2020年浙江新高考数学二轮复习专题强化练：专题一3第3讲基本初等函数、函数与方程及函数的综合问题
2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：基本初等函数、函数的图象和性质含解析
A B.(1,2]
C.(2,3]D.(3,4]
答案:C
解析:由题意,得方程f(x)=logax(a>0,且a≠1)有3个解,所以函数y=f(x)和y=logax的图象有3个交点.因为对任意的x∈R,都有f(x+1)=f(x),所以函数y=f(x)是周期为1的函数.又当x∈(1,2]时,f(x)=2-x,可画出函数y=f(x)的图象,如图所示.
若α,β为锐角三角形的两个内角,则α+β>90°,即α>90°-β,
所以sinα>sin(90°-β)=cosβ,所以f(sinα)>f(cosβ).
6.(20xx全国Ⅱ,理11)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)内的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()
∵f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),
∴2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).
又f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,
∴|log2a|≤1,-1≤log2a≤1,∴a
10.设奇函数y=f(x)(x∈R),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且当x 时,f(x)=-x2,则f(3)+f 的值等于 .
由图象可知,当x>0时,两函数图象有5个交点.又函数y=f(x)与y=lg|x|均为偶函数,
2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性、对称性练习(含解析)(
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第3讲函数的奇偶性、对称性［基础达标］1．（2019·舟山市普陀三中高三期中）下列函数既是奇函数，又在（0，＋∞)上单调递增的是（）A．y＝－x2B．y＝x3C．y＝log2x D．y＝－3－x解析：选B。
A.函数y＝－x2为偶函数，不满足条件．B．函数y＝x3为奇函数，在（0，＋∞）上单调递增，满足条件．C．y＝log2x的定义域为（0,＋∞),为非奇非偶函数,不满足条件．D．函数y＝－3－x为非奇非偶函数，不满足条件．2．（2019·衢州高三年级统一考试）已知f（x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x）＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f（x）＝（)A．－x3－ln（1－x）B．x3＋ln(1－x）C．x3－ln(1－x）D．－x3＋ln（1－x）解析:选C。
当x<0时，－x>0，f(－x）＝（－x)3＋ln(1－x)，因为f（x)是R上的奇函数,所以当x＜0时，f(x)＝－f(－x）＝－[（－x）3＋ln（1－x)],所以f(x)＝x3－ln（1－x）．3．若f（x)＝（e x－e－x）(ax2＋bx＋c)是偶函数,则一定有（)A．b＝0 B．ac＝0C．a＝0且c＝0 D．a＝0,c＝0且b≠0解析：选C。
2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版课件：第三章 函数概念与基本初等函数Ⅰ3.3
大一轮复习讲义第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ§3.3函数的奇偶性与周期性NEIRONGSUOYIN 内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PART ONE奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数关于对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数关于对称1.函数的奇偶性f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点知识梳理ZHISHISHULI2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f (x )的最小正周期.f (x ＋T )＝f (x )最小最小正数【概念方法微思考】1.如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.已知函数f (x )满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)________.(3)f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )__________.(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)________. 提示(1)T ＝2|a |(2)T ＝2|a |(3)T ＝|a －b |题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(－10，＋∞)是偶函数.()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.()(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称.()(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数.()(5)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()(6)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期.()×√基础自测JICHUZICE×√√√题组二教材改编2.[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋－2x)，则f(－1)＝________.解析f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝____. 3.[P45B 组T4]设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )1解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－122＋2＝1.4.[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象(－2,0)∪(2,5]如图所示，则不等式f(x)<0的解集为______________.解析由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f(x)<0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5].12342题型分类深度剖析PART TWO题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：师生共研(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； 解 由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3， 即函数f (x )的定义域为{－3，3}，∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.∴f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.(2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2； 解 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)， 关于原点对称.∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg (1－x 2)－x. 又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝lg (1－x 2)x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数.(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0. 解显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数.思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y ＝x ＋sin 2xB.y ＝x 2－cos xC.y ＝2x ＋D.y ＝x 2＋sin x12x 对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数； 解析对于A ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；√对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选D.(2)已知函数f (x )＝则下列结论正确的是A.h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数B.h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数C.h (x )＝f (x )g (x )是奇函数D.h (x )＝f (x )g (x )是偶函数x 2x －1，g (x )＝x 2， 因为f (－x )＋g (－x )＝－x2－x －1＋－x 2＝－x ·2x 1－2x －x 2＝x (1－2x )－x 1－2x －x 2＝x 2x －1＋x 2＝f (x )＋g (x )，解析易知h (x )＝f (x )＋g (x )的定义域为{x |x ≠0}.√所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数.故选A.题型二函数的周期性及其应用解析∵f (x ＋1)为偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)，又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0.从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4.∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2.自主演练1.奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为A.2B.1C.－1D.－2√2.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 020)＝________.－2－3 解析 由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )， 所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 020)＝f (4).因为f (2＋2)＝1－f (2)， 所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3. 故f (2 020)＝－2－ 3.＝－316＋sin π6＝516.3.若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫416＝________. 516 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×4－76 解析由于函数f (x )是周期为4的奇函数，＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫764.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝______.338解析∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016)＝1×2 016＝336.6又f(2017)＝f(1)＝1，f(2018)＝f(2)＝2，f(2019)＝f(3)＝－1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝338.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝______.多维探究12解析方法一令x ＞0，则－x ＜0.∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x ).∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0).∴f (2)＝2×23－22＝12.方法二f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.(2)(2018·浙江省镇海中学测试)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1＋2x －x 2，则函数f (x )的解析式是________________________.解析设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝1－2x －x 2＝－f (x )，即x ＜0时，f (x )＝－1＋2x ＋x 2，又易知f (0)＝0，f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 1＋2x －x 2，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋2x －1，x ＜0∴f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 1＋2x －x 2，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋2x －1，x ＜0.命题点2求参数问题1例3(1)若函数f(x)＝x ln(x＋)为偶函数，则a＝______.a＋x2解析∵f(－x)＝f(x)，∴－x ln(a＋x2－x)＝x ln(x＋a＋x2)，∴ln[(a＋x2)2－x2]＝0.∴ln a＝0，∴a＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________.－10所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12且f (－1)＝f (1)， 解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2. ① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(ln x)<f(2)，则x的取值范围是A.(0，e2)B.(e－2，＋∞)√C.(e2，＋∞)D.(e－2，e2)解析根据题意知，f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f(ln x)<f(2)⇔|ln x|<2，即－2<ln x<2，解得e－2<x<e2，即x的取值范围是(e－2，e2).(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为_________.11＋x 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，1解析由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|).当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，因为y＝ln(1＋x)与y＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得13<x<1. 所以符合题意的x的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫13，1.思维升华(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.A.减函数且f (x )>0B.减函数且f (x )<0C.增函数且f (x )>0D.增函数且f (x )<0跟踪训练2 (1)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12时，f (x )＝ (1－x )，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32内是 12log √解析 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，12时，由f (x )＝ (1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0， 12log 又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12，0上函数也单调递增， 且f (x )<0.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32， 所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32上，函数单调递增且f (x )<0.故选D.(2)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52＝________. 解析 由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 －12 ＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝－12.解析∵当x >0时，－x <0，∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，(3)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝_________________.⎩⎪⎨⎪⎧ e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.高频小考点GAOPINXIAOKAODIAN 函数的性质一、函数性质的判断例1(1)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减√C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D.y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称解析f(x)的定义域为(0,2).f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x).设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减.又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减.∴选项A，B错误；∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确；∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误.故选C.(2)(2018·浙江舟山中学模拟)满足下列条件的函数f (x )中，f (x )为偶函数的是A.f (e x )＝|x |B.f (e x )＝e 2xC.f (ln x )＝ln x 2D.f (ln x )＝x ＋√1x解析∵e x ＞0，∴f (x )的定义域不关于原点对称，f (x )无奇偶性，A ，B 错误；令ln x ＝t ，则x ＝e t ，而f (ln x )＝ln x 2，即f (t )＝2t ，f (x )＝2x 显然不是偶函数，C 错误；而f (ln x )＝x ＋1x ，则f (t )＝e t ＋1e t ，即f (x )＝e x ＋1e x ，此时f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝1e x ＋e x ＝f (x )， ∴f (x )＝e x＋1e x 是偶函数，D 正确，故选D.(3)(2019·绍兴模拟)设f(x)的定义域是R，则下列命题中不正确的是A.若f(x)是奇函数，则f(f(x))也是奇函数B.若f(x)是周期函数，则f(f(x))也是周期函数√C.若f(x)是单调递减函数，则f(f(x))也是单调递减函数D.若方程f(x)＝x有实根，则方程f(f(x))＝x也有实根解析若f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(f(－x))＝f(－f(x))＝－f(f(x))，所以f(f(x))也是奇函数，所以A正确；若T是f(x)的周期，则f(x＋T)＝f(x)，所以f(f(x＋T))＝f(f(x))，所以f(f(x))也是周期函数，所以B正确；若f(x)是单调递减函数，则不妨取f(x)＝－x，则f(f(x))＝f(－x)＝x是单调递增函数，所以C错误；设x0是方程f(x)＝x的实根，则f(x)＝x0，则f(f(x))＝f(x0)＝x0，即x是方程f(f(x))＝x的实根，所以D正确.故选C.二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于A.－50B.0√C.2D.50解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1).∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则√A.f(－25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(－25)C.f(11)<f(80)<f(－25)D.f(－25)<f(80)<f(11)解析因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1).因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11).(3)若函数f (x )＝log 2在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是___________.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋2 020－a x 解析 由已知函数y ＝x ＋2 020－a x 在[1，＋∞)上是增函数，且y >0恒成立.令y ′≥0得a ≥－x 2(x ≥1)，∴a ≥－1.又由当x ＝1时，y ＝1＋2020－a >0，得a <2021.∴a 的取值范围是[－1,2021).[－1,2 021)∵y ′＝1＋a x 2，3课时作业PART THREE。
浙江2020版高考数学第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.1函数及其表示讲义(含解析)
§3.1函数及其表示1．函数与映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型？提示 (1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( √ ) (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (4)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点．( √ )(5)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( × ) (6)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) 题组二 教材改编2．[P74T7(2)]函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________． 答案 [－3,6)3．[P25B 组T1]函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥0，－x 2＋3，x <0，若f (a )＝2，则a 的值为( ) A ．2 B ．－1或2 C ．±1或2 D ．1或2答案 B解析 当a ≥0时，2a －2＝2，解得a ＝2；当a <0时，－a 2＋3＝2，解得a ＝－1.综上，a 的值为－1或2.故选B.5．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为______． 答案 2解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.6．若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是____________． 答案 [－1，＋∞)解析 因为x －4有意义，所以x －4≥0，即x ≥4. 又因为y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2， 所以y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. 所以其值域为[－1，＋∞)．题型一 函数的概念1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B.2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________． 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确；对于③，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1，故③不正确． 综上可知，正确的判断是②.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．题型二 函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域例1 (1)(2018·浙江名校协作体联考)函数f (x )＝lg (1－x －2)的定义域为( ) A ．(2,3) B ．(2,3] C ．[2,3) D ．[2,3] 答案 C解析 由⎩⎨⎧1－x －2＞0，x －2≥0得2≤x ＜3，所以函数f (x )＝lg(1－x －2)的定义域为[2,3)，故选C.(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( ) A ．[－1,2 017] B ．[－1,1)∪(1,2 017] C ．[0,2 018]D ．[－1,1)∪(1,2 018]答案 B解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2018，解得－1≤x ≤2017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017]．所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2017，x －1≠0，解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]，”则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________________． 答案 [－2,1)∪(1,2 016]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]． 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2017，x ≠1，则－2≤x ≤2016且x ≠1.所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]． 命题点2 已知函数的定义域求参数范围 例2 (1)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 答案 D解析 要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立， ①当m ＝0时，显然满足条件；②当m ≠0时，由Δ＝(4m )2－4m ×3＜0，得0＜m ＜34，由①②得0≤m ＜34.(2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________． 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.思维升华(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍． (2)求抽象函数的定义域①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域； ②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域． (3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 跟踪训练1 (1)函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为________．答案 (0,2]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|≥0，a x－1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0＜x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．(2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．(3)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,4]解析 当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，得0<m ≤4，综上，m 的取值范围是[0,4]． 题型三 求函数解析式例3 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为____________________．答案 f (x )＝lg2x －1(x ＞1)解析 换元法：令2x＋1＝t ，由于x ＞0，所以t ＞1且x ＝2t －1， 所以f (t )＝lg 2t －1， 即f (x )＝lg2x －1(x ＞1)． (2)若f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2，则f (x )的解析式为__________________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋3解析 待定系数法：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 又f (0)＝c ＝3.所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋3.(3)函数f (x )满足方程2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2x ，x ∈R 且x ≠0，则f (x )＝____________________.答案 43x －23x(x ∈R 且x ≠0)解析 解方程组法：因为2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，①将x 换成1x ，则1x换成x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝2x.②由①②消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得3f (x )＝4x －2x.所以f (x )＝43x －23x (x ∈R 且x ≠0)．思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．跟踪训练2 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为f (x )＝________________. 答案 x 2－1(x ≥1)解析 方法一 设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．方法二 因为x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1 ＝(x ＋1)2－1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )的解析式为f (x )＝____________. 答案 x 2＋2x ＋1解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， 所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(3)函数f (x )满足方程2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝2x解析 因为2f (x )＋f (－x )＝2x ，① 将x 换成－x 得2f (－x )＋f (x )＝－2x ，② 由①②消去f (－x )，得3f (x )＝6x ， 所以f (x )＝2x .题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值例4 (2018·台州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜1，log 3x ，x ≥1，则f (0)＝________，f (f (0))＝________.答案 1 0解析 由题意得f (0)＝20＝1， 则f (f (0))＝f (1)＝log 31＝0.命题点2 分段函数与方程、不等式问题例5 (1)(2018·浙江十校联盟高考适应性考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________．答案 －3解析 方法一 当a ＞0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a＋2＝0，无解． 当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3. 方法二 由题意知f (1)＝2＞0，故由f (a )＋f (1)＝0，结合指数函数的性质知a ≤0，且f (a )＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，∴－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x ＋122x -＞1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来． 跟踪训练3 (1)(2018·宁波期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x －1，x ＞1，则f (f (2))等于( )A ．－2B ．－1C ．23－1－2D ．0答案 B解析 f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π6－1＝f (0)＝20－2＝－1，故选B.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x ＜2，若f (f (1))＞3a 2，则a 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 由题意知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))＞3a 2， 则9＋6a ＞3a 2，即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.1．函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋1＞0，x ≠0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．2．(2018·浙江嘉兴一中月考)下列四组函数中，表示同一函数的一组是( ) A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xB ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 C ．f (x )＝x 0，g (x )＝1D ．f (x )＝2－x，g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t答案 D解析 A ，B ，C 中函数的定义域不同，故选D.3．(2018·浙江五校第二次联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x ，x ≥0，3x，x ＜0，则f (－2)＋f (4)等于( )A.109B.19C ．87D.7309 答案 B解析 由题意可得，f (－2)＋f (4)＝3－2＋4－4＝19.故选B.4．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1答案 B解析 由已知得－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－12，所以函数f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 5．(2019·浙江部分重点中学调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ＜－1，2x－1，x ≥－1，则函数f (x )的值域为( ) A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．R答案 B解析 当x ＜－1时，f (x )＝x 2－2∈(－1，＋∞)；当x ≥－1时，f (x )＝2x－1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.综上可知，函数f (x )的值域为(－1，＋∞)．故选B.6．(2018·浙江知名重点中学考前热身联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －b ，x ＜1，2x，x ≥1，若f (f (0))＝4，则b 等于( ) A ．2B ．1C ．－2D ．－1 答案 C解析 f (0)＝－b ，当－b ＜1，即b ＞－1时，f (－b )＝－3b ＝4，得b ＝－43(舍去)，当－b ≥1，即b ≤－1时，2－b＝4，得b ＝－2.7.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项A 符合条件，故选A. 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案 C解析 若a <0，则f (a )<1等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<8，解得a >－3，故－3<a <0；若a ≥0，则f (a )<1等价于a <1， 解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1.故选C.9．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝________.答案 x 2－x ＋1(x ≠1)解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x ＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1， 令x ＋1x＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1， 即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．10．(2016·浙江)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝______，b ＝________. 答案 －2 1解析 由已知可得：f (x )－f (a )＝x 3＋3x 2＋1－a 3－3a 2－1＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2. 而(x －b )(x －a )2＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2a －b ＝3，a 2＋2ab ＝0，a 3＋3a 2－a 2b ＝0，结合a ≠0解得a ＝－2，b ＝1.11．定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________． 答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]； 当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]，故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60]．12．(2018·浙江名校新高考研究联盟四联)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，x ∈[0，1)，2x ，x ∈[1，2]，若存在x 1＜x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，求x 1·f (x 2)的取值范围．解 函数f (x )的图象如图所示，若存在x 1＜x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，由图象可得12≤x 1＜1,2≤f (x 2)＜52，所以1≤x 1·f (x 2)＜52.13．(2018·浙江温州中学月考)将函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －1＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －2＋1的图象绕原点按顺时针方向旋转角θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图象，则θ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4解析 画出函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －1＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －2＋1的图象如图，结合图象可以看出当该函数的图象绕原点O 顺时针旋转的角大于或等于0而小于π4时所得曲线都是一个函数的图象，故应填⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4.14．(2018·宁波模拟)定义max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，已知函数f (x )＝max{|2x －1|，ax2＋b }，其中a ＜0，b ∈R ，若f (0)＝b . (1)求实数b 的取值范围；(2)若f (x )的最小值为1，求a ＋b 的值． 解 (1)由题意得f (0)＝max{1，b }， 若f (0)＝b ，则b ≥1.(2)解不等式|2x －1|＞1，得x ＞1或x ＜0.所以若f (x 0)＝1，x 0∈[0,1]，当x ∈[0,1]时，要使f (x )的最小值为1， 只需ax 2＋b 的最小值为1，因为a ＜0，所以由函数y ＝ax 2＋b 的图象(图略)知ax 2＋b 在x ＝1时取得最小值1，即a ＋b ＝1.15．(2015·浙江)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R ，都有( ) A ．f (sin2x )＝sin x B ．f (sin2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|答案 D解析 在A 中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝1，与函数的定义不符，故A 错．在B 中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝π24＋π2，与函数的定义不符，故B 错．在C 中，令x ＝1，得f (2)＝2；令x ＝－1，得f (2)＝0，与函数的定义不符，故C 错． 在D 中，变形为f (|x ＋1|2－1)＝|x ＋1|， 令|x ＋1|2－1＝t ，得t ≥－1，|x ＋1|＝t ＋1， 从而有f (t )＝t ＋1，显然这个函数关系在定义域[－1，＋∞)上是成立的， 故选D.16．(2018·浙江名校(诸暨中学)联考)f (x )是定义在R 上的函数，若f (1)＝504，对任意的x ∈R ，满足f (x ＋4)－f (x )≤2(x ＋1)及f (x ＋12)－f (x )≥6(x ＋5)，求f (2017)f (1)的值．解 ∵f (x ＋4)－f (x )≤2(x ＋1)， ∴f (x ＋8)－f (x ＋4)≤2(x ＋5)，f (x ＋12)－f (x ＋8)≤2(x ＋9)，上述三个式子相加得到f (x ＋12)－f (x )≤6(x ＋5)， 结合条件可知，f (x ＋12)－f (x )＝6(x ＋5)，于是f (2017)－f (1)＝[f (2 017)－f (2 005)]＋[f (2 005)－f (1 993)]＋[f (1 993)－f (1 981)]＋…＋[f (13)－f (1)]＝30×168＋6×168×(2005＋1)2＝5040＋504×2006，∴f (2017)f (1)＝2017.。
2020高考数学二轮复习专题一第3讲基本初等函数函数与方程及函数的综合问题专题强化训练[浙江]
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第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数的综合问题专题强化训练1．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－2或3解析：选C.f (x )＝(m 2－m －5)x m是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3. 又在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3. 2．函数y ＝a x ＋2－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过的点是( )A ．(0，0)B ．(0，－1)C ．(－2，0)D ．(－2，－1)解析：选C.法一：因为函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(0，1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y ＝ax ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象，所以y ＝ax ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(－2，0)，选项C 正确．法二：令x ＋2＝0，x ＝－2，得f (－2)＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(－2，0)，选项C 正确．3．(2019·温州模拟)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B.因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1，c ＝0.20.3∈(0，1)，所以a <c <b .故选B. 4．(2019·嘉兴市高考一模)函数f (x )＝(12)x －x 2的大致图象是( )解析：选D.由题意，x ＝0，f (0)＝1，排除B ，x ＝－2，f (－2)＝0，排除A ， x →－∞，f (x )→＋∞，排除C ，故选D.5．(2019·丽水模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的( )A ．10倍B ．20倍C ．50倍D ．100倍解析：选D.根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg 10M＝lg (A 0·10M)．所以A ＝A 0·10M，则A 0×107A 0×105＝100.故选D.6．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B.13C. 12D ．1解析：选C.由f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e1－x＋ex －1)＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x ) 图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e －1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.7．(2019·宁波效实中学高三质检)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B.由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．8．(2019·金华十校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x ≤42|x －5|，x >4，若a ，b ，c ，d 各不相同，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，则abcd 的取值范围是( )A ．(24，25)B ．[16，25)C ．(1，25)D ．(0，25]解析：选A.函数f (x )的图象如图所示： 若a 、b 、c 、d 互不相同， 且f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )， 不妨令a <b <c <d ， 则0<a <1，1<b <4，则log 2a ＝－log 2b ，即log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ＝0， 则ab ＝1，同时c ∈(4，5)，d ∈(5，6)，因为c ，d 关于x ＝5对称，所以c ＋d2＝5，则c ＋d ＝10，同时cd ＝c (10－c )＝－c 2＋10c ＝－(c －5)2＋25， 因为c ∈(4，5)，所以cd ∈(24，25)， 即abcd ＝cd ∈(24，25)，故选A.9．(2019·宁波十校高考模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2（1－x ）|，x ＜1－x 2＋4x －2，x ≥1，则方程f (x ＋1x －2)＝1的实根个数为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C.令f (x )＝1得x ＝3或x ＝1或x ＝12或x ＝－1，因为f (x ＋1x－2)＝1，所以x ＋1x －2＝3或x ＋1x －2＝1或x ＋1x －2＝12或x ＋1x －2＝－1.令g (x )＝x ＋1x－2，则当x ＞0时，g (x )≥2－2＝0，当x ＜0时，g (x )≤－2－2＝－4， 作出g (x )的函数图象如图所示：所以方程x ＋1x －2＝3，x ＋1x －2＝1，x ＋1x －2＝12均有两解，方程x＋1x－2＝－1无解．所以方程f (x ＋1x－2)＝1有6解．故选C.10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eB ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)解析：选C.因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以－1<ln x <1，解得1e<x <e.11．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知集合M ＝{x |y ＝lnx －1x}，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋2}，则M ＝__________，(∁R M )∩N ＝________．解析：M ＝{x |y ＝lnx －1x}＝{x |x (x －1)＞0}＝(－∞，0)∪(1，＋∞)， 所以∁R M ＝[0，1]．因为N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋2}＝{y |y ＝(x ＋1)2＋1}＝[1，＋∞)， 所以(∁R M )∩N ＝{1}．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞) {1}12．(2019·台州市书生中学高三月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则f (f (23))＝________；若f (f (a ))＝1，则a 的值为________．解析：f (23)＝1，f (1)＝2，所以f (f (23))＝2.当x ≥1时，f (x )≥2，所以a <1，f (a )<1且f (a )＝23，因此3a －1＝23，所以a ＝59.答案：2 5913．(2019·台州市高三模拟)设函数f (x )＝9x＋m ·3x，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f (－x 0)＝－f (x 0)， 所以9－x 0＋m ·3－x＝－9 x 0－m ·3 x0，所以m ＝－(3 x0＋3－x 0)＋23 x 0＋3－x 0， 令t ＝3 x0＋3－x 0，则t ≥2，故m ＝－t ＋2t，(t ≥2)，函数y ＝－t 与函数y ＝2t在[2，＋∞)上均为单调递减函数，所以m ＝－t ＋2t(t ≥2)在[2，＋∞)上单调递减，所以当t ＝2时，m ＝－t ＋2t(t ≥2)取得最大值－1，即m ≤－1.答案：(－∞，－1]14．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞b ＞c )，且f (1)＝0，若函数f (x )的导函数图象与函数f (x )的图象交于A 、B 两点，C 、D 是点A ，B 在x 轴上的投影，则线段|CD |长的取值范围为__________．解析：因为f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－a －c ， 因为a ＞b ＞c ，所以a ＞0，c ＜0，所以c a＜0，f ′(x )＝2ax ＋b ，令ax 2＋bx ＋c ＝2ax ＋b 得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ＝0， 即ax 2－(3a ＋c )x ＋2c ＋a ＝0，因为函数f (x )的导函数图象与函数f (x )的图象交于A ，B 两点， 所以方程ax 2－(3a ＋c )x ＋2c ＋a ＝0有两解， 所以Δ＝(3a ＋c )2－4a (2c ＋a )＝5a 2－2ac ＋c 2＞0，所以(c a)2－2c a＋5＞0，ca∈R ，所以x 1＋x 2＝3a ＋c a ＝3＋c a ，x 1x 2＝2c ＋a a ＝1＋2ca，所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(3＋c a)2－4(1＋2c a)＝(c a)2－2c a＋5＝(c a－1)2＋4，因为c a ＜0，所以(c a－1)2＋4＞5，所以|x 1－x 2|＞ 5. 答案：(5，＋∞)15.如图，线段EF 的长度为1，端点E ，F 在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当E ，F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则l －S 的最大值为________．解析：设正方形的边长为a (a ≥1)，当E ，F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 的轨迹如图，是由半径均为12的四段圆弧与长度均为a －1的四条线段围成的封闭图形，周长l ＝π＋4(a －1)，面积S ＝a 2－π4，所以l －S ＝－a 2＋4a＋5π4－4(a ≥1)，由二次函数的知识得，当a ＝2时，l －S 取得最大值5π4. 答案：5π416．(2019·高考浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－x ，若存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23，则实数a 的最大值是________．解析：f (t ＋2)－f (t )＝[a (t ＋2)3－(t ＋2)]－(at 3－t )＝2a (3t 2＋6t ＋4)－2，因为存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23，所以 －23≤2a (3t 2＋6t ＋4)－2≤23有解．因为3t 2＋6t ＋4≥1，所以23（3t 2＋6t ＋4）≤a ≤43（3t 2＋6t ＋4）有解，所以a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤43（3t 2＋6t ＋4）max ＝43，所以a的最大值为43.答案：4317．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x －2x 2，x ≤0|lg x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝a 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4，则这四根之积x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．解析：画出函数f (x )的图象，由图知f (x )＝a 有四个实根的条件为1≤a ＜98.设四个实根x 1＜x 2＜x 3＜x 4，由f (x )＝a 可得2x 2＋x ＋a －1＝0，所以x 1x 2＝a －12，由y ＝|lg x |＝a 知－lgx 3＝lg x 4，所以x 3·x 4＝1，故x 1x 2x 3x 4＝a －12，又因为g (a )＝a －12在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，98上是增函数，所以x 1x 2x 3x 4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，116.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，116 18．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ＞0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2.(1)如果x 1＜2＜x 2＜4，设函数的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0＞－1； (2)如果|x 1|＜2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围． 解：(1)证明：设g (x )＝f (x )－x ＝ax 2＋(b －1)x ＋1， 因为a ＞0，所以由条件x 1＜2＜x 2＜4，得g (2)＜0，g (4)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －1＜0，16a ＋4b －3＞0⇒34－4a ＜b ＜12－2a .显然由34－4a ＜12－2a 得a ＞18，即有2－38a ＞－b 2a ＞1－14a，故x 0＝－b 2a ＞1－14a ＞1－14×18＝－1.(2)由g (x )＝ax 2＋(b －1)x ＋1＝0，知x 1x 2＝1a＞0，故x 1与x 2同号．①若0＜x 1＜2，则x 2－x 1＝2(负根舍去)， 所以x 2＝x 1＋2＞2，所以g (2)＜0，即4a ＋2b －1＜0.(*) 所以(x 2－x 1)2＝（b －1）2a 2－4a＝4， 所以2a ＋1＝（b －1）2＋1(a ＞0，负根舍去)， 代入(*)式，得2（b －1）2＋1＜3－2b ，解出b ＜14.②若－2＜x 1＜0，则x 2＝－2＋x 1＜－2(正根舍去)， 所以g (－2)＜0，即4a －2b ＋3＜0(**)． 将2a ＋1＝（b －1）2＋1代入(**)式得 2（b －1）2＋1＜2b －1，解得b ＞74.综上，b 的取值范围为b ＜14或b ＞74.19．(2019·杭州市高三模拟)设函数f (x )＝|x 2－a |－ax －1(a ∈R )． (1)若函数y ＝f (x )在R 上恰有四个不同的零点，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )在[1，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式． 解：(1)若函数y ＝f (x )在R 上恰有四个不同的零点，则等价为f (x )＝|x 2－a |－ax －1＝0，即|x 2－a |＝ax ＋1有四个不同的解， 若a ≤0，则方程x 2－a ＝ax ＋1至多有两个根，不满足条件． 若a >0，则y ＝|x 2－a |与y ＝ax ＋1两个图象有四个不同的交点， ①当y ＝ax ＋1与y ＝－x 2＋a 相切时，得a ＝－2＋2 2.(负值舍掉) ②当y ＝ax ＋1过点(－a ，0)时，得a ＝1， 所以22－2<a <1，即a 的取值范围是(22－2，1)．(2)①当a ≤1时，f (x )＝x 2－ax －a －1＝(x －a2)2－a 24－a －1，则f (x )在[1，2]上单调递增，则f (x )min ＝f (1)＝－2a . ②当1<a <4时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x ＋a 2）2＋a 24＋a －1，1≤x ≤a（x －a 2）2－a24－a －1，a <x ≤2，易知f (x )在[1，a ]上单调递减，在(a ，2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (a )＝－a a －1.③当a ≥4时，f (x )＝－(x ＋a2)2＋a 24＋a －1，则f (x )在[1，2]上单调递减， 则f (x )min ＝f (2)＝－a －5，综上，g (a )＝⎩⎨⎧－2a ，a ≤1－a a －1，1<a <4－a －5，a ≥4.以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。
浙江2020版高考数学第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.8函数与方程讲义(含解析)
§3.8函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( √ )(4)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( √ ) 题组二 教材改编2．[P92A 组T5]函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞)答案 B解析 ∵f (2)＝ln2－1<0，f (3)＝ln3－23>0且函数f (x )的图象在(0，＋∞)上连续不断，f (x )为增函数， ∴f (x )的零点在区间(2,3)内．3．[P88例1]函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 由f ′(x )＝e x＋3>0，得f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．4．[P92A 组T4]函数f (x )＝12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为________．答案 1解析 作函数y ＝12x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象如图所示，由图象知函数f (x )有1个零点．题组三易错自纠5．函数f(x)＝ln2x－3ln x＋2的零点是( )A．(e,0)或(e2,0) B．(1,0)或(e2,0)C．(e2,0) D．e或e2答案 D解析f(x)＝ln2x－3ln x＋2＝(ln x－1)(ln x－2)，由f(x)＝0得x＝e或x＝e2，∴f(x)的零点是e或e2.6．已知函数f(x)＝x－x(x>0)，g(x)＝x＋e x，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则( )A．x1<x2<x3B．x2<x1<x3C．x2<x3<x1D．x3<x1<x2答案 C解析作出y＝x与y＝x(x>0)，y＝－e x，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C.7．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．答案(－8,1]解析m＝－x2＋2x在(0,4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，∴－8<m≤1.题型一函数零点所在区间的判定1．(2018·绍兴调研)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案 B解析∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2在(0，＋∞)上的图象是连续的，且为增函数， ∴f (x )的零点所在的区间是(1,2)．2．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)答案 A解析 ∵a <b <c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.3．设函数y 1＝x 3与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是______． 答案 (1,2)解析 令f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (x 0)＝0，易知f (x )为增函数，且f (1)<0，f (2)>0， ∴x 0所在的区间是(1,2)．思维升华确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理． (2)数形结合法．题型二 函数零点个数的判断例1 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．答案 2解析 当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点， 综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)(2018·杭州质检)设方程x ＝ln(ax )(a ≠0，e 为自然对数的底数)，则( ) A ．当a <0时，方程没有实数根B ．当0<a <e 时，方程有一个实数根C ．当a ＝e 时，方程有三个实数根D ．当a >e 时，方程有两个实数根 答案 D解析 由x ＝ln(ax )得e x＝ax ，则函数y ＝e x，y ＝ax 图象的交点个数是原方程根的个数．当a <0时，在第二象限有一个根，A 错误；设过原点的直线与y ＝e x 相切的切点坐标为(x 0，0e x)，则0e x ＝00e x x ，x 0＝1，则切线斜率为e ，所以当0<a <e 时，方程无根；当a ＝e 时，方程有一个实数根；当a >e 时，方程有两个实数根，D 正确，故选D. 思维升华函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点．(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数． (3)利用函数图象的交点个数判断．跟踪训练1 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0 答案 B 解析 方法一 由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．方法二 函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8sin2x ，x ≤0，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，x ＞0，则函数h (x )＝f (x )－log 4x 的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 函数h (x )＝f (x )－log 4x 的零点个数即为方程f (x )＝log 4x 的根的个数，分别画出y 1＝f (x )，y 2＝log 4x 的图象，由图可知，两个函数的图象有5个交点，所以函数h (x )有5个零点．题型三 函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例2(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图所示．由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得0<m <1，即m ∈(0,1)．(2)(2018·浙江杭州地区四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|－m ，x <2，(x －3m )(x －2m －2)，x ≥2的图象与x轴恰有三个交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪[1,2)∪(2,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(2,3) 答案 C解析 函数f (x )的图象与x 轴恰有三个交点，等价于函数f 1(x )＝|2x－1|－m (x <2)的图象与x 轴有两个交点且f 2(x )＝(x －3m )(x －2m －2)(x ≥2)的图象与x 轴有一个交点，或函数f 1(x )＝|2x－1|－m (x <2)的图象与x 轴有一个交点且f 2(x )＝(x －3m )·(x －2m －2)(x ≥2)的图象与x 轴有两个交点．①由函数f 1(x )＝|2x－1|－m (x <2)的图象与x 轴有两个交点得0<m <1，由f 2(x )＝(x －3m )(x －2m －2)(x ≥2)的图象与x 轴有一个交点得3m ＝2m ＋2≥2或3m ≥2>2m ＋2或2m ＋2≥2>3m ，可得m ＝2或0≤m <23.所以m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0<m <23. ②由函数f 1(x )＝|2x －1|－m (x <2)的图象与x 轴有一个交点得m ＝0或1≤m <3， 由f 2(x )＝(x －3m )(x －2m －2)(x ≥2)的图象与x 轴有两个交点得⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥2，2m ＋2≥2，3m ≠2m ＋2，解得m ≥23且m ≠2.所以m 的取值范围为{m |1≤m <3，m ≠2}． 综上所述，实数m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0<m <23或1≤m <3且m ≠2. 命题点2 根据函数零点的范围求参数例3若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12解析 依题意，结合函数f (x )的图象(图略)分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练2(1)(2018·宁波模拟)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2) 答案 C解析 由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0解析 令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m ，则函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点等价于函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )的图象与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则－14<m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.利用转化思想求解函数零点问题在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围． (2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决． 例(1)若函数f (x )＝|log a x |－2－x(a >0且a ≠1)的两个零点是m ，n ，则( ) A ．mn ＝1 B ．mn >1 C ．0<mn <1 D ．以上都不对答案 C解析 由题设可得|log a x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，不妨设a >1，m <n ，画出函数y ＝|log a x |，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象如图所示，结合图象可知0<m <1，n >1，且－log a m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，log a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，以上两式两边相减可得log a (mn )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12m<0，所以0<mn <1，故选C.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 C解析 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1. 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a ＜－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a ＞－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)． 故选C.(3)若关于x 的方程22x＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，2－22]解析 由方程，解得a ＝－22x＋12x ＋1，设t ＝2x(t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22， 当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.(4)(2018·浙江)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ.当λ＝2时，不等式f (x )＜0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________． 答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞)解析 当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x ＜2，其图象如图(1)．由图知f (x )＜0的解集为(1,4)．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y 1＝x －4与y 2＝x 2－4x ＋3的图象，如图(2)，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)答案 C解析 因为f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．2．函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由f (x )＝0，得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，作出函数y ＝|log 0.5x |和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，由图知两函数图象有2个交点， 故函数f (x )有2个零点．3．(2018·宁波模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的零点之和为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 答案 C解析 由f (f (x ))＝0得f (x )＝0或f (x )＝1，当f (x )＝0时，x ＝0或x ＝1；当f (x )＝1时，x ＝－1或x ＝2，所以函数y ＝f (f (x ))的零点之和为0＋1＋(－1)＋2＝2，故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤0，1x ，x >0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 D解析 当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1x＝m ，解得m ≥2，即实数m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.5．(2018·温州十校联合体期末)已知关于x 的方程1x ＋2＝a |x |有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 C解析 方程1x ＋2＝a |x |有三个不同的实数解等价于函数y ＝1x ＋2与y ＝a |x |的图象有三个不同的交点．在同一直角坐标系中作出函数y ＝1x ＋2与y ＝a |x |的图象，如图所示，由图易知，a >0.当－2<x <0时，设函数y ＝a |x |＝－ax 的图象与函数y ＝f (x )＝1x ＋2的图象相切于点(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝－1(x ＋2)2，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－ax 0，y 0＝1x 0＋2，1(x 0＋2)2＝a ，解得a ＝1，所以实数a 的取值范围为(1，＋∞)，故选C.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(－x )，x <0，2x，x ≥0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 D解析 由方程f 2(x )－af (x )＝0得f (x )＝0或f (x )＝a .在平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图易得显然f (x )＝0有一个实数根x ＝－1，因此只要f (x )＝a 有两个不相等的实根，结合函数y ＝f (x )的图象可得实数a 的取值范围是[1，＋∞)，故选D.7．(2018·浙江新高考仿真训练)若f (x )为奇函数，且x 0是y ＝f (x )－e x的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( )A ．y ＝f (x )e x＋1 B ．y ＝f (－x )e －x－1 C ．y ＝f (x )e x －1D ．y ＝f (－x )e x＋1答案 A解析 由题意，知f (x 0)－0e x＝0，f (－x 0)＝－f (x 0)， 对于A ，f (－x 0)0e x -＋1＝－f (x 0)1e x ＋1 ＝－1ex [f (x 0)－0e x]＝0， 所以－x 0是函数y ＝f (x )e x＋1的零点，故选A.8．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[23，＋∞) B ．(0,1]∪[3，＋∞) C ．(0，2]∪[23，＋∞) D ．(0，2]∪[3，＋∞)答案 B解析 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象． 分两种情形：(1)当0＜m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意．(2)当m ＞1时，0＜1m＜1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)． 综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)． 故选B.9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,1]解析 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x－a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.10．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2015x＋log 2015x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________． 答案 3解析 因为函数f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2015x＋log 2015x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12015内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点， 从而函数f (x )在R 上的零点个数为3.11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝12log x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )>g (x )，则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________． 答案 5解析 由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.12．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋m x－4.(1)若m ＝4，求函数f (x )的零点个数；(2)若函数f (x )有4个零点，求实数m 的取值范围．解 (1)当m ＝4时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x －4，由对勾函数的性质易得y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，所以函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x －4的零点个数为2.(2)当m >0时，由对勾函数的性质易得y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋m x ≥2m ， 当且仅当x ＝±m 时，等号成立， 要使f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋m x－4有4个零点，则有2m <4，解得0<m <4；当m ＝0时，f (x )＝|x |－4，易知此时函数f (x )＝|x |－4有2个零点，不符合题意； 当m <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋m x ≥0， 当且仅当x ＝±－m 时，等号成立，所以此时函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋m x－4有4个零点，综上所述，实数m 的取值范围为(－∞，0)∪(0,4)．13．(2018·宁波镇海中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x ≥0，x ·log 2|x |，x <0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝________，若f (x )＝ax －1有三个零点，则a 的取值范围是________． 答案134(4，＋∞) 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12log 212＝12， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3＝134.x ＝0显然不是函数f (x )＝ax －1的零点，则当x ≠0时，由f (x )＝ax －1有三个零点知f (x )x＝a －1x 有三个根，即函数y ＝f (x )x＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x ，x >0，log 2|x |，x <0与函数y ＝a －1x的图象交点有三个，如图所示，则由图可知当x <0时，两个函数只有一个交点，则当x >0时，函数y ＝a －1x与函数y＝x ＋3x 有两个交点，则存在x 使a －1x >x ＋3x 成立，即a >x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，等号成立，即a >4.14．(2018·湖州德清县、长兴县、安吉县期中)偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －x 2，若直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，求k 的取值范围．解 因为直线kx －y ＋k ＝0(k >0)，即k (x ＋1)－y ＝0(k >0)过定点(－1,0)．因为函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又因为函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称，在平面直角坐标系内画出函数f (x )的图象及直线k (x ＋1)－y ＝0(k >0)如图所示，则由图易得AB ＝22－1＝3，AC ＝42－1＝15， tan∠BAx ＝13＝33，tan∠CAx ＝115＝1515，则要使直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1515，33.15．(2018·湖州、衢州、丽水三地市质检)已知f (x )是定义在R 上的函数，若方程f (f (x ))＝x 有且仅有一个实数根，则f (x )的解析式可能是( ) A ．f (x )＝|2x －1| B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝x 2＋x ＋1 D ．f (x )＝sin x答案 D解析 对于A ，由f (f (x ))＝x ，即|2|2x －1|－1|＝x ，可得x ＝1或13或15或35，故A 错误；对于B ，由(e x －x )′＝e x －1，得y ＝e x－x 在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以(e x－x )min ＝1>0，即e x>x 恒成立，所以f (f (x ))＝e e x>e x>x ，即f (f (x ))＝x 无解，故B错误；对于C ，f (x )＝x 2＋x ＋1，f (f (x ))＝(x 2＋x ＋1)2＋x 2＋x ＋1＋1＝x ，即(x 2＋x ＋1)2＋x 2＋2＝0，无实数根，故C 错误；对于D ，令y ＝sin x －x ，则y ′＝cos x －1≤0，则y ＝sin x－x 在R 上单调递减，当x ＝0时，y ＝0，所以当x ∈(0，＋∞)时，sin x <x ，sin(sin x )<sin x <x ，当x ∈(－∞，0)时，sin x >x ，sin(sin x )>sin x >x ，则sin(sin x )－x 在R 上单调递减，且sin(sin0)＝0，故f (f (x ))＝x 有且仅有一个实数根，故选D.16．(2019·台州第一学期质检)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤1，|x 2－4|－2，x >1，求方程|f (x )－g (x )|＝2的实根的个数．解 在平面直角坐标系内画出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，方程|f (x )－g (x )|＝2的实根个数等价于垂直于x 轴的直线与两函数图象的交点的距离等于2的直线的条数，由图易得满足题意的直线共有4条．。
浙江高考数学一轮复习第三章函数的概念性质与基本初等函数32函数的基本性质课件
0), 0).
画出图象
如图所示.
由图可知函数的增区间为
0,
1 2
.
答案 B
浙江高考数学一轮复习第三章函数的概
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念性质与基本初等函数32函数的基本性
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质课件
方法总结 1.用图象法求单调区间的步骤:求定义域→作图象→结合图象 的升、降→单调区间. 2.性质法:在公共定义域内,若y=f(x),y=g(x)都为增(减)函数,则y=f(x)+g(x)为 增(减)函数; 在公共定义域内,若y=f(x)为增函数,y=g(x)为减函数,则y=f(x)-g(x)为增函数, y=g(x)-f(x)为减函数.
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念性质与基本初等函数32函数的基本性
3
质课件
知识拓展 (a)单调函数的定义有以下两种等价形式: ∀x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,
f (x1)-f (x2 )
(i) x1-x2 >0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;
f (x1)-f (x2 )
x1-x2 <0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.
例3 求函数f(x)=log1 (-x2-2x+3)的单调区间.
2
解题导引 先求定义域,然后拆分函数式为y=log1 u,u=-x2-2x+3,判断单调性
2
得单调区间.
浙江高考数学一轮复习第三章函数的概
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念性质与基本初等函数32函数的基本性
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质课件
解析 由已知得-x2-2x+3>0,∴-3<x<1. ∴f(x)的定义域为{x|-3<x<1}.令u=-x2-2x+3.
高考数学二轮复习第一部分专题一第三讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用习题
第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用限时规范训练 A 组——高考热点强化练一、选择题1．(log 32－log 318)÷81－14＝( )A ．－32B ．－6 C.32D ．6解析：原式＝(log 32－log 318)÷8114-＝log 3218÷(34) 14-＝log 319÷3144⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭＝－2÷13＝－6，故选B.答案：B2．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数． 要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D. 答案：D3．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12C ．－1D ．1解析：由幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，α＝12，则幂函数f (x )＝x 12，∴f (2)＝212，∴log 2f (2)＝12.故选A.答案：A4．(2016·高考北京卷)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：利用函数的单调性进行判断．A ．考查的是反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y<0，所以A 错误；B.考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y ＝sin x 在(0，＋∞)上不是单调的，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C.考查的是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，所以C 正确；D.考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误． 答案：C5．函数f (x )＝ln x ＋x －12，则其零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 D ．(1,2)解析：∵函数f (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上是连续的，且函数f (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上至多只有一个零点．又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝ln 34＋14＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫344e <ln 1＝0，f (1)＝12>0，所以函数的零点所在区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1，故选C.答案：C6．已知函数f (x )＝ln x －2[x ]＋3，其中[x ]表示不大于x 的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f (x )的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设g (x )＝ln x ，h (x )＝2[x ]－3，当0＜x ＜1时，h (x )＝－3，作出图象(图略)，两函数有一个交点即一个零点；当2≤x ＜3时，h (x )＝1，ln 2≤g (x )＜ln 3，此时两函数有一交点，即有一零点，共2个零点． 答案：B7．(2017·唐山模拟)若函数f (x )＝x lg(mx ＋x 2＋1)为偶函数，则m ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－1或1D ．0解析：因为函数f (x )为偶函数，则x lg(mx ＋x 2＋1)＝－x lg(－mx ＋x 2＋1)，即mx ＋x 2＋1＝1－mx ＋x 2＋1，整理得x 2＝m 2x 2，所以m 2＝1，所以m ＝±1，故选C.答案：C8．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]D ．(1,3)解析：由题意可知，f (x )＝e x－1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1.若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]，即－b 2＋4b －3>－1.解得2－2<b <2＋ 2. 答案：B9．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )<0，解得0<a <3，故选C. 答案：C10．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x＋2x －2的零点之差的绝对值不超过14，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x－1D ．f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12 解析：g (x )＝4x＋2x －2在R 上连续，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2＋12－2<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋1－2>0.设g (x )＝4x＋2x －2的零点为x 0，则14<x 0<12.f (x )＝4x －1的零点为x ＝14，f (x )＝(x －1)2的零点为x ＝1， f (x )＝e x －1的零点为x ＝0，f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x －12的零点为x ＝32.∵0<x 0－14<14，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－14<14.故选A.答案：A11．已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，14∪(1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，14∪(1，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，14解析：f (x )的定义域为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，因而1a <3，所以12a <32.此时t ＝ax 2－x 在[3,4]上为增函数，故需y ＝log a t 为增函数，所以a >1.故选A. 答案：A12．(2017·广西模拟)若关于x 的方程2x 3－3x 2＋a ＝0在区间[－2,2]上仅有一个实根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－4,0]∪[1,28) B ．[－4,28] C ．[－4,0)∪(1,28]D ．(－4,28)解析：设函数f (x )＝2x 3－3x 2＋a ，f ′(x )＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，x ∈[－2,2]．令f ′(x )>0，则x ∈[－2,0)∪(1,2]，令f ′(x )<0，则x ∈(0,1)，∴f (x )在(0,1)上单调递减，在[－2,0)，(1,2]上单调递增，又f (－2)＝－28＋a ，f (0)＝a ，f (1)＝－1＋a ，f (2)＝4＋a ，∴－28＋a ≤0<－1＋a 或a <0≤4＋a ，即a ∈[－4，0)∪(1,28]． 答案：C 二、填空题13．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2 016，f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＝4，则f (2 017)＝________. 解析：设F (x )＝f (x )－2 016，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝a log 21x＋b log 31x＝－(a log 2x ＋b log 3x )＝－F (x )，所以F (2 017)＝－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＝－(4－2 016)＝2 012，f (2 017)＝F (2 017)＋2 016＝4 028.答案：4 02814．已知2x ＝3y＝a ，且1x ＋1y＝2，则a 的值为________．解析：由2x ＝3y＝a ，得x ＝log 2a ，y ＝log 3a .由1x ＋1y＝2，得log a 2＋log a 3＝2，所以log a 6＝2，所以a 2＝6.又因为a >0，所以a ＝ 6. 答案： 615．某生产厂商更新设备，已知在未来x (x >0)年内，此设备所花费的各种费用总和y (万元)与x 满足函数关系y ＝4x 2＋64，欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为________．解析：y x＝4x ＋64x≥24x ·64x ＝32，当且仅当4x ＝64x，即x ＝4时等号成立．答案：416．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，即y ＝f (x )与y ＝m 有3个不同的交点，作出f (x )的图象和y ＝m 的图象，可得出m 的取值范围是[0,1)．答案：[0,1)B 组——12＋4高考提速练一、选择题1．已知a ，b ∈R ，则“log 3a >log 3b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 3a >log 3b ，得a >b ，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，故为充分条件；又由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b，得a >b ，但当a <0，b <0时，log 3a ，log 3b 无意义，因此不是必要条件．故选A.答案：A2．(2017·高考北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与MN最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80 lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与M N最接近的是1093.故选D. 答案：D3．(2017·甘肃模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f x ＋1，x <4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋log 25 C.12D.120解析：∵2<log 25<3，∴3<1＋log 25<4，则4<2＋log 25<5，则f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1222log 5＋＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫122log 5＝14×15＝120，故选D. 答案：D4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称解析：f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )． 设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A ，B 错误．∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确． ∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误．故选C. 答案：C5．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．2 C ．3D ．－1或2解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，m >0，解得m ＝2.故选B.答案：B6．已知对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(－∞，1)∪(3，＋∞) C ．(1,2)D ．(－∞，2)∪(3，＋∞)解析：x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由题知，当a ∈[－1,1]时，g (a )>0恒成立，则须⎩⎪⎨⎪⎧g－1>0，g 1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.故选B. 答案：B7．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2)B ．[－1,2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：根据题意，直线y ＝x 与射线y ＝2(x >m )有一个交点A (2,2)，并且与抛物线y ＝x 2＋4x ＋2在(－∞，m ]上有两个交点B ，C .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2＋4x ＋2，解得B (－1，－1)，C (－2，－2)．∵抛物线y ＝x 2＋4x ＋2在(－∞，m ]上的部分必须包含B ，C 两点，且点A (2,2)一定在射线y ＝2(x >m )上，才能使y ＝f (x )图象与y ＝x 有3个交点，∴实数m 的取值范围是－1≤m <2，故选A.答案：A8．(2017·高考天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 215＝f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8， ∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，∴a ＞b ＞c .故选C. 答案：C9．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2xD ．3y ＜2x ＜5z解析：令t ＝2x＝3y＝5z，∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1. 则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t 2lg 3－3lg 2lg 2×lg 3＝lg t lg 9－lg 8lg 2×lg 3＞0，∴2x ＞3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t 2lg 5－5lg 2lg 2×lg 5＝lg t lg 25－lg 32lg 2×lg 5＜0，∴2x ＜5z ，∴3y ＜2x ＜5z .故选D. 答案：D10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，x 2－2x ＋1，x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．(0,3)解析：设t ＝f (x )，则方程为t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a ，即f (x )＝0或f (x )＝a .如图所示，作出函数f (x )的图象，由函数图象，可知f (x )＝0的解有2个，故要使方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的解，则方程f (x )＝a 的解必有3个，此时0<a <1，故选A.答案：A11．(2017·高考山东卷)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[23，＋∞) B ．(0,1]∪[3，＋∞) C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析：在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象． 分两种情形：(1)当0＜m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m ＞1时，0＜1m＜1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)．故选B. 答案：B12．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B.13C.12D ．1解析：法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)＝(x －1)2＋a [ex －1＋e－(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t＋e －t)－1.∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t＋e t)－1＝g (t )，∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点．又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.故选C.法二：f (x )＝0⇔a (e x －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a ＞0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，则a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．故选C. 答案：C 二、填空题13．(2017·西安八校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为________．解析：函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x有2个零点．答案：214．已知x ∈R ，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，0≤x ≤π，x 2，x <0，则方程f (x )＝1的所有解之和等于________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，0≤x ≤π，x 2，x <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤π，2sin x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＝1.解得x ＝π6或x ＝5π6或x ＝－1，则其所有解的和为π－1. 答案：π－115．如图所示，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝2x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫32x的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴．若点A 的纵坐标是2，则点D 的坐标是________．解析：由2＝2得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，由2＝x 12得点B (4,2)．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫324＝916，即点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，916，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，916.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，916 16．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝(x －a )2＋5－a 2在(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2，|a －1|≥|(a ＋1)－a |＝1，因此要使x 1，x 2∈[1，a ＋1]时，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，只要|f (a )－f (1)|≤4即可，即|(a 2－2a 2＋5)－(1－2a ＋5)|＝(a －1)2≤4，解得－1≤a ≤3.又∵a ≥2，∴2≤a ≤3. 答案：[2,3]。
(浙江专用)2020版高考数学新增分大一轮复习 第三章 函数概念与基本初等函数Ⅰ3.8 函数与方程讲
§3.8函数与方程最新考纲考情考向分析了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0) (x1,0)无交点零点个数210概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示 不能．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( √ )(4)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( √ ) 题组二 教材改编2．[P92A 组T5]函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞)答案 B解析 ∵f (2)＝ln2－1<0，f (3)＝ln3－23>0且函数f (x )的图象在(0，＋∞)上连续不断，f (x )为增函数， ∴f (x )的零点在区间(2,3)内．3．[P88例1]函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 由f ′(x )＝e x＋3>0，得f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e－3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．4．[P92A 组T4]函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为________．答案 1解析 作函数y ＝和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象如图所示，由图象知函数f(x)有1个零点．题组三易错自纠5．函数f(x)＝ln2x－3ln x＋2的零点是( )A．(e,0)或(e2,0) B．(1,0)或(e2,0)C．(e2,0) D．e或e2答案 D解析f(x)＝ln2x－3ln x＋2＝(ln x－1)(ln x－2)，由f(x)＝0得x＝e或x＝e2，∴f(x)的零点是e或e2.6．已知函数f(x)＝x－x(x>0)，g(x)＝x＋e x，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则( ) A．x1<x2<x3B．x2<x1<x3C．x2<x3<x1D．x3<x1<x2答案 C解析作出y＝x与y＝x(x>0)，y＝－e x，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C.7．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．答案(－8,1]解析m＝－x2＋2x在(0,4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，∴－8<m≤1.题型一函数零点所在区间的判定1．(2018·绍兴调研)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案 B解析∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，∴f (1)·f (2)<0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2在(0，＋∞)上的图象是连续的，且为增函数， ∴f (x )的零点所在的区间是(1,2)．2．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)答案 A解析 ∵a <b <c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.3．设函数y 1＝x 3与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是______． 答案 (1,2)解析 令f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (x 0)＝0，易知f (x )为增函数，且f (1)<0，f (2)>0， ∴x 0所在的区间是(1,2)．思维升华确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理． (2)数形结合法．题型二 函数零点个数的判断例1 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．答案 2解析 当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点， 综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)(2018·杭州质检)设方程x ＝ln(ax )(a ≠0，e 为自然对数的底数)，则( ) A ．当a <0时，方程没有实数根 B ．当0<a <e 时，方程有一个实数根 C ．当a ＝e 时，方程有三个实数根 D ．当a >e 时，方程有两个实数根 答案 D解析 由x ＝ln(ax )得e x ＝ax ，则函数y ＝e x，y ＝ax 图象的交点个数是原方程根的个数．当a <0时，在第二象限有一个根，A 错误；设过原点的直线与y ＝e x相切的切点坐标为(x 0，)，则＝，x 0＝1，则切线斜率为e ，所以当0<a <e 时，方程无根；当a ＝e 时，方程有一个实数根；当a >e 时，方程有两个实数根，D 正确，故选D. 思维升华函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点．(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数． (3)利用函数图象的交点个数判断．跟踪训练1 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．7D ．0 答案 B 解析 方法一 由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．方法二 函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8sin2x ，x ≤0，12f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，x ＞0，则函数h (x )＝f (x )－log 4x 的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 函数h (x )＝f (x )－log 4x 的零点个数即为方程f (x )＝log 4x 的根的个数，分别画出y 1＝f (x )，y 2＝log 4x 的图象，由图可知，两个函数的图象有5个交点，所以函数h (x )有5个零点．题型三 函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例2(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图所示．由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得0<m <1，即m ∈(0,1)．(2)(2018·浙江杭州地区四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|－m ，x <2，(x －3m )(x －2m －2)，x ≥2的图象与x 轴恰有三个交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪[1,2)∪(2,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(2,3) 答案 C解析 函数f (x )的图象与x 轴恰有三个交点，等价于函数f 1(x )＝|2x－1|－m (x <2)的图象与x 轴有两个交点且f 2(x )＝(x －3m )(x －2m －2)(x ≥2)的图象与x 轴有一个交点，或函数f 1(x )＝|2x－1|－m (x <2)的图象与x 轴有一个交点且f 2(x )＝(x －3m )·(x －2m －2)(x ≥2)的图象与x 轴有两个交点．①由函数f 1(x )＝|2x－1|－m (x <2)的图象与x 轴有两个交点得0<m <1，由f 2(x )＝(x －3m )(x －2m －2)(x ≥2)的图象与x 轴有一个交点得3m ＝2m ＋2≥2或3m ≥2>2m ＋2或2m ＋2≥2>3m ，可得m ＝2或0≤m <23.所以m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0<m <23. ②由函数f 1(x )＝|2x －1|－m (x <2)的图象与x 轴有一个交点得m ＝0或1≤m <3， 由f 2(x )＝(x －3m )(x －2m －2)(x ≥2)的图象与x 轴有两个交点得⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥2，2m ＋2≥2，3m ≠2m ＋2，解得m ≥23且m ≠2.所以m 的取值范围为{m |1≤m <3，m ≠2}． 综上所述，实数m 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0<m <23或1≤m <3且m ≠2. 命题点2 根据函数零点的范围求参数例3若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12解析 依题意，结合函数f (x )的图象(图略)分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练2(1)(2018·宁波模拟)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2) 答案 C解析 由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1,2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是____________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0解析 令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m ，则函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点等价于函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )的图象与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则－14<m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.利用转化思想求解函数零点问题在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围． (2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决． 例(1)若函数f (x )＝|log a x |－2－x(a >0且a ≠1)的两个零点是m ，n ，则( ) A ．mn ＝1 B ．mn >1 C ．0<mn <1 D ．以上都不对答案 C解析 由题设可得|log a x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，不妨设a >1，m <n ，画出函数y ＝|log a x |，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象如图所示，结合图象可知0<m <1，n >1，且－log a m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，log a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，以上两式两边相减可得log a (mn )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m<0，所以0<mn <1，故选C.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 C解析 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1. 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a ＜－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a ＞－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)． 故选C.(3)若关于x 的方程22x＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，2－22]解析 由方程，解得a ＝－22x＋12x ＋1，设t ＝2x(t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22， 当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.(4)(2018·浙江)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ.当λ＝2时，不等式f (x )＜0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________． 答案 (1,4) (1,3]∪(4，＋∞)解析 当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x ＜2，其图象如图(1)．由图知f (x )＜0的解集为(1,4)．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x ＜λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零点．在同一平面直角坐标系中画出y 1＝x －4与y 2＝x 2－4x ＋3的图象，如图(2)，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)．1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)答案 C解析 因为f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)． 2．函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由f (x )＝0，得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，作出函数y ＝|log 0.5x |和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，由图知两函数图象有2个交点， 故函数f (x )有2个零点．3．(2018·宁波模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的零点之和为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 答案 C解析 由f (f (x ))＝0得f (x )＝0或f (x )＝1，当f (x )＝0时，x ＝0或x ＝1；当f (x )＝1时，x ＝－1或x ＝2，所以函数y ＝f (f (x ))的零点之和为0＋1＋(－1)＋2＝2，故选C. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤0，1x ，x >0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 D解析 当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1x＝m ，解得m ≥2，即实数m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D. 5．(2018·温州十校联合体期末)已知关于x 的方程1x ＋2＝a |x |有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 C 解析 方程1x ＋2＝a |x |有三个不同的实数解等价于函数y ＝1x ＋2与y ＝a |x |的图象有三个不同的交点．在同一直角坐标系中作出函数y ＝1x ＋2与y ＝a |x |的图象，如图所示，由图易知，a >0.当－2<x <0时，设函数y ＝a |x |＝－ax 的图象与函数y ＝f (x )＝1x ＋2的图象相切于点(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝－1(x ＋2)2，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－ax 0，y 0＝1x 0＋2，1(x 0＋2)2＝a ，解得a ＝1，所以实数a 的取值范围为(1，＋∞)，故选C.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(－x )，x <0，2x，x ≥0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 D解析 由方程f 2(x )－af (x )＝0得f (x )＝0或f (x )＝a .在平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图易得显然f (x )＝0有一个实数根x ＝－1，因此只要f (x )＝a 有两个不相等的实根，结合函数y ＝f (x )的图象可得实数a 的取值范围是[1，＋∞)，故选D.7．(2018·浙江新高考仿真训练)若f (x )为奇函数，且x 0是y ＝f (x )－e x的一个零点，则－x 0一定是下列哪个函数的零点( ) A ．y ＝f (x )e x＋1B ．y ＝f (－x )e －x－1C ．y ＝f (x )e x－1 D ．y ＝f (－x )e x＋1答案 A解析 由题意，知f (x 0)－＝0，f (－x 0)＝－f (x 0)， 对于A ，f (－x 0)＋1＝－f (x 0)＋1 ＝－[f (x 0)－]＝0，所以－x 0是函数y ＝f (x )e x＋1的零点，故选A.8．已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23，＋∞)B ．(0,1]∪[3，＋∞)C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)答案 B解析 在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象．分两种情形：(1)当0＜m ≤1时，1m≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意．(2)当m ＞1时，0＜1m＜1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)． 综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)． 故选B.9．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,1]解析 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x－a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x，因为0<2x≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.10．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2015x＋log 2015x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________． 答案 3解析 因为函数f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2015x＋log 2015x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12015内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点， 从而函数f (x )在R 上的零点个数为3.11．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )>g (x )，则函数F (x )＝h (x )＋x－5的所有零点的和为________． 答案 5解析 由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.12．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋m x－4.(1)若m ＝4，求函数f (x )的零点个数；(2)若函数f (x )有4个零点，求实数m 的取值范围．解 (1)当m ＝4时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x －4，由对勾函数的性质易得y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，所以函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x －4的零点个数为2.(2)当m >0时，由对勾函数的性质易得y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋m x ≥2m ， 当且仅当x ＝±m 时，等号成立， 要使f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋m x－4有4个零点，则有2m <4，解得0<m <4；当m ＝0时，f (x )＝|x |－4，易知此时函数f (x )＝|x |－4有2个零点，不符合题意； 当m <0时，函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋m x ≥0， 当且仅当x ＝±－m 时，等号成立，所以此时函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋m x －4有4个零点， 综上所述，实数m 的取值范围为(－∞，0)∪(0,4)．13．(2018·宁波镇海中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x ≥0，x ·log 2|x |，x <0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝________，若f (x )＝ax －1有三个零点，则a 的取值范围是________． 答案134(4，＋∞) 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12log 212＝12， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3＝134.x ＝0显然不是函数f (x )＝ax －1的零点，则当x ≠0时，由f (x )＝ax －1有三个零点知f (x )x ＝a －1x有三个根，即函数y ＝f (x )x＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x ，x >0，log 2|x |，x <0与函数y ＝a －1x的图象交点有三个，如图所示，则由图可知当x <0时，两个函数只有一个交点，则当x >0时，函数y ＝a －1x 与函数y ＝x ＋3x有两个交点，则存在x 使a －1x >x ＋3x 成立，即a >x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，等号成立，即a >4. 14．(2018·湖州德清县、长兴县、安吉县期中)偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －x 2，若直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，求k 的取值范围．解 因为直线kx －y ＋k ＝0(k >0)，即k (x ＋1)－y ＝0(k >0)过定点(－1,0)．因为函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又因为函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称，在平面直角坐标系内画出函数f (x )的图象及直线k (x ＋1)－y ＝0(k >0)如图所示，则由图易得AB ＝22－1＝3，AC ＝42－1＝15，tan∠BAx ＝13＝33，tan∠CAx ＝115＝1515，则要使直线kx －y ＋k ＝0(k >0)与函数f (x )的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1515，33.15．(2018·湖州、衢州、丽水三地市质检)已知f (x )是定义在R 上的函数，若方程f (f (x ))＝x 有且仅有一个实数根，则f (x )的解析式可能是( ) A ．f (x )＝|2x －1| B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝x 2＋x ＋1 D ．f (x )＝sin x答案 D解析 对于A ，由f (f (x ))＝x ，即|2|2x －1|－1|＝x ，可得x ＝1或13或15或35，故A 错误；对于B ，由(e x －x )′＝e x －1，得y ＝e x －x 在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以(e x－x )min ＝1>0，即e x >x 恒成立，所以f (f (x ))＝>e x >x ，即f (f (x ))＝x 无解，故B 错误；对于C ，f (x )＝x2＋x ＋1，f (f (x ))＝(x 2＋x ＋1)2＋x 2＋x ＋1＋1＝x ，即(x 2＋x ＋1)2＋x 2＋2＝0，无实数根，故C 错误；对于D ，令y ＝sin x －x ，则y ′＝cos x －1≤0，则y ＝sin x －x 在R 上单调递减，当x ＝0时，y ＝0，所以当x ∈(0，＋∞)时，sin x <x ，sin(sin x )<sin x <x ，当x ∈(－∞，0)时，sin x >x ，sin(sin x )>sin x >x ，则sin(sin x )－x 在R 上单调递减，且sin(sin0)＝0，故f (f (x ))＝x 有且仅有一个实数根，故选D.16．(2019·台州第一学期质检)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤1，|x 2－4|－2，x >1，求方程|f (x )－g (x )|＝2的实根的个数．解在平面直角坐标系内画出函数f(x)与g(x)的图象如图所示，方程|f(x)－g(x)|＝2的实根个数等价于垂直于x轴的直线与两函数图象的交点的距离等于2的直线的条数，由图易得满足题意的直线共有4条．。
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专题强化训练1．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－2或3解析：选C.f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3. 又在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3.2．函数y ＝a x ＋2－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0，0) B ．(0，－1) C ．(－2，0)D ．(－2，－1)解析：选C.法一：因为函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(0，1)，将该图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y ＝a x ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象，所以y ＝a x ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(－2，0)，选项C 正确．法二：令x ＋2＝0，x ＝－2，得f (－2)＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(－2，0)，选项C 正确．3．(2019·温州模拟)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B.因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1，c ＝0.20.3∈(0，1)，所以a <c <b .故选B. 4．(2019·嘉兴市高考一模)函数f (x )＝(12)x －x 2的大致图象是( )解析：选D.由题意，x ＝0，f (0)＝1，排除B ， x ＝－2，f (－2)＝0，排除A ， x →－∞，f (x )→＋∞，排除C ， 故选D.5．(2019·丽水模拟)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的( )A ．10倍B ．20倍C ．50倍D ．100倍解析：选D.根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg 10M＝lg (A 0·10M)．所以A ＝A 0·10M，则A 0×107A 0×105＝100.故选D.6．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B.13C. 12D ．1解析：选C.由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋ e －(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x ) 图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e －1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.7．(2019·宁波效实中学高三质检)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B.由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．8．(2019·金华十校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x ≤42|x －5|，x >4，若a ，b ，c ，d 各不相同，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，则abcd 的取值范围是( )A ．(24，25)B ．[16，25)C ．(1，25)D ．(0，25]解析：选A.函数f (x )的图象如图所示： 若a 、b 、c 、d 互不相同，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )， 不妨令a <b <c <d ， 则0<a <1，1<b <4，则log 2a ＝－log 2b ，即log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ＝0， 则ab ＝1，同时c ∈(4，5)，d ∈(5，6)，因为c ，d 关于x ＝5对称，所以c ＋d2＝5，则c ＋d ＝10，同时cd ＝c (10－c )＝－c 2＋10c ＝－(c －5)2＋25， 因为c ∈(4，5)，所以cd ∈(24，25)， 即abcd ＝cd ∈(24，25)，故选A.9．(2019·宁波十校高考模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2（1－x ）|，x ＜1－x 2＋4x －2，x ≥1，则方程f (x ＋1x －2)＝1的实根个数为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C.令f (x )＝1得x ＝3或x ＝1或x ＝12或x ＝－1，因为f (x ＋1x－2)＝1，所以x ＋1x －2＝3或x ＋1x －2＝1或x ＋1x －2＝12或x ＋1x －2＝－1.令g (x )＝x ＋1x －2，则当x ＞0时，g (x )≥2－2＝0，当x ＜0时，g (x )≤－2－2＝－4， 作出g (x )的函数图象如图所示：所以方程x ＋1x －2＝3，x ＋1x －2＝1，x ＋1x －2＝12均有两解，方程x＋1x－2＝－1无解． 所以方程f (x ＋1x －2)＝1有6解．故选C.10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝⎛⎭⎫1e ，eD ．(e ，＋∞)解析：选C.因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以－1<ln x <1，解得1e<x <e.11．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知集合M ＝{x |y ＝ln x －1x}，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋2}，则M ＝__________，(∁R M )∩N ＝________．解析：M ＝{x |y ＝lnx －1x}＝{x |x (x －1)＞0}＝(－∞，0)∪(1，＋∞)， 所以∁R M ＝[0，1]．因为N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋2}＝{y |y ＝(x ＋1)2＋1}＝[1，＋∞)， 所以(∁R M )∩N ＝{1}．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞) {1}12．(2019·台州市书生中学高三月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则f (f (23))＝________；若f (f (a ))＝1，则a 的值为________．解析：f (23)＝1，f (1)＝2，所以f (f (23))＝2.当x ≥1时，f (x )≥2，所以a <1，f (a )<1且f (a )＝23，因此3a －1＝23，所以a ＝59.答案：2 5913．(2019·台州市高三模拟)设函数f (x )＝9x ＋m ·3x ，若存在实数x 0，使得f (－x 0)＝－f (x 0)成立，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f (－x 0)＝－f (x 0)， 所以9－x 0＋m ·3－x 0＝－9 x 0－m ·3 x 0， 所以m ＝－(3 x 0＋3－x 0)＋23 x 0＋3－x 0，令t ＝3 x 0＋3－x 0，则t ≥2， 故m ＝－t ＋2t，(t ≥2)，函数y ＝－t 与函数y ＝2t 在[2，＋∞)上均为单调递减函数，所以m ＝－t ＋2t(t ≥2)在[2，＋∞)上单调递减，所以当t ＝2时，m ＝－t ＋2t (t ≥2)取得最大值－1，即m ≤－1.答案：(－∞，－1]14．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞b ＞c )，且f (1)＝0，若函数f (x )的导函数图象与函数f (x )的图象交于A 、B 两点，C 、D 是点A ，B 在x 轴上的投影，则线段|CD |长的取值范围为__________．解析：因为f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－a －c ， 因为a ＞b ＞c ，所以a ＞0，c ＜0，所以ca ＜0，f ′(x )＝2ax ＋b ，令ax 2＋bx ＋c ＝2ax ＋b 得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ＝0， 即ax 2－(3a ＋c )x ＋2c ＋a ＝0，因为函数f (x )的导函数图象与函数f (x )的图象交于A ，B 两点， 所以方程ax 2－(3a ＋c )x ＋2c ＋a ＝0有两解， 所以Δ＝(3a ＋c )2－4a (2c ＋a )＝5a 2－2ac ＋c 2＞0， 所以(c a )2－2c a ＋5＞0，ca∈R ，所以x 1＋x 2＝3a ＋c a ＝3＋c a ，x 1x 2＝2c ＋a a ＝1＋2c a，所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(3＋c a )2－4(1＋2c a )＝(c a )2－2c a ＋5＝(ca －1)2＋4，因为c a ＜0，所以(ca－1)2＋4＞5，所以|x 1－x 2|＞ 5.答案：(5，＋∞)15.如图，线段EF 的长度为1，端点E ，F 在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当E ，F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则l －S 的最大值为________．解析：设正方形的边长为a (a ≥1)，当E ，F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 的轨迹如图，是由半径均为12的四段圆弧与长度均为a－1的四条线段围成的封闭图形，周长l ＝π＋4(a －1)，面积S ＝a 2－π4，所以l －S ＝－a 2＋4a ＋5π4－4(a ≥1)，由二次函数的知识得，当a ＝2时，l －S 取得最大值5π4. 答案：5π416．(2019·高考浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－x ，若存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23，则实数a 的最大值是________．解析：f (t ＋2)－f (t )＝[a (t ＋2)3－(t ＋2)]－(at 3－t )＝2a (3t 2＋6t ＋4)－2，因为存在t ∈R ，使得|f (t ＋2)－f (t )|≤23，所以 －23≤2a (3t 2＋6t ＋4)－2≤23有解．因为3t 2＋6t ＋4≥1，所以23（3t 2＋6t ＋4）≤a ≤43（3t 2＋6t ＋4）有解，所以a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤43（3t 2＋6t ＋4）max ＝43，所以a 的最大值为43.答案：4317．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x －2x 2，x ≤0|lg x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝a 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4，则这四根之积x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．解析：画出函数f (x )的图象，由图知f (x )＝a 有四个实根的条件为1≤a ＜98.设四个实根x 1＜x 2＜x 3＜x 4，由f (x )＝a 可得2x 2＋x ＋a －1＝0，所以x 1x 2＝a －12，由y ＝|lg x |＝a 知－lg x 3＝lgx 4，所以x 3·x 4＝1，故x 1x 2x 3x 4＝a －12，又因为g (a )＝a －12在⎣⎡⎭⎫1，98上是增函数，所以x 1x 2x 3x 4∈⎣⎡⎭⎫0，116.答案：⎣⎡⎭⎫0，116 18．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ＞0)，设方程f (x )＝x 的两个实数根为x 1和x 2.(1)如果x 1＜2＜x 2＜4，设函数的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0＞－1； (2)如果|x 1|＜2，|x 2－x 1|＝2，求b 的取值范围． 解：(1)证明：设g (x )＝f (x )－x ＝ax 2＋(b －1)x ＋1， 因为a ＞0，所以由条件x 1＜2＜x 2＜4，得g (2)＜0，g (4)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －1＜0，16a ＋4b －3＞0⇒34－4a ＜b ＜12－2a .显然由34－4a ＜12－2a 得a ＞18，即有2－38a ＞－b 2a ＞1－14a ，故x 0＝－b 2a ＞1－14a ＞1－14×18＝－1.(2)由g (x )＝ax 2＋(b －1)x ＋1＝0，知x 1x 2＝1a ＞0，故x 1与x 2同号．①若0＜x 1＜2，则x 2－x 1＝2(负根舍去)， 所以x 2＝x 1＋2＞2，所以g (2)＜0，即4a ＋2b －1＜0.(*) 所以(x 2－x 1)2＝（b －1）2a 2－4a＝4， 所以2a ＋1＝（b －1）2＋1(a ＞0，负根舍去)， 代入(*)式，得2（b －1）2＋1＜3－2b ，解出b ＜14.②若－2＜x 1＜0，则x 2＝－2＋x 1＜－2(正根舍去)，所以g (－2)＜0，即4a －2b ＋3＜0(**)． 将2a ＋1＝（b －1）2＋1代入(**)式得2（b －1）2＋1＜2b －1，解得b ＞74.综上，b 的取值范围为b ＜14或b ＞74.19．(2019·杭州市高三模拟)设函数f (x )＝|x 2－a |－ax －1(a ∈R )． (1)若函数y ＝f (x )在R 上恰有四个不同的零点，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )在[1，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式． 解：(1)若函数y ＝f (x )在R 上恰有四个不同的零点，则等价为f (x )＝|x 2－a |－ax －1＝0，即|x 2－a |＝ax ＋1有四个不同的解， 若a ≤0，则方程x 2－a ＝ax ＋1至多有两个根，不满足条件． 若a >0，则y ＝|x 2－a |与y ＝ax ＋1两个图象有四个不同的交点， ①当y ＝ax ＋1与y ＝－x 2＋a 相切时，得a ＝－2＋2 2.(负值舍掉) ②当y ＝ax ＋1过点(－a ，0)时，得a ＝1， 所以22－2<a <1，即a 的取值范围是(22－2，1)． (2)①当a ≤1时，f (x )＝x 2－ax －a －1＝(x －a 2)2－a 24－a －1，则f (x )在[1，2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (1)＝－2a . ②当1<a <4时，f (x )＝⎩⎨⎧－（x ＋a 2）2＋a 24＋a －1，1≤x ≤a（x －a 2）2－a 24－a －1，a <x ≤2，易知f (x )在[1，a ]上单调递减，在(a ，2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (a )＝－a a －1.③当a ≥4时，f (x )＝－(x ＋a 2)2＋a 24＋a －1，则f (x )在[1，2]上单调递减， 则f (x )min ＝f (2)＝－a －5，综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，a ≤1－a a －1，1<a <4－a －5，a ≥4.。