矩阵的初等变换教案

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初等变换与初等矩阵

2.3初等变换与初等矩阵授课题目 2.3初等变换与初等矩阵授课时数：4课时教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵教学过程：用初等变换化简矩阵A为B,通过B的性质来探讨A的性质，这是研究矩阵的重要手段。

为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。

一.初等变换与初等矩阵1.初等变换（1）定义定义1矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置；2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，k为任意数。

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

（2）记法分别用[i,j],[i（k）],[i • j（k）]表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换,写在箭头下面表示列变换。

或者行变换用R.. R j,kR j,R j ■ kR j，列变换用C- C j,kC i,C i kC j例110-12if T10-12100 2A =2312033-203 3 -2-121丿J-121丿-1 3 1丿2.初等矩阵（1 ）初等矩阵的定义定义2由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵(110 1 :11 : 1 0 1i 行二 Di（k ）i 行= T j (k) j 行1 k+ .a1j 列(1i 行 = T j (k) j 行 bR j 、D j (k)、T ij (k)分别叫做换法阵、倍法阵、消法阵。

* T j (k)是从行的角度来定义，进行列消法变换时，要转化为行来表示。

二. 初等变换与初等矩阵的关系1、问题能否用矩阵的乘积的等式把初等变换的过程表示出来？如果能够，这对研究矩阵的关系是有很大帮助的。

初等变换与初等矩阵课件

0 0 0
3 0 0
2 0 0
1
0
0
1 0 0 0
c2
1 3
c3 2c2
c4 c2
0 0
1 0
0 0
0 0
I2 O
O O
，
0 0 0 0
最后一个分块矩阵称为矩阵C1的等价标准形矩阵，简称标准形，分块矩阵的左上角的单位阵的阶数恰9
好等于行阶梯形（或行最简形）矩阵中非零行的行
1 0 2 0 0 1
0 2 3 1 0 1
1 0 2 0 0 1
1 0 2 0 0 1
r2 3r3
r1 r3
0
1
6
0
1
3
r3 2r2
0
1
6
0
1
3
0 2 3 1 0 1
0 0 9 1 2 5
1
r3
1 9
r2 6r3
0
r1 2r3
0
0 1 0
0 0 1
2
9 2 3 1 9
如果A是可逆矩阵，我们可以用初等行变换的方法
求A1B：
A1 A, B I, A1B ,
32
或用初等列变换的方法求BA1：
A
B
A1
I BA1
.
例2.27 求矩阵X，使AX B，其中
1 2 3 2 5
A
2
3
2 4
1 3
,
B
3 4
1 3
.
解对分块矩阵 A, B施行初等行变换：
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2

西北工业大学《线性代数》课件-第三章矩阵的初等变换

1 0 0 0
1 0 0 0
c2
1 4
1
1
0
0
c2 c1
0
1
0 0
3 2 0 0
1 2 0 0
列最简形
定理秩3.为3 r的矩阵m A，n 经过有限次初等变
换，总可化为如下等价标准形
O(
Er
mr
)r
Or(nr ) O(mr )(nr
)
mn
即有
A
Er O
O O
推论1 设A是n阶方阵，A满秩 A En
24
x1 x1
x2 2 x2
3x3 5x3
1 4
① ②
x1
x3 3 ③
②
2
①
2
x1
③
1①
2
x2
4x2
1 2
x2
3x3 1
x3 2
1 2
x3
5 2
①′ ②′ ③′
2 x1 x2 3x3 1 ①″
③'
1 8
②'
4 x2 x3 2 ②″
3 8
x3
9 4
③″
x1 x2
则称r为A的秩. 记做rank A r，或者 r(A) r.
规定：零矩阵的秩为0,即 rankO 0 .
➢ 矩阵秩的含义 A的所有r＋1阶子式都为0
1 1 2
A
2
2
4
3
6
DAr的2 所?有r＋2阶子式也都为0 1 1 2 3
A的所有大于r＋2阶的子式也都为0
数r=rankA是矩阵A中子式不为0子式的最高阶数
0 0 1 1 3
A有一个三阶子式

矩阵的初等变换课件

0 0 0ห้องสมุดไป่ตู้1 3
0 0 0 1 3
0 0 0 02 06
00 000
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
11
生物医学工程学院
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
行阶梯矩阵特点： 1 可划出一条阶梯线，线的下方全为零； 2 每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．
①2②
①2②
显然把B的第2行乘以(2)加到第1行即得B3
7
生物医学工程学院
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
❖方程组的同解变换与增广矩阵的关系
同解变换有交换两个方程的位置把某个方程乘以一个非零数某个方程的非零倍加到另一个方程上
线性方程组与其增广矩阵相互对应对方程组的变换完全可以转换为对方程组的增广矩阵的变换
21
• 理解线性方程组无解、有惟一解或有无限多个解的充要条件
• 熟练掌握用矩阵的初等行变换求解线性方程组的方法
2
生物医学工程学院
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．内容丰富，难度较大.
12
生物医学工程学院
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
行阶梯形矩阵：
•各非零行首非零元素分布在不同列 •当有零行时，零行在矩阵的最下端
13
生物医学工程学院
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
行最简阶梯形矩阵：

高中数学《矩阵及其初等变换》课件

0 3 1 2 01 3 0 1 2 2
注意: 在这个例子中 BA 无意义.
例2
A
a1
a2
,
B b1
b2
则
AB
a1b1
a2b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1
b2a2
)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 而BA是 1×1 矩阵.
第一章矩阵及其初等变换
1
本章主要内容
1.1 矩阵及运算 1.2 向量与分块矩阵 1.3 初等变换与初等阵
2
1.1 矩阵的概念
1.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
a11 a12
A
a21
a22
am1
am 2
称为阶数为 m n 的矩阵.
a1n
a2n
非齐次线性方程组的表示形式
a11 x1 a12 x2 (1)一般形式： a21x1 a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
(2) 矩阵形式： AX b 其中A (aij )mn , X ( x1, x2, b (b1, b2, , bm )T
a11
对角矩阵:
diag(a11,
ann
单位矩阵: E ,In 或 E n diag(1,1,
a11 a12
上三角矩阵:
a22
a1n
a2
n
ann
, ann )
,1)
a11
下三角矩阵:
a21
a22

第三章矩阵的初等变换 PPT课件

(2) 对称性 A ~ B，则 B ~ A； (3) 传递性 A ~ B，B ~ C ，则 A ~ C.
具有上述三条性质的关系称为分类关系．例如，两个线性方程组同解，
两个线性方程组对应的矩阵等价
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12
求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
0 0
1 0
1 0
1 1

0 3

B
4
0 0 0 0 0
1 0 1 0 4

0 0
1 0
1 0
0 1

3 3

B
5
0 0 0 0 0
对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初等行变换把他变为行阶梯形和行最简形.
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行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．
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8
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组
的系数和常数进行运算，未知量并未参与运
算．
若记
2 1 1 1 2
B

(
A
b)

1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
12 11 20 10
14 10 16 03

0304rr34 2Brr344
r1 r2 r2 r3
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1

3 3

B
5

§1.5 矩阵的初等变换

推论2证明
存在 n 阶可逆阵P和Q, 使 PAQ Er O , (r n), O O
则 A P 1 Er O Q1, 故有 P 1 Er O Q1B E,
O O
O O
即有 Er O Q1B P, 由此可断定 r = n, O O
1 1 4 2
行最简形及标准形.
化为行阶梯形、
A
r

1 0
2 3
2 6
1 3
r
1 0
0 1
2 2
1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
C

0
1
0
0
0 0 0 0
矩阵化标准形步骤：先用初等行变换化为行最简形,再用初等列变换化为标准形.
证明 (1) 由 A2 A 2E O , 得 A( A E) 2E, 即 A A E E,
2 故 A 可逆,且有 A1 1 ( A E ).
2 (2) 由 A2 A 2E O , 得 ( A 2E)( A 3E) 4E O,
即 ( A 2E) 1 (3E A) E,
(1) ri rj 的逆变换是 ri rj
(2)
ri

k
的逆变换是
ri

(1 k
)
(或记作
ri

k
).
(3) ri+krj 的逆变换是 ri+(k)rj (或记作 ri krj ).
3. 1) 若矩阵A经有限次初等行 (列) 变换变成矩阵B,
就称矩阵A与B行
(列)
等价,

初等变换

(初等)倍法矩阵
以数k 0乘单位矩阵的第行(ri k )， i 得初等矩阵P(i(k )).
1 1 P(i (k )) k 1 1
第i 行
(初等)消法矩阵
以 k 乘 E 的第 j 行加到第i 行上 (ri krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )，
1 12 1 P11 AP11 1 12 1 9 108 9
1 1 1 2 rr3 rr1 1 0 0 1 3 2 0 1 1 1 0 1 0 1 B B3 4 r2 r1 0 0 1 0 0 0 1 0 如果行阶梯形矩阵具有这样的特性：
r3 1 2
(1)非零行向量的第一的非零元素为1， (2)含这些元素的列的其他元素都为零，则这个矩阵称为矩阵A的行最简形矩阵。一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.
例如 : 以 P(i(k )) 左乘矩阵 Amn，
a11 P (i (k )) A kai1 a m1 a12 kai 2 am 2 a1n kain 第i 行 amn
相当于以数 k 乘 A 的第i 行 (ri k )；
类似地，以 P(i(k )) 右乘矩阵 A，其结果相当于以数 k 乘 A 的第i 列 (ci k ).
P33， 2，例 : 设 a11 a A 21 a31 0 P 0 1 1 a12 a22 a32 a13 a31 a32 3a33 , B a a23 21 a22 3a23 a11 a12 3a13 a33 a33 a23 a13

《λ矩阵的初等变换》课件

02
03
步骤
适用范围
首先将λ矩阵化为列阶梯形矩阵，然后通过求解线性方程组得到 λ的值。
适用于求解具有多个未知数的线性方程组。
求解实例解析
实例1
给定一个3x3的λ矩阵，通过初等行变换法将其化为行阶梯形矩阵，并求解得到λ的值。
实例2
给定一个4x4的λ矩阵，通过初等列变换法将其化为列阶梯形矩阵，并求解得到λ的值。
性质
初等列变换不改变矩阵的秩，且如果两个矩阵等价，则它们可以通过一系列初等列变换相互转换。
初等变换的应用实例
在线性方程组求解中的应用
通过初等变换将系数矩阵化为行最简形或列最简形，便于求解方程组。
在矩阵求逆中的应用
通过初等变换将可逆矩阵化为单位矩阵，便于求逆矩阵。
在矩阵相似变换中的应用
通过初等变换将矩阵化为标准型，便于研究矩阵的相似变换。
λ矩阵的特征多项式是一个关于λ的n 次多项式，其根称为特征值，对应的线性组合称为特征向量。
λ矩阵的应用场景
λ矩阵在数值分析和计算物理等领域有广泛应用，如求解线性方程组、计算矩阵的逆和行列式等。
λ矩阵在控制理论和信号处理等领域也有应用，如系统稳定性分析和滤波器设计等。
03
λ矩阵的初等变换
3
λ矩阵的理论价值
λ矩阵的研究对于数学理论的发展，特别是对线性代数理论的完善和深化，具有重要的理论价值。
λ矩阵未来的研究方向和趋势
λ矩阵的进一步理论探讨
随着数学理论的发展，对λ矩阵的性质和结构的深入研究将有助于揭示其更深层次的数学规律。
λ矩阵的应用研究
随着科学技术的进步，λ矩阵在解决实际问题中的应用将更加广泛，需要进一步研究如何更好地利用λ矩阵解决实际问题。

高等数学：3-1 矩阵的初等变换

r
r
A B A B,
于是
1
1

A B
1
A B
初等行变换
E

例3 求矩阵 X , 使 AX B，其中 2 1 3 1 1 A 1 2 2 B 2 0 1 3 2 2 5 1 若 A 可逆，则 X A B. 解
举例证明用3阶初等矩阵 E3 (2,3) 左乘矩阵 A34 (aij )34，得
E 3 ( 2,3) A34
1 0 0 a11 0 0 1 a 21 0 1 0 a 31
a12 a 22 a 32

a13 a 23 a 33
1 r1 3
3 0 2 1 4 9
4 A 1 1 0 3 0 0 6 4 6
6 3 4 1 A 4 2 3 9 4 6
2. 利用初等行变换求逆阵的方法，还可用于求
矩阵A1 B .
由于
A A E,
1

A~ E B ~ A 1 B
c
为证明定理1，我们引进初等矩阵的知识．
1、初等矩阵的概念
定义2 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵.
1、交换两行 (或两列 ) 交换 E 中第 i , j 两行，得初等方阵
1 1 0 1 1 j) 1 1 0 1 1
0 0 1 cr ,r 1 crn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
例用初等行变换将下面矩阵化为行最简形矩阵

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线性代数教案
周次课题课时课型教具
8.2矩阵的初等变换与矩阵
的秩（1）
2 新授教材

教学目的 1、理解矩阵的初等变换定义 2、理解阶梯型矩阵的定义以及如何运用矩阵的初等行变
换求阶梯型矩阵

教学重点矩阵的初等变换、阶梯型矩阵

教学方法例证法、启发诱导法、讲授法
教学过程
一、复习与导入
矩阵的相等、矩阵的和与差、数乘矩阵以及矩阵的乘法。数有加减乘除四则运算，矩阵有没有矩阵的除法？ 3’

二、讲授新课
例1求下列线性方程组的解：
解用消元法求解，并采用分离系数法在右边
写出求解过程中所相应的矩形数表(矩阵)：
对换④、⑤的位置得
对换④、⑤的位置得
(－4)×⑤+④得


3

1
⑥得

最后，将63x代入⑤，得12x；再将1,623xx代入①得
91x．因此，这个方程组的解为6,1,9321xxx
．
通过线性方程组与矩阵对比，总结出结论
一、矩阵的初等变换

1定义：①互换矩阵的某两行（列）的位置()ijijrrcc

②用一个非零数k遍乘矩阵的某一行（列）ikr()ikc
③将矩阵中某一行（列）遍乘一个常数k加到另一行（列）上
2 举例说明具体变化规律
例2
二、阶梯型矩阵与行简化阶梯型矩阵

39’
123

123
13

2314254226xxxxxxxx









1定义8.11矩阵为阶梯型矩阵B满足：
（1）零行（元素全为0的行）在最下方；
（2）首非零元素（即非零行的第一个不为零的元素）的列标
号随行标号的增加而严格递增。（每一个非零行的第一个
非零元素正下方的元素必须全为零）
若阶梯形矩阵还满足非零行的首行非零元都是1，叫做行简化
阶梯型矩阵。
2例1回顾、总结——矩阵经过若干步初等行变换化成阶梯型矩
阵
3思考题：同一个矩阵的阶梯型矩阵是否唯一
4例3求矩阵的阶梯型矩阵
5练习p2454（1）
三、小结 1、矩阵的初等变换 2、阶梯型矩阵与行简化阶梯型矩阵 2’

四、作业：习题2.4(2).5(2)(3)(4) 1’
课后反思
1、教学方法：
2、教学效果：
3、问题：
4、解决措施：