双线性变换法设计数字低通滤波器课程设计综述

数字信号处理课程设计 第1页 目录 1 设计目的 .................................................................. 2 2 设计意义 .................................................................. 2 3 题目 ...................................................................... 2 4 题目描述及要求 ............................................................ 2 5 设计思想 ................................................................... 2 5.1 巴特沃斯滤波器的设计思想 ............................................... 2 5.2 利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计思想 ............................. 3 5.3 双线性变换法将模拟滤波器数字化的设计思想 ............................... 3 6 设计原理 .................................................................. 4 6.1 变换原理 .............................................................. 4 6.2 双线性变换法设计数字低通滤波器的基本步骤 ............................. 5 7 设计过程 ................................................................... 5 8 MATLAB程序 ................................................................. 6 9 运行结果及波形 ............................................................. 7 10 总结 ...................................................................... 8 10.1 遇到的问题 ............................................................ 8 10.2 解决方法 .............................................................. 8 10.3 心得体会 .............................................................. 9 参考文献： ................................................................... 9 数字信号处理课程设计

第2页 1 设计目的 1.1 了解双线性变换法的变换原理，用模拟滤波器设计数字滤波器的原理及方法，以及巴特沃斯滤波器的设计原理。 1.2 掌握用双线性变换法设计数字低通滤波器的方法。 1.3 熟练使用MATLAB语言进行编程实现双线性变换法设计数字低通滤波器。 2 设计意义 2.1 通过课程设计加深对双线性变换法设计数字低通滤波器基本方法的了解。 2.2 巩固所学的理论知识，提高综合运用所学理论知识独立分析和解决问题的能力，更好地将理论与实践相结合。 2.3 在设计过程中与组员合作设计，培养了自己与他人合作的能力。 3 题目：双线性变换法设计数字低通滤波器 4 题目描述及要求 设计低通数字滤波器，要求频率低于0.3πrad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.4π到π之间的阻帯衰减大于20dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试用双线性变换法设计数字滤波器。 5 设计思想 数字滤波器设计是数字信号处理中一个非常重要的环节,根据其冲激响应函数的时域特性,可分为无限长冲激响应(IIR)滤波器和有限长冲激响应(FIR)滤波器。随着MATLAB软件的不断完善,将其应用于设计数字滤波器不仅可以从繁重的运算与推导过程中解脱出来,而且还可以使设计达到最优化。本文利用巴特沃斯低通模拟滤波器、并基于双线性变换法设计数字低通滤波器的。 5.1 巴特沃斯滤波器的设计思想： 根据给定的滤波器技术指标，设计一个系统函数Ha(s)，希望其幅度平方函数|Ha（j）|2满足给定的指标αp和αs。由于滤波器的单位脉冲响应为实数，因此可将幅度平方函数|Ha（j）|2表示为 |Ha（j）|2=Ha（j）Ha*（j）= Ha（j）Ha（-j）= Ha（s）Ha（-s）|s= j

式中，Ha（s）是模拟滤波器的系统函数，它是s的有理函数，Ha（js）是滤波器的稳态幅

度特性。 如果能由αp、p、αs和s求出|Ha（j）|2，那么就可求得所需的Ha（s）。因此幅度平方 数字信号处理课程设计 第3页 函数在模拟滤波器的设计中起着很重要的作用。 5.2 利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计思想: 模拟滤波器的设计理论已经非常成熟，而且有很多性能优良的滤波器课供选择，设计公式和图表完善，所以由模拟滤波器间接设计数字滤波器的方法得到普遍应用。其设计过程如下所示：

5.3 双线性变换法将模拟滤波器数字化的设计思想： 由于双线性变换法中，s到z之间的变换是简单的代数关系，故可以由模拟系统函数通过s=c(1-z-1)/(1+ z-1),用代数置换得到数字滤波器的系统函数，即 H(z)= Ha（s）| s=c(1-z-1)/(1+ z-1)= Ha[c(1-z-1)/(1+ z-1)] 也可以先将模拟系统函数分解成并联的子系统函数（子系统函数相加）或级联的子系统函数（子系统函数相乘），使每个子系统函数都变成低级的（例如一、二阶的），然后再对每个子系统函数分别采用双线性变换。也就是说，分解为低阶的办法是在模拟系统函数上进行的，而模拟系统函数的分解已有大量的图表可以利用，分解起来比较方便。例如，设模拟系统函数分解为级联子系统，即 Ha（s）= Ha1（s）Ha2（s）... Ham（s） 经双线性变换后，离散系统函数为 H(z)= H1(z) H2(z)... Hm(z) 其中 Hi(z)= Hai（s）| s=c(1-z-1)/(1+ z-1)，i=1,2，...,m 如果模拟系统函数分解为并联子系统，即

经双线性变换后，离散系统函数为

其中 数字信号处理课程设计 第4页 6 设计原理 用双线性变换法设计数字低通滤波器 冲激响应不变法与阶跃响应不变法是使数字滤波器在时域上模仿模拟滤波器，但是它们的缺点是产生频率响应的混叠失真3，这是由于从s平面到z平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，我们采用双线性变换法。 6.1 变换原理 双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。为了克服这一缺点，我们首先将s平面压缩成s1平面上一个宽度为2π/T的水平带状区

域，然后通过将这个带状区域映射到整个z平面，实现s平面到z平面的单值映射。

图2 双线性变换法的映射关系 为了将s平面的整个虚轴j变换到s1平面虚轴±π/T之间，可以采用下面的变换关系 =tan（1T/2） 这样频率从-∞到+∞，也就是s平面的整个虚轴，频率1从-π/T变化到+π/T，可以将上式表示成

延拓到整个s平面和s1平面，令，，则得 再将s1平面映射到z平面，应用，从而实现了s平面到z平面的单值映射。 得数字信号处理课程设计 第5页 到：

或 上式称为双线性变换。 6.2 双线性变换法设计数字低通滤波器的基本步骤： （1）确定数字低通滤波器的技术指标：αp、p、αs、s； （2）将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。 采用双线性变换法，边界频率的转换关系为 p=2/Ttan(ωp/2) s=2/Ttan(ωs/2) （3）按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器； （4）将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。

7 设计过程 双线性变换法设计数字低通滤波器 设计低通数字滤波器,要求频率低于0.3rad 时,容许幅度误差在1 dB 以内;在频率0.4

到 之间的阻带衰减大于20dB . 指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器. 试用双线性变换法设计数字滤波器. 解 (1) 数字低通技术指标为

(2) 为了计算简单,取T=1 s ,预畸变校正计算相应模拟低通的技术指标为

(3) 设计巴特沃斯低通模拟滤波器. 计算如下: 数字信号处理课程设计

第6页 8 MATLAB程序： %用双线性变换法设计DF T=1;Fs=1/T;%采样周期和频率 wpz=0.3;wsz=0.4; wp=2*tan(wpz*pi/2);ws=2*tan(wsz*pi/2);rp=1;rs=20; %预畸变校正转换指标 [N,wc]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s'); %设计过渡模拟滤波器 [B,A]=butter(N,wc,'s');