第五章：竖曲线设计
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x 计算点桩号与竖曲线起点的桩号差。
(4) 竖曲线上任意点设计标高的计算 1)计算切线高程
H1 H0 (T x) i
式中： H 0 ——变坡点标高(m)； H1 ——计算点高程(m)；
i ——纵坡度。
利用该式可以直接计算直坡段上任意点的设计标高。 2)计算设计标高
H H1 y H ——设计标高(m)；
R
V2 127( F
)
G
式中各符号意义同前。 ⑵从保证纵面行车视距考虑：
凸形竖曲线半径过小，路面上凸直接影响行车视距，按规定的视距控 制即可推导出计算极限最小半径的公式。分两种情况：
① s ≤L，如图所示 由几何条件
hw
l
2 w
2R
hm
lm2 2R
将上述两式代入得：
s lw lm
s 2R ( hw hm )
G v 2 GV 2 F
g R 127R
则：
R V2 127( F ) G
式中：F－汽车转弯时受到的离心力（N）；
F / G －单位车重受到的离心力。 根据日本资料限制为 F / G =0.028，代入上式得：
V2
R 3.6
(m)
⑵从汽车夜间行驶前灯照射距离考虑 如下图所示，若照射距离小于要求的视距长度，则无法保证行 车安全。按此条件即可推导出此时凹形竖曲线的最小半径的计算 公式。
将 s 、 h 、 取值代入得：
R
s2
1.5 0.0349s
⑶从保证跨线桥下的视距考虑
为保证汽车穿过跨线桥时有足够的视距，也应对凹形竖 曲线最小半径加以限制。
综合分析以上三种情况后，技术标准以限制凹形竖曲线 离心力条件为依据，即可制定出凹形竖曲线极限最小半径 的规定值，如下表。
公路竖曲线最小半径和最小长度
""——当为凹形竖曲线时取“＋”，当为凸形竖曲线时取“－”
2. 竖曲线设计标准
竖曲线最小半径 ➢ 凹形竖曲线极限最小半径 ➢ 凸形竖曲线极限最小半径 ➢ 竖曲线的一般最小半径
竖曲线最小长度
凹形竖曲线极限最小半径 主要从以下三个方面计算分析确定。
➢ 限制离心力 ➢ 考虑夜间行车前灯照射的影响 ➢ 考虑在跨线桥下的视距
式中： hw 物高(m)，取 hw 0.10m; hm 目高(m)，取 hm 1.20m;
lw 竖曲线顶点A距物点的距离(m)；
lm -竖曲线顶点A距目点的距离(m)；
s－ 要求的行车视距(m)，按停车视距考虑； L－竖曲线长度（m）。
将 hw 、 hm 的值代入并整理得：
Rmin
s2 3.98
设汽车前灯高度为h，前车灯照射角为 ,由竖曲线计算公式
得：
BC s 2 2R
由图可知：
BC h s tg
两式联解得：
R
s2
2(h s tg )
(m)
式中： s －前灯照射距离(m)，按行车视距长度取值；
h －前灯高度(m)，取 h 0.75m ;
－前灯向上的照射角，取 1 。
x2
i1x
或
y
1 2R
x2
i1x
式中：ω——坡差 （％）；
Ｌ——竖曲线长度 （m）；
Ｒ——竖曲线半径 （m）。
(2) 竖曲线几何要素计算 竖曲线的几何要素主要有：竖曲线切线长T、曲线长L和外距E。
L R
TL
ET2
2
2R
(3) 竖曲线上任意点纵距 y 的计算
y x2 2R
式中： y 计算点纵距；
⑴从限制离心力不致过大考虑
汽车行驶在竖曲线上，由于离心力的作用，要产生失重（凸形竖曲线）
或增重（凹形竖曲线）。失重直接影响乘客的舒适感，增重则不仅影响乘
客的舒适感还对汽车的悬挂系统产生超载的影响。竖曲线半径的大小直接
影响离心力的大小，因此，必须首先从控制离心力不致过大来限制竖曲线
的极限最小半径。汽车在竖曲线上产生的离心力为：
2
/
d2y dx 2
(1)
(2)
式中 dy i , dx
d2y dx 2
1 k
, 代入上式 , 得
R k (1 i2 )3/ 2
因为 i 介于 i1 和 i2 之间，且 i1、i2 均很小，故 i2 可略去不计，
则 Rk
(3)
将（2）式和（3）式代入（1）式，得二次抛物线竖曲线基本
方程式为
y
2L
径（m） 一般最小值 6000 4500 3000 1500 700 400 200 竖曲线最小长度（m） 100 85 70 50 35 25 20
凸形竖曲线极限最小半径
主要从限制失重不致过大和保证纵面行车视距两个方面计 算分析确定。
⑴从失重不致过大考虑
与凹形竖曲线的限制条件和计算公式相同，即：
1. 竖曲线的计算
(1) 用二次抛物线作为竖曲线的基本方程式 二次抛物线一般方程为
y 1 x 2 ix 2k
i dy x i dx k
当x 0时,
i i1;
x L时,
i
L k i1
i2 ,
则Leabharlann Baidu
k L L
i2 i1
抛物线上任一点的曲率半径为
R
1
dy dx
2
3/
ω为正，变坡点在曲线下方，竖曲线开口向上，为凹形竖曲 线；ω为负，变坡点在曲线上方，竖曲线开口向下，为凸形 竖曲线。
各级道路在变坡点处均应设置竖曲线。 竖曲线的线形采用二次抛物线。由于在其应用范围内，圆
曲线与抛物线几乎没有差别，因此，竖曲线通常表示成圆 曲线的形式，用圆曲线半径R来表示竖曲线的曲率半径。
在才能和智慧不相上 下的人群中，你拥有 更高的热情，成功便 在更大程度上属于你
3.3 竖曲线设计
变坡点——纵断面上两相邻不同坡度线的交点。 竖曲线——为保证行车安全、舒适以及视距的需要，在变坡处
设置的纵向曲线。 相邻两坡度线的交角用坡度差“ω”表示，坡度角一般较小，
可近似地用两坡段坡度的代数差表示，即 i2 i1 。
(m)
②s>L
经推导：
R min
2s
3.98
2
（m）
s 式中：
要求的视距长度（m）；
—— 纵断面变坡处的坡度角。
竖曲线一般最小半径
竖曲线极限最小半径是缓和行车冲击和保证行车视 距所必需的竖曲线半径的最小值，该值只有在地形受限 制迫不得已时才采用。通常为了使行车有较好的舒适条 件，设计时多采用大于极限最小半径1.5～2.0倍的半径 值，此值即为竖曲线一般最小半径。倍数1.5～2.0，随 设计车速减小而取用较大值。
设计速度（km∕h） 120 100 80 60 40 30 20 凸形竖曲线半 极限最小值 11000 6500 3000 1400 450 250 100
径（m） 一般最小值 17000 10000 4500 2000 700 400 200 凹形竖曲线半 极限最小值 4000 3000 2000 1000 450 250 100
(4) 竖曲线上任意点设计标高的计算 1)计算切线高程
H1 H0 (T x) i
式中： H 0 ——变坡点标高(m)； H1 ——计算点高程(m)；
i ——纵坡度。
利用该式可以直接计算直坡段上任意点的设计标高。 2)计算设计标高
H H1 y H ——设计标高(m)；
R
V2 127( F
)
G
式中各符号意义同前。 ⑵从保证纵面行车视距考虑：
凸形竖曲线半径过小，路面上凸直接影响行车视距，按规定的视距控 制即可推导出计算极限最小半径的公式。分两种情况：
① s ≤L，如图所示 由几何条件
hw
l
2 w
2R
hm
lm2 2R
将上述两式代入得：
s lw lm
s 2R ( hw hm )
G v 2 GV 2 F
g R 127R
则：
R V2 127( F ) G
式中：F－汽车转弯时受到的离心力（N）；
F / G －单位车重受到的离心力。 根据日本资料限制为 F / G =0.028，代入上式得：
V2
R 3.6
(m)
⑵从汽车夜间行驶前灯照射距离考虑 如下图所示，若照射距离小于要求的视距长度，则无法保证行 车安全。按此条件即可推导出此时凹形竖曲线的最小半径的计算 公式。
将 s 、 h 、 取值代入得：
R
s2
1.5 0.0349s
⑶从保证跨线桥下的视距考虑
为保证汽车穿过跨线桥时有足够的视距，也应对凹形竖 曲线最小半径加以限制。
综合分析以上三种情况后，技术标准以限制凹形竖曲线 离心力条件为依据，即可制定出凹形竖曲线极限最小半径 的规定值，如下表。
公路竖曲线最小半径和最小长度
""——当为凹形竖曲线时取“＋”，当为凸形竖曲线时取“－”
2. 竖曲线设计标准
竖曲线最小半径 ➢ 凹形竖曲线极限最小半径 ➢ 凸形竖曲线极限最小半径 ➢ 竖曲线的一般最小半径
竖曲线最小长度
凹形竖曲线极限最小半径 主要从以下三个方面计算分析确定。
➢ 限制离心力 ➢ 考虑夜间行车前灯照射的影响 ➢ 考虑在跨线桥下的视距
式中： hw 物高(m)，取 hw 0.10m; hm 目高(m)，取 hm 1.20m;
lw 竖曲线顶点A距物点的距离(m)；
lm -竖曲线顶点A距目点的距离(m)；
s－ 要求的行车视距(m)，按停车视距考虑； L－竖曲线长度（m）。
将 hw 、 hm 的值代入并整理得：
Rmin
s2 3.98
设汽车前灯高度为h，前车灯照射角为 ,由竖曲线计算公式
得：
BC s 2 2R
由图可知：
BC h s tg
两式联解得：
R
s2
2(h s tg )
(m)
式中： s －前灯照射距离(m)，按行车视距长度取值；
h －前灯高度(m)，取 h 0.75m ;
－前灯向上的照射角，取 1 。
x2
i1x
或
y
1 2R
x2
i1x
式中：ω——坡差 （％）；
Ｌ——竖曲线长度 （m）；
Ｒ——竖曲线半径 （m）。
(2) 竖曲线几何要素计算 竖曲线的几何要素主要有：竖曲线切线长T、曲线长L和外距E。
L R
TL
ET2
2
2R
(3) 竖曲线上任意点纵距 y 的计算
y x2 2R
式中： y 计算点纵距；
⑴从限制离心力不致过大考虑
汽车行驶在竖曲线上，由于离心力的作用，要产生失重（凸形竖曲线）
或增重（凹形竖曲线）。失重直接影响乘客的舒适感，增重则不仅影响乘
客的舒适感还对汽车的悬挂系统产生超载的影响。竖曲线半径的大小直接
影响离心力的大小，因此，必须首先从控制离心力不致过大来限制竖曲线
的极限最小半径。汽车在竖曲线上产生的离心力为：
2
/
d2y dx 2
(1)
(2)
式中 dy i , dx
d2y dx 2
1 k
, 代入上式 , 得
R k (1 i2 )3/ 2
因为 i 介于 i1 和 i2 之间，且 i1、i2 均很小，故 i2 可略去不计，
则 Rk
(3)
将（2）式和（3）式代入（1）式，得二次抛物线竖曲线基本
方程式为
y
2L
径（m） 一般最小值 6000 4500 3000 1500 700 400 200 竖曲线最小长度（m） 100 85 70 50 35 25 20
凸形竖曲线极限最小半径
主要从限制失重不致过大和保证纵面行车视距两个方面计 算分析确定。
⑴从失重不致过大考虑
与凹形竖曲线的限制条件和计算公式相同，即：
1. 竖曲线的计算
(1) 用二次抛物线作为竖曲线的基本方程式 二次抛物线一般方程为
y 1 x 2 ix 2k
i dy x i dx k
当x 0时,
i i1;
x L时,
i
L k i1
i2 ,
则Leabharlann Baidu
k L L
i2 i1
抛物线上任一点的曲率半径为
R
1
dy dx
2
3/
ω为正，变坡点在曲线下方，竖曲线开口向上，为凹形竖曲 线；ω为负，变坡点在曲线上方，竖曲线开口向下，为凸形 竖曲线。
各级道路在变坡点处均应设置竖曲线。 竖曲线的线形采用二次抛物线。由于在其应用范围内，圆
曲线与抛物线几乎没有差别，因此，竖曲线通常表示成圆 曲线的形式，用圆曲线半径R来表示竖曲线的曲率半径。
在才能和智慧不相上 下的人群中，你拥有 更高的热情，成功便 在更大程度上属于你
3.3 竖曲线设计
变坡点——纵断面上两相邻不同坡度线的交点。 竖曲线——为保证行车安全、舒适以及视距的需要，在变坡处
设置的纵向曲线。 相邻两坡度线的交角用坡度差“ω”表示，坡度角一般较小，
可近似地用两坡段坡度的代数差表示，即 i2 i1 。
(m)
②s>L
经推导：
R min
2s
3.98
2
（m）
s 式中：
要求的视距长度（m）；
—— 纵断面变坡处的坡度角。
竖曲线一般最小半径
竖曲线极限最小半径是缓和行车冲击和保证行车视 距所必需的竖曲线半径的最小值，该值只有在地形受限 制迫不得已时才采用。通常为了使行车有较好的舒适条 件，设计时多采用大于极限最小半径1.5～2.0倍的半径 值，此值即为竖曲线一般最小半径。倍数1.5～2.0，随 设计车速减小而取用较大值。
设计速度（km∕h） 120 100 80 60 40 30 20 凸形竖曲线半 极限最小值 11000 6500 3000 1400 450 250 100
径（m） 一般最小值 17000 10000 4500 2000 700 400 200 凹形竖曲线半 极限最小值 4000 3000 2000 1000 450 250 100