线性规划的解的概念

A
5 10
1 6
1 2
1 0
0 1
在上例中B2的基向量是A中的第一列和第四列，其余列向量 是非基向量，x1、x4是基变量，x2、x3、x5是非基变量。基变 量、非基变量是针对某一确定基而言的，不同的基对应的基 变量和非基变量也不同。
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
当最优解唯一时，最优解 亦是基本最优解，当最优解 不唯一时，则最优解不一定 是基本最优解。例如右图中 线段 Q1Q2的点为最优 解时， Q1点及Q2点是基本最优解,线 段 Q1Q2 的内点是最优解而不 是基本最优解。
Q1
Q2
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
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基本最优解、最优解、基本可行解、基本解、可行解 的关系如下所示：
基本最优解
基本可行解
基本解
最优解
可行解
例如,B点和D点是可 行解,不是基本解;C点 是基本可行解;A点是 基本最优解,同时也 是最优解、基本可行 解、基本解和可行解。
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设线性规划的标准型
max Z=CX
（1.1）
AX=b
（1.2）
X≥0
（1.3）
式中A是m×n矩阵，m≤n并且r（A）=m，显然A中
X ( 3 ,0,0,0,8)T是例2的最优解。 5
基本解 对某一确定的基B，令非基变量等于零，利用式（1.２）
解出基变量，则这组解称为基Ｂ的基本解。
基本可行解，若基本解是可行解则称为是基本可行解（也称 基可行解）。
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max Z 4x1 2x2 x3
5x1 x2 x3 x4 3 10x1 6x2 2x3 x5 2
5 1 B2 10 0,
xj 0, j 1,
基本解为
,5
X
(2)
Leabharlann Baidu
(
1
,0,0,4,0)T
5
由于 X（1） 0是基本解，从而它是基本可行解，在 X（2）中
x1<0,因此不是可行解，也就不是基本可行解。
反之，可行解不一定是基本可行解
例如 X (0,0, 1 , 7 ,1)T 满足式（1.2）～（1.3），但不是
22
任何基矩阵的基本解。
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由线性代数知，基矩阵B必为非奇异矩阵并且|B|≠0。当矩阵 B的行列式等式零即|B|=0时就不是基
当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应的列向量称为基 向量，其余列向量称为非基向量
基向量对应的变量称为基变量，非基向量对应的变量称 为非基变量
5 1 B2 10 0
至少有一个m×m子矩阵B，使得r（B）=m。
基 A中m×m子矩阵B并且有r（B）=m，则称B是线
性规划的一个基（或基矩阵 ）。当m=n时，基矩阵
唯一，当m<n时，基矩阵就可能有多个，但数目不
超过 Cnm
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
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6
3 x2
2
5 1 B1 10 6,
因|Ｂ１|≠０，由克菜姆法则知，x1,x2有唯一解
x2=1则基本解为
x(1) ( 2 ,1,0,0,0)T
5
x1
2 5
对B2来说，x1,x4,为基变量，令非变量x2,x3,x5为零，由式
（1.2）得到
x1
1 5
，x4=4，
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基本最优解 最优解是基本解称为基本最优解。例如，满足 式（1.1）~(1.3)是最优解,又是B3的基本解,因此它是基本最 优解.
最优基 基可行解对应的基称为可行基；基本最优解对应的基称 为最优基，如上述B3就是最优基，最优基也是可行基。
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【例1.12】线性规划 max Z 4x1 2x2 x3
10
5x1 x1
x2 x3 x4 6x2 2x3
3 x5
2
x
j
0,
j
1,
,5
【解】约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
求所有基矩阵。
A
5 10
1 6
1 2
1 0
0 1
容易看出r（A）=2，2阶子矩阵有 =10个，基矩阵只有9个，即
x2
40 30 20
10
(3,4)
C(0,20)
例1.6 max Z=3x1+4x2 2x1 x2 40 x1 1.5x2 30
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可行解 满足式（1.2）及（1.3）的解X=（x1,x2…，xn)T 称为 可行解 。
例如，X (0,0, 1 , 7 ,1)T 与X=（0，0，0，3，2，）都是例1 的可行解。 2 2
最优解 满足式 （1 .1）的可行解称为最优解，即是使得目标 函数达到最大值的可行解就是最优解，例如可行解
C5
2
5 B1 10
1
5
6, B2 10
1 0,
5 B3 10
0 1,
B4
1 6
1
2
1 B5 6
10,
1 0 B6 6 1,
1
B7
2
0 1,
1
B8
2
1 0,
B9
1 0
0 1
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
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显然，只要基本解中的基变量的解满足式（1.３）的非负要求， 那么这个基本解就是基本可行解。
在例1中，对Ｂ１来说，x1,x2是基变量，x3,x4，x5是非基变量，
令x3=x4=x5=0，则式（1.２）为
－5x110x1x2