5电路分析基础第五章

1 u t =C
t -¥
i x dx
t t0
i x dx
t t0
1 = u t0 + C
i x dx
1 = u t0 C
i x dx
电感
：
关联参考方向
非关联参考方向
di u (t ) = L dt
1 it = L
t -¥
di u (t ) = - L dt
1 i t =L
t -¥
u x dx
t t0
uC t-
uC t+
——电容电压的连续性：电容电压不能跃变！
1 ut = C
1 i x dx = u t0 + -¥ C
t
t t0
i x dx
t
t0
表明：
①某 一时刻的电容电压 值取决于从 -¥ 到 t 所有 时刻 的电流值，即与电流全部历史有关，电容元件有 记忆电流的作用，故称电容元件为记忆元件。 元件 ——电容电压的记忆性质：记忆电流！ ②研究某一初始时刻t0以后的电容电压，需要知道 t0 时刻 开始 作用的电 流 i(t) 以及 电容的 初始 电压 u(t0)。
i/A 3 -1 0 -2 t/s
例 4 ： 电 路 如图 ， 已 知 uC(t)=cos(2t)V ， C=1F ， R=1Ω，受控源电压u(t)=2iC(t)，求uR(t)和is(t)。
例 5 ： 电 路 如 图 ， 已 知 u=5+2e-2t (V) ， t≥0 ， i=1+2e-2t (V)，t≥0，求电阻R和电容C。
1 u (ξ )dξ = -¥ L
t
t -¥
æ1 1ö i = i1 + i2 = ç çL +L
=
L1
+
L2
L1 L2 L= L1 + L2
习题 － ， ，
：
电容
：
关联参考方向
非关联参考方向
du i (t ) = C dt
1 ut = C
t -¥
du i (t ) = -C dt
u x dx
t
t0
ut
表明：
di L dt
①电感电压u取决于电感电流i的变化率，而与i的 大小无关。电感是动态元件； ②当i为常数(直流)时，u=0，电感相当于短路； ③实际电 路中 通过电感的电压 u(t) 为 有限值 ，则 电感电流iL(t)是时间的连续函数，即
iL ( t - ) = iL ( t + )
q
f uq =
库伏特性
O
u
线性时不变电容元件
任何时刻，电容元件极板上的电荷 q 与电压 u 成 正比，q~u特性曲线是通过原点的一条直线，且 不随时间变化。
q
C
qt ut
O
u
单位：F (法拉), 常用mF，pF等表示。 1F=106mF， 1mF =106pF
电容的
(关联参考方向)
dq dCu du = =C 微分形式： i (t ) = dt dt dt
电感的储能
w L ( t1 , t 2 ) = =
t2 t1
p (x )d x =
t2 t1
u (x )i (x ) d x
i ( t2 ) i ( t1 )
t2 t1
di i (x ) L dξ = L dξ
i ( t2 )
idi
1 2 = Li 2
i ( t1 )
1 2 = L i (t2 ) - i 2 (t1 ) 2
u/V
2
0
2
4 t/ms
3. 一电容C=2F，u(0)=0，电流波形如图所示，试 求当t=1s，2s，4s时的电容电压u(t)。
1 uC t = uC t0 + C = U 0 + u1 (t )
t t0
i x dx
t
t0
t
t0
具有初始电 压的电容
等 效 电 路
t ³ t0
未充电电容
电容的功率和储能
瞬时功率
u p ui u C t
(关联参考方向)
①当电容充电，p>0，电容吸收（消耗）功率。 ②当电容放电，p<0，电容提供（释放）功率。 电容能在一 段 时间 内吸收 外部 供给 的能量 转 化 为电 场 能量储存 起来 ，在 另 一 段 时间 内 又 把 能量 释放 回 电 路 ， 因此 电容是一种储能元 件，属无源元件。 源元件
u x dx
t t0
1 = i t0 + L
u x dx
1 = i t0 L
u x dx
习题：
1. 电容元件与电感元件中电压、电流参考方向如 图，且已知uc(0)=3V，iL(0)=0， (1)写出电压用电流表示的约束方程； (2)写出电流用电压表示的约束方程。
(1)
(2)
2. 2μF的电容上所加电压u的波形如图，求： (1)电容电流 i ；(2)电容电荷q ；(3)电容功率p ；
i x dx
t
t0
it
表明：
du C dt
①某一时刻电容的电流i取决于该时刻电容电压u 的变化率，而与该时刻电压u的大小无关。电 容是动态元件； ②当u为常数(直流)时，i=0。直流电路中，电容 相当于开路，故电容有隔直流的作用；
du i t =C dt
③实际电路中通过电容的电流i(t)为有限值，则 du/dt 为 有限值 ，电容电压uc(t)是时间的连续 函数，即
u/V 10 3 0 -10 1 2 4 t/s
4H
例 2 ： 电 路 如 图 ， u(t) 电 压 波 形 如 图 ， i2(0)=0 ， uC(0)=0，求：(1)写出i1，i2，i3，i的表达式；(2)绘出 波形图；(3)计算t=3s时，电容电感的储能。
u/V t/s 0 -10 1 2 3 4 5 6
1 2 1 2 = Li (t2 ) - Li (t1 ) 2 2
t2时刻电感储能 t1时刻电感储能
wL t
表明：
Li 2 t ³
①电感的储能 只 与 当 时的电 流值有 关，电感电 流不能跃变，反映了储能不能跃变； 跃变 ②电感储存的能量一定大于或等于零。
例 1 ： 一 电 感 L=4H ， i(0)=0 ， 电 压 波 形 如 图 所 示，试求当t=1s，2s，3s，4s时的电感电流i(t)。
积分形式：
1 ut = C
1 i x dx = -¥ C
t
1 i x dx + -¥ C
t0
t t0
i x dx
1 = u t0 + C
t t0
i x dx
t
t0
(非关联参考方向)
du 微分形式： i (t ) = -C dt
积分形式：
1 u t =C
1 i x dx = u t0 -¥ C
t
t t0
——电感电流的连续性：电感电流不能跃变！
1 i (t ) = L
1 u(x )dx = i(t0 ) + -¥ L
t
t t0
u(x )dx
t
t0
表明：
①某 一时刻的电感电 流值取决于从 -¥ 到 t 所有 时刻 的电压值，即与电压全部历史有关，电感元件有 记忆电压的作用，电感元件是记忆元件。 元件 ——电感电流的记忆性质：记忆电压！ ②研究某一初始时刻t0以后的电感电流，不需要知 道 t0 以 前 的 情况 ， 只 需知道 t0 时刻 开始 作用的电 压u(t)以及t0时刻的电感电流i(t0)。
y
f (y , i ) = 0
韦安特性
O
i
线性时不变电感元件
如果 i-y 平面上的特性曲线是一条通过原点的直 线，且不随时间 变化 ，则称之为 线性时不 变 电 感元件。
y
L
t it
O
i
单位：H (亨利), 常用mH，mH等表示。 1H=103mH， 1mH =103mH
电感的
(关联参考方向)
dy dLi di =L 微分形式：u(t ) = = dt dt dt
i u1 = L1 t di u 2 = L2 dt
di di u = u1 + u 2 = ( L1 + L2 ) =L dt dt
1 2
电感的并联
等效电感 + u _ i1 L1 i2 L2
等效
+ u _
i L
1 i1 = L1
u (ξ )dξ -¥
t -¥
t
1 i2 = L2
u (ξ )dξ
1 2 1 2 = Cu (t2 ) - Cu (t1 ) 2 2
t2时刻电容储能 t1时刻电容储能
wc t
表明：
Cu 2 t ³
①电容的储能 只 与 当 时的电压 值有 关，电容电 压不能跃变，反映了储能不能跃变； 跃变 ②电容储存的能量一定大于或等于零。
例1：求电容电流i(t)，功率p(t)和储能w(t)。
电容电感元件的串联与并联
电容的串联
等效电容 + u _ i C1 C2 + u1 _ + u2 _
1 u1 = C1 1 u2 = C2
i (ξ )dξ -¥
t -¥
t
i (ξ )dξ
t -¥
1 1 u = u1 + u 2 = ( + ) C1 C 2
1 = C
t -¥
i (ξ )dξ
i (ξ )dξ
电感元件
电感器（电感线圈）
把 金属 导 线 绕 在一 骨架 上 构 成一实际电感线 圈 ， 当 电 流 i(t) 通过线圈时，将产生磁通φ(t)与线圈交 链，是一种储存磁场能量的器件。 总磁通：磁链 y(t)