q ＝4.则(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋3可化为(x －1)2－3(x －1)＋4＝x ＋3；即(x －1)2－4(x －1)＝0；则x －1＝0或x －1＝4，计算得出x ＝1或x ＝5.所以集合B ＝{1，5}．故选：D .2．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式||||||||x y z xyz x y z xyz +++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（）A ．M∈4B ．2M ∈C ．0M ∉D ．4M -∉3．以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数，也有负数；（2）P 中元素有奇数，也有偶数；（3）1P -∉；（4）若x y P ∈、，则x y P +∈．则下列选项哪个是正确的（）A ．集合P 中一定有0但没有2B ．集合P 中一定有0可能有2C ．集合P 中可能有0可能有2D ．集合P 中既没有0又没有2【答案】A【分析】由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数），由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，可得0P ∈.利用反证法可得若2P ∈，则P 中没有负奇数，若P 中负数为偶数，得出矛盾即可求解.【详解】解：由（4）得x P ∈，则∈kx P （k 是正整数）．由（1）可设,∈x y P ，且0x >，0y <，则xy 、()-∈y x P ，而0()=+-∈xy y x P ．假设2P ∈，则2∈k P ．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P 中，故22-∈k P （k 是正整数），不妨令P 中负数为奇数21k -+（k 为正整数），由（4）得(22)(21)1-+-+=-∈k k P ，矛盾．故若2P ∈，则P 中没有负奇数．若P 中负数为偶数，设为2k -（k 为正整数），则由（4）及2P ∈，得2,4,6,--- 均在P 中，即22--∈m P （m 为非负整数），则P 中正奇数为21m +，由（4）得(22)(21)1--++=-∈m m P ，矛盾．综上，0P ∈，2∉P .故选:A ．4．已知集合{}2,21,21M a a a =--，若1M ∈，则M 中所有元素之和为（）A ．3B ．1C ．3-D ．1-【答案】C【解析】根据1M ∈，依次令{}2,21,21M a a a =--中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果.【详解】若1a =，则211a -=，矛盾；若211a -=，则1a =，矛盾，故2211a -=，解得1a =（舍）或1a =-，故{}1,3,1M =--，元素之和为3-，故选：C.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行取舍.5．已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,46．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是A ．{x|﹣3＜x ＜11，x ∈Q}B ．{x|﹣3＜x ＜11}C ．{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈N}D ．{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈Z}【答案】D【详解】试题分析：先确定集合元素的范围是﹣3＜x ＜11，同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合．解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k ，k ∈z ，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x ＜11．即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x ＜11，x=2k ，k ∈Z}．故选D ．点评：本题的考点是利用描述法表示集合．比较基础．7．方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集不可表示为（）A ．3(,)1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎩⎪⎪⎩⎭B ．1(,)2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭C ．{}1,2D ．(){}1,2【答案】C【分析】先解方程组，然后再利用集合的表示方法判断即可【详解】由31x y x y +=⎧⎨-=-⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，方程组只有一组解，对于AB ，是用描述法表示方程组的解集，所以AB 正确，对于C ，{}1,2表示两个元素1，2，所以C 错误，对于D ，是用列举法表示方程组的解集，所以D 正确，故选：C8．定义集合运算:{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为（）A ．0B ．2C ．3D ．6【答案】D【详解】试题分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B 中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B ，进而可得答案解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B 中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D ．考点：元素的互异点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍9．（多选）下列说法中，正确的是（）A ．若a ∈Z ，则a -∈ZB ．R 中最小的元素是0CD ．一个集合中不可以有两个相同的元素10．（多选）若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则（）A ．1A∈B ．2A ∈C ．3A∈D ．4A ∈11．含有三个实数的集合可表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可以示为{}2,,0a a b +，则20132014a b +的值为____.【答案】1-【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.【详解】解：由题意，若2a a =，则0a =或1，检验可知不满足集合中元素的互异性，所以a a b =+，则0b =，所以21a =，则1a =-，故201320141a b +=-.故答案为：1-.12．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________．【答案】3【分析】根据集合与元素的关系，分类求得m 的值，然后利用集合元素的互异性检验取舍.【详解】由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证，当m ＝0或m ＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m ＝3时，满足题意，故m ＝3.答案：313．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．【答案】{(x ，y )|0≤x ≤2且0≤y ≤1}【详解】由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则{(,)|02x y x ≤≤且01}y ≤≤.故答案为{(,)|02x y x ≤≤且01}y ≤≤.点睛：本题考查集合的描述法的概念及其应用，解答本题的关键是图中的阴影部分的点的坐标满足的条件为集合的元素的公共属性.14．用列举法表示集合{}2|,12,y y x x y Z =-<<∈=__________【答案】{0,1,2,3}【分析】由集合的描述法可知集合所含元素.【详解】因为2,12y x x =-<<，所以04y ≤<，又y Z ∈，所以0,1,2,3y =故答案为{0,1,2,3}【点睛】本题主要考查了集合的描述法，属于中档题.b c abc 16．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，则B 中所含元素的个数为____．【答案】1【分析】首先根据题中的条件，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，结合A ＝{1，2}，写出集合B ，并且找到集合B 的元素个数.【详解】因为A ＝{1，2}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x+y ∈A}，所以{}(1,1)B =，所以集合B 中只有一个元素，故答案是1.【点睛】该题考查的是有关集合中元素的个数问题，解题的关键是根据题中所给的集合中元素的特征，将集合中的元素列出来，从而得到结果.17．已知方程ax 2－3x －4＝0的解组成的集合为A .（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．18．用适当的方法表示下列集合：（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合；（2|2|0y -=的解集.。

初升高数学暑假衔接(通用版)：集合的基本运算(教师版)

�⋃� = {�|� ∈ �或� ∈ �}
图形表示
性质
(1)� ∪ � = �，即一个集合与其本身的并集是其本身； (2)� ∪ ∅ = �，即一个集合与空集的并集是其本身； (3)� ∪ � = � ∪ �，即集合的并集运算满足交换律； (4)� ∪ � = � ⟺ � ⊆ �，即一个集合与其子集的并集是其自身．
注 (1)交集中的“且”，是“同时满足”的意思，比如学校搞푝푎� ，要求满足�⋂�(其中� = {身高 170푐 以上}，� = {长得帅})，那身高 162푐 的贵哥虽然长得帅但也遗憾出局，只有刘德华这样 的人物才能参加.
(2) 当集合�和集合�无公共元素时，不能说集合�, �没有交集，而是�⋂� = ∅．
所以 ��� ∪ ��� = { − 5,6}．
变式练习
1.设集合� = �∣�2 − 2� − 3 = 0 ，� = �∣�2 = 1 ，则� ∪ �等于( )
A．{ − 1}
B．{1,3}
C．{ − 1,1,3}
D．{1, − 3}
答案 �
解析 依题意，� = { − 1,3}, � = { − 1,1}，故�⋃� = { − 1,1,3}，选�. 2. 集合� = {0,2, 푎}，� = 1, 푎2 ，若� ∪ � = {0,1,2,4,16}，则푎的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.4
答案 �
解析 ∵ � = 0,2, 푎 ，� = 1, 푎2 ，� ∪ � = 0,1,2,4,16 ，
∴ 푎2 = 16, ∴ 푎 = 4. 푎=4
3.已知集合� = � ∈ � −3 < � < 8 , ∁�� = −2,1,3,4,7 , � = { − 2, − 1,2,4,5,7}，则� ∩ �的元素个数

初升高数学暑假衔接(人教版)第02讲 集合间的基本关系(教师版)

第02讲集合间的基本关系1．能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念，并掌握其记法和读法；2．理解两个集合相等的含义，会用子集的观点来解释两个集合相等；3．在具体情境中了解空集的含义并理解空集是任何集合的子集这一规定；4．初步认识Venn图，会用Venn图来表示两个集合的关系。

一、子集的概念1、子集的定义：对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A 包含于B”(或“B包含A”)．2、真子集：如果集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x A∉，就称集合A是集合B的真子集。

记作A B或(B A)3、集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A B=二、空集1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．2、0，{0}，∅，{}∅的关系∅与0∅与{0}∅与{}∅相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅中不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{}∅含一个元素，该元素是∅关系0∉∅{}0∅Ü∅{∅}或∅∈{∅}三、子集的性质（1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A ，都有∅⊆A .（2）任何一个集合A 都是它本身的子集，即A ⊆A .（3）如果A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C .（4）如果AB ，BC ，则AC .【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面．四、子集的个数如果集合A 中含有n 个元素，则有（1）A 的子集的个数有2n 个．（2）A 的非空子集的个数有2n －1个．（3）A 的真子集的个数有2n －1个．（4）A 的非空真子集的个数有2n －2个．五、Venn 图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。

高一数学暑期复习讲义第3讲 集合的运算

第3讲 集合的运算(必背)1、数集表示：Q 表示：____________;R 表示：___________;Z 表示：____________; N 表示：_________________________________;*N 表示：_____________________________;2、集合的交集___________________________________________________________________3、集合的并集___________________________________________________________________4、集合的补集___________________________________________________________________ 例题剖析例1 设{}{}1,0,1,0,1,2,3A B =-=，{}2,1,0,1,2U =--,求U A B A B C A 、和I U .例2 设集合2{,21,4}M a a =--，集合{1,5,9}P a a =--，而且{9}M P ⋂=，求a 的值。

例3 （1）能否在数轴上表示集合{|0}A x x =>，集合{|1}B x x =≤吗？（2）能否在数轴上表示A B ⋂和A B ⋃？（3）若集合1{|2}2C x x =<≤,则.A C B C ⋂⋃、例 4 设集合{|3}A x a x a =≤≤+，集合{|1B x x =<-或5}x >，分别就下列条件，求实数a 的范围。

①A B ⋂=∅ ②A B ⋂≠∅ ③A B ⋂=A例5 已知全集*{|010,}I x x x N =<<∈，{3}A B ⋂=，{1,5,7}I A C B ⋂=， {9}I I C A C B ⋂=求A 、B .例6 设{|24}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<，且A B ⋂=∅，求a 的取值范围。

初升高数学暑假衔接(人教版)第03讲 集合的基本运算(教师版)

第03讲集合的基本运算1．理解并集、交集、补集、全集的概念与表示；2．了解并集、交集、补集的一些简单性质，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定集合的补集；3．掌握并集、交集、补集的基本运算与混合运算；4．通过Venn图来描述集合的相关运算，进一步体会数形结合思想的作用。

一、并集的概念与运算1、文字语言：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}3、图形语言：阴影部分为A∪B4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B.二、交集的概念与运算1、文字语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}3、图形语言：阴影部分为A∩B4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A三、全集与补集的概念与运算1、全集（1）文字语言：一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.（2）符号语言：若,,,A U B U C U ⊆⊆⊆ ，则U 为全集.（3）图形语言：2、补集（1）文字语言：若集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ð.（2）符号语言：{}U A x x U x A =∈∉且ð（3）符号语言：（4）性质：A ∪∁U A ＝U ；A ∩∁U A ＝∅；∁U (∁U A )＝A .四、德摩根律与容斥原理1、德摩根定律：设集合U 为全集，A 、B 为U 的子集，则有（1）()()()U U U A B A B = 痧（2）()()()U U U A B A B = 痧2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn 图表示两集合的交、并、补。

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第三讲 集合的关系与运算考点4：子集、真子集与集合相等【知识点的认识】1．子集：对于两个集合A B ，，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “包含于”（或“包含A ”）．规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或B A ． 2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）． 规定：∅是任意非空集合的真子集．3．集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．题型一：子集、真子集概念、符号辨析例1.下列四个命题中正确的有_______．①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．【解答】③．例2.下面关系式中，正确的是_______．(1)①0{}∈∅；②{}∅∅；③{0}∅；④{}a a ⊆；⑤{}{}a a ；⑥{}a ∅∈．【解答】⑴②③； (2) 用=≠，，，填空：①{1}______2{|320}x x x -+=；②{12}，______2{|320}x x x -+= ③∅______2{|20}x x ∈+=R ；④{|32}x x +>______{|10}y y ->；⑤2{()|1}x y y x =+，_____2{|1}y y x =+；⑥2{|1}x y x =+_____2{|1}y y x =+； ⑦{(2,3)}______{(3,2)}；⑧{23}，______{(23)}，．【解答】⑵①；②=；③=；④；⑤≠；⑥；⑦≠；⑧≠．例3.(1)（2018秋•禅城区校级期中）{1，2}_____{∅，1，2，{1，2}}横线上可以填入的符号有( )A ．只有∈B ．只有⊆C ．⊆与∈都可以D ．⊆与∈都不可以【解答】解：{1，2}{⊆∅，1，2，{1，2}}，或{1，2}{∈∅，1，2，{1，2}}．故选：C ．(2)（2018秋•昌江区校级期中）已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是( )A ．1M ∈B ．{1M =-，1}C ．M ∅⊆D ．M N ⊆【解答】解：集合2{|1}{1M x x ===-，1}．N 为自然数集，在A 中，1M ∈，正确；在B 中，{1M =-，1}，正确；在C 中，M ∅⊆，正确；在D 中，M 不是N 的子集，故D 错误．故选：D ．(3)（2018秋•安吉县校级月考）下列关系式正确的是( )A ．{0}=∅B ．{0}∅⊆C ．{0}∅∈D ．{0}⊆∅【解答】解：在A 中，{0}⊃∅，故A 错误；在B 中，{0}∅⊆，故B 正确；在C 中，{0}∅⊆，故C 错误；在D 中，{0}∅⊆，故D 错误．故选：B ．题型二：子集、真子集关系判断例4.(1)（2018春•温州期末）已知集合{0P =，1}，{1Q =-，0，1}，则( )A ．P Q ∈B ．P Q ⊆C ．P Q ⊇D ．Q P ∈【解答】解：集合{0P =，1}，{1Q =-，0，1}，P Q ∴⊆．故选：B ．(2)（2018秋•湖北期中）设集合{0A =，1，2}，{|B m m x y ==+，x A ∈，}y A ∈，则集合A 与B 的关系为( )A ．AB ∈ B ．A B =C ．B A ⊆D ．A B ⊆【解答】解：合{0A =，1，2}，{|B m m x y ==+，x A ∈，}{0y A ∈=，1，2，3，4}，A B ∴⊆．故选：D ．题型三：已知关系反求参例4.(1)（2018秋•昌吉市月考）已知集合{1A =，3，{1B =，}m ，B A ⊆，则(m = )A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3①若0m =，则{1A =，3，0}，{1B =，0}，满足A B ⊆．②若1m =，则A ，B 不满足集合中元素的互异性，舍去综上，0m =或3m =．故选：B ．(2)（2018秋•河南期中）已知集合{}21,2,2,A B k ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，若B A ⊆，则实数k 的值为( )A ．1或2B ．1C ．1D ．2解：集合解得实数2k =．故选：D ．(3)（2019•攀枝花模拟）集合{1A =-，2}，{|20}B x ax =-=，若B A ⊆，则由实数a 组成的集合为( )A ．{2}-B ．{1}C ．{2-，1}D ．{2-，1，0}【解答】【解答】解：集合{1A =-，2}，{|20}B x ax =-=，B A ⊆，B ∴=∅或{1}B =-或{2}B =0a ∴=，1，2-．∴由实数a 组成的集合为：{2-，1，0}．故选：D ．(4)（2019•蚌埠二模）集合11{,}23A =，{|10}B x mx =-=，若B A ⊆，则满足条件的实数m 组成的集合为( )A ．{0，2}B ．{1，3}C ．{0，2，3}D ．{0，1，2}若B A ⊆，则B 是A 的子集，若B =∅，即方程10mx -=无解，此时0m =，综合可得：m 的值组成的集合为{0，2，3}；故选：C ．例5.（1）（2018•海淀区一模）已知集合{0A =，}a ，{|12}B x x =-<<，且A B ⊆，则a 可以是( )A ．1-B ．0C ．lD ．2【解答】解：集合{0A =，}a ，{|12}B x x =-<<，且A B ⊆，12a ∴-<<，a ∴可以是1．故选：C ．(2)（2017秋•高安市校级月考）设集合{|21}A x x m =-，集合{|12}B x x =，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是( )A ．3[1,]2B ．(-∞，1]C ．3(,]2-∞D ．3[,)2+∞ 【解答】解：若B A ⊆，则：212m -． 32x故选：D ．(4)（2018秋•崇川区校级期中）设{|23}A x x =<<，{|}B x x m =<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，)+∞B ．(3,)+∞C ．(,2)-∞D ．(-∞，2] 【解答】解：{|23}A x x =<<，{|}B x x m =<，A B ⊆，3m ∴，∴实数m 的取值范围是[3，)+∞．故选：A ．(5)（2018秋•龙凤区校级月考）设集合{||4|2}A x x =-，{|3}B x a x a =+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，3]B ．[2，3)C ．[2，)+∞D ．(3,)+∞【解答】解：因为|4|2x -，所以26x ，即集合[2A =，6]，又{|3}B x a x a =+，且B A ⊆，所以236a a ⎧⎨+⎩，解得：23a 即实数a 的取值范围是：[2，3]，故选：A ．(6)（2018秋•城关区校级期中）已知集合{|32}A x x =-<<，{|}B x x m =>，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是( ) A ．3m - B ．2m C ．3m <- D ．3m -【解答】解：集合{|32}A x x =-<<，{|}B x x m =>，A B ⊆，3m ∴-．故选：A ．(7)（2018秋•湖北期中）已知集合(2A =-，5]，{|121}B x m x m =+-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是( )A ．(3-，3]B ．[3-，3]C ．(-∞，3]D ．(,3)-∞【解答】解：集合(2A =-，5]，{|121}B x m x m =+-，B A ⊆，∴当B =∅时，121m m +>-，解得2m <，成立；当B ≠∅时，12112215m m m m +-⎧⎪+>-⎨⎪-⎩，解得23m ．综上，实数m 的取值范围是(-∞，3]．故选：C ．例6.(1)（2017秋•红塔区校级期末）已知集合{|1}A x x =<，若B A ⊆，则集合B 可以是( )A ．{|2}x xB ．{|1}x xC ．∅D ．R【解答】解：集合{|1}A x x =<，B A ⊆，B ∴=∅或B 中所有元素都小于1，∴集合B 可以是∅．故选：C ． (2)（2018•重庆模拟）设集合{|}A x x a =，(,2)B =-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是( )A ．2aB ．2a >C ．2aD ．2a <【解答】解：集合{|}A x x a =，(,2)B =-∞，A B ⊆，2a ∴<，∴实数a 的取值范围是2a <．故选：D ．考点5：交集、并集与补集1．交集：对于两个给定的集合A 、B ，属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为：{}|A B x x A x B =∈∈且，用维恩（Venn ）图表示为：A B =∅ A B B = A B 为其公共部分2．并集：对于两个给定的集合A 、B ，由两个集合所有元素构成的集合叫做A 与B 的并集，记作“AB ”． 集合A B 用符号语言表示为{}|AB x x A x B =∈∈或; 用维恩（Venn ）图表示如下：或 或3．补集：①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示．②补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作“U A ”．读作“A 在U 中的补集”．A 在U 中的补集的数学表达式是{}|U A x x U x A =∈∉，且．BA用维恩（Venn ）图表示：题型四：已知维恩图表示交、并、补例7.集合的运算表示下面阴影部分的集合．⑴⑵ ⑶【解答】⑴()U A B 或U U A B ； ⑵()U A B ；⑶()()U U A B B A ．也可以用()A B A B 表示．读图可以：公共部分——交集；去掉谁——取谁的补集． 这样可以轻松得到更多集合的交集．U A B C ．题型五：求交集、并集例8.（1）（2019•渭滨区校级一模）已知集合{|M x x N =∈，5}x <，集合{1N =-，0，1，3，5}，则(M N = )A ．{0，1，3}B ．{1，3}C ．{1，0，1，3}D ．{1，1，3}【解答】解：集合{|M x x N =∈，5}{0x <=，1，2，3，4}， 集合{1N =-，0，1，3，5}，{0M N ∴=，1，3}．故选：A ．(2)（2019•长春三模）已知集合{1A =-，0，1，2}，{|12}B x x =-<<，则(A B =) A ．{1-，0，1，2} B ．{1-，0，1} C ．{0，1，2} D ．{0，1}。

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