廖老师千题解答1-50

廖老师在人教论坛的千题解答习题集１、某工厂有容量为300吨的水塔一个，每天从早上６时起到晚上22时止供应该厂生活和生产用水。

已知该厂生活用水10吨，工业用水w(吨)与时间t(小时，定义早上６时为t=0)的函数关系式为w =水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时的进水量增加10吨。

若每天水塔原有水10０吨，在供水的同时，打开进水管，问进水量选择第几级，既能保证该厂用水(水塔中的水不空)，又不会溢出？ 解：从早上6点开始t 小时的总用水量为y 吨。

则)160(10010≤≤+=t t t y设第n 级的从早上6点开始t 小时的供水量为10nt 吨。

依题意且10100010100300nt y nt y +->⎧⎨+-≤⎩，101001001010010300nt t nt t ⎧+-->⎪⎨+--≤⎪⎩10120n t ()-<--对160≤≤t 恒成立当21≥∴=n n 时上式不成立，设=)(t f t t n 10)1(--=2)15)(1(---n t n 125--n (160≤≤t ) 定义域是160≤≤t ，对称轴是15-=n t )5,0(∈ ∴min )(t f ＝125--n ，max )(t f =5616)16(-=n f ， 25101n ,∴->--且205616≤-n ，解得75.45.3≤≤n ， 4=∴n 2、请问 R 属不属{R}呢？答：R 是集合{R}的元素， R 属于{R}3、已知直线l 在y 轴上的截距为-2,l 上横坐标分别为3,-4的两点的线段长为14,求直线l 的方程.已知直线l 在y 轴上的截距为-2，l 上横坐标分别为3、-4的两点的线段长为14,求直线l 的方程。

解：设直线l 的方程为2-=kx yl 上横坐标为3、-4的两点是)23,3(-k A 、)24,4(---k B14k 17(7k)7|AB |222=+=+=，3±=k4、设函数1f x x ()lg()=-，1g x x ()lg()=+，在f(x)和g(x)的公共定义域内，比较f x |()|和g x |()|的大小解：由101110x x (,)->⎧-⎨+>⎩得公共定义域为2222221111101f x g x f x g x f x g x f x g x x x x x x|()||()|()()[()()][()()]lg()lg ,(,)lg()-=-=+---∈-⇒-<+＝ 22111101001011x xx x ,x f x g x x x()(,)lg()lg,lg()lg |()||()|--∈--<>-<<++当时，，，2121101xx x f x g x x()lg()lg|()||()|-=-==+当时，， 22113011001011x xx x ,x f x g x x x()(,)lg()lg,lg()lg |()||()|--∈-<<->>++当时，， 5、已知A={(x,y)|y=x 2+ax+2}，B={(x,y)|y=x+1,0≤x ≤2},A ∩B ≠φ ,求实数a 的取值范围。

解：⎩⎨⎧+=++=122x y ax x y 由消去y 得02)1(2=+-+x a x (1)，当x ＝0时，方程(1)无解当02x <≤时，方程(1)化为11a x x-=+，12x x[,)+∈+∞ ，121-≤⇒≥-∴a a综上实数a 的取值范围是1(,]-∞-６、求y x =解：由2101x x ,-≥≤≤得-1于是可设22x sin ()ππθθ=-≤≤，则4y sin cos )πθθθ=+=+，31224444y sin()ππππππθθθ-≤≤⇒-≤+≤⇒≤+≤⇒-≤≤7、已知1111217n na a a ,+==+， 求证：2312311111n n a a a a ()()()()-+-+-++-< 证法１：先证0212<<-n a ，22>n a （*） 当n=1时 ∵0<7111=a <2，211252>=a ∴当n=1时（*）式成立假设当n=k 时（*）式成立即0<212<-k a ，22>k a 则当n=k+1时 ∵021212>+=+k k a a ，0212222212<-=-=-+kk k k a a a a 121212222122+++++-=-=-k k k k a a a a k ka a 222121+-=02222>+-=k k a a∴0<212<+k a ，222>++k a 设=-=-122n n n a a b 1)1)(2(222-+-n n n a a a=-=+++12221n n n a a b )2()1)(2(22222++-n n n n a a a a1n n b b +=)2()1(2222+-n n n a a a =4131222+-+-n naa 2≤=注意11252=a ，7754121=-=a a b ∙∙=121b b b b n ∙23b b 1-n n b b =1)32(7754--∙≤n 11)13(4)]32(1[7754321+=--<++++n b b b b <1 因此当n 为偶数时：(-1)a 1 +(-1)2a 2+…+(-1)n a n <1成立当n 为偶奇数时多了个负加数因此原式也成立，故原命题总成立8、已知：一三角形的两条角平分线相等，问此三角形是否为等腰三角形，如何反证法：假设AC<AB ，则24∠<∠，∠<∠１３ 过点E 作EF CD EF CD //,且＝，则CDFE 是平行四边行 因此∠∠４＝５,于是25∠<∠ (1) 在BCE CBD ∆∆和中，1367212BC CB BD CE CD BE CD EF EF BE DBF DFB DF DB CE DB CE DB ,,,()()()==∠<∠∴<=∴<∴∠<∠∠<∴<∴< 又由得与＝矛盾假设AC>AB,同理可得矛盾综上AC ＝AB9、已知球面上的四点P 、A 、B 、C ，PA 、PB 、PC 的长分别是3，4，5，且这三条线段两两垂直，求球半径 解：补成长方体，设球半径为R则2R R ===10、已知关于x 的实系数二次方程02=++b ax x 有两实根α 、β.证明: (1)如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b,且|b|<4; (2)如果2|a|<4+b,且|b|<4,那么如果|α|<2,|β|<2. 证明(Ⅰ) │α│<2,│β│<2.∴│b │=|αβ│<4. │α│<2,│β│<2.∴方程x 2+a x+b ＝0的两根都在区间（-2，2）内 因为二次函数f(x)=x 2+a x+b 开口向上,⎩⎨⎧>+-=->++=∴024)2(024)2(b a f b a f 2424a b a b >--⎧⇒⎨<+⎩ ∴│2a │<4+b ，即2│a │<4+b(2) 2│a │<4+b ， |b|<422)4(4b a +<∴，|αβ│<4 由韦达定理得βα+=-a ，αβ=b ⇒+<+∴22)4()(4αββα01644)(222>+--βααβ 0)4)(4(22>--βα，∴4,422>>βα（与|αβ│<4矛盾，舍去），或4,422<<βα ∴4,422<<βα即|α|<2,|β|<2.AABCEDF123467511、已知11y f x m n ()(,)=++过点,求11y f x ()=--的反函数过点＿＿＿＿＿＿。

1111221111221122y f x m n n f m n f m y f x m n y f x n m ()(,)()()()(,)()(,)=++⇒=++⇒-=+--⇒=--+-⇒=---+解：过点过点的反函数过点12、求证：无论n 取何值，33322233n---+++< １２证明：设32f x x()-=　332211124n n n n nf n f n f x dx x dx n n ()()()(,,)----==⨯<==⎰⎰ …,33331122222211132223tt t t t t nx dx x tlim lim[]lim[]------→+∞→+∞→+∞+++<++-+-+=⎰ １２１＝１=１13、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++ 的结果.解（1）()101n n a cc a c -=≠+，所以是等比数列 （2）111111111n n n n n n n n n b b b b b b b b b -----=⇒+=⇒-=+，所以{}n b 是等差数列，12n b n =+ （3）2111)2)(1(11+-+=++=-n n n n b b n n=+++=-n n n b b b b b b S 13221 2131211151414131+-=+-+++-+-n n n 13、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++ 的结果.解（1）()101n n a cc a c -=≠+，所以是等比数列 （2）111111111n n n n n n n n n b b b b b b b b b -----=⇒+=⇒-=+，所以{}n b 是等差数列，12n b n =+（3）2111)2)(1(11+-+=++=-n n n n b b n n=+++=-n n n b b b b b b S 13221 2131211151414131+-=+-+++-+-n n n14、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且113n n S a =-，求2n a {}的通项公式；解：11113132a a a ,=-=-11111222112113311332233322222n n n n n n n n n n n n n n n nn S a S a a a a a a a a a ,,{}()(),()-----≥=-=-=-=----=-=-=当时，１相减得１因此是等比数列公比为３１１１＝15、15、已知三角形ABC ,求证：3sinsin sin sin CB AC B A ++>++ 提示：用琴生不等式 设),(,,21b a x x x n ∈ ，若)(x f y =是区间),(b a 上的上凸函数，则nx f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≥+++若)(x f y =是区间),(b a 上的下凸函数，则 nx f x f x f n x x x f n n )()()()(2121+++≤+++16、已知：+∈R z y x ,,求证：23≥+++++y x z z x y z y x 证法1：（高考）设m z y =+，n z x =+，p x y =+ 则2m p n x -+=，2n p m y -+=，2pn m z -+= =+++++y x zz x y z y x m m p n 2-+n n p m 2-++pp n m 2-++ =23)(21-+++++p n n p p m m p n m m n 2323621=-⨯≥证法2：（竟赛）=+++++y x z z x y z y x yx y x z y x z x z x z y x z y z y z y x ++-+++++-+++++-++)()()( 3)111)((-+++++++=yx z x z y z y x 233293)111)](()()[(21=-≥-++++++++++=y x z x z y y x z x z y 17、工厂的质量检验车间积压着部分产品待检,与此同时,流水线传送带按一定速度送来待检验产品,如果打开一部质检机,需半个小时可使待检产品全部通过质量检验,同时打开两部质检机,只需10分钟便可将待检产品全部通过质量检验.现因生产需要,在5分钟内将待检产品全部通过质量检验,此时最少要打开几部质检机? 解：设一部质检机1分钟检验1份产品 则半个小时可使检验30份产品两部质检机,只需10分钟可使检验20份产品相减得：10份产品，这是20分钟流水线传送带送来的新产品所以，传送带1分钟送来新产品0.5份，积压着部分产品有30-0.5×30＝15（份） 5分钟之内要检验15+0.5×5＝17.5 因此要用质检机17.5÷5＝3.5（部） 答：至少要4部18、设集合},01|{2R x x x A ∈=-=，},02|{2R x b ax x x B ∈=+-=，A B ⊆，φ≠B ，求a 、b 的值 解：}1,1{-=A 因A B ⊆，φ≠B故}1,1{-=B ，或}1{=B ，或}1{-=B（1）当}1,1{-=B 时⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=⨯-=+-1011211b a b a （2）当}1{=B 时⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=⨯=+1111211b a b a （3）当}1{-=B 时⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-⨯-=--11)1(1211b a b a 19、用特征方程求通项引例：已知数列}{n a ,满足关系11-++=n n n qa pa a (p 、q 是常数),α、β是方程q px x +=2的不等的实根两根求证: (1)数列}{1n n a a α-+是以β为公比的等比数列(2)数列}{n a 的通项公式具有n n n b a a βα+=的形式 证明：因α、β是方程q px x +=2的两根 故α+β＝p ， βα=-p ，αβ-=q=+=-+11n n n qa pa a n a )(βα+=αβ-1-n a=---+11n n n n a a a a αα=---+--11)(n n n n n a a a a αααβαβαβααβαβ=----11n n n n a a a数列}{1n n a a α-+是以β为公比的等比数列 同理可证数列}{1n n a a β-+是以α为公比的等比数列 （2）1121)(-+-=-n n n a a a a βααn n a a β-+1112)(--=n a a αβ相减得=-n a )(αβ112)(--n a a βα112)(---n a a αβ 当βα≠时有n n n b a a βα+=的形式，证毕因此，11-++=n n n qa pa a 条件下常可用待定系数法求}{n a 的通项公式 举例已知数列}{n a ，1201a a ,==，2112n n n a a a ()++=+，求n a 解：由特征方程21212+=x x 解得21,121-==x x 由上面的定理可设n n n b a a )21(1-+∙=由1,021==a a 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-3432141021b a b a b a ∴n n a )21(3432-+= 20、已知直线l 经过点P(3,2),倾斜角是直线1344y x =+的倾斜角的2倍,求直线l 的方程式解：设直线y=x/4+3/4的倾斜角为α，则，,41tan =α直线l 的倾斜角2α，158tan 1tan 22tan 2=-=ααα21、哪位能告诉我，用数学归纳法证明恒等式的过程中，当n=k+1时用等式完假设以后，可以在从右边推吗？（1）我认为数学归纳法原理这样叙述更好：若一个命题的所有特殊情况是可列的，若第一种特殊情况命题成立，并且在假设每一种特殊情况命题成立的情况下总能推出后一种特殊命题也成立，则此命题总成立。