小船渡河问题的剖析和应用
小船渡河问题
小船渡河问题小船渡河问题是运动的合成与分解的典型应用，而且这个问题与我们的生活实际联系非常紧密，但在教学过程中发现学生掌握的情况不太理想，下面结合学生在理解上遇到的困难以及自己的一些思考，对这一问题略作探讨，以供参考。
一、问题引入一小船在m d 200=宽的河中横渡，水流速度是s m v /4=水，船在静水中的速度是s m v /8=船，求：（1）小船怎样渡河时间最短，最短时间是多少？ （2）小船怎样渡河位移最小，最小位移是多少？ 二、思路分析前面刚学习完运动的合成与分解，学生对合运动、分运动的理解还不够透彻，要让学生独立完成这个问题是很困难的，所以我将问题进行了分解，引导学生按一些几个步骤分析。
1、当河水不流动，即船在静水中航行时，它的运动情况如何？因为河水不流动，所以水对船的航行不会产生影响，因此船的航行情况就由它相对于静水的航行速度来决定，船v 的方向（即船头方向）就是船实际运动的方向。
2、当河水在流动，而船在静水中的航行速度为零时，它的运动情况又如何？船在静水中的航行速度为零，说明船“自身不动”，但由于水在流动，所以它仍然会被河水向下游冲走，即在岸上的人看来，船将以s m v /4=水的速度向下游移动。
3、当河水在流动，且船在静水中的航行速度也不为零时，这时的运动情况又如何呢？通过1、2的分析学生会明白，此时船同时参与两个方向的运动，一个分运动是船本身在静水中航行的运动，其分速度为船v ；另一个分运动是被水往下游冲的运动，其分速度为水v 。
岸上的人看到船的实际运动正是这两个分运动的合运动，其合速度是船v 与水v 的矢量和合v 。
并且让学生明白，此时船的实际运动方向是沿合v 的方向，而船头的方向是沿船v 的方向，这两者的方向不一致。
4、前面的问题弄明白了之后，下面来研究渡河的最短时间假设船头与河岸上游成任意夹角θ，我们可以将船v 分解到平行于河岸方向//v 与垂直于河岸方向⊥v ，下面我们以船的出发点为坐标原点，平行于河岸的方向为x 轴，垂直于河岸的方向为y 轴，建立平面直角坐标系。
小船过河问题教案及两种问题解答
小船过河问题教案及两种问题解答一、教学目标1. 让学生理解小船过河问题的背景和实际意义。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生掌握分析问题、列式解答的方法。
二、教学内容1. 小船过河问题的引入。
2. 讲解小船过河问题的两种解法。
3. 练习题及解答。
三、教学重点与难点1. 教学重点：小船过河问题的两种解法及其应用。
2. 教学难点：理解并掌握分情况讨论的解题思路。
四、教学准备1. 课件或黑板。
2. 练习题及答案。
五、教学过程1. 导入：讲解小船过河问题的实际背景，提出问题。
例：一条河，宽度为100米，小船在河岸A出发，要到河岸B。
已知小船在静水中的速度为5米/秒，水流速度为3米/秒。
请问，小船过河需要多少时间？2. 讲解解法一：分情况讨论法a. 当小船船头指向河对岸时，过河时间最短。
解析：设小船过河时间为t，河宽为d，小船在静水中的速度为v1，水流速度为v2。
则有：t = d / (v1 + v2)代入已知数值，得：t = 100 / (5 + 3) = 12.5秒b. 当小船船头指向与河岸成一定角度时，过河时间延长。
解析：设小船船头与河岸的夹角为θ，则小船在河流方向上的速度为v1 cosθ，垂直于河流方向的速度为v1 sinθ。
过河时间为：t = d / (v1 sinθ+ v2)代入已知数值，得：t = 100 / (5 sinθ+ 3)3. 讲解解法二：矢量合成法解析：将小船在静水中的速度v1和水流速度v2看作两个矢量，它们的合成就是小船过河的实际速度。
根据矢量合成法则，设小船过河时间为t，河宽为d，实际速度为v，则有：v = √(v1^2 + v2^2)t = d / v代入已知数值，得：t = 100 / √(5^2 + 3^2) = 100 / √34 ≈17.9秒4. 练习题及解答题目1：一条河，宽度为80米，小船在河岸A出发，要到河岸B。
已知小船在静水中的速度为4米/秒，水流速度为2米/秒。
高三物理小船渡河问题分析试题答案及解析
高三物理小船渡河问题分析试题答案及解析1.一只小船渡河，水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边，小船相对于水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图所示，船相对于水的初速度大小均相同，方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变，由此可以确定船（）A．沿AD轨迹运动时，船相对于水做匀减速直线运动B．沿三条不同路径渡河的时间相同C．沿AB轨迹渡河所用的时间最短D．沿AC轨迹船到达对岸的速度最小【答案】 A【解析】做曲线运动的物体所受合外力的方向指向轨迹曲线的凹侧，即加速度指向曲线凹侧，由图可知，船沿AB、AC、AD轨迹运动时，小船相对于水分别做匀速、匀加速、匀减速直线运动，故选项A正确；船渡河时的时间取决于垂直河岸方向的速度，即小船相对于水的速度，因此小船相对于水做匀加速直线运动时的时间最短，做匀减速直线运动时的时间最长，故选项B、C错误；船到达对岸的速度为沿河岸方向与垂直河岸方向速度的矢量和，在沿河岸方向船的速度始终等于水流速度，不变，因此垂直河岸方向的速度越小，合速度越小，因此当船沿AD轨迹运动时到达对岸的速度最小，故选项D错误。
【考点】本题主要考查了运动的合成与分解的应用问题。
2.一只小船在静水中的速度为3m／s，它要渡过一条宽为30m的河，河水流速为4m／s，则这只船：（）A．过河时间不可能小于10sB．不能沿垂直于河岸方向过河C．可以渡过这条河，而且所需时间可以为6sD．不可能渡过这条河【答案】AB【解析】船在过河过程同时参与两个运动，一个沿河岸向下游的水流速度，一个是船自身的运动。
垂直河岸方向位移即河的宽度，而垂直河岸方向的最大分速度即船自身的速度3m/s，所以渡河最短时间答案A对C错。
只要有垂直河岸的分速度，就可以渡过这条河答案D错。
船实际发生的运动就是合运动，如果船垂直河岸方向过河，即合速度垂直河岸方向，一个分速度沿河岸向下，与合速度垂直，那么在速度合成的平行四边形中船的速度即斜边，要求船的速度大于水的速度，而本题目中船的速度小于河水的速度不可能垂直河岸方向过河答案B对。
人教版高中物理必修第二册精品课件 第5章 抛体运动 专题提升一 小船渡河和关联速度问题
t'= '
⊥
=
2 cos30°
180
=5
2
3
s=24 3 s。
答案 (1)36 s 90 5 m
(2)船头偏向上游与河岸成 60°角 24 3 s
乙
【拓展】对应例题1的情境,如果水流速度变为v1=6.25 m/s,欲使船渡河的
航程最短,船头应朝什么方向?此时最短航程为多少?
解析 因为 v1=6.25 m/s>v2=5 m/s,合速度方向不可能垂直于河岸,如图所示,当
(2)分速度v船:船在静水中的速度。
(3)合速度v合:船的实际航行速度。
2.小船渡河问题的三种常见情况
情况
渡河时
间最短
图示
说明
若要使小船渡河时间最短,只要使小船在垂直
于河岸方向上的分速度最大,即船头垂直于河
d
d
岸,最短时间为 tmin=v ,此时渡河位移 x= θ
船
情况
图示
说明
当v水<v船时,如果满足v水-v船cos θ=0,合速度垂
质点)用轻直杆连接,乙球处于粗糙水平地面上,甲球紧靠在粗糙的竖直墙
壁上,初始时轻杆竖直,杆长为4 m。施加微小的扰动使得乙球沿水平地面
向右滑动,当乙球距离起点3 m时,下列说法正确的是(
A.甲、乙两球的速度大小之比为
7∶3
B.甲、乙两球的速度大小之比为 3
7∶7
C.甲球即将落地时,乙球的速度与甲球的速度大小相等
探究点二
关联速度问题
知识归纳
1.“关联”速度
关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起,或直接挤压在一
起的物体,它们的运动简称为关联运动。一般情况下,在运动过程中,相互
小船渡河经典ppt课件
的运动速度)为合速度，它的两个分速度v1、 v2如图所示，其中v2就是拉动绳子的速度， 它等于A上升的速度．由图得v1＝vsin θ， v2＝vcos θ， 小车匀速向右运动过程中， θ逐渐变小，可知v2逐渐变大，故A做加速 运动，由A的受力及牛顿第二定律可知绳的 拉力大于A的重力. 故选A正确．
(1)沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的 速度即等于v0. (2)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，求得物体 A 的速度 vA＝cosv0 θ.
10
四、绳子末端速度的分解方法
【例4】如图所示，绳子以恒定速率v 沿水平方 向通过定滑轮牵引小船靠岸，当绳子与水面夹角为 θ时，船的速度为多大？
【解析】1．沿绳子方向两个绳连接的物体沿
4 5 m/s
与水平方向夹角为arctan
1 2
24
好啦、今天的课 就讲到这里!!
25
渡河所需时间为： t=L /v水sinθ
v船 v2 θ
船头与河岸垂直时，
v1
L 渡河时间最短：
v水
t min=L /v水
方法技巧 3
2. 船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2.为使船行驶到河正 对岸的码头，则v1相对v2的方向应为( )
解析：为使船行驶到正对岸，必须使v1、v2的合速度方向指 向正对岸，只有C图象正确． 答案： C
∵ 0≤cosθ≤1
∴ 只有在V船>V水时，船才 v船
有可能垂直于河岸横渡。
θ
v L
v水
方法技巧 5
【练3—1】小船在静水中速度为v，今小船要渡
过一条小河，船在行驶过程中，船头始终与河岸垂
直.若航行到河中间时，水流速度增大，则渡河时间
小船渡河问题专题分析ppt课件
v船
v合
θ
d v水
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
（2）如果要求船划到对岸时间最短，则船头 应指向什么方向？最短时间是多少？航程是多 少？
分析２：时间最短
v2
v
d
v1
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
成运 和动 分的 解合
合运动是实际发生的运动，是分运动的合成
分运动互不影响，具有独立性
合运动与分运动所用时间相等，具有等时性
分运动
运动的合成 运动的分解
合运动
平行四边形法则
两个互 相垂直 的直线 运动的 合运动
可以是直线运动 也可以是曲线运动
曲线运动可以用两 个直线运动来替代
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
【答案】 vB=vsinθ
A
vsin
v
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小结
一、合运动和分运动 １、概念：如果物体同时参与了几个运动，那么物体
实际发生的运动就叫做那几个运动的合运动，那几 个运动叫做这个实际运动的分运动。 ２、合运动和分运动的关系
v1 v
v2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
高一下学期物理人教版必修第二册5.2 课时2 小船过河与绳——杆关联速度问题 课件(共20张PPT)
不同时对合运动的影响，这样的运动系统可看
做小船渡
视
频
2．模型分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)。
(3)两个极值
d
①过河时间最短：v1⊥v2，tmin＝—(d为河宽)．
速度v⊥＝v船sin
α，故小船渡河时间为t＝
，当α
船sin
＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短
时间为tmin＝50 s.
【练一练】小船要渡过200 m宽的河，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s，求：
(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船驶向下游的距
离最小？最小距离是多少？(结果取整数)
(4)因为v′船<v′水，船不可能垂直河岸横渡．如图所示，设船头(v′
船)与上游河岸成β角，合速度v′与下游河岸成γ角，可以看出γ角
越大，船驶向下游的距离x′越小．以v′水矢量的末端为圆心，以v′
船的大小为半径画圆，当合速度v′与圆相切时，γ角最大．cos
′船
水平方向向右做匀速直线运动的过程中（ BCD ）
A.物体 A 也做匀速直线运动
B.绳子的拉力始终大于物体 A 所受的重力
C.物体 A 的速度小于物体 B 的速度
D.地面对物体 B 的支持力逐渐增大
小船过河
运动的合成与分解的应用
绳——杆关联速度
且v2>v1，下面用小箭头表示小船及船头的指向，则能正确反映小
船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景图示依次是
小船渡河问题归纳总结
小船渡河问题归纳总结引言小船渡河问题是一个经典的逻辑问题，通常用于考察人们在限制条件下寻找解决办法的能力。
本文将对小船渡河问题进行归纳总结，包括问题背景、常见解法以及相关思考等内容。
问题背景小船渡河问题通常描述为：有一条河流，一只小船和一些人要从一岸渡到对岸。
然而，根据以下限制条件，需找到一种方法满足所有人的渡河需求。
限制条件： 1. 小船每次只能搭载一至两个人； 2. 如果岸上有若干人，其中有一人在场，则可以使用小船； 3. 在任意一岸，如果岸上有人比待渡人数少，则小船必须离开，并将其他人带往对岸。
基本解法基本解法是指最简单且最直接的小船渡河问题解决方法。
1.初始状态下，将所有人和小船都放在河的一侧。
2.选定一种策略，例如每次渡船都尽量多带人，即每次渡船都将小船上的人数最大化。
3.重复以下步骤，直至所有人和小船都到达对岸：–将小船上的一至两个人带到对岸；–如果岸上有人数少于待渡人数的一侧，则将小船返回，将人带往对岸；–如果岸上没有人数少于待渡人数的一侧，则将小船返回并不带任何人。
4.完成渡河任务。
变体解法除了基本解法外，还有一些变体解法用于增加问题的难度，考察解决问题的灵活性和创造力。
以下是一些常见的变体解法。
1. 增加障碍物在河流中增加障碍物，如岩石、鳄鱼等，限制小船的移动。
解决这个问题需要额外的策略和判断。
2. 不同速度的人员假设不同的人员具有不同的渡河速度，解决这个问题需要合理安排人员的搭乘顺序，以达到最短的总渡河时间。
3. 具有特殊技能的人员假设某些人员具有特殊技能，例如划船或拆除障碍物等，解决这个问题需要合理利用特殊技能，提高渡河效率。
思考与拓展小船渡河问题是一个具有挑战性的逻辑问题，可以引发一些思考和拓展。
1.如何扩展问题规模？如果人员较多、小船的承载能力不同或对应岸上的人数限制不同，如何解决渡河问题？2.如何应用算法解决小船渡河问题？例如，可以使用图论中的最短路径算法来解决渡河问题。
高考物理计算题复习《小船渡河问题》(解析版)
《小船渡河问题》一、计算题1.河宽d=60m，水流速度v1=3m/s，小船在静水中的速度v2=6m/s，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河？最短时间是多少？(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河？最短的航程是多少？(3)若水流速度变为v3=10m/s，要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河？最短的航程是多少？2.如图所示，一条小船位于d=200m宽的河正中A点处，从这里向下游100√3m处有一危险区，当时水流速度为V1=4m/s，(1)若小船在静水中速度为V2=5m/s，小船到岸的最短时间是多少？(2)若小船在静水中速度为V2=5m/s，小船以最短的位移到岸，小船船头与河岸夹角及所用时间？(3)为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是？3.一条河宽100m，水流速度为3m/s，一条小船在静水中的速度为5m/s．(1)若要小船过河的时间最短，则船头应该指向哪里？过河的最短时间是多少⋅来表示)，小船需用多长时间到达对岸？(sin300=0.5,sin370=0.6,sin450=0.707)4.河宽d=100m，水流速度v1=3m/s，船在静水中的速度是v2=4m/s，求：(1)欲使船渡河时间最短，最短时间是多少？(2)欲使船航行距离最短，渡河时间多长？5.一小船从河岸的A点出发渡河，小船船头保持与河岸垂直方向航行，经过10min到达河对岸B点下游120m的C处，如图所示。
如果小船保持原来的速率逆水斜向上游与河岸成α角方向航行，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处。
求：(1)水流速度；(2)河的宽度。
6.如图所示，河宽d=120m，设船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2，小船从A点出发，在渡河时，若出发时船头指向河正对岸的B点，经过8min小船到达B点下游的C点处；若出发时小船保持原来的速度逆水向上与河岸成α角方向行驶，则小船经过10min恰好到达河正对岸的B点。
高中物理：题型一：小船渡河问题
小船渡河问题的分析：
（1）船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
（2）三种速度：船在静水中的速度v1，水流速度v2，船的实际速度v.
（3）三种情形
①过河时间最短：船头正对河岸时，过河时间最短，短 =1
(d为河宽）。
②过河路径最短
a. v2<v1时，合速度垂直于河岸，航程最短，短 =d,船头指向上游，与河岸夹
的角度。
D.小船不可能垂直河岸到达对岸。
答案：BD
2.河宽为d，水流速度为v1，小汽艇在静水中航行速度为v2，且v1<v2，如果小
汽艇航向与河岸成夹角，斜向上游，求：
B
A
C
（1）它过河需要多少时间？
（2）到达对岸的位置？
（3）如果它以最短时间渡河，航向应如何？
（4）如果它要直达正对岸，航向又应怎样？
角为a,cosa=2
。
1
b. v2>v1，合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下
如图所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的
始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。
短
v1 d v1
a
2
1
由图可知：cosa=1
，最短航程：
航行方向是实际运动方向，也就是合速度方向。
（2）小船过河最短时间与水流速度无关。
典例
1.小船渡河，河宽90米，船在静水中的速度是3m/s，水流速度是4m/s，那么
（
）（多选）
A.小船渡河最短时间为18s.
B.小船渡河最短时间为30s.
C.要使小船能垂直河岸以最短路程到达对岸，船头要偏向上游与河岸夹一定
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小船渡河问题的剖析和应用作者：黄干双
来源：《新高考·高一物理》2015年第01期
小船渡河问题中的三个重要关系：
（1）运动关系：小船在有一定流速的河水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对于水的运动（即在静水中船的运动），船的实际运动是合运动.
（2）时间关系：①合运动和分运动的等时性；②当船头与河岸垂直时，渡河时间最短.
（3）位移关系：①合运动和分运动的位移等效关系；②理解在什么情况下位移最小.
一、小船渡河问题剖析
例1 一艘小船在宽为d的河中横渡到对岸，已知水流速度是v水，小船在静水中的速度是v船，求：
（1）欲使渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？
（2）欲使渡河位移最短，船应该怎样渡河？最短位移多大？
【分析】小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，船的实际运动是合运动.但是在现实运动中由于船头方向的不确定性，使得小船渡河时所具有的两个分运动方向就不能确定，从而导致小船渡河问题的复杂化，加深了学生理解的难度.题目分两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速.涉及两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间
（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代.
二、小船渡河问题拓展应用
例2 北风速度4m/s，大河中的水流正以3 m/s的速度向东流动，船上的乘客看见轮船烟囱冒出的烟柱是竖直的，求轮船相对于水的航行速度多大？什么方向？
【分析】本题研究对象有北风、水流、乘客、烟；“烟柱是竖直的”说明人感觉不到风，那么轮船应该与风同速航行.轮船的实际航向正南，大小为4m/s，由于河水流动，轮船应该有一个分速度：大小与v水相等，方向与V水相反，这样轮船才会朝正南方向行驶，如图3所示.
【方法小结】
在进行速度分解时，首先要分清合速度与分速度，合速度就是物体实际运动的速度，由物体的实际运动确定，分速度由合速度的效果利用平行四边形定则确定.如图6所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高.问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为多大？重物M的速度v的方向是合运动的速度方向，这
个v产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v'运动，由图可知，v'=v.cos θ，即为小车的速度.。