高考数学二轮专题突破 专题七 第2讲 数形结合思想 文(1)

第2讲数形结合思想1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．(5)构建立体几何模型研究代数问题．(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．(7)构建方程模型，求根的个数．(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解.类型一 利用数形结合思想讨论方程的根、函数的零点例1 (2012·辽宁改编)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为________． 答案 6解析 根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3， 则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|， 所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝cos πx .再根据函数性质画出⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤02， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________． 答案 3解析 由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤02， x >0∴方程f (x )＝x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2＋4x ＋2＝x解得x ＝2或x ＝－1或x ＝－2，均合题意． 类型二 利用数形结合思想解不等式或求参数范围例2 (1)(2012·福建)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0解析 由定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ，x ≤0，－x －1x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示． 由图可知，当0<m <14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3.不妨设x 1<x 2<x 3， 易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ＝14，x <0，解得x ＝1－34或x ＝1＋34(舍去)．∴1－34<x 1<0，∴1－316<x 1x 2x 3<0. (2)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．(1)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________． 答案 (1)(－1,0) (2)(10,12)解析 (1)在同一坐标系中，分别作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，由图可知，x 的取值范围是(－1,0)．(2)作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则 －lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c . 由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)． 类型三 利用数形结合思想求最值例3 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值．在同一坐标系中画出直线与圆．作出圆的切线PA 、PB ，则四边形PACB 的面积S 四边形PACB ＝S △PAC ＋S △PBC ＝2S △PAC .解 方法一 从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S Rt△PAC ＝12PA ·AC ＝12PA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，此时PC ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而PA ＝PC 2－AC 2＝2 2.∴(S 四边形PACB )min ＝2·12·PA ·AC ＝2 2.方法二 利用等价转化的思想，设点P 的坐标为(x ，y )， 则PC ＝x －12＋y －12，由勾股定理及AC ＝1， 得PA ＝PC 2－AC 2＝x －12＋y －12－1，从而S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2·12·PA ·AC ＝PA＝x －12＋y －12－1，从而欲求S 四边形PACB 的最小值，只需求PA 的最小值，只需求PC 2＝(x －1)2＋(y －1)2的最小值，即定点C (1,1)与直线上动点P (x ，y )距离的平方的最小值，它也就是点C (1,1)到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离的平方， 即d 2＝(|3×1＋4×1＋8|32＋42)2＝9， ∴(S 四边形PACB )min ＝9－1＝2 2.方法三 利用函数思想，将方法二中S 四边形PACB ＝x －12＋y －12－1中的y 由3x＋4y ＋8＝0解出，代入转化为关于x 的一元二次函数，进而用配方法求最值，也可得(S 四边形PACB )min ＝2 2.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：①要彻底弄清一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论，既分析其几何意义又分析其代数意义．②要恰当设立参数，合理建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化．③要正确确定参数的取值范围．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是________．答案 2解析 画可行域如图所示．又y x的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2得A (1,2)，∴k OA ＝2－01－0＝2.∴y x的最小值为2.1． 在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．2． 有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．3． 利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．4． 数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题时更方便，可以提高解题速度．5． 数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等．1． 已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为________．答案 2解析 作出函数y ＝a |x |，y ＝|log a x |的图象，由图象可知，两图象只有两个交点，故方程有2个实根．2． 设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a 、b 、c 的大小关系为_______．答案 b <a <c解析 a ＝sin 5π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π7＝sin 2π7，又π4<2π7<π2，可通过单位圆中的三角函数线进行比较：如图所示，cos 2π7＝OA ，sin 2π7＝AB ，tan 2π7＝MN ，∴cos 2π7<sin 2π7<tan 2π7，即b <a <c .3． 等差数列{a n }中，a 1>0，S 8＝S 12，则当n ＝________时，S n 取得最大值；S 20＝________.答案 10 0解析 由于等差数列前n 项和可写成S n ＝an 2＋bn 的形式，其图象是过原点的一条抛物线．由已知S 8＝S 12可知对应的二次函数的对称轴应是x ＝10，且公差小 于零，开口向下，有最大值．于是可知n ＝10时，S n 取得最大值．因 为二次函数图象过原点，所以过点(20,0)，即S 20＝0.(如图) 4． 当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，1 解析利用指数函数和对数函数的性质及图象得， ⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1log a 12>412，解得22<a <1. 5． 若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________. 答案2解析 令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)． ∴k ＝22＋21＋2＝ 2.6． 若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 解析 作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.7． 已知实系数方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根x 1，x 2满足0<x 1<1<x 2<2.则a 2＋b 2的取值范围是________．答案 (1,10)解析 令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，由二次方程根的分布(如图①)，可得⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b >0，1＋a ＋2b <0，2＋a ＋b >0，则点(a ，b )所在区域为△ABC 的内部(如图②)．a 2＋b 2的几何意义是区域内的点(a ，b )与原点距离的平方，由图②可看出：OB 2<a 2＋b 2<OA 2，即a 2＋b 2∈(1,10)．8． 设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行．(1)求b 的值；(2)若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≤0，g x ，x >0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解 函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0，g ′(x )＝2bx －1x⇒g ′(1)＝2b －1， 依题意2b －1＝0，所以b ＝12.(2)x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x<0，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x>0，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12；当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解； 当a <0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ， 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图所示：从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解．当a >0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0， 所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a . 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图：从图象看出方程F (x )＝a 2有四个解，则12<a 2<2a ，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，2.。