高等级道路竖曲线的计算方法
公路设计 纵断面设计 坡度、坡长的应用及竖曲线半径的选取及设计高程的计算
五、纵坡设计的一般要求（P139）
1、纵坡设计必须满足《公路工程技术标准》中的各项 规定。
2、为保证汽车能以一定的车速安全舒顺地行驶，纵坡 应具有一定的平顺性，起伏不宜过大及过于频繁。 尽量避免采用极限纵坡值，合理安排缓和坡段，不 宜连续采用极限长度的陡坡夹最短长度的缓和坡段。 连续上坡或下坡路段，应避免设置反坡段。越岭线 垭口附近的纵坡应尽量放缓一些。
（一）坡长限制 坡长－－指变坡点与变坡点之间的水平长度。
坡长
➢坡长限制，主要是对较陡纵坡的最大长度和一 般纵坡的最小长度加以限制。
最小坡长限制：任何路段 最大坡长限制：陡坡路段
1．最小坡长限制 :
（1）规定最小坡长的原因
①纵断面上若变坡点过多，纵向起伏变化频繁影响了行车的 舒适和安全；
②相邻变坡点之间的距离不宜过短，以便插入适当的竖曲线 来缓和纵坡的要求，同时也便于平、纵面线形的合理组合与 布置。
最大纵坡（％）
3
456 7 8
9
➢ 设计速度为120km/h、100km/h、80km/h的高速公路受地 形条件或其他特殊情况限制时，经技术经济论证合理，最大纵 坡可增加1％。
➢ 公路改建中，设计速度为40km/h、30km/h、20km/h的利 用原有公路的改建路段，经技术经济论证合理，最大纵坡可增 加1%。
(3) 自然因素：海拔高程、气候（积雪寒冷等）。 ➢ 纵坡度大小的优劣： 坡度大，行车困难，上坡速度低，下坡较危险。 山区公路可缩短里程，降低造价。
2．最大纵坡的确定
我国《公路工程技术标准》规定各级公路的最大纵坡 规定如表3-9所示。
最大纵坡
表3-9
纵坡、竖曲线
2.竖曲线的最小半径和最小长度
各级公路竖曲线的最小半径和最小长度
单位：m
设计速度（km/h）
120 100 80 60 40 30 20
凸形竖曲线 极限最小值 11000 6500 3000 1400 450 250 100
半径
一般最小值 17000 10000 4500 2000 700 400 200
（2）最小纵坡 定义：最小纵坡是指在纵坡设计时各级公路允许采用 的最小坡度值。
模块二 公路路线
4.坡长限制
（1）最大坡长限制 定义：最大坡长是指控制汽车在坡道上行驶，当车速 下降到最低容许速度时所行驶的距离。 规定：当公路连续纵坡大于5%时，其纵坡坡长应加以 限制，并在最大坡长所规定的范围内设置缓和坡段，缓和 坡段的纵坡坡度应不大于3%。
模块二 公路路线 变坡角计算公式： i1 i2
i1、i2 — 变坡点前、后坡线的纵坡坡度，用小数表示， 上坡取“+”，下坡取“-”。 ω为正时为凸形竖曲线， 反之，为凹形竖曲线。
竖曲线示意图
模块二 公路路线
1. 竖曲线的要素
要素：竖曲线长度L、切线长T和外距E。
竖曲线要素
模块二 公路路线
纵坡竖曲线纵坡竖曲线表纵坡竖曲线表怎么看竖曲线变坡点竖曲线坡度竖曲线坡长道路竖曲线变坡点竖曲线坡度计算纵断面竖曲线竖曲线
模块二 公路路线
一、纵坡
1.纵断面线型组成
组成：地面线和设计线。 设计线组成：直线和竖曲线。
模块二 公路路线
2.纵坡
定义：纵坡是指公路沿线的纵向坡度，包括上坡 和下坡，用符号і表示，上坡i为正，下坡i为负。
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道路工程测量(圆曲线、缓和曲线、竖曲线计算公式)
第九章道路工程测量 (road engineering survey)内容：理解线路勘测设计阶段的主要测量工作（初测控制测量、带状地形图测绘、中线测设和纵横断面测量）；掌握路线交点、转点、转角、里程桩的概念和测设方法；掌握圆曲线的要素计算和主点测设方法；掌握圆曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；了解虚交的概念和处理方法；掌握缓和曲线的要素计算和主点测设方法；理解缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；掌握路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方；了解全站仪中线测设和断面测量方法。
重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。
§ 9.1 交点转点转角及里程桩的测设一、道路工程测量概述分为：路线勘测设计测量 (route reconnaissance and design survey) 和道路施工测量 (road construction survey) 。
（一）勘测设计测量 (route reconnaissance and design survey)分为：初测 (preliminary survey) 和定测 (location survey)1、初测内容：控制测量 (control survey) 、测带状地形图 (topographical map of a zone) 和纵断面图 (profile) 、收集沿线地质水文资料、作纸上定线或现场定线，编制比较方案，为初步设计提供依据。
2、定测内容：在选定设计方案的路线上进行路线中线测量 (center line survey) 、测纵断面图 (profile) 、横断面图 (cross-section profile) 及桥涵、路线交叉、沿线设施、环境保护等测量和资料调查，为施工图设计提供资料。
道路工程测量(圆曲线、缓和曲线、竖曲线计算公式)
（二）道路施工测量(road construction survey)
按照设计图纸恢复道路中线、测设路基边桩和竖曲线、工程竣工验收测量。
本章主要论述中线测量和纵、横断面测量。
二、中线测量(center line survey)
1、平面线型：由直线和曲线（基本形式有：圆曲线、缓和曲线）组成。
2、概念：通过直线和曲线的测设，将道路中心线的平面位置测设到地面上，并测出其里程。即测设直线上、圆曲线上或缓和曲线上中桩。
1、曲线要素的计算
若已知：转角α及半径R，则：
切线长： ；
曲线长：
外距： ；
切曲差：
2、主点的测设
（1）主点里程的计算
ZY里程=JD里程-T；YZ里程=ZY里程+L
QZ里程=YZ里程-L/2；JD里程=QZ里程+D/2（用于校核）
（2）测设步骤：
1）JDi架仪，照准JDi-1，量取T，得ZY点；照准JDi+1，量取T，得YZ点。
重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法
难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。
§9.1交点转点转角及里程桩的测设
一、道路工程测量概述
分为：路线勘测设计测量(route reconnaissance and design survey)和道路施工测量(road construction survey)。
道路曲线高程计算公式
高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道) 一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与计算第一缓和曲线时相反xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180°K值与知道ZH点坐标时相反xZ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x 求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程：。
竖曲线
竖曲线是在变坡点处，为了行车平顺的需要而设置的一段曲线。
竖曲线的形状，通常采用圆曲线或二次抛物线两种。
在设计和计算上抛物线比圆曲线更为方便，故一般采用二次抛物线。
在纵坡设计时，由于纵断面上只反映水平距离和竖直高度，因此竖曲线的切线长与弧长是其在水平面上的投影，切线支距是竖直的高程差，相邻两条纵坡线相交角用坡度差表示。
一、竖曲线要素计算如图3-3所示，设变坡处相邻两纵坡度分别为i1和i2，坡度差以ω表示，则坡度差ω为i1和i2的代数差，即ω= i1-i2：当ω>0时，则为凸形竖曲线；当ω<0时，则为凹形竖曲线。
图3-3竖曲线示意图1、竖曲线的基本方程二次抛物线作为竖曲线的基本形式是我国目前常用的一种形式。
如图3-4所示，用二次抛物线作为竖曲线的基本方程：3-4 竖曲线要素示意图竖曲线上任意一点的斜率为：当x=0时：k= i1,则b= i1；当x=L，r=R时：，则：因此，竖曲线的基本方程式为：或 (3-19)2、竖曲线的要素计算曲线长：（3-20）切线长：（3-21）外距：（3-22）曲线上任意一点的竖距（改正值）：（3-23）二、竖曲线设计标准竖曲线的设计标准包括竖曲线的最小半径和最小长度。
1、竖曲线设计的限制因素（1）缓和冲击汽车在竖曲线上行驶时会产生径向离心力，在凸形竖曲线上行驶会减重，在凹形竖曲线上行驶会增重，如果这种离心力达到某种程度时，乘客就会有不舒适的感觉，同时对汽车的悬挂系统也有不利影响，故应对径向离心力加速度加以控制。
根据试验得知，离心加速度a限制在0.5～0.7m/s2比较合适。
汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为：（3-24）《标准》中确定竖曲线半径时取a=0.278 m/s2。
或（3-25）（2）行程时间不宜过短汽车从直坡段驶入竖曲线时，如果其竖曲线长度过短，汽车倏忽而过，冲击力大，旅客会感到不舒适，太短的竖曲线长度从视觉上也会感到线形突然转折。
因此，应限制汽车在竖曲线上的行程时间，一般不宜小于3s。
切线高程和设计高程计算公式
切线高程和设计高程计算公式竖曲线高程计算公式：
1、外矢距计算公式：L=T2/2R；
2、切线长计算公式：T=1/2*R*（I前-I后）；
3、凹曲线任一点计算公式：H=E+Abs(Q-C)*|+
L;
4、凸曲线任一点计算公式：H=E-Abs(Q-C)*-
L；说明：H=所求点高程；E=竖曲线交点高程；Q=起点桩号；C=所求点桩号；=线路纵坡坡率。
知识点延伸：在线路纵断面上，以变坡点为交点，连接两相邻坡段的曲线称为竖曲线。
竖曲线有凸形和凹形两种。
道路设计高程怎么算？
计算方法：由：A点地面高程+A、B间距×坡度比=B
点地面高程；竖距h=（A、B间距）？？/2R—R为竖曲线
半径；得：B点设计高程=B点地面高程+（-）竖距h—凹曲线时为“+”，凸曲线时为“-”。
高程【elevation】指的是某点沿铅垂线方向到绝对基面的距离，称绝对高程，简称高程。
某点沿铅垂线方向到某假定水准基面的距离，称假定高程。
高程基准是推算国家统一高程控制网中所有水准高程的起算依据，它包括一个水准基面和一个永久性水准原点。
水准基面，通常理论上采用大地水准面，它是一个延伸到全球的静止海水面，也是一个地球重力等位面，实际上确定水准基面则是取验潮站长期观测结果计算出来的。
竖曲线、缓和曲线计算公式
第三节竖曲线纵断面上两个坡段的转折处，为方便行车，用一段曲线来缓和，称为竖曲线。
可采用抛物线或圆曲线。
一、竖曲线要素的计算公式相邻坡段的坡度为i1和i2,代数差为ω=i2 -i1ω为正时，是凹曲线；ω为负，是凸曲线。
1.二次抛物线基本方程：或ω：坡度差（%）；L：竖曲线长度；R：竖曲线半径2.竖曲线诸要素计算公式竖曲线长度或竖曲线半径R: （前提：ω很小）L=Rω竖曲线切线长：T=L/2=Rω/2竖曲线上任一点竖距h：竖曲线外距：二、竖曲线最小半径（三个因素）1.缓和冲击对离心加速度加以控制。
ν(m/s)根据经验，a=0.5~0.7m/s2比较合适。
我国取a=0.278,则Rmin=V2/3.6 或Lmin=V2ω/3.62.行驶时间不过短 3s的行程Lmin=V.t/3.6=V/1.23.满足视距的要求分别对凸凹曲线计算。
(一)凸形竖曲线最小半径和最小长度按视距满足要求计算1.当L<ST时，Lmin = 2ST - 4/ω2.当L≥ST时，ST为停车视距。
以上两个公式，第二个公式计算值大，作为有效控制。
按缓和冲击、时间行程和视距要求（视距为最不利情况）计算各行车速度时的最小半径和最小长度，见表4-13。
表中：（1）一般最小半径为极限最小半径的1.5~2倍；（2）竖曲线最小长度为3s行程的长度。
（二）凹曲线最小半径和长度1.夜间行车前灯照射距离要求：1）L<ST2) L≥STL<ST Lmin = 2ST - 26.92/ω (4-14)L≥STω /26.92 (4-15)3s时间行程为有效控制。
例：设ω＝2%=0.02;则L＝ωＲ竖曲线最小长度Ｌ＝Ｖ/1.2速度Ｖ=120km/h V=40km/h 一般最小半径Ｒ凸17000 700一般最小半径Ｒ凹6000 700 L凸340 14Ｌ凹120 14 例题4-3ω=-0.09 凸形；L=Rω=2000*0.09=180mT=L/2=90mE=T2/2R=2.03m起点桩号＝k5+030 - T =K4+940起始高程＝427.68 - 5%*90=423.18m桩号k5+000处：x1=k5+000-k4+940=60m切线高程＝423.18+60*0.05=426.18m h1=x21/2R=602/2*2000=0.90m设计高程＝426.18 - 0.90=425.28m 桩号k5+100处：x２=k5+100-k4+940=160m切线高程＝423.18+160*0.05=431.18m h2=x22/2R=1602/2*2000=6.40m设计高程＝431.18 - 6.40=424.78m第一节平面线形概述一、路线路线指路的中心线；路线在水平面上的投影叫路线的平面；路线设计：确定路线空间位置和各部分几何尺寸的工作；可分为平面设计、纵断面设计、横断面设计。
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高速公路竖曲线计算方法
【摘要】本文从竖曲线的严密计算公式入手，推导竖曲线上点的设计高程和里程的精确计算方法。
分析和比较了近似公式和严密公式的差别及对设计高
程和里程的影响。
在道路勘测设计中用本方法可取得精确、方便、迅速的效果，
建议取代传统的近似方法。
一、引言
在传统的道路纵断面设计中，竖曲线元素及对应桩号里程和设计高程均采用
近似公式计算，在低等级道路及计算工具很落后的时代曾起到过很大的作用。
但是随着高级道路的快速发展，道路竖曲线半径的不断加大，设计和施工的精度要求越来越高，因此，对勘测设计工作提出了很高的要求。
采用近似的方法进
行勘测设计已难以满足高精度、高效灵活的要求。
为此本文给出了实用、精确的竖曲线计算公式，以解决实际工作中存在的问题。
二、计算原理
1. 近似计算公式
如图1所示，设道路纵坡的变坡点为I，其设计高程为H I,里程为D I，两侧的纵坡度分别为i1、i2，竖曲线设计半径为R，竖曲线各元素的近似计算公式如下：
图 1
2. 精确计算公式
如图2所示，在图中建立以水平距离为横坐标轴d,铅垂线为纵坐标轴H′的dOH′直角坐标系，A点的坐标为(d A，0)，Z点的坐标为(0，H Z′)，竖曲线各元素的精确计算公式如下：
α1＝arctani 1 (1)
α2＝arctani 2 (2)
ω＝α1-α2(3)
T＝Rtan(4)
E＝R(sec-1) (5)
d I＝Tcosα1 (6)
d A＝Rsinα1 (7)
H Z′＝Rcosα1 (8)
竖曲线在直角坐标系中的方程为：
(d-d A)2+H′２＝R2 (9)
由式(9)可推算出竖曲线上任一与Z点的里程差为d的点的纵坐标值H′，则
0≤d≤ｄY
(10)
并可立即推算点的设计高程和里程：
H＝H′-ΔH (11)
D＝D Z+d (D Z＝D I-d I) (12)
式中，α1，α2分别为纵坡线与水平线的夹角；ω为变坡角；Τ为切线长；Ε为外矢距；d I为纵坡变坡点I与Z点的里程差；d A为竖圆曲线圆心A与Z点的里程差；H′为竖圆曲线上任一点的纵坐标值；d为竖圆曲线上任一点与Z点的里程差；H为竖圆曲线上任一点的设计高程；ΔH＝H′Ｚ-H Z为Z点纵坐标值与Z 点设计高程之差(H Z＝H I-d I.i1)；D为竖曲线上任一点的里程。
由式(10)可知，当d=d A时，则里程D N＝D Z+d A的N点为竖圆曲线的变坡点，
其高程H N＝H N′-ΔH＝R-ΔH＝max，N点在现场施工中具有很重要的指导意义。
三、计算实例
某山岭重丘的二级公路的纵坡变坡点I，其设计高程H I＝68.410 m，里程D I
＝6+710.280，两侧纵坡分别为7%和-5%，凸形竖曲线的设计半径R ＝3 500 m ，
其计算结果见表1。
表1
桩号(点名)
里程差/m 近似高程H/m 精确高程H/m
误差Δ/mm
辅助计算
6+5.0028(Z ′）-0.534 53.51
α2=-2°51′45″ω＝6°52′00″α1＝
4°00′15″T ＝209.979 E ＝6.239 d N =d A =244.402 H Z ′＝3491.456 ΔH ＝3437.709
(Z ′、Y ′、Q ′为用近似公式计算的直圆点和圆直点、曲中点)
6+500.814(Z)
0 53.747 6+540 39.186 56.265 56.270 5 6+580 79.186 58.383 58.389 6 6+620 119.186 60.043 60.050 7 6+660 159.186 61.246 61.253 7 6+700 199.186 61.992 61.999 7
6+710.28(Q)
209.466
62.117
6+710.342(Q ′） 209.528
62.110 6+740 239.186 62.281 62.287 6
6+745.216(N)
244.402 62.291 6+780 279.186 62.113 62.118 5 6+820 319.186 61.487 61.492 5 6+860 359.186 60.405 60.408 3 6+900 399.186 58.865 58.867 2 6+919.997(Y)
419.183
57.924
6+920.28(Y ′）419.466
57.91
四、结论
采用传统的近似计算公式推算竖圆曲线上点的设计高程和里程，存在着一定的误差，并且随着道路纵坡的增大而增大。
特别对于大纵坡又有超高横坡的外边线的竖曲线(有超高的外边线纵坡比中线纵坡更大)以及风景区和校区、别墅区等的竖曲线(纵坡常在10%左右)，若用近似方法计算，误差更大，而且没有勘测设计竖圆曲线的变坡点N ，直接影响路面施工精度和质量。
而采用本文介绍的方法计算，计算公式精确严密，不受坡度和半径大小的影响，方便迅速，又可计算和测设具有重要作用的竖曲线变坡点N 。
采用本方法具有较高的应用价值和施工实际指导意义。