初三数学思维训练题
中考数学思维拓展选择题集
中考数学思维拓展选择题集1. 题目：一个等差数列的前n项和为S_n，已知S_n=n^2，求该数列的公差d和首项a。
2. 题目：已知一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(2)=7，求该函数的解析式。
3. 题目：在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(4,6)，求线段AB的中点坐标。
4. 题目：已知三角形ABC中，AB=AC，且AB^2+AC^2=BC^2，求证：三角形ABC是直角三角形。
5. 题目：已知一个正方体的边长为a，求它的表面积和体积。
6. 题目：若一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长为5，求该三角形的面积。
7. 题目：已知一个函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，求它的导数f'(x)。
8. 题目：在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(-1,4)，求线段AB的斜率。
9. 题目：已知一个圆的半径为5，求它的周长和面积。
10. 题目：若一个正方体的边长为a，求它的对角线长度。
11. 题目：已知一个等差数列的前n项和为S_n，已知S_n=n^2，求该数列的第n项。
12. 题目：已知一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(2)=7，求该函数的顶点坐标。
13. 题目：在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(4,6)，求线段AB 的长度。
14. 题目：已知三角形ABC中，AB=AC，且AB^2+AC^2=BC^2，求证：三角形ABC是等腰直角三角形。
15. 题目：已知一个正方体的边长为a，求它的对角线长度。
16. 题目：若一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长为5，求该三角形的周长。
17. 题目：已知一个函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，求它的导数f'(x)。
18. 题目：在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(-1,4)，求线段AB 的斜率。
19. 题目：已知一个圆的半径为5，求它的周长和面积。
20. 题目：若一个正方体的边长为a，求它的表面积和体积。
初中数学数学思维训练复习 题集附答案
初中数学数学思维训练复习题集附答案初中数学数学思维训练复习题集附答案这是一份初中数学数学思维训练复习题集，旨在帮助同学们巩固数学知识，提升数学思维能力。
以下是一系列练习题和对应的答案。
一、选择题1. 下列哪个数是素数？A. 20B. 27C. 31D. 42答案：C2. 若 a:b=3:8，b:c=5:2，则 a:c = ?A. 3:2B. 6:5C. 9:2D. 15:4答案：A3. 已知 (x-3)/2=5, 则 x = ?A. 4B. 8C. 13D. 18答案：C二、填空题1. 一辆公交车上共有____人。
答案：452. 一个长方形花坛长是4m，宽是3m，面积为____。
答案：12平方米3. 在一个等差数列中，公差为3，前三项的和为15，则第五项的值为____。
答案：11三、解答题1. 解方程：3x - 4 = 2x + 7。
解：将方程中的2x移到等号左边，得到3x - 2x = 7 + 4，化简得x = 11。
2. 甲、乙两人的年龄之比为3:5，甲的年龄比丙大5岁，乙的年龄比丙大10岁，求丙的年龄。
解：设甲的年龄为3x，乙的年龄为5x，则丙的年龄为5x - 10。
又知道甲的年龄比丙大5岁，得到3x = 5x - 10 + 5。
化简得到2x = 10，所以x = 5。
代入可知丙的年龄为5x - 10 = 25 - 10 = 15岁。
四、应用题一辆公共汽车上共有45人，其中男生和女生的比例为2:3。
求男生和女生分别有多少人。
解：设男生人数为2x，女生人数为3x。
根据题意得到2x + 3x = 45，化简得到5x = 45，所以x = 9。
代入得到男生人数为2x = 2 * 9 = 18人，女生人数为3x = 3 * 9 = 27人。
五、综合题甲、乙两人同时从相距180公里的A、B两地相向而行，甲的速度是乙速度的2倍，甲先出发，经过3小时两人相遇，请计算甲和乙的速度分别是多少。
解：设甲的速度为x，乙的速度为y。
初中数学思维训练题目集
初中数学思维训练题目集数学是一门需要思维的学科，它要求我们具备逻辑思维能力、分析问题的能力以及解决问题的能力。
为了提高学生的数学思维能力，训练题目是必不可少的。
下面是一些初中数学思维训练题目，希望能对同学们的数学思维能力有所帮助。
1. 小明有一些苹果，他分给小红一半后，还剩下8个。
如果小红再给小明一半，小红还能留下几个苹果？解析：设小明最初有x个苹果，根据题意，有x/2 - 8 = x/4。
整理得到x = 32，所以小红还能留下32/2 - 8 = 8个苹果。
2. 一辆车从A地到B地，速度为60km/h；从B地到A地，速度为80km/h。
两段路程相等，来回共用了10小时，求A地到B地的距离。
解析：设A地到B地的距离为x km，根据题意，有x/60 + x/80 = 10。
整理得到x = 240，所以A地到B地的距离为240 km。
3. 有一堆石头，共有100块。
小明和小红两人轮流取石头，每次可以取1块、2块或3块，取到最后一块石头的人获胜。
如果小明先取，问谁能保证获胜？解析：我们可以列出小明和小红两人的取石头的情况：小明：1，4，7，10，...小红：2，5，8，11，...可以观察到，小明每次取的石头数与小红每次取的石头数之和都是3。
由于总共有100块石头，所以小明可以保证在最后一轮将剩下的石头取完，从而获胜。
4. 小张在一张纸上画了一个正方形，然后在每个角上画了一个等边三角形，如图所示。
如果正方形的边长为x cm，求等边三角形的边长。
解析：设等边三角形的边长为y cm，根据题意，可以列出方程：x = y + y + y。
整理得到x = 3y，所以等边三角形的边长为x/3 cm。
5. 小明和小红一起做数学题，小明做了全题的1/4，小红做了全题的1/3，他们共做了几个题目？解析：设全题的题目数为x，根据题意，可以列出方程：x/4 + x/3 = x。
整理得到x = 12，所以他们共做了12个题目。
数学思维的升华初三数学上册综合算式练习题思维升华训练
数学思维的升华初三数学上册综合算式练习题思维升华训练数学思维的升华：初三数学上册综合算式练习题思维升华训练数学作为一门学科，对于学生的思维能力培养起着至关重要的作用。
在初中数学的学习中，综合算式练习题的思维升华尤为重要。
通过练习解决实际问题的算式，学生能够提高逻辑思维、分析问题的能力。
本文将结合初三数学上册的综合算式练习题，介绍数学思维的升华过程。
1. 选择题选择题在初中数学的学习中占有较大比重，它不仅考察了对知识点的掌握程度，更重要的是培养了学生的逻辑思维和分析问题的能力。
例如，下面的选择题：1. 若m=0.12，n=-0.18，则下列哪个数是整数？A. mnB. m+nC. m-nD. m/n对于这类选择题，我们不仅需要计算出结果，还需要分析计算过程中的正负关系。
通过反复训练和解析，学生能够逐渐培养出敏锐的逻辑思维和分析问题的能力。
2. 填空题填空题是练习数学运算能力和解决实际问题的有效方式。
通过填空题的练习，学生能够培养出准确计算、分析问题的习惯。
例如，下面的填空题：1. 一架飞机从某地起飞，按规定速度飞行4小时后抵达目的地，若途中处于巡航阶段，飞行速度是起飞和降落的2/3，且巡航时间是起飞和降落时间的1/3，则飞行的总时间是____小时。
通过填空题的练习，学生需要将已知条件进行分析，运用合适的数学概念和方法进行计算，最终得出准确的答案。
这样的训练能够锻炼学生的计算能力、问题解决能力和思维能力。
3. 解答题解答题是数学思维升华的重要环节，它要求学生能够独立分析问题、提出解决方法，并用逻辑严谨的文字表达出来。
例如，下面的解答题：1. 一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，行驶了2小时后，减速20%，以后每小时行驶多少公里才能使总行程所用时间相同？在解答这样的问题时，学生需要先分析问题的关键点，列出已知和需要求解的量，然后运用相关知识和方法进行计算和推理，最后给出详细的解答过程和答案。
这种解答题的训练能够提高学生的问题解决能力、逻辑思维能力和文字表达能力。
初中数学思维训练题目
初中数学思维训练题目数学是一门需要思维的学科，通过解题可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在初中数学学习中，思维训练题目是非常重要的一部分。
下面我将为大家介绍一些初中数学思维训练题目，希望能够帮助大家提升数学思维能力。
一、逻辑思维题1. 在一条直线上，有三个点A、B、C。
已知AB的长度是2，BC的长度是3，问AC的长度是多少？解析：根据直线上的三点共线的性质，可以得知AC的长度等于AB和BC长度的和，即AC=AB+BC=2+3=5。
2. 有两个相同的容器，容器A中装满了水，容器B中只有一半的水。
现在需要将容器A中的水倒入容器B，使得容器B中的水正好装满。
问应该倒入容器B的水量是容器A中的多少？解析：由题意可知，容器B中只有容器A水量的一半，所以应该将容器A中的一半水倒入容器B，即容器A的水量的一半。
二、推理思维题1. 有一张长方形的纸片，将纸片的一角剪掉后，剩下的形状是什么？解析：纸片的形状是长方形，将一角剪掉后，剩下的形状仍然是长方形。
2. 有两个容器，一个容器中装满了水，另一个容器是空的。
现在需要将容器A中的水倒入容器B，但是只能使用一个空杯子。
请问如何操作才能将水倒入容器B？解析：可以借助空杯子，将容器A中的水先倒入空杯子，然后再将空杯子中的水倒入容器B。
三、创新思维题1. 有一条长为10米的绳子，需要将它分成两段，其中一段的长度是另一段的2倍。
请问应该如何分割绳子？解析：假设绳子的一段长度为x米，则另一段的长度为2x米。
根据题意，x+2x=10，即3x=10，解得x=10/3。
所以应该将绳子分成长度为10/3米和20/3米的两段。
2. 有一堆石头，其中有一块石头比其他的石头更重。
现在只有一个天平，可以使用三次称重的机会。
请问如何找出那块更重的石头？解析：首先将石头分成三堆，分别取两堆放在天平的两边进行第一次称重。
如果天平平衡，说明那块更重的石头在第三堆中；如果天平不平衡，说明那块更重的石头在较重的一边。
思维图形练习题初三
思维图形练习题初三思维图形练习题是初中数学教学中常见的一种题型，通过此类题目的训练能够提升学生的逻辑思维和空间想象能力，并且在解决实际问题时具有重要的应用价值。
本文将介绍一些常见的思维图形练习题，帮助初三学生更好地应对这类题目。
一、植树排列题要求：某学校的操场有36棵树，树被分成了A、B两组，每组树的排列形式如下图所示。
请你画出C组树的排列方式。
解题思路：通过观察A、B两组树的排列形式，我们可以发现每组树的排列都分成了3行12列的形式。
所以，C组树的排列也应该是这样的形式。
我们只需要在A、B两组树的排列下方再画出3行12列的格子，然后填入36棵树即可。
具体排列方式如下：（在这里插入画图）通过上述排列，我们就得到了C组树的排列方式。
二、颜色填充题要求：下图是一个由几个正方形组成的图形，请你将所有的正方形涂成两种颜色：红色和蓝色，使得每个正方形都与相邻的正方形不同色。
每个正方形只能涂成红色或者蓝色，不能出现其他颜色。
解题思路：对于这类题目，我们可以通过逐个正方形进行填充的方式来解决。
首先，我们可以任意选取一个正方形，填充为红色或蓝色。
然后，我们需要根据已填充的正方形来确定相邻的正方形的颜色。
具体步骤如下：1. 选取一个正方形，填充为红色（记为R）。
2. 根据已填充的正方形，确定相邻的正方形的颜色。
如果相邻正方形的颜色是蓝色，则将该正方形涂成红色；如果相邻正方形的颜色是红色，则将该正方形涂成蓝色。
3. 重复步骤2，直到所有的正方形都填充颜色为止。
通过上述步骤，我们可以逐个填充正方形，并保证每个正方形都与相邻的正方形不同色。
三、面积计算题要求：下图是一个由长方形和三个正方形组成的图形，请你计算整个图形的面积。
解题思路：对于这类题目，我们需要计算各个部分的面积，并将它们相加得到最终的面积。
具体步骤如下：1. 长方形的面积 = 长 ×宽，根据图中标注，长方形的长为10，宽为4，所以长方形的面积为40。
数学思维初三数学上册综合算式思维拓展练习题
数学思维初三数学上册综合算式思维拓展练习题数学思维是对于数学问题的理解、分析和解决的能力，是数学学习的核心。
在初三数学上册中，综合算式思维是一项重要的能力培养内容。
通过拓展练习题的训练，能够提高学生的数学思维能力，同时加深对于综合算式的理解。
本文将探讨初三数学上册综合算式思维拓展练习题的相关内容。
一、拓展思维题目1. 已知一根长为3米的绳子，需要用这根绳子将一个长方形包裹起来，长方形的长为5米，宽为2米。
假设绳子不能重叠，也不能短了，那么还需要多长的绳子？2. 有一堆苹果，其中三分之一是红苹果，四分之一是绿苹果，余下的是黄苹果。
如果红苹果的数量比绿苹果多两个，而黄苹果的数量是红苹果和绿苹果数量总和的两倍，那么一共有多少个苹果？3. 小明和小红分别有一些糖果，如果小明给小红5颗糖，她们两个人的糖果数量相等。
如果小红给小明5颗糖，小明就比小红多5颗糖。
那么小明和小红各自有多少颗糖？二、解题思路与方法1. 针对第一题，我们可以先计算长方形的周长，再用长方形的周长减去绳子的长，即可得到还需要多长的绳子。
长方形的周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (5 + 2) = 14 米还需要的绳子长度 = 长方形的周长 - 绳子的长度 = 14 - 3 = 11 米因此，还需要11米的绳子。
2. 针对第二题，我们可以设绿苹果的数量为 x，则红苹果的数量为x + 2，黄苹果的数量为 x + (x + 2) = 2x + 2。
所以，绿苹果的数量为总苹果数量的 1/4，即 x = (1/4) ×总苹果数量红苹果的数量为总苹果数量的 1/3，即 x + 2 = (1/3) ×总苹果数量黄苹果的数量为总苹果数量的 1/2，即 2x + 2 = (1/2) ×总苹果数量将上述三个等式联立求解，可以得到总苹果数量。
3. 针对第三题，设小明有 x 颗糖，小红有 y 颗糖。
2024中考数学复习—思维训练题(含参考答案)
中考复习—思维训练题一．试题（共17题）1．已知a ，b 是方程2350x x −−=的两根，则代数式3222671a a b b −+++的值是( ) A ．25−B ．24−C ．35D ．362．已知方程2230x x +−=的解是11x =，23x =−，则给出另一个方程2(23)2(23)30x x +++−=，它的解是( ) A ．1−或3B ．1或3C ．1−或3−D ．1或3−3．平面直角坐标系中，函数0)y x =<与4y x =+的图象交于点(,)P a b ，则代数式11a b−的值是( )A ．BC ．D 4．著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程2324x x x−=−的根的情况是( ) A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根5．华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程2124x x x+=−+的根的情况是( ) A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根6．判断方程3|2|2x x =−−的根的情况是( ) A ．有四个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan15︒时，如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得15D ∠=︒，所以tan152AC CD ︒====−tan 22.5︒的值为( )A1+ BC1− D ．128．已知1x 、2x 、3x 为方程323940x x x +−−=的三个实数根，则下列结论一定正确的是( )A ．1230x x x <B ．1230x x x +−>C ．1230x x x −−>D ．1230x x x ++<9．如图是一些有规律的图案，它们由一些线段组成．图1中有3条线段，图2中有7条线段，图3中有15条线段，⋯，以此类推，第6个图中有( )条线段．A ．63B ．65C ．127D ．25510．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有(1)n n >个点，每个图形总共的点数是S ，当8n =时，S 的值是( )A ．18B ．21C ．24D ．2711．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，⋯；若用n a 表示图n 的弹珠数，其中1n =，2，3，⋯，则12320231111(a a a a +++⋯+= )A ．40442023B ．40422023C ．20211011D ．2023101212．关于x 的方程(2)(3)x x m −−=有两个不相等的实数根1x ，212()x x x <，则下列结论一定正确的是( )A ．14m >−B ．12522x x += C ．当0m >时，1223x x <<< D ．当0m >时，1223x x <<<13．已知2x =−，代数式244x x ++的值为 ．14．若x =3231x x x +++的值为 ． 15．已知实数a ，b 满足2222(21)(21)80a b a b +++−=，试求222a b +的值． 解：设222a b m +=．原方程可化为(1)(1)80m m +−=，即281m =，解得9m =±． 2220a b +，2229a b ∴+=．上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题．已知实数x ，y 满足2222(221)()3x y x y +−+=，则22332x y +−的值为 ． 16．若21m n +=，则2366m mn n ++的值为 ．17．当代数式235x x ++的值为7时，代数式23911x x +−的值为 ．思维片2024参考答案与试题解析一．试题（共17题）1．已知a ，b 是方程2350x x −−=的两根，则代数式3222671a a b b −+++的值是( ) A ．25−B ．24−C ．35D ．36【解答】解：a ，b 是方程2350x x −−=的两根， 2350a a ∴−−=，2350b b −−=，3a b +=, 235a a ∴−=，235b b =+， 3222671a a b b ∴−+++22(3)3571a a a b b =−++++ 10106a b =++10()6a b =++ 1036=⨯+ 36=．故选：D ．2．已知方程2230x x +−=的解是11x =，23x =−，则给出另一个方程2(23)2(23)30x x +++−=，它的解是( ) A ．1−或3B ．1或3C ．1−或3−D ．1或3−【解答】解：方程2230x x +−=的解是11x =，23x =−， ∴方程2(23)2(23)30x x +++−=，231x +=，233x +=−， 22x =−，26x =−，11x =−，23x =−，故选：C ．3．平面直角坐标系中，函数(0)y x x =<与4y x =+的图象交于点(,)P a b ，则代数式11a b−的值是( )A ．B ．3C ．3D ．3【解答】解：把点(,)P a b 分别代入0)y x x=−<与4y x =+中，得b =，4b a =+，即ab =，4b a −=，∴11b a a b ab −−===故选：A ．4．著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程2324x x x−=−的根的情况是( ) A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根【解答】解：画出函数3y x=和函数242y x x =−+的图象如图，观察图象，函数3y x=和函数242y x x =−+的图象有一个交点， 所以，方程2324x x x−=−有一个实数根， 故选：C ．5．华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程2124x x x+=−+的根的情况是( ) A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根【解答】解：方程变形为2142x x x=−+−， ∴21(2)2x x=−−+，把解方程理解为求反比例函数1y x=图象与抛物线2(2)2y x =−−+的交点的横坐标， 反比例函数图象分布在第一、三象限，在第一象限，抛物线的顶点(2,2)在反比例函数图象上方，且抛物线的开口向下，如图， ∴反比例函数1y x=图象与抛物线2(2)2y x =−−+有3个交点， ∴原方程有3个实数解．故选：A ．6．判断方程3|2|2x x =−−的根的情况是( ) A ．有四个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根【解答】解：3|2|2x x =−−， 20x ∴−>，2(2)3x ∴−=，2x ∴−，解得2x =，经检验，2x =+是原方程的解． 故方程3|2|2x x =−−的根的情况是有一个实数根．故选：C ．7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan15︒时，如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得15D ∠=︒，所以tan152AC CD ︒====−tan 22.5︒的值为( )A 1+BC 1−D ．12【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45ABC ∠=︒，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得22.5D ∠=︒，设1AC BC ==，则AB BD ==，tan 22.51AC CD ∴︒===， 故选：C ．8．已知1x 、2x 、3x 为方程323940x x x +−−=的三个实数根，则下列结论一定正确的是( )A ．1230x x x <B ．1230x x x +−>C ．1230x x x −−>D ．1230x x x ++<【解答】解：323940x x x +−−=，当0x =时，40−≠， 24390x x x∴+−−=， 1x ∴、2x 、3x 可以看作是抛物线239y x x =+−与反比例函数4y x=的三个交点的横坐标，由函数图象可知1230x x x>，1230x x x++<，根据已知条件无法判定1230x x x+−>，1230x x x−−>，故选：D．9．如图是一些有规律的图案，它们由一些线段组成．图1中有3条线段，图2中有7条线段，图3中有15条线段，⋯，以此类推，第6个图中有()条线段．A．63B．65C．127D．255【解答】解：由图可知，图1中有3条线段，图2中有7条线段，734=+，图3中有15条线段：15724=+⨯，图4中有31条线段：311544=+⨯，图5中有63条线段：633184=+⨯，则第6个图中有线段：63164127+⨯=（条)，故选：C．10．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有(1)n n>个点，每个图形总共的点数是S，当8n=时，S的值是()A ．18B ．21C ．24D ．27【解答】解：根据题意分析可得： 2n =时，3S =， 3n =时，6S =， 4n =时，9S =， 5n =时，12S =，..．此后，n 每增加1，S 就增加3个． 故当8n =时，(81)321S =−⨯=． 故选：B ．11．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠；图2有3颗弹珠；图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，⋯；若用n a 表示图n 的弹珠数，其中1n =，2，3，⋯，则12320231111(a a a a +++⋯+= )A ．40442023B ．40422023C ．20211011D ．20231012【解答】解：当1n =时，11212a ⨯==， 当2n =时，22(12)231222a +⨯=+==， 当3n =时，33(13)3412322a +⨯=++==， 当4n =时，44(14)45123422a +⨯=+++==， ⋯当2023n =时：20232023(12023)202320241234202322a +⨯=+++++==； 12320231111a a a a +++⋅⋅⋅+222221223344520232024=+++++⨯⨯⨯⨯⨯111112()1223344520232024=+++++⨯⨯⨯⨯⨯1111111112(1)223344520232024=−+−+−+−++− 12(1)2024=− 20231012=； 故选：D ．12．关于x 的方程(2)(3)x x m −−=有两个不相等的实数根1x ，212()x x x <，则下列结论一定正确的是( ) A ．14m >−B ．12522x x += C ．当0m >时，1223x x <<< D ．当0m >时，1223x x <<<【解答】解：由(2)(3)x x m −−=得2560x x m −+−=， 1x ∴，2x 为2560x x m −+−=的两个不相等的实数根， ∴△2(5)4(6)0m =−−−>，解得14m >−，选项A 正确；抛物线256y x x m =−+−的对称轴为直线5522x −=−=， ∴12522x x +=，选项B 正确； 当0m >时，抛物线(2)(3)y x x =−−与直线y m =交点在x 轴上方， 抛物线开口向上，1212x x ∴<<<，选项D 正确．故选：ABD ．13．已知2x =−，代数式244x x ++的值为 3 ． 【解答】解：原式2(2)x =+．当2x =−时，原式222)3=−+=， 故答案为3．14．若12x =，则代数式3231x x x +++的值为 3 ． 【解答】解：322231(1)1x x x x x x +++=+++，当x =原式2211213=++==+=． 故答案为：3．15．已知实数a ，b 满足2222(21)(21)80a b a b +++−=，试求222a b +的值．解：设222a b m +=．原方程可化为(1)(1)80m m +−=，即281m =，解得9m =±．2220a b +，2229a b ∴+=．上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题．已知实数x ，y 满足2222(221)()3x y x y +−+=，则22332x y +−的值为52． 【解答】解：设22x y m +=，原方程可化为(21)3m m −=，即2230m m −−=，解得11m =−，232m =， 220x y +， ∴2232x y +=， 22332x y ∴+−3322=⨯− 52=， 故答案为：52．16．若21m n +=，则2366m mn n ++的值为 3 ．【解答】解：21m n +=，2366m mn n ∴++3(2)6m m n n =++316m n =⨯+36m n =+3(2)m n =+31=⨯3=,故答案为：3．17．当代数式235x x ++的值为7时，代数式23911x x +−的值为 5− ．【解答】解：由题意得，2357x x ++=， 232x x ∴+=，23911x x ∴+−23(3)11x x =+−3211=⨯−611=−5=−，故答案为：5−．。
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初中数学思维训练
一、平面图形的运动
1、平移
2、翻折
3、旋转
二、分类讨论
三、新题型
四、函数解析式的确定
1、已知函数解析式的确定——待定系数法——关键是求点的坐标（几何法、解析法综合运用）
2、未知函数解析式的确定——列方程（直接法、间接法、参数法）利用面积、勾股定理、平行线截得比例线段、相似性（全等）等方法找到等量关系——求函数定义域（解析式法、极限法）
五、探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，运用数学数形结合的思想，化动为静、化繁为简的转化思想，分类讨论的思想，用几何和代数的方法求出x的值。
P
D
A
B
C
M
N
E
初三数学思维训练题（一）
一、平移
1. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝4cm ，点D 是斜边AB 上的中点，把△ADC 沿着AB 方
向平移1cm 得△EFP ，EP 与FP 分别交边BC 于点H 和点G ，则GH ＝ cm ． 2. 如图，在△ACB 中，∠CAB=90°,AC=AB ＝3,将△ABC 沿直线BC 平移，顶点A 、C 、B 平移后分
别记为A 1、C 1、B 1，若△ACB 与△A 1C 1B 1重合部分的面积2，则CB 1= .
3. 如图，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为(1,0)、
(4,0)，将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线26y x =-上时，线段BC 扫过的面积
为 cm 2 ．
二、翻折
4. 如图所示，将边长为2的正方形纸片折叠，折痕为EF ，顶点A 恰好落在CD 边上的中点P 处，
B 点落在点Q 处，PQ 与CF 交于点
G . 设C 1为△PCG 的周长，C 2为△PDE 的周长，则C 1 :C 2 = .
5. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，3
cot 4
A =
，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，且∠EDC=∠A ，将△ABC 沿DE 对折，若点C 恰好落在边AB 上，则DE 的长为 .
6. 如图，在ABC ∆中，MN ∥AC ，直线MN 将ABC ∆分割成面积相等的两部分.将BMN ∆沿直线
MN 翻折，点B 恰好落在点E 处，联结AE ，若AE ∥CN ，则:AE NC = .
H G
A B
C
P A
C B
E
B
C
三、旋转
7. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，
点O 在AB 上，且6CA CO ==，1
cos 3
CAB ∠=，若将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到Rt △AB’C’，且C’落在CO 的延长线上，联结'BB 交CO 的延长线于点F ，则BF = .
8. 如图，在ABC ∆中，90C ∠=，10AB =，3
tan 4
B =
，点M 是AB 边的中点，将ABC ∆绕着点M 旋转，使点C 与点A 重合，点A 与点D 重合，点B 与点E 重合，得到DEA ∆，且AE 交CB 于点P ，那么线段CP 的长是 ．
9. 如图，将△ABC 绕顶点C 旋转至△DEC 位置，使顶点D 恰好落在边AB 上，已知AC=3，BC=4，
︒=∠90ACB ，则=∠BED cot _______________．
四、分类讨论
10. 已知等腰三角形的周长为20，一个内角的余弦值为
2
3
，那么这个等腰三角形的腰长等于 ．
11. 抛物线23y ax bx =++的顶点在坐标轴上，则a = ．
12. 在△ABC 中，5AB =，4AC =，3BC =，D 是边AB 上的一点，E 是边AC 上的一点（D 、E
与端点不重合），如果△CDE 与△ABC 相似，那么CE =
五、新题型
13. 若等腰三角形的顶角为θ，则定义m
sad n
θ=
，其中m 、n 分别表示这个等腰三角形的底边长和腰长，请根据定义推算： ① 若已知锐角θ满足4
tan 3
θ=
，则sad θ= ； ②36sad ︒= ． 14. 下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n 个图案中白色
正方形的个数为___________．
C A
B
O
F 'C '
B E
D
C
B
A
…… 第n 个
15. 现规定一种新的运算“*”：b a b a *=，如23239*==，则
1
32
*＝（ ） （A ） 18 （B ） 8 （C ） 16 （D ） 3
2
初三数学思维训练题（二）
一、函数型综合题
１．已知抛物线2
3y ax bx =++与x 的交点为A （1,0）、B （3,0），与y 轴交于点C. （1）求出抛物线的解析式及顶点P 的坐标；
（2）若点M 在抛物线的对称轴上，且∠AMP=∠ACB ，求点M 的坐标；
（3）若点G 在线段OC 上，且OG=2CG ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E ，点F 为射线AG 上一点，且△ABF 与△AEG 相似，求出点F 的坐标；
（4）设点Q 是抛物线上的一个动点，当点Q 在第四象限时，△ACQ 的面积为15
8
，求点Q 的坐标.
二、几何型综合题
1、已知：点A 、B 都在半径为9的圆O 上，P 是射线OA 上一点，以PB 为半径的圆P 与圆O 相交的另一个交点为C ，直线OB 与圆P 相交的另一个交点为D ，2cos 3
AOB ∠=． （1）求：公共弦BC 的长度；
（2）如图，当点D 在线段OB 的延长线上时，设AP=x ，BD=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果直线PD 与射线CB 相交于点E ，且△BDE 与△BPE 相似，求线段AP 的长．
O
A
P
B C
D
（第（2）小题图）
H
参考答案：
初三数学思维训练题（一）
(1)2
3; (2) 或 ; (3) 16; (4) 4:3; (5) 12548; (6) 1 ; (7) 14; (8)
74; (9) 724; (10) 6 或； (11) 3或7 或-1； (12) 2或3625或258
；
(13)
(14) )5n+3 ； (15) A. 初三数学思维训练题（二） 一、函数型综合题
（1）2
43y x x =-+；2
(2)1y x =--；顶点P （2，-1）； （2）M 1（2,2）M 2（2，-2）；（3）（-1,4）或34
(,)55 ；（4）53(,)24
-
二、几何型综合题
（1）BC =（2）y 关于x 的函数解析式为463y x =
-,定义域为9
2
x >．（3）线段AP 的长为9
29
2
．
---精心整理，希望对您有所帮助。