2014北京西城高考二模数学文(含解析)

北京市西城区2014年高三二模试卷数学（文科）2014．5第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}20A x x =-<，集合{}1B x x =>，则（ ）．A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．A B =∅D ． A B ≠∅2．在复平面内，复数()()12i 1i z =+-对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线2y x =为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）．ABCD4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）．A ．2A ∈，且4A ∈ BA ，且4A ∈ C ．2A ∈，且ADAA5．设平面向量,,a b c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在ABC △中，若14,3,cos 3a b A ===，则角B =（ ）．A ．π4B ．π3C ．π6D ．2π37．设函数224,4,()log ,4x x x f x x x ⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤若函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(],1-∞B ．[]1,4C ．[)4,+∞D ．(][),14,-∞+∞8．设Ω为平面直角坐标系中的点集，从Ω中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为()x Ω，点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为()y Ω．如果Ω是边长为1的正方形，那么()()x y Ω+Ω的取值范围是（ ）．A． B．2,⎡⎣ C．⎡⎣ D．⎡⎣第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在等差数列{}n a 中，141,7a a ==，则公差d =_________;12n a a a +++=___________．10．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，且点M 的横坐标为2，则MF =___________．11．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为________．12．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组0,0,80x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤ 所表示的平面区域是α，不等式组04,04x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤所表示的平面区域是β，从区域α中随机取一点(,)P x y ，则P 为区域β内的点的概率是________．13．已知正方形,2ABCD AB =,若将ABD △沿正方形的对角线BD 所在的直线进行翻折，则在翻折的过程中，四面体A BCD -的体积的最大值是_______．14．已知f 是有序数对集合{}(,),M x y x y **=∈∈N N 上的一个映射，正整数对(,)x y 在映射f 下的象为实数z ，记作(,)z f x y =，对于任意的正整数,()m n m n >，映射f 由下表给出：则(3,5)f =_________，使不等式(2,)4x f x ≤成立的x 的集合是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+．（I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的,A B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A班的5名学生的视力检测结果：43．，51．，46．，41．，49．．B班的5名学生的视力检测结果：51．，49．，40．，40．，45．．（I）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（II）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）．？（III）根据数据推断A班全班40名学生中有几名学生的视力大于4617．（本小题满分14分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，E 为1AA 的中点，O 为1BD 的中点． （I ）求证：平面11A BD ⊥平面11ABB A ； （II ）求证：//EO 平面ABCD ；（III ）设P 为正方体1111ABCD A B C D -棱上一点，给出满足条件OP 的点P 的个数，并说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2e ()1xf x ax x =++，其中a ∈R ．（I ）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；（II ）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明．19．（本小题满分14分）设12,F F 分别为椭圆22:12x W y +=的左、右焦点，斜率为k 的直线l 经过右焦点2F ，且与椭圆W 相交于A ，B 两点．（I ）求1ABF △的周长；（II ）如果1ABF △为直角三角形，求直线l 的斜率k ．20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<，设*m ∈N ，记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ．（I ）设数列{}n a 为1，3，5，7，L ，写出1b ，2b ，3b 的值； （II ）若{}n a 为等比数列，且22a =，求12350b b b b ++++L 的值； （III ）若{}n b 为等差数列，求所有可能的数列{}n a ．北京市西城区2014年高三二模试卷参考答案及评分标准 高三数学（文科） 2014．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．D 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．2 2n 10．3 11．2- 12．1213．14．8 {1,2} 注：第9，14题第一问2分，第二问3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分． 其他正确解答过程，请参照评分标准给分． 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：2()sin cos cos 1f x x x x =-+11cos 2sin 2122xx +=-+ ……………… 4分 111sin 2cos 2222x x =-+π1)242x =-+， ……………… 6分 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． ……………… 7分 （Ⅱ）解：由 π02x -≤≤，得5πππ2444x --≤≤-．所以 π1sin(2)4x --≤， ……………… 9分所以 1π1)2242x -+≤≤1，即 1()12f x ≤≤． ……… 11分当ππ242x -=-，即π8x =-时，函数()f x 取到最小值π1()82f -=；… 12分当π5π244x -=-，即π2x =-时，函数()f x 取到最大值π()12f -=． …………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：A 班5名学生的视力平均数为A 4.3+5.1+4.6+4.1 4.9==4.65x +， ………… 2分B 班5名学生的视力平均数为B 5.1+4.9+4.0+4.0 4.5==4.55x +． …………… 3分从数据结果来看A 班学生的视力较好． ……………… 4分 （Ⅱ）解：B 班5名学生视力的方差较大． ……………… 8分 （Ⅲ）解：在A 班抽取的5名学生中，视力大于4．6的有2名，所以这5名学生视力大于4．6的频率为25． ……………… 11分 所以全班40名学生中视力大于4．6的大约有240165⨯=名， 则根据数据可推断A 班有16名学生视力大于4．6． ……………… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 11A D ⊥平面11ABB A ，11A D ⊂平面11A BD ，所以平面11A BD ⊥平面11ABB A ． ……………… 4分 （Ⅱ）证明：连接BD ，AC ，设BD AC G =，连接OG ．因为1111D C B A ABCD -为正方体，所以 1//DD AE ，且121DD AE =，且G 是BD 的中点， 又因为O 是1BD 的中点， 所以 1//DD OG ，且121DD OG =， 所以 AE OG //，且AE OG =， 即四边形AGOE 是平行四边形，所以//EO AG ，又因为 EO ⊄平面ABCD ，⊂AG 平面ABCD ，所以 //EO 平面ABCD ． ……………… 9分 （Ⅲ）解：满足条件OP =的点P 有12个． ……………… 12分理由如下：因为 1111D C B A ABCD -为正方体，12AA =， 所以 AC = 所以 12EO AG AC === ……………… 13分 在正方体1111D C B A ABCD -中，因为 1AA ⊥平面ABCD ，AG ⊂平面ABCD ，所以 1AA AG ⊥， 又因为 //EO AG ，所以 1AA OE ⊥，则点O 到棱1AA所以在棱1AA 上有且只有一个点（即中点E ）到点O同理，正方体1111D C B A ABCD -每条棱的中点到点O所以在正方体1111D C B A ABCD -棱上使得OP =的点P 有12个． ……… 14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数e ()1xf x x =+的定义域为{|x x ∈R ，且1}x ≠-． ……………… 1分22e (1)e e ()(1)(1)x x xx x f x x x +-'==++． ……………… 3分令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：分故()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,0)-；单调增区间为(0,)+∞．所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =． ……………… 5分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 存在两个零点．证明过程如下：由题意，函数2e ()11xg x x x =-++，因为 22131()024x x x ++=++>， 所以函数()g x 的定义域为R ． ……………… 6分求导，得22222e (1)e (21)e (1)()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-+-'==++++， ………………7分令()0g x '=，得10x =，21x =，当x 变化时，()g x 和()g x '的变化情况如下：故函数的单调减区间为；单调增区间为，．当0x =时，函数()g x 有极大值(0)0g =；当1x =时，函数()g x 有极小值e(1)13g =-． ……………… 9分因为函数()g x 在(,0)-∞单调递增，且(0)0g =，所以对于任意(,0)x ∈-∞，()0g x ≠． ……………… 10分 因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g =，所以对于任意(0,1)x ∈，()0g x ≠．……………… 11分因为函数()g x 在(1,)+∞单调递增，且e (1)103g =-<，2e(2)107g =->，所以函数()g x 在(1,)+∞上仅存在一个0x ，使得函数0()0g x =， ………… 12分 故函数()g x 存在两个零点（即0和0x ）． ……………… 13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：椭圆W 的长半轴长a =1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ， … ……… 2分由椭圆的定义，得12||||2AF AF a +=，12||||2BF BF a +=，所以1ABF ∆的周长为1212||||||||4AF AF BF BF a +++== ……………… 5分（Ⅱ）解：因为1ABF ∆为直角三角形，所以o190BF A ∠=，或o190BAF ∠=，或o190ABF ∠=，当o190BF A ∠=时，设直线AB 的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ， ……………… 6分由 221,2(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得 2222(12)4220k x k x k +-+-=， ……………… 7分 所以 2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+． ……………… 8分 由o190BF A ∠=，得110F A F B ⋅=， ……………… 9分 因为111(1,)F A x y =+，122(1,)FB x y =+， 所以11121212()1F A F B x x x x y y ⋅=++++2121212()1(1)(1)x x x x k x x =++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =++-+++2222222224(1)(1)101212k k k k k k k-=+⨯+-⨯++=++， ……………10分解得k = ……………… 11分 当o 190BAF ∠=（与o190ABF ∠=相同）时， 则点A 在以线段12F F 为直径的圆221x y +=上，也在椭圆W 上，由22221,21,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得(0,1)A ，或(0,1)A -， ……………… 13分 根据两点间斜率公式，得1k =±， 综上，直线l的斜率k =，或1k =±时，1ABF ∆为直角三角形． ……………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =． ……………… 3分 （Ⅱ）解：因为{}n a 为等比数列，11a =，22a =，所以12n n a -=， ……………… 4分因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以11b =，232b b ==，45673b b b b ====，89154b b b ====，1617315b b b ====，3233506b b b ====， ……………… 6分所以12350243b b b b ++++=． ……………… 8分（Ⅲ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥． ……………… 9分 又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤． ……………… 10分设2 a k =，则 2k ≥． 假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥． 所以21b =，2k b =． 因为{}n b 为等差数列， 所以公差210d b b =-=， 所以1n b =，其中*n ∈N ． 这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =． ……………… 11分 又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N ． ……………… 12分因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， 所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a ． ……………… 13分北京市西城区2014年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科）选填解析一、选择题 1． 【答案】D【解析】解：{}{}20|2A x x x x =-<=<，{}1B x x => 所以AB ≠∅．故选D ．2． 【答案】A【解析】解：因为()()212i 1i 1i 2i 3i z =+-=+-=+，则对应的坐标为(3,1)；故选A ．3． 【答案】C【解析】解：Q 直线2y x =为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线，∴2ba=，c e a ∴==故选C ．4． 【答案】D【解析】解：由三视图知，几何体为正四棱锥，如图所示，则A =． 故选D ．5． 【答案】B【解析】解：由()0⋅-=a b c ，可得()⊥-a b c （包含0=a 或0-=b c ），故推不出=b c ，所以“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”不充分条件；而由=b c ，得0-=b c ，进一步可得()0⋅-=a b c ，故“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的必要条件． 故选B ．6． 【答案】A【解析】解：因为(0,π)A ∈，1cos 3A =，所以sin A =由正弦定理，得3sin 3sin 4b AB a⋅===，又b a <，所以B A <，所以B 为锐角；所以π4B =． 故选A7． 【答案】D【解析】解：如图画出224,4,()log ,4x x x f x x x ⎧-+⎪=⎨>⎪⎩≤的图象；若使函数()y f x =在区间(,1)a a +上单调递增，则12a +…或4a …解得实数a 的取值范围是(][),14,-∞+∞．故选D ．8． 【答案】B【解析】解：易知，()[1()[1x y Ω∈Ω∈，且同时取得最小值和最大值，故()()x y Ω+Ω的取值范围是． 故选B ．二、填空题9． 【答案】2，2n【解析】解：4162413a a d -===-，221(1)2n n n S na d n n n n -=+⨯=+-=． 故答案为2，2n ．10．【答案】3【解析】解：抛物线2:4C y x =的准线为1x =-，由抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以MF =3． 故答案为3． 11． 【答案】2-【解析】解：列表法故答案为2- 12．【答案】12【解析】解：如图，画出平面区域α和平面区域β，则概率等于44112882OCDE AB S S ⨯==⨯⨯△O ．故答案为12．13． 【解析】解：在翻折过程中，底面BCD 保持不变，当AO ⊥底面B C D 时，四面体A BCD -的体积最大为112232⨯⨯⨯=．． 14．【答案】8，{1,2}．【解析】解：依题意， (3,5)538f =+=；当1x …时，2x x >恒成立，所以(2,)24x x f x x =-…， 因为*x ∈N ，所以1,2x =，所以x 的集合为{1,2}． 故答案为8，{1,2}．。