拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
例8 求sin 2t sin 3t的拉氏变换
a=2,b=3
例8 求sin 2t sin 3t的拉氏变换
sin 2t sin 3t - 1 (e j2t - e- j2t )(e j3t - e- j3t ) 4
1 (e j5t - e- jt - e jt e- j5t ) 4
例3 求 f(t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换
L [sin kt] sin kt e-std t 0 1 (e jkt - e- jkt ) e-std t 2j 0
- j e-(s- jk)td t - e-(s jk )td t
20
0
- j
2
s
-1 - jk
而 L [m!] m!L [1] m! s
所以
L
[tm ]
m! s m1
(Re(s) 0).
此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函数的
微分性质:
若L [f(t)]=F(s), 则
F '(s)=L [-tf(t)], Re(s)>c.
(2.6)
和 F(n)(s)=L [(-t)nf(t)], Re(s)>c.
f(t)
O
t
f(t)u(t)e-bt
O
t
对函数j(t)u(t)e-bt(b>0)取傅氏变换, 可得
Gb ()
j (t)u(t) e-bte- jtd t
-
f (t) e-(b j)td t f (t) e-std t
0
0
其中 s b j, f (t) j(t)u(t)
若再设
拉普拉斯变换
解： Q lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
f 0 lim sF (s) s lim s s s a lim 1 s 1 a s 1
f (0)
❖ 6、终值定理
若
f t F s
则
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
2.3 拉氏反变换
一、定义：
将象函数 F(s) 变换到与其对应的原函数 f (t)
1 2
Rt
2
t0
0
t
上式中R为常数, 表示抛物线函数信号的幅值。
R(s)
Lr(t)
R S3
4、其他常见函数
L[sin t]
s2
2
L[cos t ]
s2
s
2
L[eat ] 1 sa
L[ (t)] 1
2.2 拉氏变换的运算定理
❖ 1、线形定理(叠加+比例)
若
f1 t F1 s f2 t F2 s
0 1
t 0 t 0
F (s) L[ (t)] 1
s
1 1 s
阶跃信号
0 t 0
r(t)
r(t) R t 0
R 0
t
上式中R为常数, 表示阶跃函数信号的幅值。
阶跃函数的拉氏变换为
R(s) L[r(t)] L[R] R s
2、单位斜坡函数
0 t 0 f (t) t t 0
F (s)
s2 3s 5 A1 (s 2)(s 3) 1.5
s 1
1.5 3 2.5 s 1 s 2 s 3
A2
s2 3s 5 (s 1)(s 3)
3
s 2
故原函数为
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换是一种常用的函数转换，本质上是把一个函数的时域分析映射到
频域进行分析的一种数学技术，它可以将复杂的时域信号转换成简单容易分析的频域信号，并把频域信号返回到时域中，更加进行精确分析。
拉普拉斯变换是线性变换，用数学表达式可以表示为：ltf（f）=∫f（t）dt。
拉普拉斯变换可把非线性时间变成线性频域，可简化信号分析和处理。
拉普拉斯变换可广泛用于信号检测、数字滤波器、信号识别、语音信号处理和图像处理等，可以应用到无人机、信号处理、智能安防系统等多个领域。
拉普拉斯变换的定义式可以进一步拆解，它可以使用傅里叶变换的性质拆分成
两步来计算，即对原始函数的幅值和相位各自进行傅里叶变换计算，最后取出拉普拉斯变换各自的幅值和相位，从而确定其结果。
拉普拉斯变换是一项伟大的数学发明，是理解时间系统和频率系统之间的相互
关系的必要工具。
由于其准确性和无偏性的特性，它已经成为解决非线性信号处理问题的重要工具，在数学、物理、信号处理等众多领域有着重要意义。
4.拉普拉斯变换
1 1 1 F (S ) ( ) S j S j 2 S 2 2 S
拉 普 拉 斯 变 换
例：衰减余弦的拉氏变换
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
)
12
(0 t T )
拉 普 拉 斯 变 换
拉普拉斯变换收敛域性质
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
X（S）的ROC在S平面内由平行于jw轴的带状区域组成。 对有理拉普拉斯变换来说，ROC内不包括任何极点。 如果x（t）是有限持续期，并且是绝对可积的，那么ROC就 是整个S平面。 如果x（t）是右边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＞ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是左边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＜ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是双边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么ROC就一定是由s平面的一条带状区域所组成， 直线Re{s}= 0 位于带中。
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
变换等于 f(t)ε(t)的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉普拉 斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同， 即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于jω轴的一条直线的右边
区域，可表示为
Re[s] 0
17
拉 普 拉 斯 变 换
常用信号的拉氏变换
该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收
拉普拉斯变换
求积分余弦函数Ci (t)
cos d的拉氏变换。 t
例3（补充例题）求解初始问题
dy 2 y et dt y t0 0
例4（补充例题）求解初始问题
y'' y t
y
t0
y'
t0
0
例5（补充题，利用原函数积分法求解 积分方程）设C，R，E为正常数，求解 积分方程（该方程来自电路理论）
lim e pt f (i) (t) 0
t
注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在实际
应用中非常重要。 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。
三 原函数积分定理:
ℒ
t
0
(
)d
1 s
ℒ [ (t)]
原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除
四 相似性定理
ℒ
f
(at)
L [ f (t)] test dt 1 t d(est )
0
s0
1 test s
|
0
1 s
e st dt
0
1 s2
e st
0
d( st )
1 s2
est
|
0
1 s2
(Res 0)
例4 f (t) t eat
L[teat ]
t
e(sa)t
dt
1
t d e(sa)t
f (t) Res[F(s)est ]
因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像 函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂)
Fourier变换与Laplace变换的比较
1 Fourier 变换 与 逆变换比较对称，但 Fourier 变换对函数要求较严；数值计算 比较成熟（FFT）;
拉普拉斯变换
Fx2 Fy2
1
பைடு நூலகம்
F(s)的角度为： tan (Fx / Fy ) ，从实轴开始， 逆时针方向计算。
F F(s)的共扼复数为： ( s) Fx jFy
尤拉定理
cosθ和sin θ的泰勒展开式分别为：
2! 4! 6! 3 5 7 sin 3! 5! 7! ( j ) 2 ( j )3 ( j ) 4 cos 因此： j sin 1 j
e-atf(t)的拉普拉斯变换
因为，f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则：
£ [
e-atf(t)
]= 0
e at f (t )e st dt f (t )e
( s a ) t
例如： £sinωt ] 2 [ 2 s £e-at sinωt ] [ 2
0
d £ dt f (t )]= sF(s)-f(0) [ d 当f(0)=0时： £ f (t )]= sF(s) [ dt
d f (t ) ： 令g(t)= dt d d2 [g(t)]-g(0) [ £ 2 f (t )]= £ dt g (t )]= s£ [ dt d = s£ [ dt f (t ) ]-f/(0)
终值定理
lim
s 0 0
d st [ f (t )]e dt lim[ sF ( s ) f (0)] s 0 dt lim[ sF ( s )] f (0)
s 0
lim
s 0
0
d d st [ f (t )][lim e st ]dt [ f (t )]e dt 0 s 0 dt dt d [ f (t )]dt 0 dt f () f (0)
完整版拉普拉斯变换表3篇
完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是一种用来描述动态系统的数学工具。
它可以将时间域的函数转换为复频域的函数，使得复杂的微积分运算变得简单。
下面是拉普拉斯变换常用的函数表。
1. 常数函数拉普拉斯变换表达式：L{1} = 1/s解释：常数函数的拉普拉斯变换等于1除以s。
这个表达式可以直接从拉普拉斯变换的定义得出。
2. 单位阶跃函数拉普拉斯变换表达式：L{u(t)} = 1/s解释：单位阶跃函数是在t=0处取值为0，t>0处取值为1的函数。
它的拉普拉斯变换等于1除以s。
因为当s>0时，1/s表示连续求导的意义，也就是说，一个单位阶跃函数的拉普拉斯变换就是一个连续求导的过程。
3. 指数函数拉普拉斯变换表达式：L{e^at} = 1/(s-a)解释：指数函数的拉普拉斯变换等于1除以s减去指数函数的指数。
这个表达式可以通过对指数函数求拉普拉斯变换的定义进行求解。
4. 正弦函数拉普拉斯变换表达式：L{sin(at)} = a/(s^2 + a^2)解释：正弦函数的拉普拉斯变换等于a除以s平方加上正弦函数的频率a的平方。
这个表达式可以通过对正弦函数求拉普拉斯变换的定义进行求解。
5. 余弦函数拉普拉斯变换表达式：L{cos(at)} = s/(s^2 + a^2)解释：余弦函数的拉普拉斯变换等于s除以s平方加上余弦函数的频率a的平方。
这个表达式可以通过对余弦函数求拉普拉斯变换的定义进行求解。
6. 阻尼正弦函数拉普拉斯变换表达式：L{e^(-bt)sin(at)} = a/(s^2 + (a+b)^2)解释：阻尼正弦函数的拉普拉斯变换等于a除以s平方加上阻尼正弦函数的频率a加上阻尼b的平方。
这个表达式可以通过对阻尼正弦函数求拉普拉斯变换的定义进行求解。
7. 阻尼余弦函数拉普拉斯变换表达式：L{e^(-bt)cos(at)} =(s+b)/(s^2 + (a+b)^2)解释：阻尼余弦函数的拉普拉斯变换等于s加上阻尼余弦函数的频率a加上阻尼b的平方，除以s平方加上阻尼余弦函数的频率a加上阻尼b的平方。
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换在工程和数学中是个非常实用的工具。
它不仅能帮助我们解决微分方程，还能简化许多复杂的问题。
今天我们就来聊聊常用的拉普拉斯变换和反变换，看看它们是如何发挥作用的。
一、拉普拉斯变换的基本概念1.1 定义拉普拉斯变换是一个积分变换，它将时间域的函数转换为复频域的函数。
简单来说，它把一个函数从“时间的世界”带到了“频率的世界”。
公式上，拉普拉斯变换可以表示为：\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt \]这里的 \( s \) 是复数变量，\( f(t) \) 是我们要变换的时间域函数，\( F(s) \) 则是变换后的结果。
1.2 性质拉普拉斯变换有几个重要的性质，比如线性性、时间延迟和微分等。
这些性质使得在实际应用中，可以灵活地对待不同类型的函数。
例如，线性性让我们可以把两个函数的变换简单相加，这对于解决复杂问题很有帮助。
二、常用的拉普拉斯变换2.1 单位阶跃函数单位阶跃函数 \( u(t) \) 是拉普拉斯变换中最常用的函数之一。
它的变换结果是：\[ \mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s} \]这个简单的公式为很多工程应用奠定了基础，因为很多信号和系统可以用阶跃函数来描述。
2.2 指数函数另一个常见的函数是指数函数 \( e^{at} \)。
它的拉普拉斯变换结果为：\[ \mathcal{L}\{e^{at}\} = \frac{1}{s - a} \]这在处理自然衰减或增长的过程时特别有用，比如在电子电路中，我们经常会遇到这种情况。
2.3 正弦和余弦函数正弦和余弦函数的拉普拉斯变换也很重要。
它们分别为：\[ \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \] \[ \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \]这些变换结果在振动分析和控制系统中应用广泛，帮助我们理解系统的频率响应。
常用拉普拉斯变换及反变换
常用拉普拉斯变换及反变换在工程技术和科学研究中，拉普拉斯变换是一种非常有用的数学工具。
它可以将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使许多问题的求解变得更加简便。
接下来，让我们一起深入了解一下常用的拉普拉斯变换及反变换。
拉普拉斯变换的定义为：对于一个定义在区间 0, ＋∞）上的实值函数 f(t)，其拉普拉斯变换 F(s) 定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt\其中，s ＝σ ＋jω 是一个复变量，σ 称为实部，ω 称为虚部。
一些常见的函数的拉普拉斯变换如下：单位阶跃函数 u(t) 的拉普拉斯变换为 1/s 。
单位阶跃函数在 t ＜ 0 时，函数值为 0；在t ≥ 0 时，函数值为 1 。
指数函数 e^（at) 的拉普拉斯变换为 1/（s ＋ a) ，其中 a 为常数。
正弦函数sin(ωt) 的拉普拉斯变换为ω/（s^2 ＋ω^2) 。
余弦函数cos(ωt) 的拉普拉斯变换为 s/（s^2 ＋ω^2) 。
以上只是一些简单而常见的函数的拉普拉斯变换，实际应用中会遇到更复杂的函数。
拉普拉斯反变换则是将复频域中的函数 F(s) 转换回时域中的函数f(t) 。
拉普拉斯反变换的公式为：＼f(t) ＝＼frac{1}｛2\pi j} ＼int_{＼sigma j\infty}＾｛＼sigma ＋j\infty} F(s) e^｛st} ds\但在实际计算中，通常使用部分分式展开法、留数法等方法来求解拉普拉斯反变换。
部分分式展开法适用于 F(s) 是两个多项式之比的情况。
首先将 F(s) 分解为若干个简单分式之和，然后分别求出每个简单分式的拉普拉斯反变换，最后将它们相加得到 f(t) 。
留数法是通过计算 F(s) e^｛st} 在 s 平面上奇点处的留数来求得拉普拉斯反变换。
拉普拉斯变换具有许多重要的性质，比如线性性质、微分性质、积分性质等。
线性性质指的是对于任意常数 a 和 b ，以及函数 f1(t) 和 f2(t) ，有：＼La f1(t) ＋ b f2(t) ＝ a Lf1(t) ＋ b Lf2(t)＼微分性质表明，如果 F(s) 是 f(t) 的拉普拉斯变换，那么 f'（t) 的拉普拉斯变换为 sF(s) f(0) 。
电路中的拉普拉斯变换
电路中的拉普拉斯变换
在电路分析中，拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，用于将时域函数转换为复频域函数。
通过拉普拉斯变换，可以将复杂的时域电路模型转换为简单的复频域模型，从而方便地求解电路的响应。
具体来说，对于给定的时域函数或电路，拉普拉斯变换可以通过一系列积分和运算将其转换为复频域函数。
这个复频域函数称为拉普拉斯变换函数，通常用符号F(s) 表示。
在复频域中，电路的数学模型可以表示为代数方程，求解这些方程就可以得到电路的响应。
在实际应用中，拉普拉斯变换主要用于分析线性时不变电路中的初值问题和稳态问题。
通过拉普拉斯变换，可以方便地求解电路的电流、电压、功率等参数，从而评估电路的性能。
需要注意的是，拉普拉斯变换只适用于线性时不变电路的分析。
对于非线性或时变电路，需要采用其他数学工具进行分析。
此外，在进行拉普拉斯变换时，需要注意收敛问题，以避免因计算误差导致结果不准确。