电路的拉普拉斯变换分析法
(完整版)拉普拉斯变换在一阶和二阶电路的瞬态分析
拉普拉斯变换在一阶和二阶电路的瞬态分析
内容摘要：（1）一阶电路的解法：经典解法和拉普拉斯解法（2）二阶电路的拉普拉斯解法
通过这两个例子中的经典解法和拉普拉斯解法的对比来体现出拉普拉斯变换在解决复杂电路问题的快捷、省时、简便优越性！
关键词：拉普拉斯变换、一阶电路、二阶电路
引言：通常研究电路的稳态只要利用代数方程就行了，而研究电路的瞬态就需要借助于微分方程。
因为只有微分方程才能不仅表明状态而且能表明状态的变换即过程！在分析解决电路瞬态问题时每一个不同的电路瞬态就要建立一个微分方程，解决一些简单问题的微分方程对我们打学生来说相对比较容易一些，而对于一些复杂的高阶微分方程将是一个大难题！本文将通过对一阶电路和二阶电路的微分方程的分析来证明拉普拉斯变换在解决瞬态电路问题是优越性！
正文：随着计算机的飞速发展,系统分析和设计的方法发生了革命化的变革，原来用传统的模拟系统来进行的许多工作现在都可以用数学的方法来完成。
因此，数学电路、离散系统的分析方法就更显的重要了。
拉普拉斯变换一直是分析这类系统的有效方法。
下面用一个实例来证明其的优越性！
例一有一个电路如下图所示，其电源电动势为E=EmSinwt(Em、w都
是常数)，电阻R 和电感L 都是常量，求电流i(t).
解法一——传统法
有电学知识知道，当电流变化时，L 上有感应电动势——L
(t →0)
Us R i +
-。
拉普拉斯变换在电路分析中的应用)
目录
• 引言 • 拉普拉斯变换基本原理 • 电路元件拉普拉斯变换表示 • 线性时不变电路分析 • 非线性电路分析 • 复杂电路分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
电路分析的重要性
电路分析是电气工程和电子工程领域 的基础，对于设计和分析各种电路系 统至关重要。
复杂电路的挑战
独立电流源的拉普拉斯变换表示为 $frac{I}{s}$，其中$I$为电源电流。 在拉普拉斯域中，独立电流源的阻 抗与频率成反比。
传输线元件
传输线
传输线的拉普拉斯变换表示为$frac{1}{sqrt{LC}s}$，其中$L$和$C$分别为传 输线的单位长度电感和电容。传输线的阻抗与频率的平方根成反比，随着频率 的增加而减小。
与傅里叶变换的关系
拉普拉斯变换可视为傅里叶变换的扩展，能够处理更广泛 的信号和系统，包括不稳定系统和具有初始条件的系统。
在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的主要应用包括求解线性时不 变电路的响应、分析电路的稳定性和暂态行为，以及设计 滤波器、控制器等电路元件。
02
拉普拉斯变换基本原理
定义与性质
利用伏安特性曲线或负载线等方 法，通过图形直观分析非线性电 路的工作状态。
解析法
通过建立非线性电路的数学模型， 采用数值计算或符号计算等方法 求解电路方程，得到电路的响应。
仿真法
利用电路仿真软件对非线性电路 进行建模和仿真分析，可以得到 较为准确的电路响应和性能参数。
拉普拉斯变换在非线性电路中应用
逆拉普拉斯变换
定义
逆拉普拉斯变换是将复平面上的函数转换回时域的过程，它 是拉普拉斯变换的逆操作。通过逆拉普拉斯变换，可以得到 电路的时域响应。
45用拉普拉斯变换法分析电路S域元件模型(精)
第三种情况： 0 R 1 2L LC
p1 p2
0
以上四种情况的波形如下
i t
0
0 0 0
O
t
二、 S域元件模型概念及应用
1. 电阻元件(R) 设线性时不变电阻 R 上电压 u(t) 和电流 i(t) 的参考方 向关联， 则R上电流和电压关系(VAR)的时域形式为
E VC ( s ) s
vC t
2E 1 s RC
t 0
E
O
t
E
思考题
• 1. 用拉氏变换分析电路的基本步骤？
• 2.电阻、电感、电容的S域等效模型？
I c ( s)
1 sc
1 v c (0 ) s
I c ( s)
1 sc
cvc (0 )
+
+
vc ( s)
（a)
-
-
+ vc ( s ) （b)
电容元件的非零状态S (a) 串联模型； (b) 并联模型
把电路中的每个元件都用它的s域模型来 代替，将信号用其变换式代替，于是就得
到该电路的s域模型图。对此模型利用KVL
2 2
（5）求逆变换
E i t e p1t e p2t L p1 p2
设
则
R ＝ , 0 2L
2 2
1 LC
2 2
无损耗的LC回路 第一种情况： 0， 0 第二种情况： 0 即R较小，高Q的LC回路，Q 2 第三种情况 0
E 1 这时有重根的情况， I s 表示式为 I s 2 L s R t E t E i t e te 2 L L L R越大，阻尼大，不能产 生振荡，是临界情况 第四种情况： 0 R较大，低Q，不能振荡
电路动态分析的方法
电路动态分析的方法电路动态分析是指对电路中各个元件和节点的电压和电流随时间的变化进行分析。
在电路动态分析中，可以使用多种方法来求解电路的动态响应。
下面将介绍几种常用的电路动态分析方法。
1. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种在时间域和频率域之间进行转换的方法。
通过将电路中的微分方程转换为复频域中的代数方程，可以求解电路的动态响应。
在电路动态分析中，可以利用拉普拉斯变换法求解电路的响应和传输函数，并通过逆拉普拉斯变换将结果转换回时间域。
这种方法适用于线性时间不变系统和输入信号为简单波形的情况。
2. 时域响应法时域响应法是直接求解电路微分方程的方法。
通过对电路中的每个元件应用基尔霍夫定律和欧姆定律，可以得到电路中各个节点和元件的微分方程。
然后，可以采用常微分方程的求解方法，如欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等，来求解电路的动态响应。
时域响应法适用于任何输入信号和非线性电路。
3. 复频域法复频域法是通过复频域分析电路的动态响应。
它利用频率响应函数来描述系统的响应特性，并通过计算复频域中的传输函数和频率响应来求解电路的动态响应。
复频域法常用的分析工具包括频域响应函数、波特图、极点分析等。
复频域法适用于频率变化较大的信号和线性时不变系统。
4. 有限差分法有限差分法是将微分方程转化为差分方程求解的方法。
通过将时间连续的差分方程转换为时间离散的差分方程，可以用数值方法求解电路的动态响应。
有限差分法可以采用欧拉法、梯形法、显式或隐式的Runge-Kutta等方法来求解。
这种方法适用于任何非线性系统和任意输入信号。
5. 传递函数法传递函数法是通过传递函数来描述电路的响应特性。
传递函数是表示输入和输出关系的函数，可以通过对电路进行小信号线性化得到。
利用传递函数可以方便地计算和分析电路的动态响应。
传递函数法适用于线性时不变系统和复频域分析。
在实际应用中，根据具体问题和所需求解的电路，可以选择适合的动态分析方法。
不同方法有各自的优缺点，需要根据具体情况进行选择。
电路的拉普拉斯等效模型
电路的拉普拉斯等效模型电路的拉普拉斯等效模型，也称为电路的拉普拉斯分析方法，是一种广泛应用于电路分析和设计的数学工具。
拉普拉斯等效模型基于拉普拉斯变换理论，能够将电路中的时域变量转化为复平面上的变量，从而更便捷地进行电路分析。
拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为复频域函数的数学变换。
它广泛应用于信号处理、系统控制和电路分析等领域。
在电路分析中，通过拉普拉斯变换，我们可以将电路中的电压和电流信号转换为复频域中的复变量，进而通过计算和求解，得到电路的输出响应和传输函数等重要参数。
在电路中，电压和电流是随时间变化的，因此我们需要找到一种方法来描述它们的变化规律。
拉普拉斯变换提供了一种描述变化规律的数学工具，将时域函数转换为复频域函数。
通过拉普拉斯变换，我们可以得到电路中的电压和电流的复频域表达式，进而可以方便地对电路进行分析和设计。
电路的拉普拉斯等效模型可以用电流源、电压源和阻抗元件（包括电感和电容）来表示。
在等效模型中，阻抗元件会根据它们的阻抗值被转换为复平面上的复阻抗。
电路中的元件连接方式（串联和并联）也可以通过拉普拉斯等效模型来表示。
在分析电路时，我们可以利用拉普拉斯等效模型进行求解。
通过对电路进行拉普拉斯变换，可以将电路中的微分方程转化为代数方程。
进而，我们可以使用代数方程求解的方法，如代数运算或者网络分析，从而得到所需的电路参数。
拉普拉斯等效模型在电路分析和设计中具有重要的应用价值。
它不仅可以用于分析纯电阻电路，还可以用于分析包括电感和电容等元件的复杂电路。
通过拉普拉斯等效模型，我们可以方便地计算电路的频率响应、传输函数和稳态响应等重要参数，从而更好地理解和设计电路。
尽管拉普拉斯等效模型在电路分析和设计中有着广泛的应用，但它也存在一些限制。
由于拉普拉斯变换是一种复杂的数学方法，需要掌握相关的数学知识才能正确应用。
此外，拉普拉斯等效模型在非线性电路中的应用也有一定的局限性。
综上所述，电路的拉普拉斯等效模型是一种基于拉普拉斯变换理论的数学工具。
电路分析第十三章-拉普拉斯变换
f (t) ≤ Me ct
其中M和c 都是实常数，即f(t)为指数级函数。
∫ 则 F (s) = ∞ f (t)e−st dt 0− 在σ > c 的范围内存在。
西南交通大学
证明条件⑵：
∫ 若 ∞ f (t)e−st dt 收敛， 则 L[ f (t)] 也收敛。 0−
)
−
Eε (t
−
t0
)
F (s)
=
L
[
f
(t)] =
E t0
⋅
1 s2
−
E t0
⋅
1 s2
e − st0
−
E
1 e−st0 s
=
E s 2t0
[1− (1+
st0 )e−st0 ]
西南交通大学
3、复频域位移 f (t) ↔ F (s)
f (t)e−αt ↔ F (s + α)
∫ 证明：L [ f (t)e−αt ] = ∞ f (t)e−αte−st dt 0− ∫= ∞ f (t)e−(s+α)t dt = F (s + α) 0−
同理
L[
cosω0t ⋅ε (t)
]=
s
s2 + ω02
5、幂函数tn ，n为正整数
L [ tn
]=
n! s n+1
L[
t
]=
1 s2
西南交通大学
4、幂指数信号 tn n为正整数
L ∫ [t n ] =
∞ 0−
t
en −st
dt
| ∫ =
− tn s
e − st
∞ 0−
电路分析基础-第11章拉普拉斯变换课件
+ am + bn
m
F(s)=H0
i=1
(s–zi)
n
j=1
(s–pj)
H0 实数常数。
zi F(s)的零点。 pj F(s)的极点。
把F(s)分解成若干简单项之和，而这些简单项可
以在拉氏变换表中找到，这种方法称为部分分式
展开法，或称为分解定理。
2. nm F(s)为假分式，用长除法，得：
(1) n=m：F (s) = A +
2 k et cos(t ) (t 0)
cosx 1 (ejx ejx ) 2
应用举例
例：11-8 求F (s) =
s2
s+3 + 2s + 5
பைடு நூலகம்
的原函数f (t)。
解：F (s)
=
s2
s+3 + 2s + 5
=
s
k1 - p1
+
s
k2 - p2
极点为 p1,2 1 j2
k1
N(s) D(s)
？
解： ℒ [t] ℒ [ t ( )d ] 0
ℒ [ (t)]
s
1 s2
4. 延迟性质
ℒ ℒ 例：11-5 求下图所示矩形脉冲的象函数。
f (t) 1
0T
t
解： f (t) (t) (t T )
F (s) 1 1 esT ss
5. 位移性质 ℒ
ℒ 例：11-6 应用位移性质求下列函数的象函数。
简 表
te-at sin(t)
1
(s a)2
F (s)
s2 2
e-atsin(t)
电路的拉普拉斯变换分析法
a 1F 1(s)a2F 2(s)
例 求函数的象函数 f(t)ea1t bae2t
解 L [f(t) ]L [ea 1 tba 2 e t]1 b s-a 1 s-a2
7.2.2 尺度变换
若 f (t) L 则 f1(at) L
F (s) 1 F(s) aa
a为大于零的实数
证明
L [f(a)t ] f(a)e t- sd t tf(a)e t-a sad t at
0-
0-
-(s -a) 0-
1 [1-lime-(s-a)t ] 因s为 j
s - a t
lime-(s-a)t 0
t
lim e e -( -a)t - jt
t
1 s-a
( a)
=0
( a)
a 称为收敛域
拉氏反变换 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换
拉氏变换对
f(t) 1 jF(s)estds
7.3 拉普拉斯反变换
利用拉普拉斯变换法对电路进行暂态分析，最终结果必 须返回时域，就是说还要进行拉普拉斯反变换。 求拉氏反变换最简单的方法是查拉氏变换表
因为变换表中只列出了常用的一些函数，它不可能将一切 函数都包括在内。因此，下面介绍一种基本的方法，部分 分式法。
利用拉普拉斯变换分析电路的暂态过程时所遇到的象函数一般 都是s的实系数有理函数，它的结果可表示成两个多项式之比， 即
f (t)
E
0
T
2
T 2T 3
2T 5T t 2
解
先求第一个半波f 1(t)的拉普拉斯变换
f 1(t)
E
f1tf1atf1bt
0
t
EsinttEsint-T 2t-T 2 f 1a(t)
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次方程的通解，而且初始条件能自动包含在变换式中，对
于换路起始时有突变现象的问题处理更方便； （2）对于常用的阶跃函数、冲激函数、指数函数及一些 超越函数等经变换以后，可转换成为简单的初等函数。
7.2 拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换有许多重要性质。利用这些基本性质可以方便 地求出一些较为复杂函数的象函数，同时通过这些基本性质 可以将电路在时域内的线性常微分方程变换为复频域内的线 性代数方程。从而得到复频域中的等效电路。
s Lcos t t 2 s 2
4、衰减正弦函数 e
- t
sin
t
e - t sin t
1 - - j t - j t e -e 2j
故有
L[e
- at
1 1 1 sin t ] [ ] 2 j ( s a) - j ( s a) j
fc (t) t
T
b
+
0
f (t ) T
+
0
T t
-E
f t f a t fb t f c t
E f a t t t T
fb t - E t - T
E fc t - t - T t - T T
E L f a t 2 Ts E - sT L f b t - e s E - sT L f c t - 2 e Ts
由线性性质
L f t L f a t L f b t L f c t E E - sT E - sT 2- e - 2e Ts s Ts E 2 1 - Ts 1 e - st Ts
( s a)2 2
L[e
- at
sin t ]
- t
( s a) 2 2
5、衰减余弦函数 e 与衰减正 弦函数相 类似可得
L e
cos
t
s
- t
cos t t
s 2
2
6、双曲线正弦函数 sh bt t
L d t 1
书中表7 -1给出了一些常见函数的拉普拉斯变换
拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数 方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它 和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算 中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。 拉氏变换法的优点： （1）求解过程得以简化，又同时给出微分方程的特解及齐
由于是周期函数，因此 f，2(t)可看成是 f 1(t)延时一个周期 构成的， f 3(t)可看成是 f 1(t)延时二个周期构成的，依此 类推则有
f t f1 t f1 t - T f1 t - 2T
根据平移特性，若 则
L f1 t F1 s
sT 2 1 e
半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为
L f t
E 1 e E 2 s 2 2 1 - e - sT s 2
-
sT 2
1 1- e
f (t) E
0
T 2
T
2T 3
2T
5T t 2
解
先求第一个半波f 1(t)的拉普拉斯变换
f 1(t)
E
f1 t f1 a t f1 b t
0 || f 1a(t)
t
T T E sin t t E sin t - t - 2 2
L[t (t )] 1 s2
当n=1时，有
7.1.3 冲激函数 A d（t）
冲激函数的定义
可得
-
d t f t d t f 0
0
L Ad t Ad t e- st d t Ae0 A
对于单位冲激函数来说，可令上式 A=1，即得：
时间平移特性还可以用来求取有始周期函数(t≥0时呈现 周期性的函数 ,在t＜0范围函数值为零)的拉普拉斯变换 f (t)为有始周期函数，其周期为T， f 1(t)、 f 2(t) …分别表 示函数的第一周期，第二周期，…的函数
f t f1 t f 2 t f 3 t
2、正弦函数 sin t t
1 j t - j t sin t e - e 2j
故有
1 j t - j t Lsin t t L e - e t 2j
1 1 1 2 2 j s - j s j s 2
a为大于零的实数
证明 令x=at
L[ f (at)] f (at)e dt f (at)e
- st 0 0 s
s - at a
dat a
- x 1 1 s a L[ f (at)] f ( x)e dx F ( ) a 0 a a
7.2.3 时间变换
若 f (t)
f (t ) e at (t )
解 根据拉氏变换的定义
F ( s ) 0 f (t )e -st dt
-
e -( s - a ) t 0 e at e -st dt 0 e -( s-a ) t dt 0 - ( s - a) 1 [1 - lim e -( s-a ) t ] 因为s j t s-a - ( - a ) t - j t
7.2.1 线性特性
若 f1(t) 则
L
F1(s)
L
f2(t)
L
F2(s)
a1 f1 (t ) a2 f2 (t )
a1 F1 ( s) a 2 F2 ( s)
a1，a2为任意常数
证明
0 a1 f1 (t ) a2 f2 (t ) e
-
- st
dt a1 f1 (t )e dt a2 f 2 (t )e- st dt
F1 s 1 - e - sT
L f t F1 s F1 s e - sT F1 s e - 2 sT F1 s 1 e
- sT
e
- 2 sT
f (t)为有始周期函数，其周期为T，拉普拉斯变换等 于第一周期单个函数的拉普拉斯变换乘以周期因子 1 1 - e - sT 例 求图中半波正弦函数的拉普拉斯变换
t <0 t0 f (t ) 0
0
f (t )e - st dt 为有限值
拉氏正 变换
F ( s) f (t )e - st dt
0-
S j
0
积分下线 0- 后面讨论中写成0
f(t)：原函数；F(S)：f(t)的象函数。
例
用定义求f(t)象函数。其中a为实数，且a>0。
t 7.1.1 指数函数 e t (为常数)
由定义可得
e t t
的拉普拉斯变换为
1 F ( s) s -
由此可导出一些常用函数的变换 ： 1、单位阶跃函数 t
1 F ( s) s -
1 t 0 (t ) 0 t < 0
0
1 L t s
- st 0 t0
令 x t - t0 则
t x t0
dt dx
t0 为常数
L{ f (t - t 0 )} f ( x)e - sx e - st0 dx F ( s )e - st0
例
0
求图中所示的锯齿波的拉普拉斯变换
fa (t)
解
0
f ( t) E
=
t t 0
拉氏变换对
F ( s) L[ f (t )] f (t ) L-1 [ F ( s )]
拉氏正变换 拉氏反变换
工程中常见的函数(除少数例外)有下列两类:(1) t的指数函 数；(2) t的正整幂函数。许多常用的函数如阶跃函数、正 弦函数、衰减正弦函数等，都可由这两类函数导出。 下面来讨论一些常见函数的拉普拉斯变换
- st 00-
a1 F1 (s) a2 F2 (s)
例 解
求函数的象函数
f (t ) e a1t bea2t
L[ f (t )] L[e
a1t
1 b be ] s - a1 s - a 2
a2 t
7.2.2 尺度变换
若 f (t) 则 f1(at)
L L
F (s) 1 s F( ) a a
1 b t -b t sh b t e - e 2
故有
L shb t t
b
s2 - b 2
7、双曲线余弦函数 ch bt t 与双曲线正弦函数相类似可得
s L ch b t t 2 s - b2
7.1.2 t的正幂函数 t n t (n为正整数
Lsin t t 2 2 s
3、余弦函数 cos t t
cos t 1 j t - j t e e 2
故有
1 j t Lcos t t L e e - j t t 2 1 1 1 s 2 2 s - j s j s 2
f (t - t 0 ) f (t - t 0 )
f(t) L L
F (s)
F ( s)e - st0
f(t-t0)
f (t - t 0 ) (t - t 0 )