1.3.3 全称命题与特称命题的否定 (2)
2019高中数学 第一章 1.3.3 全称命题与特称命题的否定作业 北师大版选修1-1
1 1.3.3 全称命题与特称命题的否定 [基础达标] 1.已知命题p：任意x∈N，2x＋1∈N，则p的否定为( )
A．任意x∈N，2x＋1∉N B．存在x∈N，2x＋1∉N C．存在x∈N，2x＋1∈N D．存在x∉N，2x＋1∈N 解析：选B.p为全称命题，其否定为：存在x∈N，2x＋1∉N. 2.命题“存在x∈R，x2－x＜0”的否定是( )
A．存在x∈R，x2－x≥0 B．存在x∈R，x2－2x＞0 C．任意x∈R，x2－x≥0 D．任意x∈R，x2－x＜0 解析：选C.命题“存在x∈R，x2－x＜0的否定是：任意x∈R，x2－x≥0”． 3.命题“原函数与反函数的图像关于y＝x对称”的否定是( )
A．原函数与反函数的图像关于y＝－x对称 B．原函数不与反函数的图像关于y＝x对称 C．存在一个函数，其原函数与反函数的图像不关于y＝x对称 D．存在原函数与反函数的图像关于y＝x对称 解析：选C.命题“任意x∈M，p(x)”的否定是“存在x∈M，非p(x)”． 4.对下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：能被3整除的整数是奇数；非p：存在一个能被3整除的整数不是奇数 B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；非p：存在一个四边形的四个顶点不共圆 C．p：有的三角形为正三角形；非p：所有的三角形都不是正三角形 D．p：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；非p：当x2＋2x＋2＞0时，x∈R 解析：选D.特称命题的否定为全称命题． 5.若命题“存在x∈R，使得x2＋mx＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是
( ) A．[－6，－2] B．[2，6] C．(2，6) D．(－6，－2) 解析：选B.由题知，任意x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0恒成立为真，∴Δ≤0可得m∈[2，6]，选B. 6.命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________．
解析：这是一个全称命题，其否定为存在x∈R，使|x－2|＋|x－4|≤3成立． 答案：存在x∈R，使|x－2|＋|x－4|≤3成立 7.命题“存在x，y＜0，x2＋y2≥2xy”的否定为________．
2020高中数学 第一章 1.3.3 全称命题与特称命题的否定训练案 北师大版选修2-1
1.3.3 全称命题与特称命题的否定[A.基础达标]1．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题“对任意的x ∈A ，2x ∈B ”，则该命题的否定是( ) A ．对任意x ∈A ，2x ∉B B ．对任意x ∉A ，2x ∉B C ．存在x ∉A ，2x ∈B D ．存在x ∈A ，2x ∉B解析：选D.因为对任意都满足的否定是存在不满足的． 2．下列四个命题中，真命题是( )A ．对任意的x ∈R ，x ＋1x≥2B ．存在x ∈R ，x ＋1x≥2C ．存在x ∈R ，|x ＋1|<0D ．对任意的x ∈R ，|x ＋1|>0解析：选B.对于A ：当x ＝－1时，x ＋1x＝－2<2，排除A ；对任意x ∈R ，|x ＋1|≥0，排除C 和D ，故选B.3．命题“原函数与反函数的图像关于y ＝x 对称”的否定是( ) A ．原函数与反函数的图像关于y ＝－x 对称 B ．原函数不与反函数的图像关于y ＝x 对称C ．存在一个函数，其原函数与反函数的图像不关于y ＝x 对称D ．存在原函数与反函数的图像关于y ＝x 对称解析：选C.命题“任意x ∈M ，p (x )”的否定是“存在x ∈M ，p (x )不成立”．4．已知命题p ：“对任意的x ∈R ，存在m ∈R ，使4x ＋2x·m ＋1＝0”．若命题p 的否定是假命题，则实数m的取值范围是( )A ．－2≤m ≤2B ．m ≥2C ．m ≤－2D ．m ≤－2或m ≥2 解析：选C.由p 的否定为假命题可知p 为真命题，由4x ＋2x ·m ＋1＝0得m ＝－(2x ＋2－x)，对任意的x ∈R ，2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2，故－[2x ＋2－x]≤－2， 由题意可得m ≤－2. 5．已知函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋3|，命题p ：存在x ∈R ，f (x )<a .则“命题p 是假命题”是“a <5”的( ) A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件解析：选D.因为命题“存在x ∈R ，|x －2|＋|x ＋3|<a ”为假命题，所以它的否定：“对任意的x ∈R ，|x －2|＋|x ＋3|≥a ”为真命题，对于对任意的x ∈R ，|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，所以a ≤5.所以“命题p 是假命题”是“a <5”的必要不充分条件．6．命题“存在x ，y ＜0，x 2＋y 2≥2xy ”的否定为________．解析：这是一个特称命题，其否定为：对任意的x ，y ＜0，都有x 2＋y 2＜2xy .答案：对任意的x ，y ＜0，x 2＋y 2＜2xy 恒成立7．命题“同位角相等”的否定为________，否命题为________．解析：这是一个全称命题，其否定为：有的同位角不相等，否命题是对原命题的条件和结论都否定，其否命题为：若两个角不是同位角，则它们不相等．答案：有的同位角不相等 若两个角不是同位角，则它们不相等8．若命题：“存在x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知Δ＝(1－a )2－4>0，解得a <－1或a >3.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)9．写出下列全称命题或特称命题的否定．(1)存在α，β∈Z ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(2)对任意的x ∈R ，都有x 2－x ＋14≥0；(3)每条直线在y 轴上都有一个截距． 解：(1)特称命题的否定为：对任意的α、β∈Z ，使sin(α＋β)≠sin α＋sin β. (2)全称命题的否定为：存在x ∈R ，使x 2－x ＋14＜0.(3)全称命题的否定为：存在一条直线在y 轴上没有截距．10．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：无论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0； (3)r ：等圆的面积相等，周长相等；(4)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.解：(1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定为：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，所以p 的否定是真命题．(2)这一命题的否定是：对所有实数x ，都有x 2＋x ＋1>0.利用配方法可以验证q 的否定是一个真命题． (3)这一命题的否定是：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知r 的否定是一个假命题．(4)这一命题的否定是存在α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≠1.由于命题s 是真命题，所以s 的否定是假命题．[B.能力提升]1．若“任意x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ＜1B ．m ≤1C ．m ≤2D ．1≤m ≤2解析：选C.令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π2]，可知f (x )在[0，π6]上为增函数，在(π6，π2]上为减函数，由于f (0)＝3，f (π6)＝2，f (π2)＝1，所以1≤f (x )≤2，由于“任意x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题，则其否定“存在x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x≥m ”为真命题，所以m ≤f (x )max ＝2.2．已知函数f (x )＝2x 2＋(4－m )x ＋4－m ，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A ．[－4，4]B ．(－4，4)C ．(－∞，4)D ．(－∞，－4)解析：选C.显然f (x )>0恒成立，满足条件时(4－m )2－8(4－m )<0，解得－4<m <4.当m ＝4时，f (x )＝2x 2，g (x )＝4x ，对x ＝0时不满足条件，当m ＝－4时，f (x )＝2(x ＋2)2，g (x )＝－4x ，由两个函数图像知满足条件，所以由排除法知选C.3．命题“任意x ∈R ，若y >0，则x 2＋y >0”的否定是________．解析：已知命题是一个全称命题，其否定为特称命题，先将“任意”换成“存在”再否定结论， 即命题的否定是：存在x ∈R ，若y >0，则x 2＋y ≤0.答案：存在x ∈R ，若y >0，则x 2＋y ≤04．定义在R 上的运算⊙：x ⊙y ＝x (1－y )，对任意x ∈R ，不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由已知，(x －a )[1－(x ＋a )]<1对任意的x ∈R 恒成立，即对任意x ∈R ，－x 2＋x ＋a 2－a －1<0恒成立时，求参数a 的范围．由Δ＝1＋4(a 2－a －1)<0，解得－12<a <32.答案：(－12，32)5．已知两个命题：r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0，如果对任意x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．解：因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，所以当r (x )是真命题时，m ＜－ 2.又因为对任意x ∈R ，s (x )是真命题时，即x 2＋mx ＋1＞0恒成立，有Δ＝m 2－4＜0， 所以－2＜m ＜2.所以当r (x )为真命题，s (x )为假命题时，m ＜－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2； 当r (x )为假命题，s (x )为真命题时，m ≥－2，且－2＜m ＜2，即－2≤m ＜2. 综上，m 的取值范围是{m |m ≤－2或－2≤m ＜2}．6．(选做题)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1，0)，是否存在常数a 、b 、c ，使不等式x ≤f (x )≤1＋x22对一切实数x 均成立？解：假设存在常数a 、b 、c ，使题设命题成立． 因为f (x )的图像过点(－1，0)， 所以a －b ＋c ＝0.因为x ≤f (x )≤1＋x22对一切x ∈R 均成立，所以当x ＝1时，也成立，即1≤a ＋b ＋c ≤1，故有a ＋b ＋c ＝1.所以b ＝12，c ＝12－a .所以f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a .故应x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22对一切x ∈R 成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，（1－2a ）x 2－x ＋2a ≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ1≤0，Δ2≤0，a >0，1－2a >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧14－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ≤0，1－8a （1－2a ）≤0，a >0，1－2a >0.所以a ＝14，所以c ＝12－a ＝14.所以存在一组常数：a ＝14，b ＝12，c ＝14，使不等式x ≤f (x )≤1＋x22对一切实数x 均成立．。
高中数学 1.3.3 全称命题与特称命题的否定课时作业 北师大版选修2-1
高二数学 3.3 全称命题与特称命题的否定课时目标理解全称命题、特称命题的含义，能正确地对全称命题和特称命题进行否定．1．要说明一个全称命题是错误的，只需找出__________就可以了．2．全称命题的否定是______________．3．要证明一个特称命题是错误的，只要说明这个特称命题的否定是__________．4．特称命题的否定是____________．一、选择题1．“a和b都不是偶数”的否定形式是( )A．a和b至少有一个是偶数B．a和b至多有一个是偶数C．a是偶数，b不是偶数D．a和b都是偶数2．命题“某些平行四边形是矩形”的否定命题是( )A．某些平行四边形不是矩形B．任何平行四边形是矩形C．每一个平行四边形都不是矩形D．以上都不对3．命题“原函数与反函数的图像关于y＝x对称”的否定是( )A．原函数与反函数的图像关于y＝－x对称B．原函数不与反函数的图像关于y＝x对称C．存在一个原函数与反函数的图像不关于y＝x对称D．存在原函数与反函数的图像关于y＝x对称4．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋1 998”的否定是( )A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋1 998B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋1 998C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋1 998D．以上都不对5．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( )A．不存在x0∈R,2x0>0B．存在x0∈R,2x0≥0C．对任意的x∈R,2x≤0D．对任意的x∈R,2x>06．命题“任意四边形都有外接圆”的否定为( )A．任意四边形都没有外接圆B．任意四边形不都有外接圆C．有的四边形没有外接圆D题号12345 6答案二、填空题7．命题“零向量与任意向量共线”的否定为___________________________________．8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：__________________________________________.9．命题p：对任意x∈R，使f(x)≥m成立，则命题p的否定是______________．三、解答题10．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有些质数是奇数；(2)所有二次函数的图象都开口向上；(3)存在x0∈Q，x20＝5；(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．11．已知命题“存在x0∈R，ax20－2ax0－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．能力提升12．命题r：存在x∈R，使1x2＋4x－5>0的否定为( )A．对任意x∈R，1x2＋4x－5<0 B．对任意x∈R，x2＋4x－5≤0C．对任意x∈R，1x2＋4x－5≤0D．对任意x∈R，1x2＋4x－5>03．3 全称命题与特称命题的否定知识梳理1．一个反例 2.特称命题 3.正确的 4.全称命题作业设计1．A [在a、b是否为偶数的四种情况中去掉a和b都不是偶数还有三种情况，即a 偶b奇，a奇b偶，a偶b偶，故选A.]2．C [特称命题的否定是把存在量词变为全称量词，然后否定结论．所以选C.] 3．C [要把隐含的全称量词找出变为存在量词，然后否定结论．]4．C [特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．]5．D [命题的否定是“对任意的x∈R,2x>0”．]6．C7．存在一个向量与零向量不共线8．存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根9．存在x0∈R，使f(x0)<m成立10．解(1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．(3)“存在x0∈Q，x20＝5”是特称命题，其否定为“任意x∈Q，x2≠5”，真命题．(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，真命题．11．解因为命题“存在x0∈R，ax20－2ax0－3>0”的否定形式为：对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知这个否定形式的命题是真命题．事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax2－2ax －3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a<0；综合以上两种情形可知，实数a的取值范围是[－3，0]．12．B [命题可等价转化为：存在x∈R，x2＋4x－5>0；根据固定的格式写它的否定形式为：任意x∈R，x2＋4x－5≤0.]。
高考数学复习点拨：全称命题与特称命题的否定
全称命题与特称命题的否定广东 孙凤琴全称命题与特称命题是两类特殊的命题，也是两类新型命题，这两类命题的否定又是这两类命题中的重要概念，为使你较全面、较准确的掌握这一特殊概念,本文将谈下述四点,也许对你会有帮助.1、书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手,书写命题的否定例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：（1）:p 对任意的x ∈R ,210xx ++=都成立； （2）:p x ∃∈R ，2250x x ++>．分析：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题;又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，:p ⌝存在一个x ∈R ，使210x x ++≠成立，即x ∃∈R ，使210x x ++≠成立；（2）由于“x ∃∈R ”表示存在实数中的一个x ，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是特称命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，:p ⌝对任意一个x 都有2250xx ++≤，即x ∀∈R ,2250x x ++≤． 2．书写命题的否定时，一定要注重理解数学符号的意义 有些数学符号，表面看我们已非常熟悉，其实不一定；如：x ∈R ，谈到它的否定，很多同学会认为是:x ≠R ，其实不然．我们从一个例子看起：若x ∈R ，则方程2210x x ++=有解；这是个真命题,当然,它的逆否命题也是真命题；而它的逆否命题是什么呢？是“若方程2210++=无解，则x∉R”吗？这个命题是假命题．显然，它x x不是我们要的逆否命题．问题出在哪里？出在x∈R的否定并不是x∉R上,那么x∈R的否定到底是什么？其实，x∈R表示x是任意实数，其否定应该是：x不是任意实数;例2 判断命题“x∈R,则方程2210++=有解”是全称命题还是特x x称命题,并写出它的否定．分析：由于x∈R表示x是任意实数,即命题中含有全称量词“任意的”；因而是全称命题；其否定是：“x不是任意实数，则方程2210++=x x无解”．3．由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题;特称命题的否定一定是全称命题．4．命题的否定与否命题（1）命题的否定是针对仅含一个量词的全称命题与特称命题．显然，并非所有命题都有写出它的否定的必要;如“若x y=，则22=”x y不含量词；再如“[]11y∃∈，，使22x∀∈-，，[]01++≥"含有两个量词;这x xy y32些命题的否定可能存在,但不在我们学习的范围；而这些命题的否命题都在我们的学习范围内;（2）以量词为前提的命题．如命题：“x∀∈R，若0y>，则20+>”x y的否命题为“x∀∈R，若0y≤，则20+≤”；而此命题的否定为“x∃∈R,x y若0y>，则20+≤”；显然，两者的区别很大．x y。
(完整版)3.3全称命题与特称命题的否定
3.3全称命题与特称命题的否定明目标、知重点通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，说明这个全称命题的否定是正确的．2．全称命题的否定是特称命题．3．要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，说明这个特称命题的否定是正确的．4．特称命题的否定是全称命题．探究点一全称命题的否定思考1你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)三个给定产品都是次品．答(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)三个给定产品中至少有一个是正品．思考2全称命题的否定有什么特点？答全称命题的否定是特称命题．例1写出下列全称命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.解(1)存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)存在x0∈Z，x20的个位数字等于3.反思与感悟全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．跟踪训练1写出下列命题的否定：(1)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(2)任意a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；(3)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)是全称命题，其否定：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．(2)是全称命题，其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一．(3)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.探究点二特称命题的否定思考怎样对特称命题进行否定？答对特称命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．例2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)存在x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定：“任意x，y∈Z，2x＋y≠3”．由于当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．反思与感悟特称命题的否定是全称命题，否定的关键是量词的否定形式和判断词的改变．跟踪训练2写出下列特称命题的否定：(1)存在一个x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(2)有的三角形是等边三角形；(3)有一个素数含三个正因数．解(1)对任意的x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)所有的三角形都不是等边三角形．(3)每一个素数都不含三个正因数．探究点三 特称命题、全称命题的综合应用例3 已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．解在区间[－1,1]中至少存在一个实数c ，使得f (c )>0的否定是在[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立．又由二次函数的图像特征可知，⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≤0，f (1)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0， 即⎩⎨⎧ p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3.∴p ≥32或p ≤－3. 故p 的取值范围是－3<p <32. 反思与感悟 通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免烦杂的运算．跟踪训练3 若任意x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________________． 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 依题意有0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔ －2<a <－1或1<a < 2.1．下列4个命题：p 1：存在x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ； p 2：存在x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ； p 3：任意x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ；p 4：任意x ∈(0，13)，(12)x <log 13x . 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4答案 D解析 取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32<1.p 2正确． 当x ∈(0，13)时，(12)x <1，而log 13x >1，p 4正确． 2．对下列命题的否定说法错误的是( )A ．命题：能被2整除的数是偶数；命题的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数B ．命题：有些矩形是正方形；命题的否定：所有的矩形都不是正方形C ．命题：有的三角形为正三角形；命题的否定：所有的三角形不都是正三角形D ．命题：存在x ∈R ，x 2＋x ＋2≤0；命题的否定：任意x ∈R ，x 2＋x ＋2>0答案 C解析 “有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C 错误．3．命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是____________________________． 答案 存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3解析 由定义知命题的否定为“存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3”．4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________________________________________． 答案 有的向量与零向量不共线解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”．[呈重点、现规律]对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．一、基础过关1．命题“任意x∈R，x2－x＋2≥0”的否定是()A．存在x∈R，x2－x＋2≥0B．任意x∈R，x2－x＋2≥0C．存在x∈R，x2－x＋2<0D．任意x∈R，x2－x＋2<0答案C解析“≥”的否定是“<”，全称命题的否定是特称命题．2．对命题：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定为()A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根答案C解析若命题是特称命题，其否定形式为全称命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根．3．“命题‘存在x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为“存在x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，所以“任意x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题．所以Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.所以“命题‘存在x∈R，x2＋ax－4a<0’为假命题”是“－16≤a≤0”的充要条件．4．命题“一次函数都是单调函数”的否定是()A．一次函数都不是单调函数B．非一次函数都不是单调函数C．有些一次函数是单调函数D．有些一次函数不是单调函数答案D解析命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．5．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．答案存在x0∈R，使得x20<0解析“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x20<0”．6．若命题“存在实数x，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析由题意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，解得a<－1或a>3.7．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．二、能力提升8．下列命题中的假命题是()A．任意x∈R,2x－2 014>0 B．任意x∈N＋，(x－1)2>0C．存在x0∈R，lg x0<1 D．存在x0∈R，tan x0＝2答案B解析A中命题是全称命题，易知2x－2 014>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是特称命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；D中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．9．已知命题“三角形有且仅有一个外接圆”，则命题的否定为“__________________________________________”．答案 存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆解析 全称命题的否定是特称命题．10．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是__________．答案 3≤m <8解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8，故实数m 的取值范围是3≤m <8.11．命题p 是“对某些实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”，其中a 、b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a 、b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解 (1)命题p 的否定：对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b >0.(2)要使命题p 的否定为真，需要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，x －b >0的解集不为空集， 通过画数轴可看出，a 、b 应满足的条件是b <a .12．已知命题p ：“至少存在一个实数x ∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．解 由已知得命题p 的否定：任意x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立． ∴设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3， ∵命题p 的否定为假，∴a >－3，即a 的取值范围是(－3，＋∞)．三、探究与拓展13．已知命题p ：存在x ∈R ，使得x 2－2ax ＋2a 2－5a ＋4＝0；命题q ：任意x ∈[0,1]，都有(a 2－4a ＋3)x －3＜0.若p 和q 中具有一个真命题，求实数a 的取值范围．解 若命题p 为真命题，则有Δ＝4a 2－4(2a 2－5a ＋4)≥0，解得1≤a ≤4. 对于命题q ，令f (x )＝(a 2－4a ＋3)x －3，若命题q 为真命题，则有f (0)＜0且f (1)＜0，可得0＜a ＜4.由题设知命题p 和q 中有且只有一个真命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤a ≤4，a ≤0或a ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜1或a ＞4，0＜a ＜4，解得0＜a ＜1或a ＝4，故所求a 的取值范围是0＜a ＜1或a ＝4.。
2019年数学北师大版选修21课件：第一章33 全称命题与特称命题的否定语文
解：p
的否定为：“对任意
x∈[1，＋∞)，log12x≥0
或1无 log2x
意义”．
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第一章 常用逻辑用语
1．命题“对任意的 x∈R，sin x>0”的否定是( A ) A．存在 x∈R，sin x≤0 B．对任意的 x∈R，sin x≤0 C．存在 x∈R，sin x<0 D．对任意的 x∈R，sin x<0 解析：这是一个全称命题，其否定为：存在 x∈R，sin x ≤0.
解析：(1)该命题的否定“对任意的 x∈R，都有 x2＋mx＋2m －3≥0”为真命题，即 Δ＝m2－4(2m－3)≤0，得 m∈[2，6]． (2)该命题的否定“存在实数 x，使得 x2＋2x＋a≤0”为真命 题，即 Δ＝22－4a≥0 得 a≤1.
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第一章 常用逻辑用语
易错警示
因否定不全面致误
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第一章 常用逻辑用语
1．对全称命题与特称命题的否定要注意以下两点 (1)对省略全称量词的全称命题要补回全称量词再否定．解题中 遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式，这时 应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式． (2)要注意命题的否定形式不唯一．
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第一章 常用逻辑用语
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第一章 常用逻辑用语
[方法归纳] (1)当含一个量词的命题真假不易判断时，可转化为对其否定 的真假判断； (2)已知含一个量词的命题为假命题，求参数的范围时，常转 化为其否定为真命题加以求解．
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第一章 常用逻辑用语
3．(1)若命题“存在 x∈R，使得 x2＋mx＋2m－3<0”为假命
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第一章 常用逻辑用语
第一章全称命题与特称命题的否定
3.3 全称命题与特称命题的否定学习目标 1.了解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．知识点一 全称命题的否定思考 对下列全称命题如何否定？(1)所有奇函数的图像都过原点；(2)对任意实数x，都有x2－2x＋1>0.答案 (1)有的奇函数的图像不过原点；(2)存在实数x，使x2－2x＋1≤0.梳理 要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．一般地，全称命题“所有的x∈A，使p(x)成立”的否定为特称命题“存在x∈A，使p(x)不成立”．知识点二 特称命题的否定思考 对下列特称命题如何否定？(1)有些四棱柱是长方体；(2)存在一些周期函数是奇函数．答案 (1)所有的四棱柱都不是长方体；(2)所有的周期函数都不是奇函数．梳理 要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．一般地，特称命题“存在x∈A，使p(x)成立”的否定为全称命题“所有的x∈A，使p(x)不成立”．1．若命题p是含一个量词的命题，则p与其否定真假性相反．( √ )2．从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( × )3．从全称命题的否定看，既要把全称量词转换为存在量词，又要把p(x)否定．( √ )类型一 全称命题的否定例1 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任意n∈Z，则n∈Q；(2)等圆的面积相等，周长相等；(3)偶数的平方是正数．考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定解 (1)存在n∈Z，使n∉Q，这是假命题．(2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．(3)存在偶数的平方不是正数，这是真命题．反思与感悟 1.写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．2．有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定解 (1)存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)存在x∈Z，x2的个位数字等于3.类型二 特称命题的否定例2 写出下列特称命题的否定：(1)存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；(2)有的三角形是等边三角形；(3)有一个素数含三个正因数．考点 特称命题的否定题点 含存在量词的命题的否定解 (1)任意x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)所有的三角形都不是等边三角形．(3)每一个素数都不含三个正因数．反思与感悟 与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定．跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)存在x，y∈Z，使得2x＋y＝3.考点 特称命题的否定题点 含存在量词的命题的否定解 (1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定：“任意x，y∈Z，2x＋y≠3”．∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．类型三 含有一个量词的命题的否定的应用例3 已知命题p(x)：sin x＋cos x>m，q(x)：x2＋mx＋1>0.如果对于任意x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题，求实数m的取值范围．考点 全称命题与特称命题的否定题点 由全称命题与特称命题的真假求参数的范围解 ∵sin x＋cos x＝2sin(x＋π4)>m，若p(x)为真命题，则m<－2.∵p(x)为假命题，∴m≥－2，①由q(x)为真命题，得”＝m2－4<0，即－2<m<2，②由①②可得－2≤m<2.引申探究 若例3中“如果对于任意x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题”改为“如果对于任意x∈R，p(x)与q(x)有且仅有一个是真命题”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解 由例3知p(x)为真命题时，m<－2，q(x)为真命题时，－2<m<2.由题意知p(x)与q(x)两命题有一真一假，当p(x)为真，q(x)为假时，{m<－2，m≤－2或m≥2，得m≤－2.当p(x)为假，q(x)为真时，{m≥－2，－2<m<2，得－2≤m<2.所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)．反思与感悟 若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．跟踪训练3 已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围解 在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在区间[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图像特征可知，{f－1≤0，f1≤0， 即 {4＋2p－2－2p2－p＋1≤0，4－2p－2－2p2－p＋1≤0，即{p≥1或p≤－12，p≥32或p≤－3.∴p≥32或p≤－3.故p的取值范围是－3<p<32.1．命题“任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )A．任意x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．任意x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．存在x∈[0，＋∞)，x3＋x<0D．存在x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定答案 C解析 全称命题的否定是特称命题．2．下列命题的否定为假命题的是( )A．存在x∈R，x2＋2x＋2≤0B．任意x∈R，lg x＜1C．所有能被3整除的整数都是奇数D．任意x∈R，sin2x＋cos2x＝1考点 特称命题的否定题点 含有一个量词的命题真假判断答案 D解析 对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以存在x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；对于选项B，因为当x＞10时，lg x＞1，所以任意x∈R，lg x＜1是假命题，故其否定为真命题；对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；对于选项D，显然成立，因此其否定是假命题．3．若“存在x∈[]0，π2，sin x cos x>m”为假命题，则实数m的取值范围是________．考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围答案 [12，＋∞解析 由题意知，对任意的x∈[]0，π2，sin x cos x≤m为真命题；又∵sin x cos x＝12sin 2x∈[]0，12，∴m≥12.4．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)有些三角形的三条边相等；(3)余弦值为负数的角是钝角．考点 含有量词的命题的否定的应用题点 全称命题与特称命题的否定及真假判断解 (1)这一命题可表述为对任意的实数m，方程x2＋mx－1＝0必有实数根．其否定：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根，因为该方程的判别式”＝m2＋4>0恒成立，故为假命题．(2)原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等”，假命题．(3)原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角”，真命题．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．一、选择题1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题为“对任意的x∈A,2x∈B”，则该命题的否定是( )A．对任意x∈A,2x∉BB．对任意x∉A,2x∉BC．存在x∉A,2x∈BD．存在x∈A,2x∉B考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定答案 D2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定答案 D解析 原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定．3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )A．存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定答案 C解析 由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.4．已知命题p：任意x>0，总有(x＋1)e x>1，则命题p的否定为( )A．存在x≤0，使得(x＋1)e x≤1B．存在x>0，使得(x＋1)e x≤1C．任意x>0，总有(x＋1)e x≤1D．任意x≤0，总有(x＋1)e x≤1考点 全称命题的否定题点 全称命题的否定答案 B解析 “任意x>0，总有(x＋1)e x>1”的否定是“存在x>0，使得(x＋1)e x≤1”．故选B. 5．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则命题p的否定为( ) A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根考点 特称命题的否定题点 含存在量词命题的否定答案 C解析 命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即为对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．6．已知命题p：存在x∈R，x2＋ax＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( ) A．[0,4]B．(0,4)C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)考点 全称命题与特称命题的否定的应用题点 由全称命题与特称命题的真假求参数范围答案 A解析 ∵p是假命题，∴任意x∈R，x2＋ax＋a≥0恒成立，∴”＝a2－4a≤0，∴0≤a≤4.7．下列命题中是假命题的是( )A．存在m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减少的B．任意a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点C．存在±，²∈R，使cos(±＋²)＝cos ±＋sin ²D．任意Æ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋Æ)都不是偶函数考点 全称命题与特称命题的真假判断题点 全称命题与特称命题的真假判断答案 D解析 ∵f(x)为幂函数，∴m－1＝1，∴m＝2，f(x)＝x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上是减少的，故A真；∵y＝ln2x＋ln x的值域为[－14，＋∞，∴对任意a>0，方程ln2x＋ln x－a＝0有解，即f(x)有零点，故B真；当±＝π6，²＝2 À时，cos(±＋²)＝cos ±＋sin ²成立，故C真；当Æ＝π2时，f(x)＝sin(2x＋Æ)＝cos 2x为偶函数，故D为假命题．8．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)”为真命题，则下列结论一定正确的是( )A．a≥0 B．a<0 C．b≤0 D．b>1答案 B解析 函数f(x)＝|2x－1|的图像如图所示．由图可知f(x)在(－∞，0]上是减少的，在(0，＋∞)上是增加的，所以要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)为真命题，则必有a<0，故选B.9．已知二次函数f(x)＝2x2－(a＋6)x－2a2－a，若在区间[0,1]内至少存在一个实数b，使f(x)>0，则实数a的取值范围是( )A.(－12，0B.(－12，12C.(0，12D.[]－12，0考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围答案 A解析 考虑原命题的否定，即在区间[0,1]内的所有的实数b，使f(b)≤0，所以有 {f0≤0，f1≤0，即{2a2＋a≥0，a2＋a＋2≥0，解得a≤－12或a≥0，故若在区间[0,1]内至少存在一个实数b，使f(b)>0，则实数a的取值范围为(－12，0.二、填空题10．若命题：“存在x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 由题意可知”＝(1－a)2－4>0，解得a<－1或a>3.11．若任意x∈R，f(x)＝(a2－1)x是减函数，则a的取值范围是______________．考点 全称量词与全称命题的真假判断题点 恒成立求参数的范围答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 ∵f(x)＝(a2－1)x是减函数，∴0<a2－1<1，∴1<a2<2，∴a∈(－2，－1)∪(1，2)．12．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．考点 全称命题与特称命题的否定的应用题点 由全称命题与特称命题的真假求参数的范围答案 [3,8)解析 因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，故实数m的取值范围是[3,8)．三、解答题13．已知命题p：存在x∈R，使得x2－2ax＋2a2－5a＋4＝0；命题q：任意x∈[0,1]，都有(a2－4a＋3)x－3＜0.若p和q中具有一个真命题，求实数a的取值范围．考点 全称命题与特称命题的否定的应用题点 由全称命题与特称命题的真假求参数范围解 若命题p为真命题，则有”＝4a2－4(2a2－5a＋4)≥0，解得1≤a≤4.对于命题q，令f(x)＝(a2－4a＋3)x－3，若命题q为真命题，则有f(0)＜0且f(1)＜0，可得0＜a＜4.由题设知命题p和q中有且只有一个真命题，所以{1≤a≤4，a≤0或a≥4或{a＜1或a＞4，0＜a＜4，解得0＜a＜1或a＝4，故所求a的取值范围是0＜a＜1或a＝4.四、探究与拓展14．已知函数f(x)＝2x2＋(4－m)x＋4－m，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( )A．[－4,4]B．(－4,4)C．(－∞，4) D．(－∞，－4)答案 C解析 显然f(x)>0恒成立，满足条件时(4－m)2－8(4－m)<0，解得－4<m<4.当m＝4时，f(x)＝2x2，g(x)＝4x，对x＝0时不满足条件，当m＝－4时，f(x)＝2(x＋2)2，g(x)＝－4x，由两个函数图像(图略)知满足条件，所以由排除法知选C.15．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的图像过点(－1,0)，是否存在常数a，b，c，使不等式x≤f(x)≤1＋x22对一切实数x均成立？解 假设存在常数a，b，c，使题设命题成立．因为f(x)的图像过点(－1,0)，所以a－b＋c＝0.因为x≤f(x)≤1＋x22对一切x∈R均成立，所以当x＝1时，也成立，即1≤a＋b＋c≤1，故有a＋b＋c＝1.所以b＝12，c＝12－a.所以f(x)＝ax2＋12x＋12－a.故应x≤ax2＋12x＋12－a≤1＋x22对一切x∈R成立，即 {ax2－12x＋12－a≥0，1－2ax2－x＋2a≥0恒成立⇔{Δ1≤0，Δ2≤0，a>0，1－2a>0，即 {14－4a(12－a≤0，1－8a1－2a≤0，a>0，1－2a>0.所以a＝14，所以c＝12－a＝14.所以存在一组常数：a＝14，b＝12，c＝14，使不等式x≤f(x)≤1＋x22对一切实数x均成立．。
2019高中数学 第一章 1.3.3 全称命题与特称命题的否定课时作业 北师大版选修2-1
1.3.3 全称命题与特称命题的否定[基础达标]1.已知命题p：任意x∈N，2x＋1∈N，则p的否定为( )A．任意x∈N，2x＋1∉NB．存在x∈N，2x＋1∉NC．存在x∈N，2x＋1∈ND．存在x∉N，2x＋1∈N解析：选B.p为全称命题，其否定为：存在x∈N，2x＋1∉N.2.命题“存在x∈R，x2－x＜0”的否定是( )A．存在x∈R，x2－x≥0B．存在x∈R，x2－2x＞0C．任意x∈R，x2－x≥0 D．任意x∈R，x2－x＜0解析：选C.命题“存在x∈R，x2－x＜0的否定是：任意x∈R，x2－x≥0”．3.命题“原函数与反函数的图像关于y＝x对称”的否定是( )A．原函数与反函数的图像关于y＝－x对称B．原函数不与反函数的图像关于y＝x对称C．存在一个函数，其原函数与反函数的图像不关于y＝x对称D．存在原函数与反函数的图像关于y＝x对称解析：选C.命题“任意x∈M，p(x)”的否定是“存在x∈M，非p(x)”．4.对下列命题的否定说法错误的是( )A．p：能被3整除的整数是奇数；非p：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；非p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C．p：有的三角形为正三角形；非p：所有的三角形都不是正三角形D．p：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；非p：当x2＋2x＋2＞0时，x∈R解析：选D.特称命题的否定为全称命题．5.若命题“存在x∈R，使得x2＋mx＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是( )A．[－6，－2] B．[2，6]C．(2，6) D．(－6，－2)解析：选B.由题知，任意x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0恒成立为真，∴Δ≤0可得m∈[2，6]，选B.6.命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________．解析：这是一个全称命题，其否定为存在x∈R，使|x－2|＋|x－4|≤3成立．答案：存在x∈R，使|x－2|＋|x－4|≤3成立7.命题“存在x，y＜0，x2＋y2≥2xy”的否定为________．解析：这是一个特称命题，其否定为：对任意x，y＜0，都有x2＋y2＜2xy.答案：对任意x ，y ＜0，x 2＋y 2＜2xy 恒成立8.已知命题p ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：p 为特称命题，又是假命题，故其否定：“对任意x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ＞0恒成立”为真命题，故Δ＝(2a )2－4a ＜0，解得a ∈(0，1)．答案：(0，1)9.写出下列全称命题或特称命题的否定．(1)存在α0，β0∈Z ，使sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0； (2)对任意的x ∈R ，都有x 2－x ＋14≥0；(3)存在n ∈N ，2n＞1 000；(4)每条直线在y 轴上都有一个截距． 解：(1)特称命题的否定为：对任意的α、β∈Z ，使sin(α＋β)≠sin α＋sin β. (2)全称命题的否定为： 存在x ∈R ，使x 2－x ＋14＜0.(3)特称命题的否定为： 对任意的n ∈N ，有2n≤1 000. (4)全称命题的否定为：存在一条直线在y 轴上没有截距．10.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图像都开口向下； (3)存在一个四边形不是平行四边形． 解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°. (2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下． (3)是特称命题且为真命题．命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．[能力提升]1.若“任意x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ＜1B ．m ≤1C ．m ≤2D ．1≤m ≤2解析：选C.令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π2]，可知f (x )在[0，π6]上为增函数，在(π6，π2]上为减函数，由于f (0)＝3，f (π6)＝2，f (π2)＝1，所以1≤f (x )≤2，由于“任意x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题，则其否定“存在x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x ≥m ”为真命题，所以m ≤f (x )max ＝2.2.若“存在x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π2]，可知f (x )在[0，π6]上为增函数，在(π6，π2]上为减函数，由于f (0)＝3，f (π6)＝2，f (π2)＝1，所以1≤f (x )≤2，由于“存在x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x ＜m ”为假命题，则其否定“对任意x ∈[0，π2]，sin x ＋3cos x ≥m ”为真命题，所以m ≤f (x )min ＝1. 答案：(－∞，1]3.命题“任意x ∈{x |x ≥1}，x 2＋x ＋m ≥0”是假命题，求实数m 的取值范围． 解：若原命题是真命题，即对于任意x ∈{x |x ≥1}，x 2＋x ＋m ≥0恒成立，令f (x )＝x 2＋x ＋m ，则f (1)≥0，即2＋m ≥0，解得m ≥－2. 要使原命题是假命题，则实数m 的取值范围是m ＜－2.4．已知两个命题：r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0，如果对任意x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．解：∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，∴当r (x )是真命题时，m ＜－ 2. 又∵对任意x ∈R ，s (x )是真命题时， 即x 2＋mx ＋1＞0恒成立， 有Δ＝m 2－4＜0， ∴－2＜m ＜2.∴当r (x )为真命题，s (x )为假命题时，m ＜－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2； 当r (x )为假命题，s (x )为真命题时，m ≥－2，且－2＜m ＜2，即－2≤m ＜2. 综上，m 的取值范围是{m |m ≤－2或－2≤m ＜2}．。
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第一章 常用逻辑用语
1.3.3 全称命题与特称命题的否定
一、创设情境
数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、
“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号
分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在
全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,pqpq都容易判断，但它们的否定形式是我们困
惑的症结所在。
二、活动尝试
问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）xR，x2-2x+1≥0
分析：（1）xM,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；xM,p(x)
（2）xM,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；xM,p(x)
（3）xM,p(x)，否定：xR，x2-2x+1<0；xM,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.
三、师生探究
问题2：写出命题的否定
（1）p： x∈R，x2＋2x+2≤0；
（2）p：有的三角形是等边三角形；
（3）p：有些函数没有反函数；
（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；
分析：（1） xR，x2＋2x+2>0；
（2）任何三角形都不是等边三角形；
（3）任何函数都有反函数；
（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；
从集合的运算观点剖析：()UUUABAB,()UUUABAB
四、数学理论
1.全称命题、存在性命题的否定
一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成
立。存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为： xM,有P（x）不成立。
用符号语言表示：
P:M, p(x）否定为 P: M, P（x）
P:M, p(x）否定为 P: M, P（x）
在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称
性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得
全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.
2.关键量词的否定
词语 是 一定是 都是 大于 小于 且
词语的否
定
不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或
词语 必有一个 至少有n个 至多有一个 所有x成立 所有x不成立
词语的否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个
成立
五、巩固运用
例1 写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有人都晨练；
（2）p：xR，x2＋x+1>0；
（3）p：平行四边形的对边相等；
（4）p： x∈R，x2－x+1＝0；
解：（1） P：有的人不晨练；（2） x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不
相等；（4）xR，x2－x+1≠0；
例2 写出下列命题的否定。
（1） 所有自然数的平方是正数。
（2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。
（3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.
（4） 有些质数是奇数。
解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。
（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。
（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。
（4）的否定：所有的质数都不是奇数。
解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求
解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出
其否定形式。
例3 写出下列命题的否定。
（1） 若x2＞4 则x＞2.。
（2） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
（3） 可以被5整除的整数，末位是0。
（4） 被8整除的数能被4整除。
（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解（1）否定：存在实数0x，虽然满足20x＞4，但0x≤2。或者说：存在小于或等于2的数0x，
满足20x＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）
（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个0x，使20x+ 0x-m=0无实数根。（原意表达：对任意实
数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）
（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。
（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能
被4整除)
（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达
为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）
例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。
（1）p：若x＞y,则5x＞5y；
（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；
（3）p：正方形的四条边相等；
（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。
解：（1） P：若 x＞y，则5x≤5y； 假命题
否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题
（2） P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题
否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。
（3） P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命
题。
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。
（4） P：存在两个实数a,b，虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集，但使a2-4b﹤0。假命
题。
否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空实解集，则a2-4b﹤0。真命题。
评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：
1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。
2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否
命题与原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。
3． 原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为 “若┓p，则┓q”，
既否定条件又否定结论。
六、回顾反思
在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题
的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展
学生的逻辑思维能力。