2009级《微积分》期末考试试卷(A卷) (20100609) (1)
2009-2010(2)微积分试卷A解答
上海立信会计学院 2009～2010学年第二学期2009级本科 《微积分（二）》期终考试试题（A ）（本场考试属闭卷考试，禁止使用计算器） 共5页班级________________学号________________姓名___________一.单项选择题（每题仅有一个答案正确）（共10分，每题2分）1、点（ 4，-3，5）到oy 轴的距离为 （ ） （A ）、2225)3(4+-+ （B ）、225)3(+-（C ）、22)3(4-+ （D ）、2254+2、设yx y x z arcsin)2(2-+=，那么(1,2)z x∂=∂（ ）(A)、2 (B)、1 (C) 、π2(D)、 π43、下列级数中收敛的是（ ）（A ）、∑∞=+1131n n （B ）、∑∞=++1)2(1n n n n（C ）、∑∞=123n nn （D ）、∑∞=++1)3)(1(4n n n4、微分方程22dxy d +w 2y=0的通解是 其中c ，c 1，c 2均为任意常数（A ）、y =ccoswx (B)、y =c sinwx(C)、y =c 1coswx+c 2sinwx (D)、y =coswx+sinwx5、交换+⎰⎰12111),(x dy y x f dx ⎰⎰211),(xdy y x f dx 的次序，则下列结果正确的是（ ）（A ）、⎰⎰211),(yydx y x f dy （B ）、⎰⎰211),(y ydx y x f dy（C ）、⎰⎰311),(x xdx y x f dy （D ）、⎰⎰1311),(x xdx y x f dy二. 填空题（将最简答案填在横线上）（共15分，每题3分）1、设f x y x y xy y (,)+-=+2，则),(x y f =2、设y x ye z +=，则d z =3、D ：122≤+y x ，则σd eDyx ⎰⎰+22=4、∑∞=11n pn，当p 满足条件 时收敛。
2009-2010(1)A
A、极限不存在；B、极限存在，但不连续；C、连续，但不可导；D、可导；
3、在区间 内， 的一阶导数 ，二阶导数 ，则 在区间 内是（）
A、单增且凸；B、单减且凸；C、单增且凹；D、单减且凹；
4、下列命题中正确的是（）
A、 ，则 一定是由曲线 的拐点；
B、若 ，则 在 处一定取极值；
4、 ，求单调区间、凹凸区间，极值点与拐点的横坐标。
5、 的通解
得分
评卷人
四、证明题(10分)
1、证明不等式
得分
评卷人
五、应用题（共10分）
1、一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为的液体,求桶的一个端面所受的侧压力。（注：水深为h处的压强: ，为水的密度）
C、 可导，且在 上取得极值，则 ；
D、 在 上取得最大值，则该最大值一定是 在 内的极大值。
5、 是 的一个原函数，则（）
A、 ；B、 ；C、 ；D、 ；
得分
评卷人
三、解答题（10分）
2、求导数或微分
（1）设函数 ，求 ；
（2）求由方程
3、求积分（1） （2） （3） (4)
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
第六题
第七题
第八题
第九题
第十题
卷面分数
平时成绩
总分
得分
评卷人
一、填空（3分×5=15分）
1、设 ，则 = 。
2、设 ，则 。
3、曲线 的曲率是。
4、 。
5、 的通解公式是 。
得分
评卷人
二、选择题（3分×5=15分）
1、 是函数 的（）
A、连续点；B、可去间断点；C、第一类不可去间断点；D、第二类间断点；
《微积分》期末考试试卷附答案
《微积分》期末考试试卷附答案一、填空题(共5小题，每小题4分,共20分)1、已知2)(x e x f =,x x f -=1)]([ϕ,且0)(≥x ϕ,则=)(x ϕ2、已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a .3、已知2)1(='f ,则=+-+→xx f x f x )1()31(lim 0 . 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 5、=⎰xx dx 22cos sin .二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1、设)(x f 为偶函数,)(x ϕ为奇函数,且)]([x f ϕ有意义,则)]([x f ϕ是(A) 偶函数； (B) 奇函数；(C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数.2、0=x 是函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0 ,0,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的(A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点.3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是(A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微；(C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在；(D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在.4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：(A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<''； (C) )()(Q C Q R ''=''；(D) )()(Q C Q R '='.5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是： (A) )()(x f dx x f dx d ⎰=； (B) )()(x f dx x f ⎰='；(C) dx x f dx x f d )()(⎰=； (D) C x f x df +=⎰)()(.三、计算题（共4小题，每小题15分，共60分）1、设x x f x x-=--422)2(,求)2(+x f .2、计算)1cos(lim n n n -+∞→.3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→.微积分参考答案：一、填空1. 答案：)1ln(x -2. 答案：13. 答案：44. 答案：25. 答案：C x x +-cot tan二、选择1. A2. D3. B4. D5. B三、计算题1、设x x f x x -=--422)2(,求)2(+x f .答案：42)2(42--=++x x f xx解：令2-=x t ,则 2222)2(2)(48444)2(4)2(222--=+-=+-=---+++-+t t t t f t t t t t t ,于是 42422)2(2)2(44444)2(222--=--=-+-=++-++-+x x x x f x x x x x .2. 计算)1cos(lim n n n -+∞→. 答案：1 解：nn n n n n ++=-+∞→∞→11cos lim )1cos(lim 11010cos 1111cos lim =++=++=∞→nn n .3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ . 答案：1解：由于1)21(2222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ， 而1111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 222=+=+∞→∞→n n n n n , 所以1)21(lim 222=++++++∞→n n n n n n n n .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→. 答案：1 解：x x x xx x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )1ln(lim cos lim cos sec )1ln(lim 20220020+=+=-+→→→→ 1sin lim cos )1(1lim020=+=→→x x x x x x .。
2009-2010(1)高数(A卷)(90)
一．填空题(每小题 4分,本大题满分 20分)1． 222 12 lim() n n n n n ®¥ +++= L _____, 222 12 lim() 12 n nn n n n®¥ +++= +++ L _____. 2 ． 设 ln(1) ,0 () 2 sin 1,0axx f x x x x + ì > ï= í ï +£ î , 则 0lim () x f x -® = ______, 当常数 = a ______ 时 , ) (x f 在 0 x = 处连续.3．曲线 2 21 xy x = + 有斜渐近线 y =______和铅直渐近线 = x ______.4．曲线 32 3 y x x =- 的拐点横坐标为 = x ______，凸区间为____________.5．方程 0 y y¢¢¢ -= 的特征方程为____________,通解为 y =_____________. 二．选择题(每小题 2分,本大题满分 10分) 1．当 0 ® x 时,11 x +- 是 2x 的( )无穷小.(A) 高阶; (B) 低阶;(C) 同阶; (D) 等价.2． 1 lim(12) xx x ®¥+=( ).(A) 1; (B) e ; (C)e ; (D) 2 e .3．函数 23()(2)|| f x x x x x =+-- 的不可导点的个数是( ).(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3. 4．二阶可导函数 ) (x f 在点 0 x x = 处取得极值的充分条件是( ).(A) 0 ) ( 0 = ¢ x f ; (B) 0 ) ( 0 > ¢ ¢ x f ; (C) 0 ()0 f x ¢¢ < ; (D) 0 ) ( 0 = ¢ x f 且 0 ()0 f x¢¢ ¹ . 5．设 ) (x f 是连续函数, () F x 是 ) (x f 的一个原函数,则( ).(A) 当 ) (x f 是奇函数时, () F x 必是偶函数;(B) 当 ) (x f 是偶函数时, () F x 必是奇函数; (C) 当 ) (x f 是周期函数时 , ()F x 必是周期函数 ;(D) 当 ) (x f 是单调增函数时, () F x 必是单调增函数.三．解答下列各题(每小题 6 分,本大题满分 18分)1． ln(cos ) y x = ，求dy .2 ． 求由方程 ln 1 xy y += 所确定的隐函数 () y f x = 在 0 x = 处的 导数 . 3．求曲线 2222 1 1 t x t t y t ì= ï ï + í ï = ï + î 上在参数 2 t = 相应的点处的切线方程. 四．解答下列各题(每小题 6 分,本大题满分 12分)1．计算极限 0 11lim() 1x x xe ® - - . 2．设 2009()(1)() f x x g x =- ,其中 () g x 在 1 x = 处连续,且 (1)1 g = ,求 (1) f ¢ .五．计算下列积分(每小题 6 分,本大题满分 18分)1． 2 1(1)dx x x + ò. 2．124 x dx - ò.3．2x xe dx - -¥ò.六．(本题满分 5 分)证明: 当 1 > x 时, ln 1 x x x >- .七．(本大题满分 10分)如图所示, 平行于 y 轴的动直线被曲线 () y f x = 与 3y x = 截下的线段 PQ 之长数值上等于曲线 () y f x = 和 x 轴及直线PQ 所围成曲边三角形的面积(阴影部分), 求曲线 () y f x = 的方程. 八．(本题满分 7 分) 设 () f x 在区间[,] a a - 上连续, (1)证明:()[()()] a aaf x dx f x f x dx - =+- òò ;(2)利用(1)的结果计算:44 cos 1 x xdx epp - - + ò . 一．填空题（每空 2分，本大题满分 16分）1．设 î í ì£ > = 1, 1 , 1 ) ( 2 x x x x f ，则 =- )) 2 ( (f f .2. 若函数 îí ì > £ - + = 0 , ) arctan( 0, 2 ) ( 2 x ax x b x x x f 在 0 = x 处可导，则 =a ， =b .3．曲线 xx x y 12 2 sin - = 有水平渐近线 = y ______和铅直渐近线 = x ______.4．已知 1 ) ( 0 -= ¢ x f ，则 =+ - - ® hh x f h x f h ) 2 ( ) ( lim 0 0 0.5．设5 0()(1) xf t dt x C =++ ò，则常数 = C ______， = ) (x f ____________.二．选择题 (每小题3 分, 本大题满分15 分)1. 当 0 ® x 时, ) ln( 21 x + 是x 的( )无穷小.(A) 高阶 (B) 低阶 (C) 同阶 (D) 等价 2. 函数 1 2+ = x y 在点(1,2)处的法线方程为 ( ). (A) 2 5 2 -- = x y (B) 2 5 2 1 + - = x y (C) 2 5 2 - = x y (D) 252 1 - - = x y 3． 2 x x f = ) ( 在闭区间 ] , [ 1 0 上满足拉格朗日中值定理，则定理中的 = x ( ).(A)31(B)21 (C)22 (D) 21 -3y x= ()y f x = POxxyQ4. 若函数 ) (x f 在点 0 x x = 处取得极值, 且 ) ( 0 x f ¢ 存在，则必有 ( ) . (A) 0) ( 0 = ¢ x f (B) 00 > ¢ ) (x f (C) 0) ( 0 > ¢ ¢ x f (D) ) ( 0 x f ¢ 的值不确定5. x x f ln ) ( = 在 ) , ( +¥ 0 内是( ).(A) 周期函数 (B) 凹函数 (C) 凸函数（D ）单减函数 三．解答下列各题（每小题 6分，本大题满分 30 分） 1． 21 2 xx y - =arctan，求dy .2． = y ) sin( 1 2 + x ，求 n （ N n Î ）阶导数 ) ( )( x y n . 3．设曲线参数方程为 î í ì - = - = 3 2 1 t t y t x ， 求 dxdy .4．求 xx x x ÷ ø öç è æ + ¥ ® 2 lim .5．求 ) sin ( lim x x x 1 1 0 - ® . 四．计算下列积分（每小题 6分，本大题满分 18 分）1． ô õ ó + + dxx x x ) ( 1 3 2 2 2 2 .2． ô õ ó + 90 1dx x x. 3． ò ¥ + - 02 dx e x x .五．[7 分] . ) 0 ( 1 2 22 2 所围平面图形的面积 求椭圆 > > = + b a by a x 六．（7 分）设0 > > a b ， ( ) x f 在 [ ] ba , 连续 ， 在 ( )b a , 可导 。
2009-2010(2)期末考试试卷(A)(高等数学)
9. 计算 zdS ，其中∑是上半球面 z 4 x 2 y 2 介于 z 1, z 2 之间的部分
10. 计算 xzdydz yzdzdx 2zdxdy ，其中∑是 x y z 1与三个坐标面围成区域的整个边界面 的外侧。
11. 已知连续函数 fΒιβλιοθήκη (x) 满足 f (x) e x
ds
=____________.
4．设 D: x2+y2≤1, 则 (4 1 x 2 y 2 )dxdy __________.
D
5. 若 y 1, y x, y x 2 为某个二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为 。
二、解答下列各题(1-6 小题每个 6 分，7-13 每题 7 分,总计 85 分)
武汉工业学院 2009 –2010 学年第 2 学期 期末考试试卷(A 卷)
课程名称 高等数学 2
学号：
注：1、考生必须在答题纸的指定位置答题，主观题要有必要的步骤。
2、考生必须在答题纸的密封线内填写姓名、班级、学号。
姓名：
班级：
3、考试结束后只交答题纸。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分, 共 10 分)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
(完整word版)华南农业大学2009数学分析1(A卷)期末考试试卷
华南农业大学期末考试试卷（ A 卷 ） 2009学年第1学期 考试科目：数学分析I 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业一、 填空题 (每题4分，共24分)1. 用N ε-语言叙述数列极限的柯西准则： .2. 用εδ-语言叙述()0lim x x f x A →=： .3. (归结原则)设()f x 在00(U x ;)δ内有定义，()0lim x x f x →存在的充要条件是：.4. 设0x →时，函数1(1)1x x--+与x α是同阶无穷小量，则α= . 5. 曲线221x t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩在1t =处的切线方程为： . 6. 设函数,0sin ()3,02(1),0x ax be x x f x x a b x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪-+>⎪⎩在0x =处连续，则a =_____，b =____．二、 计算题. （共52分）1. 求下列极限（每题6分，共24分） (1) 702090(36)(85)lim (51)x x x x →+∞+--.(2) 01lim []x x x →.(3) 30tan sin lim ln(1)x x xx →-+.(4) 2132lim ()31xx x x -→+∞+- .2. 求下列导数（每小题6分，共18分）（1）32(arctan )y x =.（2）设cos x y e x =， 求(4)y .（3）求由参数方程()()()x f t y tf t f t '=⎧⎨'=-⎩(设()f t ''存在且不为零)所确定的函数()y f x =的二阶导数22d y dx.3.设函数1sin,0,()0,0.mx xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（m为正整数），试问：（1）m等于何值时，f在0x=连续；（2）m等于何值时，f在0x=可导；（3）m等于何值时，f'在0x=连续.（本题10分）三、证明题（共24分）（其中2、3、4题任选2题）1，（n个根号），收敛，并求其极限. （本题10分）2．用εδ-定义证明：2)106(lim 22=+-→x x x .（本题7分）3．证明：极限01limsin x x→不存在. （本题7分）4．证明：sin y x =在(,)-∞+∞上一致连续. （本题7分）。
2009-2010高等I答案(A卷)解答
广州大学2009-2010学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1（90学时A 卷）参考解答与评分标准一．填空题(每小题4分,本大题满分20分)1．22212lim ()n n nnn→∞+++= 12,22212lim ()12n n n n n n→∞+++=+++ 12.2．设ln(1),0()2sin 1,0ax x f x xx x +⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩,则0lim ()x f x -→= 1 ,当常数=a 2 时,)(x f 在0x =处连续.3．曲线221xy x =+有斜渐近线y =12x 和铅直渐近线=x 12-.4．曲线323y x x =-的拐点横坐标为=x 1 ，凸区间为(,1]-∞. 5．方程0y y '''-=的特征方程为20r r -=,通解为y =12xC e C +.二．选择题(每小题2分, 本大题满分10分)1. 当0→x 时, 11x +-是2x 的( B )无穷小. (A) 高阶; (B) 低阶; (C) 同阶; (D) 等价.2．1lim (12)x x x →∞+=( D ).(A) 1; (B) e ; (C) e ; (D) 2e .3．函数23()(2)||f x x x x x =+--的不可导点的个数是( C ). (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.4．二阶可导函数)(x f 在点0x x =处取得极值的充分条件是( D ). (A) 0)(0='x f ; (B) 0)(0>''x f ;(C) 0()0f x ''<; (D) 0)(0='x f 且0()0f x ''≠. 5. 设)(x f 是连续函数,()F x 是)(x f 的一个原函数,则( A ). (A) 当)(x f 是奇函数时,()F x 必是偶函数;(B) 当)(x f 是偶函数时,()F x 必是奇函数;(C) 当)(x f 是周期函数时,()F x 必是周期函数;(D) 当)(x f 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数.三．解答下列各题(每小题6分，本大题满分18分)1．ln(cos )y x =，求dy .解: 1(cos)cosy x x''=…………………………………………………2分sin ()cosxx x-'=⋅………………………………………………………3分1tan 2x x =-…………………………………………………………4分 1tan2dy x dx x=- ……………………………………………………6分2．求由方程ln 1xy y +=所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数. 解: 把方程两边分别对x 求导数得10y xy y y''++=………………………………………………………4分当0x =时,y e =,代入上式得20|x y e ='=- ……………………………………6分3．求曲线222211t x tty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩上在参数2t =相应的点处的切线方程. 解: 切点坐标为44(,)55……………………………………………………………1分22222(1)dx tdt t -=+,222(1)dy t dtt =+2()()1dy y t tdxx t t'=='- ……………………………………………………4分 切线斜率为 22|3t dyk dx ===-…………………………………………………… 5分切线方程为 424()535y x -=--,即 2340x y +-= ……………………………………………………6分四．解答下列各题(每小题6分，本大题满分12分)1．计算极限011lim ()1xx xe →--.解: 原式01lim(1)xxx e x x e →--=- ………………………………………………………1分 01lim1xxxx e e xe→-=-+ ……………………………………………………3分lim 2xxxx ee xe→=+………………………………………………………5分12= ……………………………………………………………………6分2．设2009()(1)()f x x g x =-,其中()g x 在1x =处连续,且(1)1g =,求(1)f '. 解: 1()(1)(1)lim1x f x f f x →-'=-200911lim()1x xg x x →-=-……………………………3分200911lim1x xx →-=-20081lim 20092009x x→==……………………………6分注: 20082009()2009()(1)()f x x g x x g x ''=+-,(1)2009(1)2009f g '==. 给3分.五．计算下列积分(每小题6分,本大题满分18分)1．21(1)dx x x +⎰. 解: 原积分2221(1)x xdx x x +-=+⎰211xdx dx xx=-+⎰⎰……………………………2分2211ln ||(1)21x d x x=-++⎰………………………………………4分21ln ||ln(1)2x x C =-++ …………………………………………6分2．124x dx -⎰.解: 令2sin x t =,arcsin2x t =,则124x dx -⎰2604cos tdt π=⎰…………………………………………3分60(22cos 2)t dt π=+⎰[]6032sin 232t t ππ=+=+……………………6分3.20xxedx --∞⎰.解: 原积分2021()2xed x --∞=--⎰……………………………………………2分21[]2xe--∞=- ………………………………………………………4分12=-………………………………………………………………6分六．（本题满分5分）证明: 当1>x 时,ln 1x x x >-. 证明: 令1ln )(+-=x x x x f , 则x x f ln )(='当1>x 时, 0ln >x , 从而0)(>'x f因此)(x f 在区间),1[∞+单调增加 ……………………………………………3分 当1>x 时,0)1()(=>f x f ,即得1ln ->x x x ……………………………………………………………5分七．（本大题满分10分）如图所示, 平行于y 轴的动直线被曲线()y f x =与3y x =截下的线段PQ 之长数值上等于曲线()y f x =和x 轴及直线PQ 所围成曲边三角形的面积(阴影部分), 求曲线()y f x =的方程. 解: 由题意可得3()()x f t dt x f x =-⎰……2分 两边求导得2()3()f x x f x '=- ……4分解此微分方程得2()[3]dx dx f x e x e dx C -⎰⎰=+⎰……6分2[3]x xe x e dx C -=+⎰ 2[36]x x xe x e xe dx C -=-+⎰2[366]xxxxe x e xe e C -=-++……9分由0|0x y ==,得6C =-,所求曲线为23666xy x x e-=-+- ……10分3y x=()y f x =POxxyQ八．（本题满分7分）设()f x 在区间[,]a a -上连续, (1)证明: 0()[()()]a a af x dx f x f x dx -=+-⎰⎰;(2)利用(1)的结果计算: 44cos 1xx dx eππ--+⎰.(1）证明: 00()()()a a aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰令t x -=, 则0()a f x dx -⎰0()()a f t dt =--⎰0()a f x dx =-⎰所以 0()[()()]a a af x dx f x f x dx -=+-⎰⎰………………………………4分(2）由(1)得44co s 1xx d x eππ--+⎰40cos cos []11xxx x dx eeπ-=+++⎰40cos xdx π=⎰22=……………………………………………………7分。
高等数学(A)(下)期末考试试题.解答.
2009-2010(春)高等数学A(下)期末考试试题解答（2010.6）一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在空中)．2∂z=2xyexy．∂x2函数u=xy2+z3-x2yz在点P(1,1,1)处的梯度(-1,1,2)．21设z=exy，则3设f(x,y)为二元连续函数，交换积分次序⎰10dy⎰f(x,y)dx=y⎰10dx⎰f(x,y)dy．x5级数L在p>1条件下收敛．∑pnn=1∞二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）．以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1 二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点处连续的( D )．（A）充分而非必要条件；（B）必要而非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非必要条件又非充分条件． 2 曲面yz+zx+xy=3在点(0,1,3)处的切平面方程为( B )．(A) 2x+y-1=0； (B)4x+3y+z-6=0； (C) x+y+z-1=0； (D) 4x+3y+z-2=0．（A）bn=（B）bn=（C）bn=（D）bn=4 设级数f(x)sinnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)；⎰ππ-πf(x)cosnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)；⎰ππ-11πf(x)cosnxdx(n=1,2, ),和函数为2f(x)；⎰ππ-ππ⎰2πf(x)sinnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)．∑un=1∞n收敛，且∑un=1∞n=u，则级数∑(un+un+1)=( C )．n=1∞(A) 2u；（B）u；（C）2u-u1；（D）u-u1．25 已知y=1,y=x,y=x为某二阶非齐次线性微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个解，则其通解为（ C ）.（其中C1,C2为任意常数）（A）y=C1+C2x+x；（B）y=C1x+C2x+1；（C）y=C1(x-1)+C2(x-1)+1；（D）y=C1(x-1)+C2(x-1)+x-x．三、（本题满分8分）22222⎛∂2zx⎫设二元函数z=xy+f xy，⎪，其中函数f具有二阶连续的偏导数，求．∂x∂yy⎭⎝∂z1=y+yf1'+f2' ， 4分解：∂xy⎡⎛x⎫⎤1⎛x⎫⎤∂2z1⎡''''''''''⎥⎪=1+f1+y⎢xf11+ -2⎪f12⎥-2f2+⎢xf21+ -2⎪f22⎪∂x∂yy⎣⎝y⎭⎦y⎝y⎭⎦⎣1x''-3f22'' ． 4分 =1+f1'-2f2'+xyf11yy四、（本题满分10分）计算二重积分解：⎰⎰(yD2+3x+9)dxdy，其中D=(x,y)x2+y2≤1． {}22＝(y+3x+9)dxdyy⎰⎰dxdy+⎰⎰3xdxdy+⎰⎰9dxdy 2分⎰⎰DDDD2y⎰⎰dxdy+0+9π 3分D ＝＝＝⎰2π0sin2θ⎰ρ3dρ+9π 3分0137π ． 2分 4五、（本题满分16分，其中1题为8分，2题为8分）1 讨论级数∑n=1∞(-1)nann(a>0)的敛散性；2 试将函数f(x)=1 解：当a>1，lim⎰x0． sint2dt展成x的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）un+1n1=lim=<1，故原级数绝对收敛； 3分n→∞un→∞n+1aan 当0<a<1，limun+1n1=lim=>1，limun≠0，故原级数发散；3分n→∞n→∞un→∞n+1aan当a=1，原级数为∞∑n=1∞(-1)n，条件收敛. n 2分 (-1)n-1t2n-12 因为sint=∑t∈(-∞,+∞) ， 2分 (2n-1)!n=1∞(-1)n-1t4n-22 则sint=∑t∈(-∞,+∞) ． 2分n=1(2n-1)!将上式两端逐项积分，得⎛∞(-1)n-1t4n-2⎫ f(x)=⎰sintdt=⎰ ∑⎪dt (2n-1)!⎭00⎝n=1∞x(-1)n-1t4n-2=∑⎰dt (2n-1)!n=102xx(-1)n-1x4n-1=∑ (-∞<x<+∞) ． 4分 2n-1!(4n-1)n=0∞六、（本题满分12分）．∑ 2解：令∑1为z=4被z=x2+y2所截得部分的上侧, 则原式=由高斯公式z=4∑+∑1-⎰⎰∑1， 2分⎰⎰∑∑+=⎰⎰⎰[(x)'x+(y)'y+(z(x+y))'z]dv=13322ΩD=(⎰⎰Ωdxdy)xyz=x2+y2⎰[4(x2+ y2)]dz2π2z=422=⎰dθ⎰rdr⎰[4r]dz=2π⎰r[4r2](4-r2)dr=00z=r2012π8 ． 6分 3由曲面积分计算公式得2π2222=0+0+4(x+y)dxdy=dθ4(r⎰⎰⎰⎰⎰⎰)rdr=32π， 2分∑1D00128π32π ． 2分 -32π=33七、(本题满分8分)某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为故原式= c(x,y)=x2+2y2-xy （万元）若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？解：即求成本函数c(x,构造辅助函数 F(x,y)在条件x+y=8下的最小值． y)=x2+2y2-xy+λ(x+y-8) 2分⎧Fx'=2x-y+λ=0⎪解方程组⎨Fy'=-x+4y+λ=0⎪F'=x+y-8=0⎩λ解得λ=-7,x=5,y=3 4分这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为： c(5,3)=52+2⨯32-5⨯3=28（万） 2分八、（本题满分16分，其中1题为10分，2题为6分）1 设可导函数ϕ(x)满足ϕ(x)cosx+2⎰ϕ(t)sintdt=x+1，求ϕ(x)． 0x2 设函数f(u)具有二阶连续的导函数，而且z=fesiny满足方程 x()∂2z∂2z2x+=ez，22∂x∂y试求函数f(u)．解1 在ϕ(x)cosx+2⎰x0ϕ(t)sintdt=x+1两端对x求导得，ϕ'(x)+tanxϕ(x)=secx． 4分解上述一阶线性微分方程得通解为．ϕ(x)=six+nC． cxo 4分由ϕ(x)cosx+2⎰x0ϕ(t)sintdt=x+1得，ϕ(0)=1，则C=1故ϕ(x)=sinx+cosx． 2分2 设u=exsiny，则有∂z∂z=f'(u)exsiny，=f'(u)excosy ∂x∂y∂2z2x2x所以，2=f''(u)esiny+f'(u)esiny ∂x∂2z=f''(u)e2xco2sy-f'(u)exsiny 2分2∂x∂2z∂2z代入方程 +2=e2xz，2∂x∂y2x2x2x2x2x得，f''(u)esiny+f'(u)esiny+f''(u)ecosy-f'(u)esiny=ez 即，f''(u)e2x=f(u)e2x由此得微分方程 f''(u)-f(u)=0 2分解此二阶线性微分方程，得其通解为f(u)=C1e+C2eu-u （C1与C2为任意常数） 2分此即为所求函数．。
09本科《高数A下》 期终试卷(A)答案
上海立信会计学院2009―2010学年第二学期 09级本科《高等数学(下)》期终试卷(A )答案一．单项选择题（每题2分，共10分）1．非零向量,a b 的夹角正弦 sin(,)=a b ( D )。
A.||||⋅a b a b B. ||||||⋅a b a b C. ||||⨯a b a b D. ||||||⨯a b a b2．函数),(y x f 在点),(00y x 处可偏导是),(y x f 在点),(00y x 处连续的( D )。
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3．函数22),(y x y x f -=在其定义域上( D )。
A. 有极大值无极小值B. 无极大值有极小值C. 有极大值有极小值D. 无极大值无极小值 4．设级数∑∞=1n nu的部分和数列为{}n s ，则∑∞=1n nu收敛的充分必要条件为( B )。
A.lim 0n n s →∞= B.lim n n s s →∞= C.lim 0n n u →∞= D.lim n n u u →∞= 5．设0≤≤n n v u ，如果级数∑∞=1n nu收敛，则级数∑∞=1n nv的敛散性为( A )。
A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 未必收敛D. 发散二．填空题（每题3分，共15分）1．设向量,a b 满足⋅0a b =，则a 与b 的关系为⊥a b 。
1．过点(1,1,1)垂直于平面230x y z ++=的直线点向式方程为111123x y z ---== 2．交换积分次序：=⎰⎰dy y x f dx x x),(1dx y x f dy yy⎰⎰2),(14．设}2{22x y x D ≤+=，则极坐标⎰⎰=Ddxdy y x f ),(rdr θr θr f θd θππ⎰⎰-cos 2022)sin ,cos (5．-p 级数∑∞=11n p n收敛的充分必要条件是1p >三．计算题（每题5分，共50分）1．设yx z 1=，求偏导数x z ∂∂，y z ∂∂。
2009-2010高等数学(A2)- B卷评分标准
n ∞ 1 n ⎡ n ⎛1⎞ ⎤ = ∑ ( −1) ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ( x − 2 ) (1 < x < 3) ∴ f ( x) = 2 x + x − 2 n =0 ⎢ ⎝4⎠ ⎦ ⎥ ⎣
∂z y −1 = cos ( xy ) ⋅ y + y (1 + xy ) ⋅ y ∂x
= y ⎡ cos ( xy ) + y (1 + xy ) ⎣
y −1
⎤ ⎦
3分
∂z x ⎤ y ln 1+ xy ⎡ = cos ( xy ) ⋅ x + e ( ) ⎢ln (1 + xy ) + y ⋅ 1 + xy ⎥ ∂y ⎣ ⎦ xy ⎤ y ⎡ = x cos ( xy ) + (1 + xy ) ⎢ln (1 + xy ) + 1 + xy ⎥ ⎣ ⎦
0 0 0
6分 7分
= 2π ⋅
34 243 ⋅3 = π 4 2
九、 计算题(4 分)
1 n u = lim n 解: ∵ lim n n →∞ n →∞ 2n
⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟ ⎝ n⎠
n2
1⎛ 1⎞ e = lim ⎜ 1 + ⎟ = > 1 n →∞ 2∴级数
∑2
n =1
2
4分 6分
四、 解: t =
计算题(6 分)
对应曲线上点 (1,1, 0 ) 2 x′ = − sin t + 2 sin t cos t , y ′ = cos t (1 − cos t ) + sin t sin t , z ′ = sin t
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华中科技大学文华学院
2009级第二学期《微积分》期末考试试卷（A卷）
课程性质：必修 使用范围：理工类本科
考试时间：2010年7月3日 考试方式：闭卷（120分钟）
0学号 专业 班级 学生姓名 成绩 0
一、填空题（每小题4分，共36分）
1、已知a=2，2b，2ba，则ba 。
2、过点（1，1，1）且平行于直线152032zyxzyx的直线方程为 。
3、微分方程xeyyyx2cos23的特解形式设为*y 。
4、已知xyezcos，则)2,1(dz= 。
5、曲面2232yxz在点（1，1，5）处的切平面方程为 。
6、已知曲面S：2222azyx，则Sdsx2= 。
7、级数1)12(nnnx的收敛区间是 。
8、二次积分dyedxxy1102之值为 。
9、设C是沿1yx的正向，则dyxydxyxc)()(22 。
二、选择题（每小题3分，共12分）
1、直线L：431232zyx与平面3zyx的关系是（ ）
A、平行 B、直线L在平面上
C、垂直相交 D、相交但不垂直
2、设函数),(yxfz在点),(00yx处可微，且0),(,0),(0000yxfyxfyx，则函数),(yxf在
),(00yx
处（ ）
A、可能有极值，也可能无极值 B、必有极值，可能是极大，也可能是极小
C、必有极大值 D、必有极小值
3、设22zxyu，则u在（2，－1，1）处方向导数的最大值是（ ）
A、4 B、22 C、62 D、24
2
4、下列级数中条件收敛的级数是（ ）
A、11)1(nnnn B、11)1(nnn C、121)1(nnn D、131)1(nnn
三、计算下列各题（每小题6分，共30分）
1、已知),(xyxyfz，f有二阶连续偏导数，求yxz2。
2、已知方程zxyez23确定隐函数),(yxzz，求21yxxz
3、已知122yxLzn，求)1,1(dz。
4、计算二重积分DdxdyyxxyI2211，其中}0,1|),{(:22xyxyxD。
3
5、求微分方程xeyy22的通解。
四、（共11分）
1、判断级数15nnen的敛散性（5分）
2、已知级数14nnnnx，①求收敛区间；②求和函数。（6分）
4
五、（5分）
计算曲面积分SzdxdydydzzxI)2(，其中S为曲面22yxz与平面1z所围封闭曲
面的内侧。
六、（6分）
求经过点M（2，1，31）的平面，使此平面与三坐标面所围成的四面体有最小体积。