数学建模-价格模型

dp k[ D ( p ) S ( p )], dt
其中为 k 0 为比例常数.
(1)
解题过程
第三步： 将 D( p), S ( p) 的表达式代入（1）式得
dp k[(c a) (b d ) p] dt * ( p p),
其中 (b d )k 0 .
（2）
解题过程
将（2）式化为
dp p p * , dt
这是一个一阶线性微分方程，由通解公式得
p(t ) e
p*e dt dt C p* Cet . （3）
dt
解题过程
第四步： 若假设初始价格为 p(0) p0 ，代入（3）式 C p0 p* ，因此有 得
* 0
p* p0 时，最优价格为 p* . 当
max{ p* , p 0 } 综上所述,有最优价格＝
进一步的问题
进一步的说明： 当单位商品的生产成本小于均衡价格时， 即 0 q p* 时，最大利润大于零，
这是因为 U ( p* ) S ( p* )( p* q) 0 .
Q（产量） 需求曲线 供给曲线
O
p*
p （价格）
解题过程
第二步： 因为当供给量与需求量相等时，两条曲线的交点恰 p* ，称为均衡价格，由 好为供求平衡时的价格 D( p) S ( p) 得：
.
ca p bd
*
解题过程
第二步： 通常当某种商品供不应求时，即 S ( p) D( p) 时， 商品的价格要上涨； 而当供过于求时，即 S ( p) D( p) 时，商品的价格 要下跌.因此可以认为 t 时刻价格 p(t ) 的变化率与 超额需求量 D( p) S ( p) 成正比，即
(6)
解题过程
第七步： 由于商品要不脱销，所以生产量S ( p ) 应不小于销售 量 D ( p ) ，即 S ( p) D( p) ，由此得出
ca p p , bd
*
即商品销售价格应不小于均衡价格.故商品最优价 [ p* ,) 上的最 格问题转化为求函数 U ( p ) 在区间 大值点.
解题过程
第八步： 函数 U ( p ) 的图像如下图：
U（利润）
O
p0 p *
p（价格）
解题过程
函数的驻点为
c bq r (b d ) p . 2d
0
又由
d 2U 2d 0, 2 dp
p 0 是函数 U ( p ) 的极大值点. 从而
解题过程
p0 ； 由图像可知：当 p p 时，最优价格为
相关知识点
1.微分方程的几何应用和简单物理应用
2.一阶线性微分方程知识点
3.函数的极值
解题方法
建立价格变化的微分方程模型，得一个一阶线 性微分方程，用通解公式法求解.
解题过程
第一步：
由经济学原理知，商品供给量 S ( p ) 是价格的单调 递增函数，而市场需求量 D ( p )是价格P 的单调递 减函数.其曲线如下图所示：
I D( p ) p
C S ( p)q r[S ( p) D( p)]
(4) (5)
解题过程
第六步： 由（4）、（5）式容易得出销售总利润
U ( p) I C D( p) p S ( p)q r[ S ( p) D( p)] (c dp) p (a bp)q r[(a c) (b d ) p] dp 2 [c bp r (b d )] p r (c a) aq.
p(t ) p* ( p0 p* )et .
由 0 可知， p(t ) p* ，这说明随着时间的不 当 t 时， 断延续，市场价格将逐渐趋近于均衡价格.
Fra Baidu bibliotek
解题过程
第五步：
设总销售收入为 I ，总成本为 C0 当商品不脱销时， 可以认为商品的市场需求量即为该商品的销售量， 商品的市场供给量即为该商品的生产量.故该商品 S ( p) D. p由简单的经济学理论知识可 ( ) 库存量 知：
价格模型
设某商品在时刻的销售价格为 p(t ) ，工厂生产和存 放单位该商品的成本分别为 q 和 r ，市场对该商品 的需求量和它对市场的供给量分别为
、 ，其中 a, b, c, d 均为正常数.
D( p) c dp
S ( p) a bp
试确定该商品的价格模型（函数）； 为了使销售商品的利润最大，试确定该商品的最优 价格.