线性代数课程论文

矩阵的秩及其应用

【摘要】矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。在矩阵理论中，矩阵的秩是一个重要的概念。矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解的情况等都有着密切的联系。 本文将针对其性质进行具体分析 【关键词】矩阵； 秩 ；应用；

一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。所谓矩阵的行秩就矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。矩阵的行秩等于矩阵的列秩，并统称为矩阵的秩。另外，矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数，这是矩阵的秩的行列式定义。事实上，以上两种对矩阵的秩的定义是等价的。

（一）矩阵秩的概念

定义1 若A 为n m ⨯矩阵，在A 中任意取k 行、k 列),(n k m k ≤≤，则位于这些行与列交叉处的k 2

个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式.

显然，若A 为n m ⨯矩阵，则A 的k 阶子式共有C C k

n k

m ⋅个.

当O A =时，它的任何子式都为零.当O A ≠时，它至少有一个元素不为零，即它至少有一个一阶子式不为零.再考察二阶子式，若A 中有一个二阶子式不为零，则往下考察三阶子式，如此进行下去，最后必达到A 中有r 阶子式不为零，而再没有比r 更高阶的不为零的子式.这个不为零的子式的最高阶数r 反映了矩

阵A 内在的重要特征，在矩阵的理论与应用中都有重要意义.

定义2 设A 为n m ⨯矩阵，如果存在A 的r 阶子式不为零，而任何1-r 阶子式(如果存在的话)皆为零，则称数r 为矩阵A 的秩，记为)(A R .并规定零矩阵的秩等于0.

由定义2，根据行列式的性质易知，矩阵A 的秩)(A R 就是矩阵A 的最高阶非零子式的阶数.

（二）矩阵秩的性质

性质1 若A 为n m ⨯矩阵，则},min{)(0n m A R ≤≤.

性质2 若矩阵A 中有某个s 阶非零子式，则s A R ≥)(；若矩阵A 中所有t 阶子式全为零，则t A R <)(.

性质3 若矩阵A 的秩r A R =)(，则

)()(A R A R T

=. 定义3 设A 为n 阶方阵，若n A R =)(，则称矩阵A 为满秩矩阵；若n A R <)(，则称矩阵A 为降秩矩阵.

由此可得

定理1 n 阶矩阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是矩阵A 为满秩矩阵；n 阶矩阵A 为不可逆矩阵的充分必要条件是矩阵A 为降秩矩阵.

性质5 若矩阵B A ~，则)()(B R A R =. 性质6 若矩阵Q P ,可逆，则)()(A R PAQ R =. 性质7 若矩阵A 与B 的秩分别为)(),(B R A R ,则

)()(),()}(),(max{B R A R B A R B R A R +≤≤，

特别地，当B 为列向量时，则有 1)(),()(+≤≤A R B A R A R .

性质8 若矩阵A 与B 的秩分别为)(),(B R A R ，则.)}(),(min{)(B R A R AB R ≤ 性质9 若矩阵

O

B A l n n m =⨯⨯，则n B R A R ≤+)()(.

根据矩阵的性质，可以给出下列例题：

例1 设A 为n 阶矩阵，且E A =2

,证明.n E A R E A R =-++)()(

证 因为E A E E A 2)()(=-++，由性质7得

n E R A E R E A R =≥-++)2()()(

而)()(E A R A E R -=-，所以

n E A R E A R ≥-++)()(.

又O E A E A E A =-=-+2))((,由性质9得

n E A R E A R ≤-++)()(.

综合即得

n E A R E A R =-++)()(.

（三）矩阵秩的求法

定理 矩阵经初等变换后，其秩不变.也就是说，若B A ~，则)()(B R A R = 根据这个定理，我们得到利用初等变换求矩阵的秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩.

首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样初等列变换也不改变矩阵的秩。其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目.

上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩。以上的讨论还说明，用初等变换化一个线性方程组成阶梯形，最后留下来的方程的个数与变换的过程

无关，因为它就等于增广矩阵的秩。

下面，我们可以从具体矩阵的初等变换法求解中看：

例2 求矩阵⎪⎪⎪

⎪

⎪⎭

⎫

⎝

⎛--=15414013102

110

01A 的秩.

解：

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--=---0540101

0202

010

0115414013102110

11413123r r r r r r A

⎪⎪

⎪

⎪

⎪

⎭⎫

⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-−−→−↔-+⨯

00004500

1010

10

01450000001010

10

014324232421r r r r r r r ，

所以3)(=A R . 例3 求)3(≥n n 阶矩阵

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=1111Λ

M M M M ΛΛΛa a a a a a

a a a a a a A 的秩．

分析 思路一：先用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后再讨论参数a 的取值，确定矩阵的秩．思路二：先求出A ，然后令O A =求出参数a 的值，最后再根据a 的取值情况确定矩阵的秩．

解法一 因为