有界解析函数的n阶导数估计
2024年度-高等数学(高职)教案
08
多元函数微积分学初步
38
多元函数概念及其性质
多元函数定义
设D为一个非空的n元有序数 组的集合，f为某一确定的对 应规则。若对于每一个有序 数组(x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确定的 实数y与之对应，则称对应规 则f为定义在D上的n元函数。
多元函数的性质
包括有界性、单调性、周期 性、连续性等。
应用
在近似计算、函数性质研究、微分方程求解等方面有广泛应用。
26
07
空间解析几何与向量代数
27
空间直角坐标系和向量概念
02
01
03
空间直角坐标系的概念和性质 定义空间直角坐标系 阐述坐标轴、坐标平面和坐标原点的概念
28
空间直角坐标系和向量概念
01
介绍右手坐标系和左手坐标系的区别和应用
02
向量的概念和性质
函数的分类
03
根据函数的性质，可以将函数分为基本初等函数、初等函数和
非初等函数等类型。
8
极限概念及运算法则
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势的重要工具。
极限的性质
包括唯一性、有界性、保号性等，这些性质是求解极限问题的基 础。
极限的运算法则
包括四则运算法则、复合函数的极限运算法则、洛必达法则等， 这些法则是求解复杂极限问题的有效手段。
高等数学(高职)教案
1
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与教学目标 • 函数、极限与连续 • 导数与微分 • 积分学 • 微分方程初步 • 无穷级数初步 • 空间解析几何与向量代数 • 多元函数微积分学初步
2
01
课程介绍与教学目标
柯西积分公式及其推论
(3.19)
这是一个用解析函数f ( z )的边界值表示其各阶导函数内 部值的积分公式.
注：
(1)
如果被积函数含有多个奇 点，就不能直接用公式 和 公式(3.19)可以改写成： (3.19)和(3.19)’
f (ξ ) 2πi ( n ) ∫C (ξ − z ) n+1 dξ = n! f ( z )
3. 柯西不等式与刘维尔定理 柯西不等式 : 含于D, 则有 设函数f ( z )在区域D内解析, a为D内 内一点,以a为圆心作圆周γ :| ξ − a |= R, 只要γ及其内部K均
柯西不等式是对解析函数各 阶导数模的估计式,说明解析 n! M ( R) (n) | f (a函数在解析点a的各阶导数 ) |≤ Rn 的估计与它的解析区域的大 其中M ( R ) = max | f ( z ) |, n = 1,2,L. 小密切相关. | z − a| = R
( z ∈ D, n = 1,2, L) (3.19)'
此公式可以计算一些周线积分。
cos z 例3.12 计算积分 ∫ dz, 其中C是绕i一周的周线. C ( z − i)3
应用上述定理得到： 应用上述定理得到：解析函数的无穷可微性
定理3.14 设函数f ( z )在z平面上的区域D内解析, 则 f ( z )在D内具有各阶导数, 并且它们在D内也解析.
(4) 由(3.15)得
f (ξ ) ∫C ξ − z dz = 2πif ( z ).
(5) 柯西积分公式的主要用途：用(4)计算某些周线 柯西积分公式的主要用途： 计算某些周线 积分。 积分。
1 f (ξ ) f ( z) = ∫C ξ − z dξ 2πi
( z ∈ D).
2.1Cauchy积分公式
n ≥1 n≤0
1、Cauchy定理
f ( z) 2、Cauchy积分公式 ∫l z − a dz = 2π if (a) f ( z) 2π i ( n ) 3、Cauchy导数公式 ∫l ( z − a)n+1 dz = n ! f (a)
4、综合式（复连通区域导数公式） Nhomakorabea ∫
l
f ( z )dz = 0
1 f ( z) f (a) = dz ∫ 2π i C z − a
仍然成立，此处a为C外一点，积分路线C为顺时针方向
注意这无界和有界区域Cauchy积分公式的区别： （1）有界区域中Cauchy积分公式中的a点是闭合曲线 C内部的一点，而无界区域Cauchy积分公式中的a点 为 C外部的一点； （2）应用有界Cauchy积分公式的条件是 f(z)在C内部 解析，而无界区域Cauchy积分公式的条件是在C外 部解析，且当z→∞时，f(z)→ 0 （3）应用有界区域公式的积分沿着逆时针方向进行， 而无界区域的公式积分沿顺时针方向进行（两种情 况下都是正方向，即为沿此方向环行时，所讨论的 区域在左手边）．
f ( z) 2π i ( n ) ∫l ( z − a)n+1 dz = n ! f (a)
例3.
ez ∫|z|=1 z n dz = ?
n = 0, ±1, ±2, f ( z) 2π i ( n ) ∫l ( z − a)n+1 dz = n ! f (a)
2π i 答： (n − 1)! 0,
z ∫|z|=2 (5 − z 2 )( z − i) dz
∫
| z|
z dz = 2 ∫ | z| 2= (5 − z )( z − i )
《高等数学》(同济大学第七版)上册知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
第五讲Cauchy积分公式剖析
求f '(1 i).
解 3z2 7z 1在全平面上处处解析，
f (z)
C
3
2 7 z
1d
0
2i(
3z
2
7z
1)
z z
3 3
又
f
'(z)
0
z 3
2i(6z 7) z 3
故 f '(1 i) 2i[6(1 i) 7] 2 (13i 6)
§6 解析函数的高阶导数
2i z 4 z
z 4 z 1 z 3
解 1) 1 2i
sin z z
dz
s in z
z0
0
z 4
1 2
2) ( )dz z1 z3
dz
z1
2 dz
z3
z 4
z 4
z 4
f (z)1及2
2i 1 2i 2 6i
例2 求
2z 1 C z2 z dz
C为包含 z 1在内的任意简单正向曲线.
z1 z0
f
(z)dz
F
( z1
)
F ( z0
)
(z0 , z1 B)
此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式. 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强
例1 计算下列积分：
1
1) C z 2 dz
其中C为半圆周：z 3, Re z 0,
起点为 3i,终点为3i;
解1) 1 在Re z 0，z 0上解析, z2
这个猜想是对的, 这就是下面的定理.
定理(Cauchy 积分公式)
1)设f (z)在D内处处解析,
2)C是D内任意一条正向简单闭曲线,
它的内部完全含于D,
多元函数求导经典例题 (1)可修改文字
注意 驻点
极值点
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0 ， 令
f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
12.复合函数求导法则
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性
设函数z f x, y在x, y处偏导数
存在,函数对x的相对改变量
xz z
f x x, y f x, y f x, y
多元函数习题课
一 学习要求
(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的 几何意义;
(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念, 以及有界闭域上连续函数的性质;
极多 限元 及函 连数 续的
概 念
(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微
分,了解全微分存在的必要和充分条件,了 解全微分形式不变性;
考研数学一-高等数学(五)
考研数学一-高等数学(五)(总分：99.99，做题时间：90分钟) 一、填空题(总题数：10，分数：40.00)（分数：4.00）解析： [解析] 先作如下变形：解法一：用洛必达法则求这个极限其中解法二：用泰勒公式求这个极限相减得因此（分数：4.00）解析： [解析] 因为故则所以3.极限（分数：4.00）解析： [解析] 将分子变形为又，当x→0时，则（分数：4.00）解析： [解析] 所求极限为“∞-∞”型未定式，应首先通分化为“ ”型未定式后，再进行求解．（分数：4.00）解析： [解析] 解法一：属1 ∞型利用等价无穷小因子替换得即解法二：属1 ∞型，用求指数型极限的一般方法而即（分数：4.00）解析：1 [解析] 因故所求极限是“ ”型未定式，用分项求极限法可得(后一项的分子为有界变量，分母是无穷大量，故其极限为0)．7.设，则（分数：4.00）解析： [解析]因为，所以8.设f(x)在x=0处可导且f(0)=1，f"(0)=3，则数列极限（分数：4.00）解析：e 6 [解析] 这是指数型的数列极限，一般先进行变形，并转化为函数极限求解．又故I=e 6．（分数：4.00）解析： [解析]把看作函数在处的函数值，其中正好是将区间[0，1]n等分所得的第k个分点(k=1，2，…，n)，这时每个小区间的长度为．于是可看作定积分对应的和式极限其中又因为在[0，1]上连续，于是在[0，1]上可积，故10.设f(x)连续，且当x→0时，x 3等价的无穷小量，则f(0)= 1．（分数：4.00）解析： [解析] 由无穷小量的定义及洛必达法则，可得所以，二、解答题(总题数：15，分数：60.00)11.设f(x)在(x 0 -δ，x 0 +δ)有n阶连续导数，且f k (x 0 )=0，k=2，3，…，n-1；f (n) (x 0)≠0，当0＜|h|＜δ时，f(x 0 +h)-f(x 0 )=hf"(x 0 +θh)(0＜θ＜1)，求的值．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：将f"(x 0 +θh)在x=x 0处展开成泰勒公式得代入原式得令h→0得所以12.设函数f(x)在(-∞，+∞)三阶可导，且存在正数M，使得|f(x)|≤M，|f"(x)|≤M对-∞，+∞)成立，求证：f"(x)，f"(x)在(-∞，+∞)有界．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：将f(x+1)与f"(x-1)分别在点x展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式得为估计|f"(x)|的大小，将上面两式相减并除以2即得于是即f"(x)在(-∞，+∞)有界．为估计|f"(x)|的大小，由式①+式②得于是即f"(x)在(-∞，+∞)有界．13.设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，f(0)=0，且x，t∈(-∞，+∞)满足试求f(x)在(-∞，+∞)内的导函数f"(x)．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当x≠0时，令xt=μ，可得于是，当x≠0时，，即由f(x)的连续性知可导，从而xf(x)可导，于是f(x)当x≠0时可导，且f(x)=xf"(x)+f(x)+2xsinx+x 2 cosx．由此可得f"(x)=-2sinx-xcosx，x≠0，求积分知，当x≠0时，利用f(x)在(-∞，+∞)内的连续性及f(0)=0，可得，得C=-1．于是f(x)=cosx-xsinx-1，不仅当x≠0时成立，而且对x=0也成立，即 f(x)=cosx-xsinx-1，x∈(-∞，+∞)，故 f"(x)=-2sinx-xcosx，x∈(-∞，+∞)．证明：（分数：4.00）(1).若f(x)在[a，b]上连续，则存在ξ∈(a，b) 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设M和m分别是连续函数f(x)在区间[a，b](b＞a)上的最大值和最小值，则有不等式两边同时除以(b-a)得到显然，介于函数f(x)的最大值和最小值之间．根据闭区间上连续函数的介值定理可知．在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得函数f(x)在该点处的函数值与相等，即等式两边同时乘以(b-a)可得结论得证．(2).若φ(x)有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)ξ∈(1，3)，使得φ"(ξ)＜0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由第一小题知，至少存在一点η∈(2，3)，使得，又，所以有φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞φ(η)．因为φ(x)有二阶导数，所以由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ1∈(1，2)，使得且至少存在一点ξ2∈(2，η)，使得再由拉格朗日微分中值定理可知，至少存在一点ξ∈(ξ1，ξ2 )，使得14.设函数f(x)可导，且有f"(x)+xf"(x-1)=4，又求（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对变限积分，需经过两次求导，方可得到f(x)的导数形式，而中含有x，需先换元再求导．可设u=xt，则所以即两边同时对x求导得再次对x求导得f"(x)+xf"(x-1)+2f(x-1)=24x 2 +6x，将f"(x)+xf"(x-1)=4代入得f(x-1)=12x 2 +3x-2，故15.设f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且满足求（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：∫[f"(x)-f"(x)]e -x dx=∫f"(x)e -x dx-∫f"(x)e -x dx．由于∫f"(x)e -x dx=f"(x)e -x+∫f"(x)e -x dx，所以∫[f"(x)-f"(x)]e -x dx=f"(x)e -x +C．对于方程令x=0得f"(0)=f"(0)=1．对两边求导，有(1+x)f"(x)+f"(x)-(1+x)f"(x)-f(x)+f(x)=0，即 (1+x)f"(x)-xf"(x)=0．令p=f"(x)，有即 lnp=x-ln(1+x)+lnC，所以，即又f"(0)=1，于是C=1，即，所以16.设质点P所受的作用力为F，其大小反比于点P到坐标原点O的距离，比例系数为k；其方向垂直于P、O的连线，指向如下图所示，试求质点P由点经曲线到点时，力F所做的功．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设点P坐标为P(x，y)，∠POB=θ，则故其中L为从点沿到点的一段．设，因故曲线积分①在第一象限与路径无关，可选择从A到B的直线段积分．所在的直线方程为，故17.求直线在平面π：x-y+2x-1=0上的投影直线L 0的方程，并求L 0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：经过L作平面π1与π垂直，则π1与π的交线就是L在π上的投影，L的方向向量s={1，1，-1}，π的法向量n={1，-1，2}是平面π1上的两个不共线向量，点p 0 (1，0，1)是L上一定点，设p 1(x，y，z)是平面π1上任一点，则共面，即即x-3y-2z+1=0．故L在π上的投影是为求L 0绕Y轴的旋转面，先把L 0表示为以Y为参数的形式，则旋转面的参数方程为消去θ得即旋转曲面的方程为4x 2 -17y 2 +4z 2 +2y-1=0．18.已知f(x，y)的2阶偏导存在且连续，且f(x，0)=1，f" yy(x，y)=x 2+2x+4，f" y(1，0)=-cos1，求f(x，y)的表达式．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：f" yy (x，y)=x 2 +2x+4两边对y积分得f" y (x，y)=(x 2 +2x+4)y+φ(x)，①式①两边对x求偏导得则对φ"(x)取积分得所以(C为任意常数)．代入点(1，0)得则，故对式②两边求积分：代入点(x，0)，f(x，0)=C 1 =1，所以f(x，y)在点(0，0)处的连续性以及可微性．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(1)因为sin(x 2 +y 2)≤x 2 +y 2，所以0≤|f(x，y)|≤|x+y|，且所以所以f(x，y)在点(0，0)处连续．(2)同理f" y (0，0)=1，因为所以式①为0，即f(x，y)在点(0，0)处可微．综上f(x，y)在点(0,0)处连续可微．4.00）(1). 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(x，y)≠(0，0)时，(2).f(x，y)在点(0，0)处是否可微?为什么? 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因为又因此在点(0，0)处连续，故f(x，y)在点(0，0)处可微，且微分为零．设u=u(x，t)有二阶连续偏导数，并满足其中a＞0为常数．（分数：3.99）(1).作自变量代换ξ=x-at u对x，t的一、二阶偏导数与u对ξ，η的一、二阶偏导数的关系式．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由复合函数求导法求导得(2).导出u作为ξ，η的函数的二阶偏导数所满足的方程．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由第一小题中的式①、②及题设条件得即(3).求u(x，t)．（分数：1.33）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：把式③写成，即与η无关，h(ξ)是连续可微的任意函数，再对ξ积分一次，并注意到积分常数可依赖η，于是将u=f(ξ)+g(η)用变量x，t表示得u(x，t)=f(x-at)+g(x+at)，其中，f(ξ)，g(η)是任意二阶连续可微的函数．20.已知一个三角形的周长为16，求使它绕自己的一边旋转时所构成旋转体体积最大时的三角形。
3-4解析函数的无穷可微性【VIP专享】
例11
计算积分
ÑC
cos z
z i3
dz
其中C是绕
i
一周的闭曲线
解 显然 cos z 在 C 上及其内部解析所以由341式得
ÑC
cos z
z i3
dz
2 i
2!
cos
z
zi
i
cos
z
2
2
z
i
i cos i
i ei i ei i
2
i e1 e1 i ch1
dz
1 2πi
Ñ
C
z
z0
f z Δz
z
z0
f z z z0 2
dz
f
z0
Δz
Δz
f
z0
1 2πi
f z
ÑC z z0 2 dz
=
1 2πi
Ñ
C
z
z0
f z Δz
z
z0
f z z z0 2
dz
1 2πi
ÑC z
z0
f
z Δz Δz z
z0
2
dz .
令
min z C
z
z0
z n1
dz
n = 1 2L
341
其中 C 为 D的边界 取正向 z0 D .
证明 首先对 n 1的情况予以证明 即要证:成立等式
Ñ f z0
lim
z 0
f
z0
Δz
Δz
f
z0
1 2πi
C
f z z z0 2 dz.
Ñ f
z0
lim
解析函数与调和函数的定义与性质
解析函数与调和函数的定义与性质函数在数学中扮演着重要的角色，不同类型的函数具有不同的性质和定义。
解析函数与调和函数就是其中两种重要的函数类型。
本文将对解析函数和调和函数的定义与性质进行详细解析。
一、解析函数的定义与性质解析函数是复变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在D上的复变函数，其中u(x,y)和v(x,y)是实变函数，如果f(z)在D内是可导的，且f'(z)在D内处处存在，则称f(z)在D内是解析的。
解析函数具有以下几个重要性质：1. 解析函数的实部和虚部均是调和函数。
即u(x,y)和v(x,y)都满足拉普拉斯方程，即∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，以及∇^2v=∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2. 解析函数的复共轭也是解析函数。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其复共轭f*(z)=u(x,y)-iv(x,y)也是解析函数。
3. 解析函数满足柯西-黎曼方程。
即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其满足柯西-黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y和∂u/∂y=-∂v/∂x。
二、调和函数的定义与性质调和函数是实变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设u(x,y)是定义在二维欧氏空间R^2上的二次连续可微函数，如果u(x,y)满足拉普拉斯方程∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，则称u(x,y)为调和函数。
调和函数具有以下几个重要性质：1. 调和函数的高阶导数也是调和函数。
即如果u(x,y)是调和函数，则其高阶偏导数∂^nu/∂x^n和∂^nu/∂y^n也是调和函数。
2. 调和函数的积分在闭合曲线上的值为0。
即对于调和函数u(x,y)和任意的闭合曲线C有∮C[∂u/∂s(ds/dt)dt]=0，其中∮C表示对曲线C 上点P到点P绕行一周的积分，s为曲线C上的弧长参数，t为弧长参数t与x轴正向的夹角。
有界函数的导数
有界函数的导数第20卷第2期2007年6月纺织高校基BASICSCIENCESJOURNAL础科学OFTEXTILEUNIVERSITIESV o1.20,No.2June,2007ArticleID:1006—8341(2007)02-0143-03 ThederivationofboundedfunctionsFENGChun—qiang,XUYu—shengLIUY ong,YUANWen-fa (CollegeofScience,XianUniversityofArchitecture&Technology,Xian710055,Chin a)Abstract:Inthispaper,wemainlydiscusstheproblemofestimatingthederivationofbounded functions.Ageneralestimationofthenthderivationofregularfunctionispresentedbyusing themaximummodulusprincipleandthepropertiesoftheboundedfunctions.Hence,there—sultsofboundedregularfunctionshavebeengivenfromspecialtogenera1.Keywords:boundedfunctions;regularfunctions;positiverealpartfunctions;maximummo d—ulusprinciple;estimationCLCnumber:O174Documentcode:AIfB一{(z)I(z)CO+clz+…+z"+…isregularinIzI<1,I(z)I<1,(0)一(0)一…一'"'(0)一0and'"+"(o)veo},FortheboundedhavethefamousB一{(z)I(z)一co+clz+…+z叫一…isregular,and(0)≠0).regularfunction(z)CO+c1z+…+z"+…isregularinIzI<1andI(z)I<1,we Goluzininequality,thatisz)I≤'Iz1<~45一,.I(1+IzI)/(4IzI(1一IzI)),IzI>一1.In1973,Shaffer¨haspopularizedthisestimationintoBandgotbelowresult:If(z)∈B一l(≥1),I,()I≤IzI',IzI≤~/+一)/,.IIzI[4IzI+(1一IzI)]/E4(1一IzI],IzI>(~/r干一1)/.Andthen,Pan,Liao[]havegottheestimationofthe2derivationoftheboundedregularfunctio n:Yuan,Wen[..t]havegottheestimationofthe3rdandthe4小derivationoftheboundedregularfunction1ater.Underthisfoundation,wehavegottheestimationofthe5derivationoftheboundedregularfun c—tion.thatisIf(z)一Co+clz+…+CnZ"+…isregularinIzI<1andI(z)I<1,㈤I≤等(1.Andif(z)∈B+3,-'z-≤f:;;;;zI,zI[J,+1/(4I,)],zI≤,zI>,ReceivedDate:2006-10-24Foundationitem~SupportedbyScientificResearchFundofShanxiprovincialEducationDe partment(03JK066)Blography:XUYwsheng(1950一),male,anativeofHuaiyuancounty,Anhuiprovince.professorofXianUniversityof Architecture&Technology.E-mail:********************144纺织高校基础科学第2O卷whereistheminirealpositiverootofonedenaryequationwithoneunknownintheinterV al(O' 1)?js-*edonaboveconclusions,wemakefurtherresearchandgettheestimationofthe,lthderivation oftheboundedregularfunction~2TheoremandproofLemma1If()∈B,where+A一'月()=∑(一1)AiⅡi,i=1c2≤z≤n--1),a讲1(高)?(1)ProofWeprovetheLemma1byinduction.Theconclusionisclearlytruefor,l一1;Supposethattheequality(1)iscorrectwhen—k'wehave'.()一奎(一1)蚪A:一Al口:一A2口2+…+(一1)A+…+A:口:.Deriving西''()withrespectto'wecanget'抖()一A:口一(2k+A:)口+…+(一1)(2j-q-A{)a{+1+…+(+1)A#i—Ah口l—A口+…+(一1)A{n{+…+A蚪1口一TheproofofLemma1iscompleted.Forthe,lderivationoftheboundedregularfunction,wehavegotbelowresults?11Ieo咖1If()一co+c1+…-l-C.Z"+…isregularin1zI<1and{9(z)I<1,≤∑1I,j=lfb:一,l!,where{一壹郎端2ProofWeprovetheTheorem1byinduction.Theconclusioniscleadytruefor,l一1;Supposethattheinequality(2)iscorrectwhen,l一; When,l:k+l,weconsiderexpression()=((+s)/(1+)),byexpression(1)'weget'蚪()一∑(一1)斗At+口0一i崔1(高)[]Ⅲ弼l一(2k+A:).I1z+-4-s)c.(高)+...+c川(高).(1一1l)';(1+)卅+…+(2)Letz=0,wehave'蚪1(O)=(蚪1(s)(1一IsI)抖一(2+A1)'D(s)(1一IsI.)'+…+(一1)m(2i+Ai)妒(.(s)(1一IsI)卜斗+…+(+1)A:9(s)(1一IsI).(3)Thentheexpression()satisfiedthecoefficientrelationIc—I≤1一IC0I'wegetI'件1(O)I≤(+1)!(1一I((O)I).combiningthisinequalitywithexpression(2)and(3),andusingthetriangleinequalitY,weobt ain卜l|A一r_:IIIIIIAAAD一∑第2期Thederivationofhoundedfunctions145I1)(0)1(I-Isl.)蚪l≤(2+Ai)(blIsIH)IsI(1一I(s)l.)+k---1[(2一1)Ai+Ai](∑6江?IsI-一)Isl.(1一I(s)l.)+…+[zk一+1)Ai+(2k—j)Ai+…+A](∑6卅IsI)IsI卜(1一I9(s)I.)+…+10(+1)Ai(1一l(s)l.)IsI+(+1)!(1一l90)I.)[(+1)!+(2k+Ai)6:lsl+[(2+A1)6i+((2一1)Ai+Ai)bL?]lsl.+…+(+1)Aill](1一((s)l.).Similarly,bytheexpression(1),weget'抖()TheproofofTheorem1iscompleted.二!翌!兰2(1一ll.)量+1∑ll.1Theorem2If()GB+m一2,andfunctiong()一()/+m一isregularinIzl<1andI()I<1, 圳≤,暑ProofIf()∈B+m一2,andfunctiong()=9(z)/z+m一isregularinll<1andl()l<1, ()一∑D~C2g'一斗()抖,where一:2≤≤,一1D一D+D一.,,…Let∑j=1(m+—n--1)!(1≤Z≤,,l+1).(,,l+,l—Z)!一….1[k-I/(1-Il.)一E.(),Diif—Uk,一1g()1,wehaveLetF()一一2nr-1f=0'm'()l≤∑E一(r)膦(1一X2)+M垒F().f=1EfM+M=+一wegot一懈/[z∑E.-(r)懈一i盎0LetJm一[E—(r)]/j,thefuncti.nF()hasitsmaximumValueM(I.+1/(4Im)), whenequaltO1/(2I).whenJ一1/2,thatisP(r)一0,wegotthemaximumvalueofI+1/(4I). TheconclusionP(r)一0isequivalenttO2E.-i(r)膦一U-+一0,thesymbolistheminimal i=0positiverootofthisequationintheinterval(0,1).TheproofofTheorem2iscompleted. Therefore,wesolvedtheproblemofestimatingthederivationofboundedregularfunctions. 2IllustrationsFortheregularpositiverealpartfunctions.wededucetheestimationofthe,lderivationhythe similarlyway.Theorem3Ifg()isregularinl<1andReg(z)>0,≤砉一;fb:一,l!,j一奎郇,2≤.f≤(下转第148页)一.1∑.1∑148纺织高校基础科学第20卷Abstract:TheuniquenessproblemoftwomeromorphicfunctionsthatshareonevalueIMand otheroneCMundercertainconditionsisdiscussed.Andthey meromorpicfunctionsthatsharetwovaluesCMby areconsideredthattheuniquenessproblemoftwoM.OzawaandYiHongxun.Ontheotherhand,the followingtheoremisprovedbythemethodofconstructingauxiliaryfunctionsandtheNevanl innasecondfundamentaltheorem.Letfandgbetwonon-constantmeromorphicfunctions.Iffandgshare 1CMand∞IM,andN2(r,l/f)+N2(r,l/g)+N—D(r,,)+2(r,,)<+D(1))T(r)(r∈D,where;L<1,T(r)一max{T(r,厂),T(r,g)),N2(r,1/,)一N(r,1/,)+(2(r,1/,).Itissupposedthatisapoleof,oforderp,apoleofgoforderq.By(r,,)denotedthatcountingfunctionofthosepolesoffwith multiplicitiesPandgwithmultiplicitiesq(p≠q)(eachploeiscountedonlyonce),then,()兰g(2)orf?g兰1.Keywords:meromorphicfunction;deficientvalue;uniqueness编辑,校对:黄燕萍(上接第145页)References:Eli[2][3]SHAFFERDB.Onboundedforthederivativeofanalyticfunctions[J].ProcAmerMathSoc,1 973,37,512_520.PANYF.LIAOxZ.Thederivatesforboundedfunctions[J].JournalofJiangxiNormalUniver sity,NaturalScience,1984(1):21-24.YUANWF,wENJH.Estimationofderivativeforboundedfunctions[J].PureandAppliedMa thematic,2001,4(17):45.[4]YUANWF.Estimationofderivativesforboundedregularfunctions[J].JofMath,2001,3( 21):301_303.[5]TANDL.Estimatecoefficientforboundednon-vanishingfunctions[J].ChineseAnn.of Math,1983(4),97—104.有界函数的导数冯春强,徐裕生,刘勇,苑文法(西安建筑科技大学理学院,陕西西安710055)摘要:讨论复数域上有界正则函数的导数估计问题(上界问题),利用有界函数的性质,最大模原理及归纳法,得到有界正则函数及正则正实部函数五阶导数估计式,并由此得到有界正则函数的,l阶导数估计式,并推断出正则的正实部函数的阶导数估计式,从而将有界函数的导数估计从特殊推广到一般.关键词:有界函数f正则函数f正实部函数;最大模原理;估计编辑,校对:黄燕萍。