高中数学 第四章 定积分 4.1 定积分的概念 分析求汽车行驶的路程 感悟定积分概念的形成素材 北师大版选修2

4.1 分析“求汽车行驶的路程” 感悟定积分概念的形成
定积分概念的理解对大多数同学来说是比较抽象的.概念的形成不是以一段
文字可以概括和说明的.而是要通过一种数学运算来体现定积分的内涵与意义.
所以对这种运算如果不能有一种清晰的认识,就很难真正把握定积分的定义.下
面我们就把这一运算过程通过“求汽车行驶的路程”详细地分解开,以助于同学
们深刻理解其本质.
一.提出问题
汽车以速度v组匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为Svt．如果汽
车作变速直线运动，在时刻t的速度为22vtt（单位：km/h），那么它在
0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S（单位：km）是多少？
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直
线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间0,1分成n个小

区间，在每个小区间上，由于vt的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线
运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S（单位：km）
的近似值，最后让n趋紧于无穷大就得到S（单位：km）的精确值．（思想：用
化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线
运动的路程）．
解：1．分割
在时间区间0,1上等间隔地插入1n个点，将区间0,1等分成n个小区间：

10,n，12,nn，…，1,1nn





记第i个区间为1,(1,2,,)iiinnnL，其长度为:11iitnnn.

把汽车在时间段10,n，12,nn，…，1,1nn上行驶的路程分别记作：
1S，2S，…，n
S
显然，1niiSS
（2）近似代替
当n很大，即t很小时，在区间1,iinn上，可以认为函数22vtt的
值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1in处的函数
值2112iivnn，从物理意义上看，即使汽车在时间段
1,(1,2,,)iiinnn







L
上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻

1in
处的

速度2112iivnn作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变
速”，于是的用小矩形的面积iS近似的代替iS，即在局部范围内“以直代
取”，则有:

nnitn
ivSSii12112


ninnni3,2,1

211
2

①
（3）求和

由①，nnnitnivSSniniinii21112111

211111022
nnnnnn
=


2
22

3

1
1212nn

L

=3121126nnnn=11111232nn
从而得到S的近似值 11111232nSSnn.
（4）取极限
当n趋向于无穷大时，即t趋向于0时，11111232nSnn趋向于
S，从而有:3522111131lim11limlim1nnnivnSS
nninnn
.

思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S与由直线
0,1,0ttv
和曲线22vt所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程limnnSS在数据上等于由直线
1,0tt
,
0v
和曲线22vt所围成的曲边梯形的面积．
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vvt，那么我们也可以
采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限
逼近的思想，求出它在a≤t≤b内所作的位移S．
二．实例展示
例．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力Fxkx（k为常数，
x
是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功．
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的
方法求解．
解： 将物体用常力F沿力的方向移动距离x，则所作的功为WFx．
1．分割
在区间0,b上等间隔地插入1n个点，将区间0,1等分成n个小区间：

0,bn，2,
bb
nn





，…，1,nbbn

记第i个区间为

1,(1,2,,)ibibinnn









L
，其长度

为:1ibibbxnnn.
把在分段0,bn，2,bbnn，…，1,nbbn上所作的功分别记作：
1W，2W，…，n
W
（2）近似代替
有条件知：11iibibbWFxknnn (1,2,,)inL
（3）求和

111nnniiiibbWWknn





=


222

22
110121122nnkbkbkbnnnn











L

从而得到W的近似值 2112nkbWWn
（4）取极限
22
11limlimlim122nninnnikbkbWWWn








.

所以得到弹簧从平衡位置拉长b所作的功为：22kb.