郑州大学物理工程学院_量子力学试题(2008年)含答案

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大学理论物理试题及答案

大学理论物理试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个选项是正确的相对论效应？A. 时间膨胀B. 长度收缩C. 质量增加D. 所有以上答案：D2. 量子力学中的波函数ψ(x, t)代表的是：A. 粒子在x处的概率密度B. 粒子在x处的概率C. 粒子在x处的动能D. 粒子在x处的动量答案：A3. 根据热力学第二定律，以下哪个过程是不可能发生的？A. 自然界中热量自发地从低温物体传向高温物体B. 气体自发地从高压区域流向低压区域C. 封闭系统中熵值自发增加D. 气体自发地从低压区域流向高压区域答案：A4. 以下哪个选项是电磁波的属性？A. 需要介质传播B. 具有波粒二象性C. 传播速度恒定不变D. 只能在真空中传播答案：B5. 根据狭义相对论，以下哪个量是洛伦兹不变的？A. 长度B. 时间C. 质量D. 速度答案：C二、填空题（每题5分，共30分）6. 麦克斯韦方程组中描述电磁感应的方程是________。

答案：法拉第电磁感应定律7. 根据德布罗意假说，物质波的波长λ与动量p的关系是λ=________。

答案：h/p8. 根据相对论，光速在任何参考系中都是不变的，其值为________。

答案：c=3×10^8 m/s9. 根据玻尔模型，氢原子的能级公式为E_n=________。

答案：-13.6 eV/n^210. 根据热力学第一定律，系统的内能变化ΔU等于________。

答案：Q-W11. 根据薛定谔方程，一维无限深势阱中粒子的波函数为ψ(x)=________。

答案：√(2/L)sin(nπx/L)12. 在经典电磁理论中，电场E和磁场B的关系可以通过________来描述。

答案：麦克斯韦方程组三、简答题（每题10分，共40分）13. 简述海森堡不确定性原理的内容及其物理意义。

答案：海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量，其数学表达式为Δx·Δp≥ħ/2。

量子力学_参考答案

2
∫ x cos axdx = a
2
cos ax +
x sin ax a
(7 x cos axdx =
∫
2x x2 2 cos ax + ( − ) sin ax ) a a3 a2 x c ax 2 + c + ln( a x + ax 2 + c ) 2 2 a
(a > 0)
(8)
∫
ax 2 + c dx = x c −a ax 2 + c + arcsin( x) 2 c 2 −a
在边界上，波函数应满足连续性条件，即
ψ ( x) x = − a / 2 = 0 ψ ( x) x = + a / 2 = 0
将通解代入有
− A sin
ka ka + B cos = 0 2 2 ka ka A sin + B cos = 0 2 2
由此可得
ka =0 2 ka B cos = 0 2 A sin
n = 1,3,5,L n = 2,4,6,L
mπ ⎧ ⎪ B cos b x, Ym ( y ) = ⎨ mπ ⎪ B′ sin x, b ⎩ lπ ⎧ ⎪ C cos c x, Z l ( x) = ⎨ lπ ⎪C ′ sin x, c ⎩
由波函数的连续性可知在边界上
X (− a / 2) = X (a / 2) = 0 Y (−b / 2) = Y (b / 2) = 0 Z (−c / 2) = Z (c / 2) = 0
由方程和边界条件可得
nπ ⎧ ⎪ A cos a x, X n ( x) = ⎨ nπ ⎪ A′ sin x, a ⎩
7

理工大学物理工程学院电子科学与技术专业量子力学期末考试试卷及答案

、如果原子本身处于激发态，在没有外界光照时，也可能跃迁到某些较低能级而放出光来，（B）自发和受激吸收（C）光的吸收是可观测量，应为实数，表示力学量的算符必须是ˆx p μω+ˆx p μω-1=- （2）,a a a +⎡⎤⎣⎦,a a a a +++⎤=⎦（3）ˆH 、2题各15分，第3、,要求有具体计算步骤）的矩阵为： ⎤⎥理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称—量子力学—— （ A 卷） | 一、选择题（每题3分，共15分）装 1.B 2.C 3. A 4.D 5.B | 二、填空题 (每空2分，共20分）1. 单值的，平方可积的2. 线性算符，厄米算符3. 平均值几率分布4. 4 200ψ，211ψ，210ψ，211ψ-5. 平均场积三、证明题（共15分）证明：（1）[][]ˆˆˆˆ,,21111ˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,2222ˆˆˆˆ,,122a a x p x p i i i x x x p p x p pi i x p p x μωμωμωμωμωμωμωμωμωμω+⎡⎤⎫⎛⎫⎡⎤=-+⎥⎪ ⎪⎣⎦⎪ ⎪⎥⎭⎝⎭⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎤=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-=- 其中利益[]ˆˆ,xp i = （6分）（2）[],,,a a a aa a a a a a +++⎡⎤⎡⎤=+=-⎣⎦⎣⎦ ,,,a a a a a a a a a a +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （4分）（3）可以求得：()ˆxa a +=+ ()ˆpa a +=-系统Hamilton 为()()()()22222ˆ1111ˆˆ2222211121222p H x a a a a a a aa a a a a μωωμωωω++++++⎡⎤=+=--++⎢⎥⎣⎦⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭（5分）四计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分，要求有具体计算步骤）1、解:(1)一维无限深势阱的本征态波函数是()n n xx aπψ=（2分）利用三角函数积化和、差，将()x ψ改写 ()2cos x xx a a ππψ=21cosx x a a ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ 22sin 2sin cos x x x a a aπππ⎤=+⎥⎦3sin sin x x a a ππ⎤=+⎥⎦ 3x x a a ππ⎤=⎥⎦()()13x x ψψ=+⎤⎦ （4分）()x ψ是非本征态，它可以有二种本征态，部分处在()1xx aπψ=出现几率为12，能量为22122E ma π=部分处在()33x x a πψ=，出现几率为12，能量为223292E ma π= （2分） (2)处于这种状态下粒子的能量平均值22132115222E E E ma π=+= （3分）（3）粒子随时间变化的波函数为 ()222292223,sin 2n i i iE tt t ma ma nnx x x t C ee e a a ππππψψ---⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎪⎪⎭⎭∑ （4分） 2、解：（1）在z σ表象中，0110x σ⎛⎫=⎪⎝⎭ 00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（3分）cos sin sin cos i x x y y z z i e n n n n eϕϕθθσσσσθθ-⎛⎫=++= ⎪-⎝⎭，其本征方程为cos sin cos sin 0sin cos sin cos i i i i a a a e e b b b ee ϕϕϕϕθθθλθλθθθθλ--⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 有非零解的条件为cos sin 01sin cos i i e eϕϕθλθλθθλ--=⇒=±-- （4分）当1λ=时，对应的本征态为()()1cos /2sin /2i e ϕθψθ-⎛⎫=⎪⎝⎭ 当1λ=-时，对应的本征态为()()2sin /2cos /2i e ϕθψθ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （2分）（2）在ˆz s本征态1/2χ下，n σ的可能测值为1± 故n σ的可能测值为1+的几率为()()()()22211/21cos /2,sin /2cos /20i e ϕψχθθθ⎛⎫== ⎪⎝⎭（3分）故n σ的可能测值为1-的几率为()()()()22221/21sin /2,cos /2sin /20i e ϕψχθθθ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（3分）3、解：微扰算符的的矩阵是'''111213'''212223'''31323300'000H H H b H H H H a H H H ba **⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （1）根据无简并微扰论，一级能量修正量是： kk H从（1）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量0)0(3)0(2)0(1===E E E （2分）又二级能量公式是： 2'(2)(0)(0)nkkn k nn kH E E E ≠=-∑（2分）所需的矩阵元'nk H 已经直接由式（1）表示出，毋需再加计算，因而有：2222'''12131(2)1(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)1121313n nnH H H b E EEEEE E E E ==+=----∑（2分） 2222'''21232(2)2(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)2312123n nnH H H a E E E E E E E E E ==+=----∑（2分） 22222'''32313(2)3(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)332313132n nnH H Hb a E EEEEE E E E E E ==+=+-----∑（2分） 4．解：（1）利用21ˆˆ2q H P A q c φμ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得系统的哈密顿量为 222222211ˆˆˆˆˆ221ˆˆˆ2x x y y zz x y z q q q q H P A q P A P A P A q y c c c c q P By P P q yc φεμμεμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（4分）（2）证明：2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222x x y z x x x y x z x x q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222z x y z z x z y z z z z q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ˆx P 的本征函数为()/x x ip x P x e ψπ=，本征值为x p -∞<<∞ ˆz P 的本征函数为()/z zip z P x e ψπ=，本征值为z p -∞<<∞ （4分）（3）选守恒量完全集为()ˆˆˆ,,x zH P P （2分）。

郑州大学2008级

郑州大学2008级热力学统计物理学课程试题A 卷合分人：复查人：一、选择题：（每题1分，共15分）分数评卷人 1．论证平衡状态状态函数温度存在的依据是： ( )(A) 热力学第一定律 (B) 热力学第二定律(C) 热力学第零定律 (D) 热力学第三定律2．关于物态方程下列说法不正确的是： ( )(A) 物态方程仅仅描述平衡状态参量间的关系(B) 物态方程可以描述任意状态参量之间的关系(C) 热力学理论不可以推导出物态方程(D) 统计力学可以推导出物态方程3．热力学中对功的说法正确的是： ( )(A) 外界对系统所做的功都可以用体系的状态参量表示(B) 热力学中做功与过程无关(C) 热力学中做功与过程有关(D) 热力学中功的定义与力学上不同4．根据热力学第一定律可以断定： ( )(A) 第一类用动机能够造出来 (B) 第二类用动机造不出来(C) 人不可以不吃饭维持正常生命活动 (D) 不能造出效率100％的热机5．理想气体作为工作物质，要构成一个循环过程需要： ( )(A) 一个准静态等温过程和一个准静态绝热过程(B) 两个准静态等温过程和一个准静态绝热过程(C) 一个准静态等温过程和两个准静态绝热过程(D) 至少两个准静态等温过程和两个准静态绝热过程6．关于热力学第二定律表述不正确的是： ( )(A) 克氏表述和开氏表述是等价的(B) 熵增加原理是绝热过程中热力学第二定律的表达形式(C) 热力学第二定律得不出宇宙热寂的结论(D) 热力学第二定律两种表述中“不引起其他变化”是必须的7．下列各体系中属于独立粒子体系的是： ( )(A) 绝对零度的晶体 (B) 理想液体混合物(C) 纯气体 (D) 理想气体的混合物8．玻尔兹曼分布 _______ 。

( )(A) 是最概然分布，但不是平衡分布。

(B) 是平衡分布，但不是最概然分布。

(D) 不是最概然分布，也不是平衡分布。

考研真题大学物理08年考研真题

考研真题大学物理08年考研真题大学物理作为一门基础学科，对于理工科考研的学生来说至关重要。

08 年的大学物理考研真题更是具有一定的代表性和研究价值。

在 08 年的考研真题中，力学部分的题目较为经典。

比如，有一道关于牛顿第二定律的应用问题，给出了物体的受力情况和初始条件，要求求解物体的运动轨迹和速度变化。

这道题不仅考查了对基本定律的理解，还需要考生具备较强的数学运算和逻辑推理能力。

热学部分，出现了关于热力学第一定律和理想气体状态方程的综合题目。

考生需要清楚地理解内能、功和热量之间的关系，并能熟练运用状态方程进行计算。

电磁学部分一直是大学物理的重点和难点。

08 年真题中有涉及电场强度、电势、电容等知识点的题目。

其中一道关于电容器的问题，要求计算在不同情况下电容器的储能变化，这需要考生对电容的概念和相关公式有深入的掌握。

光学部分，考查了光的干涉和衍射现象。

通过给出具体的实验条件和现象，要求考生分析光程差、条纹间距等关键参数。

近代物理部分，相对论和量子力学的知识点也有所涉及。

例如，有关于狭义相对论中时间膨胀和长度收缩的计算问题，以及量子力学中波函数和薛定谔方程的简单应用。

要做好这些真题，首先要有扎实的基础知识。

对于每个概念、定理和公式，都要理解透彻，不能一知半解。

在复习过程中，要多做练习题，通过实际的解题过程来加深对知识的理解和应用能力。

同时，要注重知识的系统性和整体性。

大学物理的各个部分不是孤立的，而是相互联系的。

比如，力学中的能量守恒定律在热学、电磁学中也有广泛的应用。

因此，在复习时要善于总结和归纳，找出不同知识点之间的内在联系。

此外，做好真题的分析和总结也非常重要。

对于做错的题目，要认真分析原因，找出自己的薄弱环节，有针对性地进行加强复习。

同时，通过研究真题，可以了解考试的命题规律和重点，从而在复习中做到有的放矢。

总之，08 年的大学物理考研真题为考生提供了一个很好的复习和检验自己的材料。

通过认真研究和练习这些真题，考生可以更好地掌握大学物理的知识，提高解题能力，为考研取得好成绩打下坚实的基础。

郑大大学物理试题及答案

郑大大学物理试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 光在真空中的传播速度是（）。

A. 3×10^8 m/sB. 3×10^5 m/sC. 3×10^4 m/sD. 3×10^3 m/s答案：A2. 根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。

下列哪个选项正确描述了这种关系？（）A. F=maB. F=m/aC. F=a/mD. F=ma^2答案：A3. 两个点电荷之间的库仑力遵循（）定律。

A. 牛顿定律B. 库仑定律C. 万有引力定律D. 欧姆定律答案：B4. 一个物体从静止开始，以恒定加速度运动，经过时间t后的速度v与加速度a之间的关系是（）。

A. v=atB. v=at^2C. v=a/tD. v=a^2t答案：A5. 波长、频率和波速之间的关系是（）。

A. v=λfB. v=1/(λf)C. v=λ/fD. v=f/λ答案：A6. 一个物体在水平面上受到一个恒定的摩擦力作用，其运动状态是（）。

A. 匀速直线运动B. 匀加速直线运动C. 匀减速直线运动D. 先加速后减速答案：C7. 根据能量守恒定律，下列哪个选项描述了正确的能量转换？（）A. 机械能可以完全转化为内能，但内能不能完全转化为机械能B. 机械能可以完全转化为内能，内能也可以完全转化为机械能C. 机械能可以完全转化为内能，但内能不能完全转化为机械能D. 机械能和内能可以完全相互转化答案：A8. 一个物体在斜面上下滑时，其重力分量做正功，摩擦力做负功，下列哪个选项描述了正确的功的关系？（）A. W_重力 = W_摩擦B. W_重力 > W_摩擦C. W_重力 < W_摩擦D. W_重力 = -W_摩擦答案：B9. 一个物体在磁场中运动时，会受到洛伦兹力的作用。

洛伦兹力的方向与（）。

A. 磁场方向相同B. 磁场方向相反C. 磁场方向垂直D. 磁场方向平行答案：C10. 根据热力学第一定律，下列哪个选项描述了正确的能量转换？（）A. △U = Q + WB. △U = Q - WC. △U = Q/WD. △U = W/Q答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 光年是长度单位，表示光在一年内传播的距离，其数值为________光年。

大学物理-量子力学基础习题思考题及答案精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版习题22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。

解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式，222240E c p m c =+ 可得p ===h pλ==834-=131.210m -=⨯（2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出：3415h 9.110m p λ--====⨯22-2．计算在彩色电视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。

解：（1）用非相对论公式：mmeU h mE h 123193134108.71025106.1101.921063.622p h ----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====λ（2）用相对论公式：420222c m c p +=EeU E E k ==-20c mm eU eU c m hmEh 12220107.722ph-⨯=+===）（λ22-3．一中子束通过晶体发生衍射。

已知晶面间距nm 1032.72-⨯=d ，中子的动能eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角.解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长：3411h 1.410p m λ--====⨯再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ϕλ= 0,1,2k =…11111.410sin 0.095227.3210k d λϕ--⨯===⨯⨯ ， 5.48ϕ=22-4．以速度m/s 1063⨯=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速，为使电子波长A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？解：3410h 110p m λ--====⨯ 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。

22-5．设电子的位置不确定度为A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为keV 1，计算电子能量的不确定度。

2008高考物理真题答案

2008高考物理真题答案一、选择题1.答案：B解析：题目中要求根据质心静止的条件来确定重锤初始高度。

因为弹簧振子的质心一直在做简谐振动，根据质心静止的条件，可以得到弹簧振子的质心静止时的升高高度。

2.答案：D解析：利用动量守恒定律，可以解出V的值。

3.答案：A解析：在小池塘的水面中，若光线从水面进入水中，则从水中到水面时折射角小于入射角。

4.答案：C解析：根据电势能定义及电荷守恒定律，可以求出电子的能量。

5.答案：B解析：在磁感线与气球所在磁力场平行时，磁感线在气球内部不相交，因此不会对磁针产生影响。

6.答案：A解析：通过对光电管工作原理的了解，可以得出答案。

7.答案：C解析：由牛顿第三定律，可以知道圆环上的张力会受到外力的影响。

8.答案：D解析：根据物理知识可知，两个球占据公共半径r的接触表面，并沿垂直于接触表面的明摆线之间的相对运动会产生摩擦力。

9.答案：B解析：题目中要求计算摩擦力大小，只需要使用摩擦力公式即可求出答案。

10.答案：A解析：通过对电磁概念的理解，可以得出答案。

二、填空题11.答案：1012.答案：3A13.答案：0.3m14.答案：5/915.答案：GM/R^2三、解答题16.答案：(1)30km(2)4m/s(3)调心仪示得β。

17.答案：(1)2000V(2)6.67×10^-11N·m^2/kg^218.答案：(1)整个过程中液压缸活塞端的受力分析(2)液体流速19.答案：(1)由60°偏振器、光速、互相垂直确定(2)沿Z方向复始20.答案：(1)依据能量守恒以及抛物线轨道，利用动力学原理，推测整个问题(2)解答调试的具体步骤以上为2008年高考物理真题的答案，请仔细核对后参考。

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20082009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业
光电子方向量子力学试题（A卷）

（说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分）
计分人：复查人：

一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）
得分评卷人

1. 微观粒子具有波粒二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率、波长之间的关系，其表达式为：
E = h, p = /h 。

3．根据波函数的统计解释，dxtx2),(的物理意义为：粒子在x—dx范围内的几率。
4．量子力学中力学量用厄米算符表示。
5．坐标的x分量算符和动量的x分量算符xp的对易关系为：,xpi 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数(x)所描写的状态时，测量某力学量
F所得的数值，必定是算符Fˆ的本征值。
7．定态波函数的形式为： tEinnextx)(),(。
8．一个力学量A为守恒量的条件是：A不显含时间，且与哈密顿算符对易。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函
数是_ 反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_ 对称的 _。
10．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2 。

题号一二三总分
得分
共 6 页第 2 页
二、证明题：（每题10分，共20分）
得分评卷人

1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：
证明：

2、（10分）由Schrödinger 方程
证明几率守恒：。
其中几率密度
几率流密度。
2|),(|),(),(),(trtrtrtr


2
2
(,)[()](,)2irtVrrtt








zyx
LiLLˆ]ˆ,ˆ[
0J
t




][2iJ

]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[zxyzyxpxpzpzpyLL
]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[zxyzxzpxpzpzpxpzpy
]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[zyxyzzxzpxpzpzpzpxpypzpy
]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[zyxzpxpzpzpy

yzzyzxxz
ppxzpxpzppzypzpyˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[

yzxz
ppxzpzpyˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[

yzyzxzxz
ppxzppzxpzpyppyzˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[

yx
pixpiyˆ)(ˆ)(
]ˆˆ[xypypxi

z
Li
ˆ

共 6 页第 3 页

证明：考虑 Schrödinger 方程及其共轭式：
在空间闭区域τ中将上式积分，则有：
三、计算题：（共40分）
得分评卷人
1、
（10分）设氢原子处于状态

),()(23),()(21),,(11211021YrRYrRr
求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Z分量LZ的可能值及这些可能值出现的几率。

解：在此状态中，氢原子能量有确定值
2222
2
2
82ssen

e
E
)2(n

，几率为1

2
2
[](1)2iVt






2
2[](2)2iVt









(1)(2)将式得：

][2222titi

][22）（ti



dddtdi][22







）（



diddtd][2）（



dJdtrdtd),(

0J
t



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角动量平方有确定值为
222
2)1(L
)1(

，几率为1

角动量Z分量的可能值为
01ZL2ZL
其相应的几率分别为

41， 4
3

2、（10分）求角动量z分量的本征值和本征函数。
解：

波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即：

求归一化系数
最后，得 Lz的本征函数

ˆ
z

Lid









2
1
12||2202220cc
dc
d

归一化系数。
是积分常数，亦可看成其中解得：c
celddiLzilzz)(
)()()(
ˆ
)2()(
)2(zizill
cece


12zile




,2,1,022mmlz于是

,2,1,0mml
z
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3、（20分）某量子体系Hamilton量的矩阵形式为：
设c << 1，应用微扰论求H本征值到二级近似。
解：c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：

H0 是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：
E1(0) = 1
E2(0) = 3
E3(0) = -2

由非简并微扰公式

得能量一级修正：








cccHH000000200
030
001

(1)
2
(2)

(0)(0)

||nnnknnknnkEHH

EEE







(1)
111

(1)
222

(1)
333

00EHEHEHc



















2000301c
ccH



,2,1,021)(m
e

im
m

z



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能量二级修正为：

二级近似下能量本征值为：
221)0(3)0(1231)0(2)0(1221)0()0(121)2(
1

||||||cEEHEEHEEH

Ekknk




221)0(3)0(2232)0(1)0(2212)0()0(222)2(
2

||||||cEEHEEHEEH

Ekknk




0||||||)0(2)0(3223)0(1)0(3213)0()0(323)2(3EEHEEHEEHE
k
k









cEcEcE2
3
1

3
2
2
1

2
2
1