第3.3节 竖曲线设计2

纵距：y1=0,则设计标高为13.30m， 填挖高度为：13.30-16.80＝-3.50(m)，即挖 3.5m
含竖曲线纵断面设计标高计算
2、具体计算： 4)计算对应桩号的坡度线标高和纵距； 桩号K2+350: 坡度线标高：HBPD-i×x2＝18.8-0.05×(24102350)=15.80(m)
2．竖曲线最小长度
存在的问题：竖曲线的长度很短时，容易
使司机产生急促的变坡感觉；同时，竖曲 线长度过短，易对行车造成冲击。
规定：竖曲线上3s的行程时间控制竖曲线
的最小长度。
公路竖曲线最小半径和最小长度
设计速度（km∕h） 凸形竖曲线半 径（m） 凹形竖曲线半 径（m） 极限最小值 一般最小值 极限最小值 一般最小值 120 11000 17000 4000 6000 100 6500 10000 3000 4500 80 3000 4500 2000 3000 60 1400 2000 1000 1500
图３-１０ 凸形竖曲线视距(s<L)
3)竖曲线一般最小半径
竖曲线极限最小半径是缓和行车冲击和保证行 车视距所必需的竖曲线半径的最小值，该值只 有在地形受限制迫不得已时才采用。通常为了 使行车有较好的舒适条件，设计时多采用大于 极限最小半径1.5～2.0倍的半径值，此值即为竖 曲线一般最小半径。倍数1.5～2.0，随设计车速 减小而取用较大值。《标准》和《城市道路设 计规范》规定的竖曲线一般最小半径如表3－11 和表3－12。
H H1 y
(3-9)
式中：
H 设计标高(m)；
"" 当为凹形竖曲线时取“＋”，当为
凸形竖曲线时取“－”。 符号意义同前。 其余
含竖曲线纵断面设计标高计算
某山岭区一般二级公路，变坡点桩号为K2+410，标高为18． 8 米，i1 =+5％, i2 =-5％，现拟定竖曲线半径R=2000米，已知地面 的桩号和标高分别如下： 桩号 K2+300 K2+350 K2+410 K2+450 15．00
一、竖曲线的计算 (1)用二次抛物线作为竖曲线的基本方程式 在图3-7所示坐标系下，二次抛物线一般方程为
y 1 2 x ix 2k (1)
对竖曲线上任意点Ｐ，其斜率为：
ip dy x i dx k
L i1 i 2 , 则 k (2)
当x 0时, i i1 ; x L时, i k L L i 2 i1
1) 竖曲线几何要素计算示意图
(2). 竖曲线几何要素计算 竖曲线的几何要素主要有：竖曲线切线长T 、曲线长L和外距E，如图3－8。
L R
L T 2
T2 E 2R
(3-4)
（3-5）
(3-6)
(3).竖曲线上任意点纵距
y 的计算
x y 2R
2
(3 - 7)
式中：
y
计算点纵距；
H1
(3-8)
计算点切线高程(m)； 纵坡度。
i
其余符号如图示。利用该式可以直接计算直坡段上任意点的设计 标高。 2)计算设计标高
H H1 y
(3-9)
式中：
H 设计标高(m)；
"" 当为凹形竖曲线时取“＋”，当为凸形竖曲线时取
“－”。其余符号意义同前。
二、竖曲线设计标准
1、竖曲线最小半径 2、竖曲线最小长度
设计速度（km∕h） 120 100 80 60 40 凸形竖曲线半径（m） 20000 16000 12000 9000 3000 凹形竖曲线半径（m） 12000 10000 8000 6000 2000
表3－13
2.半径的选择
选择竖曲线半径主要应考虑以下因素： 1) 选择半径应符合表 3-11 、 3-12 所规定的竖曲 线的最小半径和最小长度的要求。 2)在不过分增加土石方工程量的情况下，为使 行车舒适，宜采用较大的竖曲线半径。 3) 结合纵断面起伏情况和标高控制要求，确定 合适的外距值，按外距控制选择半径：
三、竖曲线设计
2) 同向竖曲线应避免“断背曲线”。同向竖 曲线特别是同向凹形竖曲线间，如直坡段不 长，应合并为单曲线或复曲线。
断背曲线
断背曲线的改善
三、竖曲线设计
1．竖曲线设计的一般要求 3) 反向曲线间，一般由直坡段连接，也可径相 连接。 4)竖曲线设置应满足排水需要。
从视觉观点所需的竖曲线最小半径
T L 2
(3-4)
（3-5）
T2 E 2R
(3-6)
竖曲线几何要素
F E D
(3).竖曲线上任意点纵距
y 的计算
(3 - 7)
x2 y 2R
式中：
y 计算点纵距；
x 计算点桩号与竖曲线起点的桩号差。
(4)．竖曲线上任意点设计标高的计算 1)计算切线高程 H1 H 0 (T x) i 式中： H 0 变坡点标高(m)；
纵距：y1=x12/(2×R)=(25102450)2/(2×2000)=0.90(m), 则设计标高为16.80-0.90=15.90(m)， 填挖高度为：15.90-15.00＝0.90(m)，即填0.90m
纵距：y1=x12/(2×R) =(2410-2310)2/(2×2000)=2.50(m) 则设计标高为18.80-2.50=16.30(m) 填挖高度为：16.30-16.80＝-0.50(m)，即挖 0.50m
含竖曲线纵断面设计标高计算
2、具体计算： 4)计算对应桩号的坡度线标高和纵距； 桩号K2+450: 坡 度 线 标 高 ： HBPD-i×x2 ＝ 18.8-0.05×(24502410)=16.80(m)
2)凸形竖曲线极限最小半径 主要从限制失重不致过大和保证纵面行车视距两个方面计算分析确定 。 ⑴从失重不致过大考虑 与凹形竖曲线的限制条件和计算公式相同，即：
V2 R (3-14) F 127( ) G 式中各符号意义同前。 ⑵从保证纵面行车视距考虑 凸形竖曲线半径过小，路面上凸直接影响行车视距，按规定的视距 控制即可推导出计算极限最小半径的公式。分两种情况： (P49)
2、具体计算： 3)计算竖曲线起点桩号和终点桩号； 竖曲线起点桩号＝BPD-T=K2+410-100=K2+310 竖曲线终点桩号＝BPDΒιβλιοθήκη BaiduT=K2+410+100=K2+510
含竖曲线纵断面设计标高计算
2、具体计算： 4)计算对应桩号的坡度线标高和纵距； 桩号K2+300: 坡 度 线 标 高 ： HBPD-i×x2 ＝ 18.8-0.05×(24102300)=13.30(m)
y

2L
x 2 i1 x
或 y
1 2 x i1 x 2R
(3 - 3)
式中：ω——坡差 （％）； Ｌ——竖曲线长度（m）； Ｒ——竖曲线半径 （m）。
图3-7竖曲线要素示意图
(2). 竖曲线几何要素计算
竖曲线的几何要素主要有：竖曲线切线长T、曲线长 L和外距E，如图3－8。
L R
R
8E

2
2.半径的选择
选择竖曲线半径主要应考虑以下因素： 4) 考虑相邻竖曲线的连接（即保证最小直坡段长度或 不发生重叠）限制曲线长度，按切线长度选择半径：
R
2T

5)过大的竖曲线半径将使竖曲线过长，从施工和排水 来看都是不利的，选择半径时应注意。 6)对夜间行车交通量较大的路段考虑灯光照射方向的 改变，使前灯照射范围受到限制，选择半径时应适当加 大，以使其有较长的照射距离。
纵距：y1=x12/(2×R) =(2350-2310)2/(2×2000)=0.40(m), 则设计标高为15.80-0.40=15.40(m)， 填挖高度为：15.40-17.50＝-2.10(m)，即挖 2.10m
含竖曲线纵断面设计标高计算
2、具体计算： 4)计算对应桩号的坡度线标高和纵距； 桩号K2+410: 坡 度 线 标 高 ： HBPD-i×x2 ＝ 18.8-0.05×(24102410)=18.80(m)
16．80 标 高 16．80 17．50 (m) 试计算各桩号处的施工填挖高度？
含竖曲线纵断面设计标高计算
1、计算步骤： 1)判定是凸形竖曲线还是凹形竖曲线，并画出示意图； 2)计算竖曲线几何要素； 3)计算竖曲线起点桩号和终点桩号； 4)计算对应桩号的坡度线标高和纵距，并计算填挖高度 值。
含竖曲线纵断面设计标高计算
2、具体计算： 1)判定是凸形竖曲线还是凹形竖曲线，并画出示意图； 2)计算竖曲线几何要素；
L R 2000* 0.1 200(m) T L / 2 200/ 2 100(m)
E T 2 /(2R) 1002 /(2 * 2000 ) 2.5(m)
含竖曲线纵断面设计标高计算
x 计算点桩号与竖曲线起点的桩号差。
(4)竖曲线上任意点设计标高的计算 1)计算切线高程
H1 H 0 (T x) i
(3-8)
式中：
H0
变坡点标高(m)； 计算点切线高程(m)； 纵坡度。其余符号如图示。利用该式 可以直接计算直坡段上任意点的设计 标高。
H1
i
2)计算设计标高
表3－11
40 450 700 450 700 30 250 400 250 400 20 100 200 100 200
竖曲线最小长度（m）
100
85
70
50
35
25
20
三、竖曲线设计
1．竖曲线设计的一般要求 1)宜选用较大的竖曲线半径。在不过分增加 工程量的情况下，宜选用较大的竖曲线半径。 2) 同向竖曲线应避免“断背曲线”。同向竖 曲线特别是同向凹形竖曲线间，如直坡段不 长，应合并为单曲线或复曲线。
抛物线上任一点的曲率半径为:
dy 2 R 1 dx
3/ 2
/
d2y dx 2
dy d2y 1 式中 i , , 代入上式 , 得 2 dx k dx
Rk (3)
R k (1 i 2 ) 3 / 2
因为i介于i1和i2之间，且i1、i2均很小，故i2可略去不计，则 将（2）式和（3）式代入（1）式，得二次抛物线竖 曲线基本方程式为：
1、竖曲线最小半径
凹形竖曲线极限最小半径 凸形竖曲线极限最小半径 竖曲线的一般最小半径

1、竖曲线最小半径
1)凹形竖曲线极限最小半径
主要从限制离心力、夜间行车前灯照射的影响以及在跨线
桥下的视距三个方面计算分析确定。 （1）从限制离心力不致过大考虑 （2）从汽车夜间行驶前灯照射距离考虑 （3）从保证跨线桥下的视距考虑
第三节 竖曲线设计

纵断面上两相邻不同坡度线的交点称为变坡点 。 相邻两坡度线的交角用坡度差“ω”表示，ω=i2-i1

为保证 行车安全 、 舒适 以及 视距 的需要，而在变 坡处设置的纵向曲线，即为竖曲线。
变坡点
变坡点
第三节 竖曲线设计
一、竖曲线的计算 二、竖曲线设计标准 三、竖曲线设计 四、纵断面设计标高计算示例