中点四边形
中点四边形-文档资料
E
H
A
O
C
F
G
B
17
对角线相等且垂直的四 边形的中点四边形为正 方形
18
结合刚才的证明过程，小组讨论并思考：
❖ （1）中点四边形的形状与原四边形的什么有着密
切的关系？ 对角线
❖ （2）要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是 矩形吗？
❖ （3）要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是
菱形吗？
B
A
G
E
E
H
AB
C
FG
D
G
C
F
19
D
“我”的命运由对角线主宰
原四边形的对角线
既不相等又不垂直 相等 垂直
相等且垂直
中点四边形
平行四边形 菱形 矩形
正方形
20
小组合作交流:
❖ 任意四边形的中点四边形都是平__行__四_边__形_； ❖ 平行四边形的中点四边形是_平__行__四_边__形__； ❖ 矩形的中点四边形是______菱_形_________； ❖ 菱形的中点四边形是________________； ❖ 正方形的中点四边形是______________； ❖ 梯形的中点四边形是________________； ❖ 直角梯形的中点四边形是____________； ❖ 等腰梯形的中点四边形是____________。
任意四边形的中点四 边形都为平行四边形
6
我思考,我进步2
顺次连接矩形各边中点所成的四边 形是什么四边形？
连结两条对角线
7
H
A
B
E
G
C
D
F
矩形的中点四边形是菱形。
8
我思考,我进步3
中点四边形的判定和性质
中点四边形的判定和性质1.中点四边形是平行四边形，证明如下：设四边形ABCD的对角线AC和BD交于点E，连接AE、BE、CE、DE，分析可知AE=CE、BE=DE，因为AE=CE，所以AE/CE=1；因为BE=DE，所以BE/DE=1。
又因为AE/CE=BE/DE，所以四边形ABCD是平行四边形，其对角线的中点所形成的四边形为中点四边形，因此中点四边形也是平行四边形。
2. 中点四边形的对角线相等，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。
又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。
根据三角形中位线定理，可知AO^2+BO^2=AC^2/2+BD^2/2=AC^2=BD^2=OC^2+OD^2。
因为AO=OC，BO=OD，所以AO^2=OC^2，BO^2=OD^2，代入可得OC^2+OD^2=AC^2/2+BD^2/2，即AC^2=BD^2，所以中点四边形的对角线相等。
3. 中点四边形的对角线互相平分，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。
又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。
连接AC和BD，由对角线定理可知AOB和COD是全等三角形，所以∠AOB=∠COD，∠BOA=∠CDO，连接AC和BD的中点M，由平面几何知识可知AM、BM、CM、DM都是中位线，因此AM=MC，BM=MD，所以∠AMB=∠CMD，∠AMC=∠BMD。
由此可以得到∠AOC=∠BOD，所以中点四边形的对角线互相平分。
4. 中点四边形的对边互相平行，证明如下：因为AC、BD是四边形ABCD的对角线，所以AC=BD。
又因为AC 和BD的中点相同，设为点O，则AO=OC，BO=OD。
连接AC和BD，由对角线定理可知AOB和COD是全等三角形，所以∠AOB=∠COD，∠BOA=∠CDO，连接AC和BD的中点M，由平面几何知识可知AM、BM、CM、DM都是中位线，因此AM=MC，BM=MD，所以AB∥CD，BC∥AD，因此中点四边形的对边互相平行。
模型36中点四边形模型和梯形中位线定理(原卷版)
模型介绍中点四边形模型（1）任意四边形四条边的中点依次连接得到的四边形一定是平行四边形. （2）矩形四条边中点连线所得到的四边形为菱形.（3）菱形四条边中点连线所得到的四边形为矩形.梯形中位线定理（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．（3）梯形面积与中位线的关系：梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．考点一：中点四边形问题【例1】．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝4，BC＝5，则四边形EFGH的周长是．➢变式训练【变式11】．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．11D．13【变式12】．如图，在四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝．例题精讲考点二：梯形的中位线定理【例2】．如图，在▱ABCD中，BC＝4m，E为AD的中点，F、G分别为BE、CD的中点，则FG＝m．➢变式训练【变式21】．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为（）A．9B．10.5C．12D．15【变式22】．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则＝．1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO﹣EO＝3，则BC﹣AD 等于（）A．4B．6C．8D．102．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（）A．25B．30C．35D．403．在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝11，①中A1B1是连接两腰中点的线段，易知A1B1＝8，②中A1B1，A2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，可求出A1B1+A2B2的值…，照此规律下去，③中A1B1，A2B2，…A10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则A1B1+A2B2+…+A10B10的值为（）A．50B．80C．96D．1004．如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形A nB n∁n D n．下列结论正确的是（）①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形A n B n∁n D n面积为．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AD＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为．6．如图，等腰梯形的一条对角线与下底的夹角为45°，中位线长为8，则梯形的面积为．7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC，BD交于M，N两点，若EF＝18cm，MN ＝8cm，则AB的长等于cm．8．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG＝；⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的是．9．如图，在四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，且对角线AC⊥BD，AC：BD＝4：3，AC+BD＝28，则MQ：QP＝，四边形MNPQ的面积是．10．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝3，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝．11．由四边形四条边的中点组成的四边形叫做原四边形的中点四边形．如图，四边形ABCD是矩形，取矩形ABCD四条边的中点得到中点四边形A1B1C1D1，再取四边形A1B1C1D1四条边的中点得到中点四边形A2B2C2D2，…，按此规律继续下去，若矩形ABCD的面积为1，则得到的中点四边形A n B n∁n D n的面积为．12．如图，梯形中ABCD中，∠DBC＝30°，，，EF为梯形的中位线．求梯形的面积及EF的长．13．如图：在梯形ABCD中，CD∥AB，点F在AB上．CF＝BF，且CE⊥BC交AD于E，连接EF．已知EF⊥CE，（1）若CF＝10，CE＝8，求BC的长．（2）若点E是AD的中点，求证：AF+DC＝BF．14．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是菱形；（2）若AC＝8，求EG2+FH2的值．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，点D、E、F、G分别为边OA、AB、BC、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD．（1）若点C在y轴的正半轴上，当点B的坐标为（4，2）时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．（2）若点C在第一象限运动，且四边形DEFG为菱形时，求四边形OABC对角线OB长度的取值范围．（3）若在点C运动过程中，四边形DEFG始终为正方形，当点C从x轴负半轴经过y轴正半轴，运动至x轴正半轴时，直接写出点B的运动路径长．16．已知：在△ABC中，AB＝10．（1）如图（1）所示，若点D，E分别是AC，CB的中点，则DE的长为；（2）如图（2）所示，若点A1，A2把AC三等分，B1，B2把BC三等分，则A1B1+A2B2＝；（3）如图（3）所示，若点A1，A2，…A10把AC边十一等分，B1，B2，…，B10把BC边十一等分，分别交BC边于点B1，B2，…，B10．根据你发现的规律，写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果为．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b．若E1、F1分别是AB、DC的中点，则E1F1＝（AD+BC）＝（a+b）；若E2，F2分别是E1B，F1C的中点，则E2F2＝（E1F1+BC）＝[（a+b）+b]＝（a+3b）；当E3，F3分别是E2B，F2C的中点，则E3F3＝（E2F2+BC）＝（a+7b）；若E n F n分别是E n﹣1，F n﹣1的中点，根据上述规律猜想E n F n＝．（n≥1，n为整数）18．请阅读下面知识：梯形中位线的定义：梯形两腰中点的连线，叫做梯形的中位线．如图，E，F是梯形ABCD两腰AB，CD 的中点，则EF是梯形的中位线梯形中位线与两底长度的关系：梯形中位线长度等于两底长的和的一半如图：EF＝（AD+BC）利用上面的知识，完成下面题目的解答已知：直线l与抛物线M交于点A，B 两点，抛物线M的对称轴为y轴，过点A，B作x轴的垂线段，垂足分别为D，C，已知A（﹣1，3），B （）（1）求梯形ABCD中位线的长度；（2）求抛物线M的解析式；（3）把抛物线M向下平移k个单位，得抛物线M1（抛物线M1的顶点保持在x轴的上方），与直线l的交点为A1，B1，同样作x轴的垂线段，垂足为D1，C1，问此时梯形A1B1C1D1的中位线的长度（设为h）与原来相比是否发生变化？若不变，说明理由．若有改变，求出h与k的函数关系式．19．让我们一起来探索平面直角坐标系中平行四边形的顶点的坐标之间的关系．第一步：数轴上两点连线的中点表示的数．自己画一个数轴，如果点A、B分别表示﹣2、4，则线段AB 的中点M表示的数是．再试几个，我们发现：数轴上连接两点的线段的中点所表示的数是这两点所表示数的平均数．第二步；平面直角坐标系中两点连线的中点的坐标（如图①）为便于探索，我们在第一象限内取两点A （x1，y1），B（x2，y2），取线段AB的中点M，分别作A、B到x轴的垂线段AE、BF，取EF的中点N，则MN是梯形AEFB的中位线，故MN⊥x轴，利用第一步的结论及梯形中位线的性质，我们可以得到点M的坐标是（，）（用x1，y1，x2，y2表示），AEFB是矩形时也可以．我们的结论是：平面直角坐标系中连接两点的线段的中点的横（纵）坐标等于这两点的横（纵）坐标的平均数．第三步：平面直角坐标系中平行四边形的顶点坐标之间的关系（如图②）在平面直角坐标系中画一个平行四边形ABCD，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则其对角线交点Q的坐标可以表示为Q（，），也可以表示为Q（，），经过比较，我们可以分别得出关于x1，x2，x3，x4及，y1，y2，y3，y4的两个等式是和．我们的结论是：平面直角坐标系中平行四边形的对角顶点的横（纵）坐标的．。
中点四边形模型(4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)
重难点专项突破：中点四边形模型（4种题型）【知识梳理】【考点剖析】题型一、利用中点求长度例1.如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（）A．20米B．11米C．10米D．9米【答案】A【解析】∵E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 各边的中点，∴EF 、FG 、GH 、HE 分别为△ABC 、△BCD 、△CDA 、△ABD 的中位线， ∴EF ＝12AC ＝112（米），FG ＝12BD ＝92（米），HG ＝12AC ＝112（米）， HE ＝12BD ＝92（米），∴四边形EFGH 总长度＝EF +FG +GH +HE ＝20（米）， 故选：A ．【变式1】在四边形ABCD 中，8AC BD ==，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则22EG FH +的值为（ ）A ．18B ．36C ．48D ．64【答案】D【解析】连接EF 、FG 、GH 、EH ，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， ∴11//,//,,22EF AC HG AC EF AC FG BD ==，∴//EF HG ，同理//EH FG ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AC BD =，∴EF FG =，∴平行四边形 EFGH 为菱形， ∴EG FH ⊥，2EG OG =，2FH OH =，()2222222221(2)(2)4448642EG FH OE OH OE OH EH BD ⎛⎫+=+=+==⨯== ⎪⎝⎭故选：D ．【变式2】如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，连结矩形各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为（ ）cm ．A ．20B ．C ．D ．25【答案】A 【解析】连接BD ，∵H 、G 是AD 与CD 的中点，∴HG 是△ACD 的中位线， ∴HG=12AC=5cm ，同理EF=5cm ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴根据矩形的对角线相等，即BD=AC=10cm ， ∵H 、E 是AD 与AB 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线， ∴EH=12BD=5cm ，同理FG=5cm ，∴四边形EFGH 的周长为20cm ． 故选A ．【变式3】如图，点O 为四边形ABCD 内任意一点，E ，F ，G ，H 分别为OA ，OB ，OC ，OD 的中点，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．不能确定【答案】C【解析】∵E ，F 分别为OA ，OB 的中点，∴EF 是△AOB 的中位线，∴EF=12AB=3， 同理可得：FG=12BC=5，HG=12DC=6，EH=12AD=4，∴四边形EFGH 的周长为=3+5+6+4=18， 故选C ．题型二、利用中点求面积例2.如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，若△EFG 的面积为4，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．18【答案】C【解析】记△BEF ,△DGH ,△CFG ,△AEH 的面积分别为1234,,,S S S S ，四边形ABCD 的面积为S .连接AC .∵BF =CF ，BE =AE ，CG =DG ，AH =DH ，∴EF ∥AC ,1,2EF AC =GH ∥AC ,12GH AC =，∴EF ∥GH ，EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴S 平行四边形EFGH =2S △EFG =8，∵△BEF ∽△BAC ，∴11,4S S ABC =同理可得214S S ACD ，= ∴1211()44ABC ACD S S S S S +=+=， 同法可得3414S S S +=，∴123412S S S S S ，+++= ∴S 四边形EFGH =12S ， ∴S =2S 四边形EFGH =16.故选C.【变式1】定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点作为和美四边形的中心．（1）写出一种你学过的和美四边形______；（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是（ ） A ．矩形 B ，菱形 C ．正方形 D ．无法确定（3）如图1，点O 是和美四边形ABCD 的中心，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点，连接OE OF OG 、、OH 、，记四边形AEOH BEOF CGOF DHOG 、、、的面积为1234S S S S 、、、，用等式表示1234S S S S 、、、的数量关系（无需说明理由）（4）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，若4,2,5AB BC CD ===,求AD 的长．【答案】（1）正方形；（2）A ；（3）S 1+S 3=S 2+S 4；（4 【解析】（1）正方形是学过的和美四边形，故答案为：正方形； （2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形， 如图，四边形ACBD 中，对角线AB ⊥CD ，即为“和美四边形”， 点E 、F 、G 、H 分别是AC 、AD 、BD 、BC 的中点， ∴EF ∥CD ∥HG ，且EF=HG=12CD ，EH ∥FG ∥AB ，且EH=FG=12AB ， ∴四边形EFGH 为平行四边形，∵AB ⊥CD ，∴EF ⊥EH ，∴平行四边形EFGH 是矩形；故选：A ．（3）连接AC 和BD ，由和美四边形的定义可知，AC ⊥BD ，则∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°， 又E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴△AOE 的面积=△BOE 的面积，△BOF 的面积=△COF 的面积，△COG 的面积=△DOG 的面积，△DOH 的面积=△AOH 的面积，∴S 1+S 3=△AOE 的面积+△COF 的面积+△COG 的面积+△AOH 的面积=S 2+S 4；（4）如图，连接AC 、BD 交于点O ，则AC ⊥BD ， ∵在Rt △AOB 中，AO 2=AB 2-BO 2，Rt △DOC 中，DO 2=DC 2-CO 2，AB=4，BC=2，CD=5，∴可得AD 2=AO 2+DO 2=AB 2-BO 2+DC 2-CO 2=AB 2+DC 2-BC 2=42+52-22=37，即可得AD =．【变式2】如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，6BD =，E ，F ，G ，H 分别是四边的中点，则四边形EFGH 的面积为__________．【答案】12【解析】∵点E 、F 分别为边AB 、BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF=12AC ， ∵AC=8，∴EF=4，同理，HE ∥BD ，HE=1BD 32=， ∴四边形EFGH 是平行四边形， ∵EH ∥BD ，AC ⊥BD ，∴EH ⊥AC ，∵EF ∥AC ，∴EF ⊥HE ，∴四边形EFGH 是矩形， ∴矩形EFGH 的面积=HE ×EF=12． 故答案为：12．题型三、找规律问题例3.如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A 、1B 、1C 、1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ，再取各边中点2A 、2B 、2C 、2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ，……，依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为（ ）A ．162n−B ．182n − C ．412n −−D ．不确定【答案】B【解析】∵四边形A 1B 1C 1D 1的四个顶点A 1、B 1、C 1、D 1分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴A 1B 1∥AC ，A 1B 112=AC ，∴△BA 1B 1∽△BAC ．∴△BA 1B 1和△BAC 的面积比是相似比的平方，即14． 即1114BA B S=S △ABC ，同理可证：1114DD C S =S △ADC ， 1114AD A S =S △ABD ，S △CB 1C 114=S △BDC ，∴111112A B C D S =四边形S 四边形ABCD ，同法可证2222111112A B C D A B C D S S =四边形四边形，又四边形ABCD 的对角线AC ＝8，BD ＝4，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积是16．∴四边形A n B n ∁n D n 的面积116822n n −==．故选：B ．【变式1】如图1，1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC BD ⊥，6AC =，10BD =．（1）试判断四边形1111D C B A 的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取11A B ，11B C ，11C D ，11D A 的中点2A ，2B ，2C ，2D ，再依次取22A B ，22B C ，22C D ，22D A 的中点3A ，3B ，3C，3D ……以此类推，取11n n A B −−，11n n B C −−，11n n C D −−，11n n D A −−的中点n A ，n B ，n C ，n D ，根据信息填空：①四边形1111D C B A 的面积是__________； ②若四边形n n n n A B C D 的面积为1516，则n =________； ③试用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积___________． 【答案】（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n − 【解析】（1）四边形1111D C B A 是矩形，证明：∵1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点， ∴11A B AC ，11C D AC ，∴1111A B C D ，同理可得1111A D B C ∥，∴四边形1111D C B A 是平行四边形，又∵AC BD ⊥，易得1111A B B C ⊥，∴四边形1111D C B A 是矩形； （2）①由题意可知：A 1B 1=12AC=3，A 1D 1=12BD=5，四边形1111D C B A 的面积=3×5=15；②由构图过程可得：A 2D 2=B 2C 2=12B 1D 1=12C 2D 2=B 2A 2=12A 1C 1=12可知四边形2222A B C D 为菱形，∴2222A B C D S =222212A C B D ⨯=111112A B B C ⨯=152；同理可求：3333A B C D S =154，4444A B C D S =158，…，n n n n A B C D S =1152n −，故当四边形n n n n A B C D 的面积为1516时，1152n −=1516，解得：n=5；③由②可知：用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积为1152n −.故答案为：（1）矩形，见解析；（2）①15，②5，③1152n −题型四、中点综合问题例4.通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，已学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有密切的联系，最近方程家族的《一元二次方程》我们也学习了它的求解方法和应用。
中点四边形课件(共31张PPT)全文
• 〔3〕只要原四边形的两条对角线 互相垂直，就 能使中点四边形是矩形；
• 〔4〕要使中点四边形是正方形，原四边形要符合 的条件是 对角线相等且互相垂直。
巩固练习
1.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是 AB，BC，CD，DA的中点，请添加一个条件，使 四边形EFGH为菱形，并说明理由。 解：添加的条件_______
已知：任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，则四边形EFGH称为中点四边形。
对角线相等的四边形的中点四边形为菱形
什么四边形?并证明你的结论?
解：添加的条件_______
B
四边形A3B3C3D3的周长是_____。
形EFGH是什么四边形?并证明你的
如图，中点四边形EFGH的周长与原四边
形ABCD的什么量有关系？是什么关系？能证 明你的猜想吗？
HD A
温馨提示：△DHG 的HG与 △ADC的哪一边有关系？
E
G
结论：中点四边形
B F C 的周长等于原四边
形对角线的和
挑战自我
四边形ABCD中，AC=6，
BD=8，且AC⊥BD，
顺次连接四边ABCD的中 点得到四边形A1B1C1D1， 依次类推，得到四边形 AnBnCnDn；
四边形的什么有着密切的联系？要使中点四边
形EFGH是下列图形，原四边形ABCD需具有什么
特征？ （1）是矩形； （2）是菱形； （3）是正方形。
HD A
E
G
B
F
C
把你的想法与同伴交流。
填空：
• 〔1〕中点四边形的形状与原四边形的 对角线有 密切关系；
中点四边形的判定
中点四边形的判定
中点四边形是指由四个顶点和四条边组成的四边形，其中一条对角线的中点是该四边形的中心点。
中点四边形的性质有以下几点：
1. 中点四边形的对角线相等，且互相平分。
2. 中点四边形的对边平行。
3. 中点四边形的对边长度相等。
4. 中点四边形的对角线相交于中心点，且互相垂直。
下面以一个例子来说明如何判断一个四边形是否是中点四边形。
假设有一个四边形ABCD，其中AC为对角线，E是AC的中点。
我们需要判断该四边形是否是中点四边形。
首先，我们需要判断AC是否为对角线。
如果AC不是对角线，那么该四边形肯定不是中点四边形。
其次，我们需要判断AE和EC是否相等。
如果AE和EC的长度不相
等，那么该四边形也不是中点四边形。
最后，我们需要判断BD是否与AC相交，并且交点为O（四边形的中心点）。
如果BD与AC不相交，或者相交但交点不在O上，那么该四边形仍不是中点四边形。
综上所述，只有当一个四边形满足AC为对角线，AE和EC相等，且BD与AC相交于O点时，才可以判定它为中点四边形。
中点四边形在数学、物理、工程等领域都有重要应用。
例如在三角形的内心和外心问题中，中点四边形可以用来推导内心和外心与三角形三个顶点的连线关系。
此外，中点四边形也可以用来设计具有对称性的建筑和艺术品等。
总之，中点四边形是一个有趣且实用的几何概念，掌握其基本性质和判定方法对于提高数学素养和解决实际问题都具有重要意义。
中点四边形的证明
中点四边形的证明人教版八年级数学在学完第19章《四边形》后有一个《数学活动》“中点四边形”，虽然仅仅是个数学活动，但是，在一些习题上经常出现有关这方面的题目，现把有关规律总结如下，望各位老师指正。
中点四边形和原四边形对角线关系密切，首先证明普通四边形的中点四边形。
1、四边形中点连线为平行四边形。
如图，在四边形ABCD中, E、F、G H为四边中点求证：四边形EFGH为平行四边形证明：如图T E、F为AD AB的中点••• EF//BD同理：HG//BD• HG//EF同理：EH//FG•四边形EFGH是平行四边形2、当一个四边形的两条对角线相等时，其中点四边形是菱形。
如图，在矩形ABCC中，E、F、G H为四边中点。
求证：四边形EFGH是菱形证明：T E、F为AD AB的中点• EF=1/2BD同理：HG=1/2BD••• HG二EF=1/2BD同理：EH=FG=1/2AC•四边形EFGH是平行四边形v AC=BD• 1/2AC=1/2BDB G C即：EF=GF•平行四边形EFG H是菱形3、当一个四边形两对角线互相垂直时，其中点四边形为矩形。
如图，在菱形ABCD中, E、F、G H为四边中点求证：四边形EFGH是矩形证明：v E、F为AD AB的中点•EF//BD同理：HG//BD• HG//EF同理：FG//AC; EH//FG•四边形EFGH是平行四边形v四边形ABC兎菱形•/ AOB=90•/ FNO h AOB=90•/ EFG M FNO =90•平行四边形EFGH是矩形4、当一个四边形的两对角线相等且互相垂直时，其中点四边形是正方形如图，在正方形ABCD K E、F、G H为四边中点求证：四边形EFGH是正方形证明：T E、F为AD AB的中点••• EF//BD; EF=1/2BD同理：HG//BD HG=1/2BD• HG//EFHG=EF=1/2BDB G C同理：EH//AC//FG; EH=FG=1/2AC•四边形EFGH是平行四边形T四边形ABC兎正方形•/ AOB=90AC=BD•/ FNO h AOB h FNO =901/2AC=1/2BD即：EF=GF•平行四边形EFGH是正方形所以说，中点四边形和原四边形对角线关系密切，事实上，中点四边形的形状是有原四边形的对角线决定的。
中点四边形的证明方法
中点四边形的证明方法
1. 连接四边形各边中点所得的四边形，那可真的太有意思啦！比如说，就像把一个大拼图拆成几个小部分再重新组合，这就是中点四边形呀！你想想，要是给你一个普通四边形，然后你找到各边中点连起来，会得到什么呢？
2. 咱可以用三角形中位线定理来证明呢！哎呀，就好像找到了一把神奇的钥匙，能打开中点四边形秘密的大门。
比如有个四边形 ABCD，那它的中点四边形会是什么样呢？
3. 还有啊，通过对比原来的四边形和中点四边形的性质，这不就跟找不同一样嘛！就像你有两个相似但又不一样的玩具，去发现它们的区别，多好玩呀！例如那个四边形 EFGH 是某个四边形的中点四边形，有趣吧！
4. 观察也是个好办法呀！瞪大眼睛好好看看，中点四边形到底有啥特点。
好比你观察一只小动物的行为，充满了惊喜呢！像在这个四边形 IJKL 中去仔
细观察呀！
5. 可以用反证法试试呀，哇，听着就很刺激呢！感觉就像走迷宫，从另一个方向去寻找出口。
假设不是那样，然后推出矛盾，是不是很厉害！看，在那个四边形 MNOP 中就试试呗！
6. 从特殊到一般呀，先研究特殊的四边形，再推广到一般的，多机智呀！就像先学会走，再去跑一样。
比如特殊的正方形的中点四边形会是啥样呢？
7. 计算也是个途径呀！通过一些边长角度什么的去算，就像做数学题一样有趣。
在这个四边形 QRST 中算算看呢！
8. 还可以和小伙伴一起探讨呢，人多力量大嘛！一起研究中点四边形，多热闹呀！哎呀，快和小伙伴试试研究那个四边形 UVWX 吧！
总之，中点四边形的证明方法可多啦，每种都好有趣，等着我们去发现和探索呢！。
中点四边形
中点四边形定义：1.依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
2. 不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
中点四边形的面积为原四边形面积的一半。
(不需要原四边形有特殊形状)证明：1不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形设有一任意四边形ABCD，AB中点为E,BC中点F，CD中点为G，AD中点H，连接四边形EFGH，则四边形EFGH为中点四边形，连接BD∵△ABD中，E，H是AB和AD中点∴EH是△ABD的中位线∴EH∥BD，EH＝１/2BD同理FG∥BD，FG＝１/2BD∴EH∥FG，EH＝FG∴平行四边形EHGF∴任意四边形的中点四边形的形状都是平行四边形2中点四边形的面积为原四边形面积的一半。
设四边形ABCD，AB，BC，CD，DA的中点分别是E，F，G，H连接四边形的两条对角线AC，BD交与点O连接EO，FO，GO，HO在三角形ABD中EH是中位线，与AC交与点P所以 EH//BD所以 AP/PO=AE/EB=1，即AP=PO在三角形AEO中 S三角形EPO=1/2S三角形AEO同理：S三角形HPO=1/2S三角形AHO……四边形EFGH的八个小三角形都是对应三角形面积的二分之一所以四边形EFGH的面积是四边形ABCD面积的二分之一即顺次连接任意四边形各边中点所成的四边形面积是原四边形面积的二分之一特殊情况：（1）如果该四边形对角线互相垂直，则中点四边形为矩形，如菱形的中点四边形是矩形。
（2）如果该四边形对角线相等，则中点四边形为菱形，如矩形的中点四边形是菱形。
（3）如果该四边形对角线互相垂直且相等，则中点四边形为正方形，如正方形的中点四边形是正方形。
中点四边形的性质：中点四边形的每个边都是原四边形对角线的一半，且与相应对角线平行（由中位线可以推出）。
中点四边形的判定方法
中点四边形的判定方法
嘿，朋友们！今天咱就来好好聊聊中点四边形的判定方法。
你想想，在那奇妙的几何世界里，中点四边形就像是隐藏的宝藏，等着我们去挖掘和发现哦！
比如说，有一个四边形 ABCD，那连接它各边中点得到的四边形 EFGH 就是中点四边形啦。
那怎么去判定这个中点四边形是个啥样的呢？嘿，这可有门道呢！如果原来的四边形 ABCD 是平行四边形，那它的中点四边形EFGH 可也是个平行四边形呀！这难道不神奇吗？就好像一个厉害的师父教出了同样厉害的徒弟一样！
要是原来的四边形 ABCD 是矩形呢？那这时的中点四边形 EFGH 就变成了菱形啦！是不是很有意思？这就好比本来是个强壮的大力士，结果培养出来的却是个灵活的小精灵呢！
再想想，如果那四边形 ABCD 是个正方形，那中点四边形 EFGH 又会是个什么呢？哎呀呀，那可就是正方形哦，是不是很奇妙呀？这就如同在几何的舞台上，展现出了最璀璨的表演！
总之呢，通过这些不同的情况，我们就能知道该怎么去准确判断中点四边形啦！你们说是不是很简单又很有趣呢？
我的观点就是：中点四边形的判定方法充满了神奇和惊喜，只要我们认真去探索，就能发现其中的美妙！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中点四边形
一、学习目标：
自学目标：什么叫中点四边形
讲学目标：运用综合法来证明一些图形的中点四边形的形状 二、引导自主学习： 自主活动一
1、三角形的中位线定理：
2、三角形的三边的长分别是6、8、10，则这个三角形中点三角形的周长是__
3、一个三角形的周长是a , 第一个中点三角形的周长是_ ，第二个中点三角形的周长是_ ，那么第100个中点三角形的周长是_ 。
自主活动二
1、由前一节的学习我们知道，顺次连接三角形三边的中点形成的三角形我们叫中点三角形，那同学们想一想：顺次连接四边形各边中点的四边形叫
2、四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA
求证：四边形EGFH 是平行四边形
结论：任意四边形的中点四边形是
3、四边形ABCD 中，对角线AC=BD ，E 、F
、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。
判断：四边形EFGH 是何种特殊四边形？请你证明。
结论：对角线相等的四边形的中点四边形是
三、例题讲解：
已知矩形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 求证：四边形EFGH 是菱形。
结论：矩形的中点四边形是
2、如图：点E 、F 、G 、H 分别是线段AB 、BC 、CD 则四边形EFGH 是什么图形？并说明理由。
B
四、达标反馈
1、已知菱形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA
求证：四边形EFGH 是矩形。
结论菱形的中点四边形是
2、你能猜出正方形的中点四边形是 吗？
3、根据以上结论你能说出中点四边形的形状与原四边形的 有关吗？ 五、课后作业
1、已知四边形ABCD 的中点四边形为正方形，则四边形ABCD 一定是下列图形中的那一种（ ）
A 矩形
B 菱形
C 正方形
D 对角线互相垂直且相等的四边形
2、如图：四边形ABCD 中，AC =6，BD =8且AC ⊥BD 顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……如此
进行下去得到四边形A n B n C n D n .
⑴证明：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；
⑵写出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积； ⑶写出四边形A n B n C n D n 的面积；
⑷求四边形A 5B 5C 5D 5的周长.
五 中考链接
⑴图①是一块直角三角形纸片。
将该三角形纸片按如图方法折叠，是点A 与点C 重合，DE 为折痕。
试证明△CBE 等腰三角形；
⑵再将图①中的△CBE 沿对称轴EF 折叠(如图②)。
通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝无重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”。
你能将图③中的△ABC 折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕；
⑶请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；
⑷有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上)。
请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件是，一定能折成组合矩形？
A
B
C
B
C
F 图①
图②
图③
图④
A B。