证明全等的五种方法
三角形全等的证明方法
三角形全等的证明方法三角形全等是几何学中一个重要的概念，它表示两个三角形具有完全相同的形状和大小。
证明三角形全等可以使用多种方法，这里我们将介绍几种常用的证明方法。
方法一：SSS（边边边）全等法SSS全等法是三角形全等的基础方法之一，它是通过对应边相等来证明三角形全等的。
首先，对于给定的两个三角形ABC和DEF，假设AB＝DE，BC＝EF和AC＝DF。
我们需要证明∠A＝∠D，∠B＝∠E和∠C＝∠F。
由于AB＝DE，BC＝EF，所以线段AC＝DF。
根据三角形的性质，我们可以得出结论∠BAC＝∠EDF，∠ABC＝∠DEF和∠ACB＝∠DFE。
综上所述，我们可以得出结论，两个三角形ABC和DEF的对应角相等，因此它们全等。
方法二：SAS（边角边）全等法SAS全等法也是证明三角形全等的常用方法，它是通过对应边和夹角相等来证明三角形全等的。
假设给定的两个三角形ABC和DEF，我们需要证明∠A＝∠D，∠B＝∠E和AB＝DE。
首先，我们知道∠A＝∠D，即两个三角形的一对夹角相等。
然后，假设AB＝DE。
接下来，我们需要证明AC＝DF或者CB＝FE。
分别考虑两种情况：情况1：假设AC＝DF。
那么根据SAS全等法，我们可以得出结论，两个三角形ABC和DEF全等。
情况2：假设CB＝FE。
那么我们可以通过将三角形ABC和DEF旋转180度，使得点B重合，然后通过SAS全等法继续证明它们全等。
综上所述，我们可以得出结论，通过SAS全等法，可以证明两个三角形ABC和DEF全等。
方法三：ASA（角边角）全等法ASA全等法是通过对应角和边相等来证明三角形全等的方法。
给定两个三角形ABC和DEF，假设∠A＝∠D，∠B＝∠E和线段AC＝DF。
我们需要证明∠C＝∠F和AB＝DE。
由于∠A＝∠D和∠B＝∠E，我们可以得出结论，∠C＝∠F。
然后，假设AB＝DE。
通过ASA全等法的证明过程，我们可以得出结论，两个三角形ABC和DEF全等。
全等三角形证明方法总结
❸由中点想到的辅助线 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长及其相关性质 （等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
8
（1）中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图 1，AD 是 ΔABC 的中线，则 SΔABD=SΔACD= SΔABC（因为 ΔABD 与 ΔACD 是等底同高的）。
成全等三角形
全等
造全等，则 P 是中点
三角形
图中有角平分线，可向两边 图中有角平分线，沿它对折 角平分线加垂线，“三线合 角平分线+平行线，等腰三
作垂线
关系现
一”试试看
角形必呈现
角平分线的常见倒角模型及相关结论 已知△ABC 中，BP，CP 分别为角平分线且交于点 P，探讨∠BPC 与∠A 的关系
角平 分线 倒角 模型
证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 F
G
E
D
∵∠BDF 是△ABD 的外角 ∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
B
F
C
图2 1
即：∠BDC＞∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内 角位置上，再利用不等式性质证明。
分析：因为∠BDC 与∠BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠
BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；
证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时∠BDC 是△EDC 的外角，
A
∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC
三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等
全等三角形综合复习1。
全等三角形的概念及性质; 2. 三角形全等的判定； 3。
角平分线的性质及判定.知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析:⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSSHL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边 例 1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。
求证:ACF BDE ∆≅∆。
知识点二:构造全等三角形例 2. 如图，在ABC ∆中,BE 是∠ABC 的平分线,AD BE ⊥，垂足为D 。
求证：21C ∠=∠+∠。
例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =,90ABC ∠=。
F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。
求证:AE CF =。
知识点三：常见辅助线的作法1。
连接四边形的对角线例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =.解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。
2. 作垂线,利用角平分线的知识例5。
如图,,AP CP分别是ABC∆外角MAC∠和NCA∠的平分线,它们交于点P。
求证：BP 为MBN∠的平分线。
解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件,或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题.3. “截长补短"构造全等三角形例 6.如图，在ABC∆中,AB AC>，12∠=∠，P为AD上任意一点。
求证：AB AC PB PC->-。
中考复习全等三角形五种证明类型
第12课全等三角形类型一：平移型此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等．1. (2018桂林)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF. （1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．2.(2018温州)如图，在四边形ABCD中，E 是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B. （1）求证：△AED≌△EBC；（2）当AB＝6时，求CD的长．类型二：对称型此模型的特征是所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等．3. 如图，在边长为8的正方形ABCD中，E 是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG. （1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长．类型三：一线三垂直型一线：经过直角顶点的直线(BE)；三垂直：直角两边互相垂直(AC ⊥CD)，过直角的两边上一点分别向直线作垂线(AB ⊥BC ，DE ⊥CE)，利用“同角的余角相等”转化找等角(∠1＝∠2)．3. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过点B 、C 作过点A 的直线的垂线BD 、CE ，垂足分别为D 、E ，若BD ＝3，CE ＝2，则DE ＝________．类型四：旋转型此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度构成的，旋转后的图形与原图形之间存在两种情况：（1）无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分．（2）有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角．5. 如图，点A 、D 、C 、E 在同一条直线上，AB ∥EF ，AB ＝EF ，∠B ＝∠F ，AE ＝10，AC＝7，则CD 的长为 （ ） A.5.5 B. 4 C. 4.5 D. 36、如图，在△ABC 中，分别以AC 、BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE 、BD 交于点O ，则∠AOB 的度数为________．类型五：角平分线型遇到角平分线时，常常含有公共边，利用角的对称性，在角平分线的两边构造对称全等三角形．（1）图1，一般可由角平分线上的某一点向角的两边作垂线，构造直角三角形，利用角平分线的性质得到线段相等．（1） （2）（2）图2，通过延长线段，构造对应边相等． （3）图3，常在角的一边上截取另一边上的已知线段的长度，构造对应边相等．（3） （4） （5） （4）如图4，图5，常作过角的一边上的点 作另一边的平行线，利用平行线结合角平分线的性质等量代换，证角相等．7. 如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，∠A ＝2∠B ，AD ＝3，AC ＝5，求BC 的长．。
证明全等三角形的方法
证明全等三角形的方法全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
证明两个三角形全等的方法有很多种，下面将介绍几种常用的方法。
1. SSS全等定理。
SSS全等定理是指如果两个三角形的对应边相等，则这两个三角形是全等的。
具体来说，如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
证明方法，首先，我们需要比较两个三角形的三条边是否相等，如果两个三角形的三条边分别相等，那么我们就可以得出这两个三角形是全等的结论。
2. SAS全等定理。
SAS全等定理是指如果两个三角形的一对对应边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
具体来说，如果两个三角形的一对对应边和夹角分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
证明方法，首先，我们需要比较两个三角形的一对对应边和夹角是否相等，如果这些条件都满足，那么我们就可以得出这两个三角形是全等的结论。
3. ASA全等定理。
ASA全等定理是指如果两个三角形的一对对应角和对边分别相等，则这两个三角形是全等的。
具体来说，如果两个三角形的一对对应角和对边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
证明方法，首先，我们需要比较两个三角形的一对对应角和对边是否相等，如果这些条件都满足，那么我们就可以得出这两个三角形是全等的结论。
4. RHS全等定理。
RHS全等定理是指如果两个直角三角形的一个直角边和斜边分别相等，则这两个三角形是全等的。
具体来说，如果两个直角三角形的一个直角边和斜边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
证明方法，首先，我们需要比较两个直角三角形的一个直角边和斜边是否相等，如果这些条件都满足，那么我们就可以得出这两个三角形是全等的结论。
在实际问题中，我们经常需要根据已知条件证明两个三角形是全等的。
因此，掌握全等三角形的证明方法对于解决实际问题具有重要意义。
通过上述介绍的几种全等定理，我们可以更加准确地判断两个三角形是否全等，从而更好地解决实际问题。
总之，证明全等三角形的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
三角形全等证明方法
三角形全等证明方法三角形全等证明是几何学中的重要内容之一，它能够帮助我们分析和推导出一些三角形之间的性质和关系。
在证明全等三角形时，我们需要根据已知条件和几何定理，使用不同的方法和技巧来进行推导。
下面我将详细介绍三角形全等的几种证明方法。
一、SAS法（边-角-边）SAS法是指通过两条边和它们夹角的大小来证明两个三角形全等。
当我们已知两个三角形中两边相等，在它们之间对应的夹角也相等时，可以通过SAS法来证明它们全等。
证明过程如下：1.首先，我们需要知道两个三角形中的两条边相等，即∠A=∠D，BC=DE。
2.其次，我们需要证明这两个三角形之间的夹角B和夹角E也相等，即∠B=∠E。
3.最后，我们还需要证明这两个三角形中的第三条边AC和第三条边DF相等，即AC=DF。
通过上述三个步骤，我们可以证明两个三角形ABC和DEF全等。
二、ASA法（角-边-角）ASA法是指通过两个角和夹这两个角的边的大小来证明两个三角形全等。
当我们已知两个三角形中两个角相等，在它们之间对应的边也相等时，可以通过ASA法来证明它们全等。
证明过程如下：1.首先，我们需要知道两个三角形中两个角相等，即∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE。
2.其次，我们需要证明这两个三角形之间的对应边AB和DE也相等，即AB=DE。
3.最后，我们还需要证明这两个三角形中的第三个角∠BAC和第三个角∠EDF相等，即∠BAC=∠EDF。
通过上述三个步骤，我们可以证明两个三角形ABC和DEF全等。
三、SSS法（边-边-边）SSS法是指通过三条边的长度来证明两个三角形全等。
当我们已知两个三角形中的三条边相等时，可以通过SSS法来证明它们全等。
证明过程如下：1.首先，我们需要知道两个三角形中的三条边相等，即AB=DE，BC=EF，CA=FD。
2.通过上述三个条件，我们可以得出两个三角形ABC和DEF的相应的三个角∠ABC、∠BCA和∠DEF、∠EFD相等。
3.因为两个三角形中的三个角分别相等，所以这两个三角形全等。
全等三角形证明判定方法分类归纳
全等三角形证明判定方法分类归纳一、直接证明法直接证明法是指通过对已知条件进行计算和推理，直接得出两个三角形全等的结论。
常用的直接证明法有以下几种：1.SSS判定法SSS判定法是指如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
证明思路：设两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF，要证明ΔABC≌ΔDEF。
通过SSS判定法可知，只需要证明∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFE即可。
这个可以通过角的和为180°进行计算和推理得到。
2.SAS判定法SAS判定法是指如果两个三角形的两个边分别相等，并且这两个边夹角相等，则这两个三角形全等。
证明思路：设两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，∠ABC=∠DEF，AC=DF，要证明ΔABC≌ΔDEF。
通过SAS判定法可知，只需要证明BC=EF即可。
这个可以通过边与角关系进行计算和推理得到。
3.ASA判定法ASA判定法是指如果两个三角形的两个角分别相等，并且这两个角的夹边相等，则这两个三角形全等。
证明思路：设两个三角形ABC和DEF，已知∠BAC=∠EDF，AC=DF，∠ABC=∠DEF，要证明ΔABC≌ΔDEF。
通过ASA判定法可知，只需要证明AB=DE即可。
这个可以通过角与角关系进行计算和推理得到。
二、间接证明法间接证明法是指通过假设两个三角形不全等，然后推出与已知条件矛盾的结论，从而得出两个三角形全等的结论。
常用的间接证明法有以下几种：1.矛盾法假设三角形ABC和DEF不全等，然后通过对已知条件进行计算和推理，得出一个与已知条件矛盾的结论，进而推出两个三角形全等的结论。
2.割取法假设三角形ABC和DEF不全等，然后取一个边分别作其平行线或垂线，进而构造出等腰三角形或等边三角形，从而推出两个三角形全等的结论。
三、利用全等条件证明法利用全等条件证明法是指在已知两个三角形之间有一个或多个角、边、角边相等的关系时，可以根据全等条件推出两个三角形全等的结论。
全等三角形的证明方法
全等三角形的证明方法全等三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它在几何学中有着广泛的应用。
全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形，它们的对应边和对应角相等。
那么，如何证明两个三角形是全等的呢？下面将介绍几种常见的证明方法。
1. SSS全等定理。
SSS全等定理是指如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
证明方法很简单，只需分别比较两个三角形的三条边是否相等即可。
如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们就是全等的。
2. SAS全等定理。
SAS全等定理是指如果两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别相等，则这两个三角形是全等的。
证明方法也比较简单，首先比较两个三角形的一条边是否相等，然后再比较这条边对应的两个角是否相等。
如果满足这两个条件，那么这两个三角形就是全等的。
3. ASA全等定理。
ASA全等定理是指如果两个三角形的一条角和与其相邻的两条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
证明方法同样简单，首先比较两个三角形的一条角是否相等，然后再比较这个角对应的两条边是否相等。
如果满足这两个条件，那么这两个三角形就是全等的。
4. AAS全等定理。
AAS全等定理是指如果两个三角形的两条角和一条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
证明方法也很简单，首先比较两个三角形的两条角是否相等，然后再比较这两条角之间的一条边是否相等。
如果满足这两个条件，那么这两个三角形就是全等的。
总结起来，全等三角形的证明方法有SSS全等定理、SAS全等定理、ASA全等定理和AAS全等定理四种。
通过比较三角形的边和角是否相等，我们可以轻松地证明两个三角形是否全等。
在实际问题中，全等三角形的概念和证明方法经常被应用，因此掌握这些证明方法对于学习和理解几何学是非常重要的。
通过以上的介绍，相信大家对全等三角形的证明方法有了更清晰的认识。
希望大家能够在学习中多加练习，加深对全等三角形的理解，提高自己的数学水平。
同时，也希望大家能够在实际问题中灵活运用全等三角形的概念和证明方法，解决各种几何学问题。
三角形全等的证明
三角形全等的证明三角形的全等是指两个或多个三角形的所有对应元素（两边和夹角）都相等。
证明三角形全等的方法有很多种，其中包括使用SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）以及HL（斜边和对边的垂直高度）准则等。
以下将介绍四种常用的三角形全等证明方法。
1.使用SSS准则（边边边）证明三角形全等：SSS准则要求两个三角形的三条边长度相等。
即如果两个三角形的三条边长度分别相等，则这两个三角形全等。
证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE,BC=EF,AC=DF。
画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应边的长度。
然后根据已知条件，我们可以得出AB=DE,BC=EF,AC=DF。
由于三角形的边长相等，根据SSS准则，三角形ABC和三角形DEF全等。
2.使用SAS准则（边角边）证明三角形全等：SAS准则要求两个三角形的两边长度成比例，夹角大小相等。
即，如果两个三角形的两条边长度依次成比例，并且夹角大小相等，则这两个三角形全等。
证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF。
画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应边的长度，以及已知的夹角。
根据已知条件，我们可以得出AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF。
由于两个三角形之间存在一对边和夹角均相等的关系，根据SAS准则，三角形ABC和三角形DEF全等。
3.使用ASA准则（角边角）证明三角形全等：ASA准则要求两个三角形的两个角度大小相等，夹边长度相等。
即，如果两个三角形的两个角度大小依次相等，并且夹边长度相等，则这两个三角形全等。
证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF,AC=DF。
画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应角度和边长。
根据已知条件，我们可以得出∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF,AC=DF。
由于两个三角形之间存在一对边和夹角均相等的关系，根据ASA准则，三角形ABC和三角形DEF全等。
人教版八年级数学上《三角形全等的判定方法》课堂笔记
《三角形全等的判定方法》课堂笔记
一、知识点回顾
1.
三角形全等的定义：两个三角形能够完全重合，我们就说这两个三角形是全等的。
2.
三角形全等的五种判定方法：
1.边边边（SSS）判定
2.边角边（SAS）判定
3.角边角（ASA）判定
4.角角边（AAS）判定
5.直角边斜边（HL）判定
二、重点内容
1.理解每一种判定方法的条件：确保正确应用每一种判定方法，必须深入理
解其条件。
2.应用判定方法证明三角形全等：通过具体的例子，展示如何运用五种判定
方法证明三角形全等。
三、例题解析
1.例1：使用边边边（SSS）判定证明两个三角形全等。
2.例2：使用边角边（SAS）判定证明两个三角形全等。
3.例3：使用角边角（ASA）判定证明两个三角形全等。
4.例4：使用角角边（AAS）判定证明两个三角形全等。
5.例5：使用直角边斜边（HL）判定证明两个三角形全等。
四、练习巩固
1.练习1：给出两组条件，判断是否能够证明两个三角形全等，并说明理由。
2.练习2：根据给定的条件，使用适当的判定方法证明两个三角形全等。
3.练习3：给出多个三角形，选择其中两个，使用适当的判定方法证明它们
全等。
五、课堂小结
本节课主要学习了三角形全等的五种判定方法，通过讲解、示范和练习，大家基本掌握了这些知识。
希望同学们在今后的学习中，能够多加练习，提高解题能力。
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证明全等的五种方法
全等是几何中的一个重要概念，指的是两个图形在形状和大小上完全相同。
在证明两个图形全等时，通常可以使用以下五种方法：SAS、ASA、SSS、AAS和HL。
下面将分别介绍这五种方法的原理和应用。
1. SAS（边-角-边）
SAS是三角形全等的一个重要准则，它表示如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
具体地，如果在两个三角形ABC和DEF中，AB=DE，AC=DF，且∠BAC=∠EDF，则可以得出三角形ABC≌DEF。
这种方法常用于证明两个三角形全等的情况。
2. ASA（角-边-角）
ASA也是三角形全等的一个重要准则，它表示如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。
具体地，如果在两个三角形ABC和DEF中，∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，且BC=EF，则可以得出三角形ABC≌DEF。
这种方法常用于证明两个三角形全等的情况。
3. SSS（边-边-边）
SSS是三角形全等的一个重要准则，它表示如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
具体地，如果在两个三角形ABC和DEF中，AB=DE，BC=EF，且AC=DF，则可以得出三角
形A BC≌DEF。
这种方法常用于证明两个三角形全等的情况。
4. AAS（角-角-边）
AAS是三角形全等的一个重要准则，它表示如果两个三角形的两个角和非夹边的对边的夹角分别相等，则这两个三角形全等。
具体地，如果在两个三角形ABC和DEF中，∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，且BC=EF，则可以得出三角形ABC≌DEF。
这种方法常用于证明两个三角形全等的情况。
5. HL（斜边-斜边-直角边）
HL是直角三角形全等的一个重要准则，它表示如果两个直角三角形的一条斜边和直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。
具体地，如果在两个直角三角形ABC和DEF中，AB=DE，且∠BAC=∠EDF，则可以得出直角三角形ABC≌DEF。
这种方法常用于证明两个直角三角形全等的情况。
通过以上五种方法，可以证明两个图形全等的准则。
这些准则在几何证明中非常重要，可以帮助我们判断和证明图形的全等关系。
在实际问题中，我们可以根据已知条件，运用这些准则来解决各种几何问题，例如计算图形的面积、寻找图形的对称等。
总结起来，SAS、ASA、SSS、AAS和HL是五种常用的证明图形全等的方法。
通过这些方法，我们可以在几何证明中判断和证明图形的全等关系。
在实际问题中，我们可以根据已知条件，应用这些方
法来解决各种几何问题，从而深入理解和应用几何知识。