正弦定理基础训练题(有详解)
勾股定理测试题(精选)
一、选择题（40分） 1 ） A ：4，5，6 B ：1，1 C ：6，8，11 D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：21 3、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ） A ：5 B ：10 C ：25 D ：5 5、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ） A 、 B C 、 D 、3 6、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、3cm 2 B 、4cm 2 C 、6cm 2 D 、12cm 2 8、若△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A 、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不对 9、三角形各边长度的平方比如选项中所示，其中不是直角三角形是（ ） （A ）1:1:2 （B ）1:3:4 （C ）9:25:26 （D ）25:144:169 10、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则 二、填空题（30分）
高考正弦定理和余弦定理练习题及答案精选.
高考正弦定理和余弦定理练习题及答案 一、选择题 1. 已知△ABC 中，a ＝c ＝2，A ＝30°，则b ＝( ) A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 3＋1 答案：B 解析：∵a ＝c ＝2，∴A ＝C ＝30°，∴B ＝120°. 由余弦定理可得b ＝2 3. 2. △ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝ 22，则符合条件的三角形有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 答案：B 解析：∵a sin B ＝102， ∴a sin B b B ．a C ．a ＝b D ．a 与b 的大小关系不能确定 答案：A 解析：由正弦定理，得c sin120°＝a sin A ， ∴sin A ＝a ·3 22a ＝64>1 2. ∴A >30°.∴B ＝180°－120°－A <30°.∴a >b . 5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A. 5 18 B. 3 4 C. 3 2 D. 7 8 答案：D 解析：方法一：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ， ∴腰长为2a ，由余弦定理知cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a ＝7 8. 方法二：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则AC ＝2a ，CD ＝a 2，∴sin α2＝1 4， ∴cos α＝1－2sin 2α 2 ＝1－2×116＝7 8. 6. (2010·泉州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2或 3 D. 32或3 4 答案：D 解析：∵sin C 3＝sin B 1， ∴sin C ＝3·sin30°＝3 2. 勾股定理测试题 体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 一、选择题 | 1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 ！ 3.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m） ( ) 4.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为( ) A. 12cm B. C. D. ~ 二、填空题 5.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是_________ . 6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为. < 7.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距. 8.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为. 9.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，则Sk＝ . 三、解答题 @ 10.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米 为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE 为边长的正方形的面积. / 12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. 13.拼图填空：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，· 如图①.（1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和__________ （填“大于”、“小于”或“等于”）图③中小正方形 《 的面积，用关系式表示为________ .（2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有__________个正方形，它们的面积之间的关系是________ ，用 关系式表示为_____ .（3）拼图三：用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方> 正弦定理练习题 1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 6．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 7．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3 ，则A ＝________. 9．在△ABC 中，已知a ＝433 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 11．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54,? =120C 有________组解 （2）a=20,b=11,?=30B 有________组解 （3）b=26,c=15,?=30C 有________组解 （4）a=2,b=6,?=30A 有________组解 正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.323 解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝4 6. 3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) 勾股定理基础题 1.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm 2,则斜边长为（ ）. （A ）80cm (B)30cm (C)90cm (D120cm. 2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为36和64，那么以斜边为边长的正方形的面积是（ ） A.54 B.100 C.72 D.120 3、有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米. A.4 B.5 C.3 D.41 4、直角三角形两条直角边的长分别为8和6，则斜边上的高为（ ） （A ）2.4 （B ）4.8 （C ）1.2 （D ）10 5、直角三角形的三边上的半圆面积之间的关系是（ ） A 、321S S S >+ B 、321S S S <+ C 、321S S S =+ D 、无法判断 6、如图字母A 所代表的正方形的面积是 ( ) A.、20 B. 24 C 、30 D. 74 7、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食, 要爬行的最短路程(π取3)是( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定. 8、一个等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则底边上的高为________cm ． 9、现有一长5米的梯子，架靠在建筑物的墙上,它们的底部在地面的水平距离是3米,则梯子可以到达建筑物的高度是___________米。 10．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ） A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25 C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10 11．直角三角形的斜边为20cm ，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ） A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm 2021届高三高考数学文科一轮复习知识点 专题4.6 正弦定理和余弦定理【考情分析】 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 【重点知识梳理】 知识点一正弦定理和余弦定理 1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理 公式 a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2 ＋a2－2ca cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C 常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝ a 2R，sin B＝ b 2R，sin C＝ c 2R； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝ b2＋c2－a2 2bc； cos B＝ c2＋a2－b2 2ac； cos C＝ a2＋b2－c2 2ab 2.S△ABC＝1 2ab sin C＝ 1 2bc sin A＝ 1 2ac sin B＝ abc 4R＝ 1 2(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R， r. 3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角A为钝角或直角图形 关系式a＝b sin A b sin A 一、 选择题 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2ab 《正弦定理》基础训练 一、选择题 1．在 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若 sin cos a b A B =，则角B 的大小为 （ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 2．在中，::4:1:1A B C =，则::a b c = （ ） A ．4:1:1 B ．2:1:1 C ．2:1:1 D ．3:1:1 3．在 中，下列关系中一定成立的是 ( ) A ．a bsinA > B ．a bsinA = C ．a bsinA ≤ D ．a bsinA ≥ 4．在中，30,2sin sin sin a c b B b A C B ο +-===+-,则 （ ） A ．2 B ．3 C 2 D ．3 2 5．在 中，45,30,2,A B b a ??===则的值为 （ ） A ．4 B ．22 C ．3 D ．2 6．在 中，若15,10,60,sin a b A B ?====则 （ ） A ． 3 3 B ． 63 C ． 22 D ． 32 7． 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若 cos 2cos A b B a ==，则角C 的大小为 （ ） A ．60? B ．75? C ．90? D ．120? 8．在 中，3,3,60,a b A B ?===那么角等于 （ ） A ．30? B ．60? C ．300??或15 D ．600??或12 9．已知中，43,2,30,b c C ?===那么此三角形 （ ） A ．有一解 B ．有两解 C ．无解 D ．解的个数不确定 10．设 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos cos ,a B bC A c -=则是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 二、填空题 11．在 中，若1 3,cos 2 a A ==-，则 的外接圆半径为 。 12．在单位圆上有三点A ，B ，C ，设在中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 则 2sin 2sin sin a b c A B C ++= 。 13．在中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 若6 3,2,cos ,=3 a B A A b ===则 。 14．在 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 若21,3,,=3 b c C a π ===则 。 15．在 中，角sin 120,5,7,sin B A A B B C C ? ===则 的值为 。 勾股定理课时练（1） 1. 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2 2 2AC BC+ +的值是（） 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）. 3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？ 5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米. 6. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度. 8. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。求CD的长. 9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长. 10. 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米 12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相 距多远？还能保持联系吗？ 温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点16 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos sin a A b B =，则 2sin cos cos A A B +=（ ） (A)- 12 (B)1 2 (C)-1 (D)1 【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决. 【精讲精析】选D. 由cos sin a A b B =可得2sin cos sin A A B = 所以222 sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=． 二、填空题 2.（2011·安徽高考理科·Ｔ14）已知ABC ? 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列， 则ABC ?的面积为_______________. 【思路点拨】设三角形一边的长为x ，可以用x 表示其他两边，再利用余弦定理建立方程求出x ，最后利用三角形面积公式求出ABC ?的面积. 【精讲精析】设三角形中间边长为x ，则另两边的长为x-4,x+4,那么 所以解得）（,10,120cos )4(2)4(4222=---+=+x x x x x x .315120sin 6102 1 =???= ? ABC S 【答案】153 3.（2011·福建卷理科·Ｔ14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______. 【思路点拨】结合图形， ?∠∠ABC 先在中，由余弦定理解出C 与B ， ABD ?然后在中，由正弦定理解得AD. 【精讲精析】在ABC ?中，由余弦定理易得 18.2 勾股定理的逆定理 达标训练 一、基础·巩固 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5 2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）. 图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6 3.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________. 4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF= 4 1AD ，试判断△EFC 的形状. 5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？ 图18－2－7 6.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形. 二、综合·应用 7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？ 8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD. 求证：△ABC是直角三角形. 图18－2－8 9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图18－2－9 10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC 的形状. 解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC 是直角三角形. 问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________ ； ③本题的正确结论是_________ _. 正弦定理练习含答 案 课时作业1 正弦定理 时间：45分钟 满分：100分 课堂训练 1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π 12 B.π 6 C.π4 D.π3 【答案】 D 【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝3 2， ∴∠A ＝π 3. 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π 3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B 【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12， 故∠B ＝30°或150°， 由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B. 3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝5 6π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】 102 【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝10 10.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π 1010 ＝10 2. 4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长． 【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A . 【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ， 又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°. (1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23； 《勾股定理》典型例题分析 一、知识要点： 1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ①已知的条件：某三角形的三条边的长度. ②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有： （3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15) 4、最短距离问题：主要 5、运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆． 2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。 5、(难）在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 =_____________。 考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边 1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为 ． S 3 S 2 S 1 温馨提示： 此题库为Word版, 请按住Ctrl, 滑动鼠标滚轴, 调节合适的观看比例, 关闭Word文档返回原板块。 考点17 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sin A-b sin B=4c sin C,cos A=-1 4,则b b = () A.6 B.5 C.4 D.3 【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用. 【解题指南】利用余弦定理推论得出a,b,c的关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果. 【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得-1 4=cos A=b2+b2-b2 2bb ,所以b2-4b2 2bb =-1 4 ,所以3b 2b =1 4 ,所以 b b =3 2 ×4=6,故选A. 二、填空题 2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π 3 ,则△ABC的面积为. 【命题意图】考查余弦定理以及三角形面积公式的应用. 【解析】因为cos B=b2+b2-b2 2bb , 又因为b=6,a=2c,B=π 3 ,可得c2=12, 1 解得c=2√3,a=4√3, 则△ABC的面积S=1 2×4√3×2√3×√3 2 =6√3. 答案:6√3 3.(2019·全国卷Ⅱ文科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin A+a cos B=0,则B=. 【命题意图】考查正弦定理、同角三角函数基本关系的运用. 【解析】已知b sin A+a cos B=0,由正弦定理可得sin B sin A+sin A cos B=0,即sin B=-cos B, 又因为sin2B+cos2B=1,解得sin B=√2 2,cos B=-√2 2 ,故B=3π 4 . 答案:3π 4 4.(2019·浙江高考·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD= . 【命题意图】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想. 【解析】在△ABD中,由正弦定理有:bb sin∠bbb =bb sin∠bbb , 而AB=4,∠ADB=3π 4 ,AC=√bb2+bb2=5, sin∠BAC=bb bb =3 5 ,cos∠BAC=bb bb =4 5 ,所以BD=12√2 5 . cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC) =cosπ 4cos∠BAC+sinπ 4 sin∠BAC=7√2 10 . 2 一、引入 我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？这就是我们今天要学习的内容：正弦定理，故此，正弦定理是刻画任意三角形中各个角与其对边之间的关系。 二、新授 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R C c B b A a 2sin sin sin ===（注：为△ABC 外接圆半径） 2、正弦定理常见变形： （1）边化角公式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2= （2）角化边公式：R a A 2sin =，R b B 2sin =，R c C 2sin = （3）C B A c b a sin :sin :sin ::= （4）R C B A c b a C c B b A a 2sin sin sin sin sin sin =++++=== (5) C c B b C c A a B b A a sin sin sin sin sin sin ===，， （6）B c C b A c C a A b B a sin sin ,sin sin ,sin sin === 3、三角形中的隐含条件： （1）在△ABC 中，c b a >+,c b a <-(两边之和大于第三边，两边只差小于第三边) （2）在△ABC 中，B A b a B A B A B A B A >?>>?>；；cos cos sin sin （3）在△ABC 中，,cos )cos(sin )sin(C B A C B A C B A -=+=+?=++，π 2 cos 2sin C B A =+ 考试·题型与方法 题型一：解三角形 例1：（1）在△ABC 中，已知A=45°，B=30°，c=10，解三角形； （2）在△ABC 中，B=30°，C=45°，c=1,求b 的值及三角形外接圆的半径。 变式训练：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形： （1）；，，?===602010A b a （2）；，，?===606510C c b （3）；，，?===4532A b a 例2：下列条件判断三角形解得情况，正确的是（ ） A.有两解?===30,16,8A b a B. 有一解?===60,20,18B c b C. 无解?===90,2,15A b a C 勾股定理评估试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定 2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长 （A ）4 cm （B ）8 cm （C ）10 cm （D ）12 cm 3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25 （B ）14 （C ）7 （D ）7或25 4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）64 5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 7 1524 25 20715 2024 25 157 25 20 24 257 202415 (A) (B) (C) (D) 6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) （A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.5 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(2 2 +=+,则这个三角形是( ) （A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形. 9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ）. （A ）50a 元 （B ）600a 元 （C ）1200a 元 （D ）1500a 元 10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）. 正 余 弦 定 理 1．在 ABC ?中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2 2 cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23 C π ∠=，则a= 。 5、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =， sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ． 6、在?ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 7 4sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值 7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45? 求A 、C 及c . A B 3 23 π 1、解：在ABC A B ?>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>，因此，选C ． 2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -= ??= ，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=， 所以ABC ?一定是等腰三角形选C 3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用. 【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C 【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得 1sin 60 A =得1 sin 2 A = ，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C == 4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。 【思路点拨】对C ∠利用余弦定理，通过解方程可解出a 。 【规范解答】由余弦定理得，222121cos 33 a a π +-???=，即220a a +-=，解得1a =或2-（舍）。【答案】1 【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。 5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】先根据sin cos B B +=B ，再利用正弦定理求出sin A ，最后求出A. 【规范解答】由sin cos B B += 12sin cos 2B B +=，即sin 2B 1=，因为0 勾股定理练习题 一、基础达标: 1. 下列说法正确的是（ ） A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2； D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ） A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ） A 、2k B 、k+1 C 、k 2－1 D 、k 2+1 4. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定 6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ） （A 2d （B d （C ）2d （D ）d 8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 9．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ） A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对 10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ） A ：底与边不相等的等腰三角形 B ：等边三角形 C ：钝角三角形 D ：直角三角形 11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ． 12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形． 15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.初二数学勾股定理测试题及答案
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