2014-2015年福建省莆田八中高一上学期数学期中试卷和解析
【真题】15年福建省莆田一中高三(上)数学期中试卷含答案(文科)
2014-2015学年福建省莆田一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．（5分）已知=（﹣5，6），=（6，5），则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向2．（5分）设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={y|y=2x，x∈M}，则∁R（M∩N）集合（）A．（﹣2，4）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）3．（5分）已知函数f（x）=若直线y=m与函数f（x）的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．m∈R B．m＞1 C．m＞0 D．0＜m＜14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于（）A．﹣2 B．2 C．1 D．45．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a2＜（b+c）（c﹣b），则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形6．（5分）已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l⊂α，且m⊂β，那么下列命题中不正确的是（）A．“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件B．“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件C．“m∥α”是“l∥m”的充要条件D．“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件7．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或8．（5分）如图为函数y=sin（2x+φ）的图象，则φ的值可以为（）A．或B．C． D．9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④B．②③C．②④D．①②10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．11．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．12．（5分）已知y=f（x）是奇函数，且满足f（x+2）+2f（﹣x）=0，当x∈（0，2）时，，当x∈（﹣4，﹣2），f（x）的最大值为，则a=（）A．4 B．C．D．1二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）如果=1+mi（m∈R，i表示虚数单位），那么m=．14．（4分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于．15．（4分）数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，则数列{a n}的通项公式为．16．（4分）在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=，则AB+AC 的最大值为．三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）平面PBD⊥平面PAC．18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a2=5，a4+a6=22．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若f（x）=，b n=f（a n）（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知=（cosωx+sinωx，cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若函数f（x）=•，且f（x）的对称中心到f（x）对称轴的最近距离不小于．（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2，当ω取最大值时，f（A）=1，求△ABC的面积．20．（12分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，其中AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求几何体ABCD﹣A1C1D1的表面积；（2）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．21．（12分）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．22．（14分）已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．2014-2015学年福建省莆田一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．（5分）已知=（﹣5，6），=（6，5），则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【解答】解：∵=（﹣5，6），=（6，5），∴•=﹣5×6+6×5=0；∴⊥．故选：A．2．（5分）设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={y|y=2x，x∈M}，则∁R（M∩N）集合（）A．（﹣2，4）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）【解答】解：由x2﹣x﹣2＜0得，﹣1＜x＜2，则M={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），所以N={y|y=2x，x∈M}={y|﹣2＜y＜4}=（﹣2，4），则M∩N=（﹣1，2）∩（﹣2，4）=（﹣1，2），所以∁R（M∩N）=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），故选：C．3．（5分）已知函数f（x）=若直线y=m与函数f（x）的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．m∈R B．m＞1 C．m＞0 D．0＜m＜1【解答】解：分别画出函数f（x）=，和y=m的图象，∵要使f（x）的图象与y=m的图象有两个交点，如上图直线y=m应该在x轴与虚线之间，∴0＜m＜1，故选：D．4．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2，则a2等于（）A．﹣2 B．2 C．1 D．4【解答】解：n=1时，S1=2a1﹣2，∴a1=2，n=2时，S2=2a2﹣2，∴a2=a1+2=4．故选：D．5．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若a2＜（b+c）（c﹣b），则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形【解答】解：∵a2＜（b+c）（c﹣b），即：a2+b2＜c2∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC＞a2+b2，∴cosC＜0，即∠C为钝角故△ABC是钝角三角形故选：C．6．（5分）已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l⊂α，且m⊂β，那么下列命题中不正确的是（）A．“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件B．“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件C．“m∥α”是“l∥m”的充要条件D．“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件【解答】解：A．根据面面垂直的定义可知，“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，正确B．根据线面垂直的判定定理得“l⊥m”是“l⊥β”的必要不充分条件，正确C．若l∥m，则m∥α或m⊂α，则充分性不成立，若m∥α，则l与m平行，异面或相交，必要性不成立，故“l∥m”是“m∥α”的既不充分又不必要条件，故C错误．D．根据面面垂直的定义可知，“l⊥m”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件，正确．故选：C．7．（5分）各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或【解答】解：由题意设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3=a2+a1，∵a1≠0，∴q2﹣q﹣1=0，解得q=或q=（舍去）；∴==．故选：C．8．（5分）如图为函数y=sin（2x+φ）的图象，则φ的值可以为（）A．或B．C． D．【解答】解：由函数的图象，结合五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，故选：B．9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A．①④B．②③C．②④D．①②【解答】解：从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；故选：A．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．11．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．12．（5分）已知y=f（x）是奇函数，且满足f（x+2）+2f（﹣x）=0，当x∈（0，2）时，，当x∈（﹣4，﹣2），f（x）的最大值为，则a=（）A．4 B．C．D．1【解答】解：因为f（x）为奇函数，所以f（x+2）+2f（﹣x）=0即f（x+2）﹣2f（x）=0，则f（x+2）=2f（x），f（x+4）=2f（x+2），所以f（x）=f（x+2）=f（x+4），当x∈（﹣4，﹣2）时，（x+4）∈（0，2），此时f（x）=f（x+4）=[ln（x+4）﹣a（x+4）]，则f′（x）=（﹣a）=﹣，当﹣4＜x＜﹣4+时，f′（x）＞0，f（x）递增，当﹣4+＜x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）递减，所以当x=﹣4+时f（x）取得最大值﹣，即f（﹣4+）==﹣，解得a=1，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．13．（4分）如果=1+mi（m∈R，i表示虚数单位），那么m=1．【解答】解：由，且=1+mi，所以，m=1．故答案为1．14．（4分）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于9．【解答】解：由题意，求导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b∵在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故答案为：915．（4分）数列{a n}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，则数列{a n}的通项公式为a n=．【解答】解：当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n﹣1a n=，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2a n﹣1=，两式相减得3n﹣1a n==，则a n=，当n=1时，a1=满足a n=，综上a n=．故答案为：a n=16．（4分）在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=，则AB+AC的最大值为．【解答】解：∵在△ABC中，∠A=60°，点M为边AC的中点，BM=，∴在△ABM中，设∠AMB=θ，则∠ABM=120°﹣θ，0＜θ＜120°，由正弦定理得：====4，∴|AB|=4sinθ，|AM|=4sin（120°﹣θ），又点M为边AC的中点，∴|AC|=2|AM|=8sin（120°﹣θ），∴|AB|+|AC|=4sinθ+8sin（120°﹣θ）=4sinθ+8×cosθ﹣8×（﹣）sinθ=8sinθ+4cosθ=4sin（θ+φ），（其中tanφ=）．∴当sin（θ+φ）=1时，|AB|+|AC|取得最大值．∴|AB|+|AC|的最大值为4．故答案为：4．三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）平面PBD⊥平面PAC．【解答】证明：（1）∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，∵OM⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，∴OM∥平面PAB；（2）∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．18．（12分）已知等差数列{a n}满足：a2=5，a4+a6=22．{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若f（x）=，b n=f（a n）（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】（本小题满分13分）解．（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d∵a2=5，a4+a6=22，∴，…（2分）解得a1=3，d=2，…（4分）∴a n=2n+1，．…（6分）（Ⅱ）∵f（x）=，b n=f（a n），∴，…（7分）∵a n=2n+1，∴，∴=，…（9分）T n=b1+b2+b3+…+b n=（1﹣+﹣+…+﹣）…（11分）=（1﹣）=，所以数列{b n}的前n项和T n=．…（13分）19．（12分）已知=（cosωx+sinωx，cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若函数f（x）=•，且f（x）的对称中心到f（x）对称轴的最近距离不小于．（Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2，当ω取最大值时，f（A）=1，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=m•n==（3分）∵ω＞0，∴函数f（x）的周期，由题意知，即，又ω＞0，∴0＜ω≤1．故ω的取值范围是{ω|0＜ω≤1}（6分）（Ⅱ）由（I）知ω的最大值为1，∴．∵f（A）=1，∴．而，∴，∴．（9分）由余弦定理可知：，∴b2+c2﹣bc=1，又b+c=2．联立解得：或．∴．（13分）20．（12分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，其中AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求几何体ABCD﹣A1C1D1的表面积；（2）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵=，∴AA1=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分），设AC1的中点H，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴表面积S=3×8+4+2+6=36﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，∴QP∥A1D1，又∵A1D1∩D1Q=D1，∴C1D⊥平面A1PQD1，∴C1D⊥平面A1PQCD1且A1P⊂平面A1PQD1，∴A1P⊥C1D．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，∴，∴C1Q=1，又∵PQ∥BC，∴．∵四边形A 1PQD1为直角梯形，且高，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量P万件满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P万件还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【解答】解：（1）由题意知，该产品售价为万元，销售量为P，成本为（10+2P）+x万元，∴，∵（其中0≤x≤a，a为正常数），∴y=2×﹣10﹣2×（3﹣）﹣x=16﹣x﹣，∴（0≤x≤a），∴该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数为（0≤x≤a）；（2）由（1）可知，（0≤x≤a），∴，当且仅当时取等号，∵0≤x≤a，①当a≥1时，x=1时，y取得最大值为13，∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；②当a＜1时，，∴，解得﹣3＜x＜1，∴在（﹣3，1）上单调递增，∴在[0，a]上单调递增，∴在x=a时，函数有最大值，∴促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综合①②可得，当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，当a＜1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．22．（14分）已知函数（其中常数a，b∈R），．（Ⅰ）当a=1时，若函数f（x）是奇函数，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若a≠0，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在满足条件的实数a，使得对任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，因为函数f（x）是奇函数，∴对x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，得，∴，∴，得，令f'（x）=0，得x2=1，∴x=±1，经检验x=±1是函数f（x）的极值点．（Ⅱ）因为，∴，令f'（x）＞0⇒﹣ax2﹣2bx+a＞0，得ax2+2bx﹣a＜0，①当a＞0时，方程ax2+2bx﹣a=0的判别式△=4b2+4a2＞0，两根，单调递增区间为，②当a＜0时，单调递增区间为和．（Ⅲ）因为，当x∈[0，a]时，令g'（x）=0，得，其中．当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表：∴函数g（x）在[0，a]上的最小值为g（0）与g（a）中的较小者．又g（0）=0，，∴h（a）=g（a），∴，b=0时，由函数是奇函数，且，∴x＞0时，，当x=1时取得最大值；当x=0时，f（0）=0；当x＜0时，，∴函数f（x ）的最小值为，要使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立，则f（x）最小＞h（a），∴，即不等式在上有解，a=π符合上述不等式，∴存在满足条件的实数a=π，使对任意x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
福建省莆田市第八中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
福建省莆田市第八中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数2()[]f x x =，下列说法中正确的是（ ）A ．()()f x f x -=B ．()f x 在[1,1]-上的值域是{}0,1C ．()f x 在(0,)+¥上是增函数D ．()2R 0x f f x x éù"Î-=ëû，4．A【分析】由一次函数和二次函数的性质，分别求()f x 在两段定义区间内的值域，取并集得()f x 的值域.【详解】由二次函数性质可知，当[]1,4x Î时，()242f x x x =-+-在上[]1,2x Î单调递增，在[]2,4x Î上单调递减，且()22f =，()11f =，()42f =-，所以()[]2422,2f x x x =-+-Î-；由一次函数性质可知，当[)0,1x Î时，()43f x x =-单调递增，所以()[)433,1f x x =-Î-，综上：函数()f x 的值域为[]3,2-.故选：A.5．D【分析】根据偶函数的性质和函数的单调性求解.【详解】由于函数()f x 为偶函数，故()()()()55,22f f f f =-=-，且()f x 在(],0-¥上单调递减，所以()()()521f f f ->->-，即()()()521f f f >>-，故选:D ．6．D【分析】求出0x <时，()0f x <、()0f x >和()0f x =的解，再由奇函数性质得出0x ³时，()0f x <、()0f x >和()0f x =的解，然后分类讨论解不等式()0xf x ³可得．【详解】当0x <时，()f x =2x --，<2x -时，()0f x >，20x -<<时，()0f x <，。
【真题】15年福建省莆田一中高三(上)数学期中试卷含答案(理科)
2014-2015学年福建省莆田一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x≤1或x≥4}．若全集U=R，则A∩∁U B=（）A．{x|1＜x≤3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1≤x＜3}D．{x|x≤1或x≥3}2．（5分）若z=1﹣i（i为虚数单位），则z（z﹣1）等于（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2i D．﹣2i3．（5分）下列函数f（x）中，满足“对定义域内的任意一个x都有f（﹣x）+f （x）=0，且在区间（0，+∞）上恒有f′（x）＞0”的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=x3D．f（x）=e x4．（5分）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（）A．在区间（，1），（l，e）内均有零点B．在区间（，1），（l，e）内均无零点C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点5．（5分）给出下列结论，其中错误的是（）A．若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0B．∀x∈R，2x＞x2C．“若am2≤bm2，则a＜b”是假命题D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件6．（5分）若函数f（x）与函数g（x）=2x互为反函数，且f（a）+f（b）=4，则+的最小值为（）7．（5分）给出如下性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在（﹣，）上是增函数．则同时具有上述性质的一个函数是（）A．y=sin（+）B．y=cos（﹣）C．y=sin（2x﹣）D．y=cos （2x+）8．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，5]C．[3，+∞）D．（0，5]9．（5分）已知a是非负实数，则函数f（x）=﹣2的图象不可能是（）A．B．C．D．10．（5分）一次研究性课堂上，老师给出了函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：①函数f（x）的值域为（﹣1，1）；②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）③若规定f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n（x）），则对任意n∈N*﹣1恒成立．你认为上述三个命题中正确的个数是（）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．（4分）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为．12．（4分）计算定积分（x2+sinx）dx=．13．（4分）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．14．（4分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则．类比这个结论可知：四面体A﹣BCD的四个面分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体A﹣BCD的体积为V，则R=．15．（4分）已知数列{a n}的通项公式为a n=sin+ncos，其前n项的和为S n，则S3n=．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.）16．（13分）已知在等差数列{a n}中，a1=2，a4=11，在等比数列{b n}中，b1=，b4=a11，（Ⅰ）求等比数列{b n}的通项公式b n；（Ⅱ）求证数列{b n+1}不可能是等比数列．17．（13分）已知函数f（x）=（其中|ϕ|＜）在区间（0，]上的图象如图所示，则：（Ⅰ）求f（x）的在区间（0，]上的解析式；（Ⅱ）若f（x）=m恒有实数解，求实数m的取值范围．18．（13分）已知向量=（1+sin2x，sinx﹣cosx），=（1，sinx+cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边，若f（）=2，a=2，求△ABC面积的最大值．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣2ax，其中a∈R．（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=ln（x+）﹣ax，其中a∈R且a≠0（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线y=ax的图象恒在函数f（x）图象的上方，求a的取值范围；（Ⅲ）若存在﹣＜x1＜0，x2＞0，使得f（x1）=f（x2）=0，求证：x1+x2＞0．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）二阶矩阵M对应的变换将点（1，﹣1）与（﹣2，1）分别变换成点（﹣1，﹣1）与点（0，﹣2），（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x﹣2y=4，求直线l的方程．选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．选修4-5：不等式选讲23．已知不等式x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}（1）求实数a，b的值；（2）若0＜x＜1，f（x）=，求f（x）的最小值．2014-2015学年福建省莆田一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x≤1或x≥4}．若全集U=R，则A∩∁U B=（）A．{x|1＜x≤3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1≤x＜3}D．{x|x≤1或x≥3}【解答】解：∵A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|x≤1或x≥4}，且全集U=R，∴∁U B={x|1＜x＜4}，则A∩∁U B={x|1＜x＜3}，故选：B．2．（5分）若z=1﹣i（i为虚数单位），则z（z﹣1）等于（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．2i D．﹣2i【解答】解：∵z=1﹣i，∴z（z﹣1）=（1﹣i）（﹣i）=﹣1﹣i，故选：A．3．（5分）下列函数f（x）中，满足“对定义域内的任意一个x都有f（﹣x）+f （x）=0，且在区间（0，+∞）上恒有f′（x）＞0”的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2C．f（x）=x3D．f（x）=e x【解答】解：由题意知，f（x）为奇函数，且在单调区间上为增函数，选项A：在单调区间上单调递减，选项B：偶函数，选项D：非奇非偶函数，故选：C．4．（5分）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（）A．在区间（，1），（l，e）内均有零点B．在区间（，1），（l，e）内均无零点C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点【解答】解：由题得，令f′（x）＞0得x＞3；令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，在点x=3处有极小值1﹣ln3＜0；又，，．故选：C．5．（5分）给出下列结论，其中错误的是（）A．若命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0B．∀x∈R，2x＞x2C．“若am2≤bm2，则a＜b”是假命题D．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件【解答】解：A．根据特称命题的否定是全称命题知A正确；B．x=3时，23＜32，∴B错误；C．若am2≤bm2，当m2=0时a，b取任意值，即得不到a＜b，∴该命题是假命题，即C正确；D．a＞1，b＞1时，能得到ab＞1，所以“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件，即D正确；∴结论错误的是B．故选：B．6．（5分）若函数f（x）与函数g（x）=2x互为反函数，且f（a）+f（b）=4，则+的最小值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）与函数g（x）=2x互为反函数，∴函数f（x）的解析式为f（x）=log 2x，∵f（a）+f（b）=4，∴log2a+log2b=log2ab=4，∴ab=24=16，∴+≥2=当且仅当=即a=b=4时取等号，∴+的最小值为故选：B．7．（5分）给出如下性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在（﹣，）上是增函数．则同时具有上述性质的一个函数是（）A．y=sin（+）B．y=cos（﹣）C．y=sin（2x﹣）D．y=cos （2x+）【解答】解：A，y=sin（+）的最小正周期T==4π，故不满足；B，y=cos（﹣）的最小正周期T==4π，故不满足；C，令y=f（x）=sin（2x﹣），则f（）=sin（﹣）=sin=1，为最大值，∴f（x）=sin（2x﹣）的图象关于直线x=对称，且其周期T==π，同时具有性质①、②，符号题意；由2k≤2x﹣≤2k，k∈Z解得：x∈[k]，k∈Z，从而当k=1时，有函数f（x）=sin（2x﹣）在（﹣，）上是增函数．D，y=cos（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z可解得其单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故不符合③；故选：C．8．（5分）已知x，y满足，且x2+y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．[2，5]C．[3，+∞）D．（0，5]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离d=，此时d2=8，由，解得，即O在直线x+y﹣4=0的垂足为B（2，2），则（2，2）满足不等式ax﹣y﹣2≤0即可．即2a﹣2﹣2≤0，解得a≤2，即正实数a的取值范围是0＜a≤2，故选：A．9．（5分）已知a是非负实数，则函数f（x）=﹣2的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由1＞＞0，∴函数f（x）=﹣2＜0，函数的图象在x轴下方，∴B正确．a=0时D正确．由a是实数，函数f（x）=﹣2∴当a→0时，y→﹣1，当a≠0时，由无限的思想可知，当x→+∞时，y→﹣2，当x→﹣∞时，y→﹣1，A正确；∴满足题目要求的图象，A、B、D．故选：C．10．（5分）一次研究性课堂上，老师给出了函数，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：①函数f（x）的值域为（﹣1，1）；②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）③若规定f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n（x）），则对任意n∈N*﹣1恒成立．你认为上述三个命题中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：∵f（﹣x）﹣f（x）∴f（x）为奇函数∵∵f（x）为奇函数，∴当x＜0是，f（x）∈（﹣1，0）总之，f（x）∈（﹣1，1）故甲对当为增函数，∵f（x）为奇函数∴当x＜0是，f（x）∈（﹣1，0）为增函数所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数故当x1≠x2时，则一定有f（x1）≠f（x2）故乙对若规定f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n（x）），﹣1则当n=1时，，满足设n=k时，满足（x）=f（f K（x））==当n=k+1时，f K+1即对任意n∈N*恒成立故丙对故选：D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．（4分）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为2x﹣y+1=0．【解答】解：y′=3x2﹣1，令x=1，得切线斜率2，所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1），即2x﹣y+1=0．故答案为：2x﹣y+1=0．12．（4分）计算定积分（x2+sinx）dx=．【解答】解：由题意，定积分===．故答案为：．13．（4分）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为．【解答】解：根据题意设三角形的三边长分别为a，a，2a，∵2a＞a＞a，∴2a所对的角为最大角，设为θ，则根据余弦定理得：cosθ==﹣．故答案为：﹣14．（4分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则．类比这个结论可知：四面体A﹣BCD的四个面分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体A﹣BCD的体积为V，则R=．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为则R=；故答案为：．15．（4分）已知数列{a n}的通项公式为a n=sin+ncos，其前n项的和为S n，则S3n=．【解答】解：∵a n=sin+ncos，又f（n）=sin+cos，是以T==3的周期函数，∴a1+a2+a3=+0+3×1=，a4+a5+a6=+5×（﹣）+0+6×1=，…∴s3n=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）=．故答案为．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.请按照题目顺序在第Ⅱ卷各个题目的答题区域内作答.）16．（13分）已知在等差数列{a n}中，a1=2，a4=11，在等比数列{b n}中，b1=，b4=a11，（Ⅰ）求等比数列{b n}的通项公式b n；（Ⅱ）求证数列{b n+1}不可能是等比数列．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则∵a1=2，a4=11，∴d==3，∴a n=a1+（n﹣1）d=3n﹣1，∴b1==4，b4=32∴q3=8即q=2∴b n=b1q n﹣1=4×2n﹣1=2n+1（6分）（Ⅱ）若{b n+1}是等比数列，则b1+1，b2+1，b3+1是等比数列，由（Ⅰ）可得b1=4，b2=8，b3=16，显然{b n+1}的前3项依次为5，9，17，由于5×17=85，92=81∴b1+1，b2+1，b3+1不是等比数列，∴数列{b n+1}不可能是等比数列．（13分）17．（13分）已知函数f（x）=（其中|ϕ|＜）在区间（0，]上的图象如图所示，则：（Ⅰ）求f（x）的在区间（0，]上的解析式；（Ⅱ）若f（x）=m恒有实数解，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由图象知A=2，T=4（）=4π，∴ω==，∴Φ）由图象知：（，2）是五点法作图中的第二点，∴×+ϕ=即ϕ=，∴f（x）=2sin（x+），x∈（0，]．（Ⅱ）方程f（x）=m恒有实数解⇔m∈{f（x）|x∈[﹣4，]}，①当x∈（0，]时，由图象可知f（x）∈[0，2]，②当x∈[﹣4，0]时，f（x）=x2+4x+1=（x+2）2﹣3，∴f（x）min=f（﹣2）=﹣3，f（x）max=f（﹣4）=f（0）=1，∴此时f（x）∈[﹣3，1]，综上所述，函数f（x）的值域为[﹣3，2]，∴f（x）=m恒有实数解时，实数m的取值范围为[﹣3，2]．解法二：方程f（x）=m恒有实数解⇔m∈{f（x）|x∈[﹣4，]}，在同一坐标系中作出函数f（x）在x∈[﹣4，0]上的图象如下，由图象可知函数f（x）的值域为[﹣3，2]，∴f（x）=m恒有实数解时，实数m的取值范围为[﹣3，2]．18．（13分）已知向量=（1+sin2x，sinx﹣cosx），=（1，sinx+cosx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对边，若f（）=2，a=2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵=（1+sin2x，sinx﹣cosx），=（1，sinx+cosx），∴f（x）=•=1+sin2x+sin2x﹣cos2x，=1+sin2x﹣cos2x，=1+sin（2x﹣），∴当2x﹣=2kπ+即x=+kπ，k∈Z时，函数取得最大值1+．（Ⅱ）由（I）知f（）=2时，sin（A﹣）=，∴A﹣=2kπ+或A﹣=2kπ+，即A=+2kπ或A=π+2kπ，k∈Z，∵A是三角形的一个内角，∴A=，即△ABC是直角三角形．∵a=2，∴b2+c2=4，=bc≤=1（当且仅当b=c=时，取得最大值），∴S△ABC∴△ABC面积的最大值为1．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣2ax，其中a∈R．（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得f′（x）=2x2﹣2ax﹣2a．因为x=1是函数f（x）的极值点，所以f′（1）=2﹣2a﹣2a=0，解得．经检验x=1为函数f（x）的极值点，所以．（Ⅱ）∵f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，∴f'（x）=2x2﹣2ax﹣2a≥0在区间（2，+∞）上恒成立，∴a≤对区间x∈（2，+∞）恒成立，令g（x）=，则g'（x）==∴当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0，有g（x）=＞g（2）=，∴a的取值范围为（﹣∞，]．20．（14分）已知函数f（x）=ln（x+）﹣ax，其中a∈R且a≠0（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线y=ax的图象恒在函数f（x）图象的上方，求a的取值范围；（Ⅲ）若存在﹣＜x1＜0，x2＞0，使得f（x1）=f（x2）=0，求证：x1+x2＞0．【解答】解：（I）f（x）的定义域为．其导数，①当a＜0时，f'（x）＞0，函数在上是增函数；②当a＞0时，在区间上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0．∴f（x）在上是增函数，在（0，+∞）是减函数．（II）当a＜0时，取，则，不合题意．当a＞0时令h（x）=ax﹣f（x），则，问题化为求h（x）＞0恒成立时a的取值范围．由于，∴在区间上，h'（x）＜0；在区间上，h'（x）＞0．∴h（x）的最小值为，所以只需即，∴，∴，（Ⅲ）由于当a＜0时，函数在上是增函数，不满足题意，所以a＞0构造函数：g（x）=f（﹣x）﹣f（x），（）∴，则g′（x）=﹣+2a=+2a，∵，∴0＜x2，0＜a2x2＜1，﹣1＜a2x2﹣1＜0，＜﹣2a，则+2a＜﹣2a+2a=0，即g′（x）＜0，∴函数g（x）在区间上为减函数．∵，∴g（x1）＞g（0）=0，于是f（﹣x1）﹣f（x1）＞0，又f（x1）=0，f（﹣x1）＞0=f（x2），由f（x）在（0，+∞）上为减函数可知x2＞﹣x1，即x1+x2＞0．选修4-2：矩阵与变换21．（7分）二阶矩阵M对应的变换将点（1，﹣1）与（﹣2，1）分别变换成点（﹣1，﹣1）与点（0，﹣2），（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x﹣2y=4，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设矩阵M=，则：=，=，即，解得∴M=．（Ⅱ）设（x，y）经M的变换作用后变为（x'，y'），则：又∵x'﹣2y'=4，∴（x+2y）﹣2（3x+4y）=4，∴5x+6y+4=0．即直线l的方程为：5x+6y+4=0．选修4-4：坐标系与参数方程22．（7分）已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：．（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1，，即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），得⊙C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（Ⅱ）圆心C到直线l的距离，所以直线l和⊙C相交．选修4-5：不等式选讲23．已知不等式x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}（1）求实数a，b的值；（2）若0＜x＜1，f（x）=，求f（x）的最小值．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴实数a，b的值分别为1，4；（2）由（1）知f（x）=+∵0＜x＜1，∴0＜1﹣x＜1，∴＞0，＞0，∴f（x）=+=（+）[x+（1﹣x）]=5++≥5+2=9当且仅当=即x=时，等号成立．∴f（x）的最小值为9．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
高一数学月考试题带答案-莆田市第八中学2015届高一上学期第一次月考
福建省莆田市第八中学2015届高一上学期第一次月考数学试题一．选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符是合题目要求的．) 1．已知全集(}.7,5,3,1{},6,4,2{},7.6,5,4,3,2,1{ A B A U 则===B C U ）等于( ) A ．{2，4，6} B ．{1，3，5} C ．{2，4，5} D ．{2，5} 2．计算的结果是（ ）．AB ．C D ．3．已知集合}01|{2=-=x x A ，则下列式子表示正确的有（ ） ①A ∈1 ②A ∈-}1{ ③A ⊆φ ④A ⊆-}1,1{A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列四组函数，表示同一函数的是 （ ）A. f (x )＝, g (x )＝xB. f (x )＝x , g (x )＝C. f (x )＝, g (x )＝D. f (x )＝|x ＋1|, g (x )＝5、方程组 11x y x y +=-=-的解集是 ( )A .{x =0,y =1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x ,y )|x =0或y =1}6．设集合，，给出下列四个图形，其中能表示以集合为定义域，为值域的函数关系的是（ ）7．下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）122[(]-2x xx 242-x 22-+x x ⎩⎨⎧-<---≥+1111x x x x {}22≤≤-=x x M {}20≤≤=y y N M NA ． y =3﹣xB ． y =x 2+1C ．D ． y =﹣|x |8．函数是定义域为R 的奇函数，当时，，则当时，的表达式为 （ ） A ． B ． C ． D ．9、下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。
福建省莆田八中2015-2016学年高一(上)第二次月考数学试卷(精品解析版)
2015-2016学年福建省莆田八中高一（上）第二次月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（）A．AB⊂αB．AB⊄αC．由线段AB的长短而定D．以上都不对2．设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是（）A．B．πC．D．3．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能4．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．5．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是（）A．4π+24B．4π+32C．9πD．12π6．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A．7B．6C．5D．37．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°的等腰三角形D．其他等腰三角形8．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β9．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（）A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛11．如图，设A是棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论，其中错误的是（）A．此多面体的表面积为a2B．体对角线AC1垂直于截面C．截面平行于平面CB1D1D．有10个顶点12．如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有DE⊥平面A′GFC．三棱锥A′﹣FED的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．直观图（如图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标中四边形ABCD为，面积为cm2．14．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，这个长方体的外接球的表面积是．15．已知直线b∥平面α，平面α∥平面β，则直线b与β的位置关系为．16．如图，设正三棱锥P﹣ABC的侧棱长为l，∠APB=30°，E，F分别是BP，CP上的点，则△AEF周长的最小值为．三．解答题（本大题共6小题，总分74分）17．四棱锥P﹣ABCD的直观图与三视图如图，PC⊥面ABCD（1）画出四棱锥P﹣ABCD的侧视图（标注长度）（2）求三棱锥A﹣PBD的体积．18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．19．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．（1）求异面直线AD1与BD所成的角（2）求证：C1O∥面AB1D1．20．如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面．AA1是圆柱的一条母线，已知AB=4，AC=2，AA1=3．（1）求圆柱的表面积．（2）求证：BA1⊥AC．21．如图，在底半径为5，高为10的圆锥中内接一个圆柱，（1）写出圆柱的高h与圆柱的底面半径r的关系式（2）当内接圆柱的底面半径为何值时，圆柱的表面积有最大值，最大值是多少？22．如图，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形，（1）证明EH∥平面BCD（2）求证：AB∥平面EFGH，（3）若AB=6，CD=9，求四边形EFGH周长的取值范围．2015-2016学年福建省莆田八中高一（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（）A．AB⊂αB．AB⊄αC．由线段AB的长短而定D．以上都不对【分析】线段AB在平面α内，则直线AB上所有的点都在平面α内，从而即可判断直线AB与平面α的位置关系．【解答】解：∵线段AB在平面α内，∴直线AB上所有的点都在平面α内，∴直线AB与平面α的位置关系：直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α故选A．【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．2．设正方体的表面积为24，那么其内切球的体积是（）A．B．πC．D．【分析】由已知中正方体的表面积为24，我们可以求出正方体的棱长，根据正方体的内切球直径等于正方体的棱长，我们可以求出球的半径，进而得到答案．【解答】解：若正方体的表面积为24，则正方体的棱长为2则内切球的半径为1则内切球的体积是故选A【点评】本题考查的知识点是正方体的体积，球的体积，其中根据正方体的内切球直径等于正方体的棱长，求出球的半径，是解答本题的关键．3．垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．【解答】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．4．棱长都是1的三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【分析】棱长都是1的三棱锥，四个面是全等的正三角形，求出一个面积即可求得结果．【解答】解：因为四个面是全等的正三角形，则．故选A【点评】本题考查棱锥的面积，是基础题．5．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是（）A．4π+24B．4π+32C．9πD．12π【分析】首先由三视图还原成原来的几何体，再根据边长关系求表面积【解答】解：由三视图可知此几何体是一个简单的组合体：上面一个半径为1球，下面一个底面边长为2高为3正四棱柱∴球的表面积为4π，正三棱柱的表面积为2×2×2+4×2×3=32∴原几何体的表面积为4π+32故选B【点评】本题考查由三视图求几何体的表面积，须能由三视图还原成原几何体并能找准长度关系，须有较强的空间立体感．属简单题6．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A．7B．6C．5D．3【分析】设出上底面半径为r，利用圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，求出上底面半径，即可．【解答】解：设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，所以S侧面积=π（r+3r）l=84π，r=7故选A【点评】本题是基础题，考查圆台的侧面积公式，考查计算能力，送分题．7．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°的等腰三角形D．其他等腰三角形【分析】圆锥的母线长就是展开半圆的半径，根据这个条件就可以知道圆锥的母线长是圆锥底面圆半径的两倍，推出结论．【解答】解：圆锥的母线长就是展开半圆的半径，半圆的弧长为aπ就是圆锥的底面周长，所以圆锥的底面直径为a，圆锥的轴截面是等边三角形．故选A【点评】本题考查圆锥的结构特征，考查侧面展开图等知识，考查计算能力，是基础题．8．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．【点评】本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．9．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（）A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°【分析】将无盖正方体纸盒还原后，点B与点D重合，由此能求出结果．【解答】解：如图，将无盖正方体纸盒还原后，点B与点D重合，此时AB与CD相交，且AB与CD的夹角为60°．故选：D．【点评】本题考查两直线位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，解得r=，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．11．如图，设A是棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论，其中错误的是（）A．此多面体的表面积为a2B．体对角线AC1垂直于截面C．截面平行于平面CB1D1D．有10个顶点【分析】分别求出所得多面体的表面积，顶点个数，并判断截面与体对角线AC1及平面CB1D1的位置关系，可得答案．【解答】解：棱长为a的正方体按题意所截得的多面体的表面积S==，故A错误；根据正方体的几何特征可得：截面平行于平面CB1D1，故C正确；由体对角线AC1垂直于平面CB1D1，可得体对角线AC1垂直于截面，故B正确；截面切除了一个A顶点，产生了三个顶点，故所得多面体有10个顶点，故D正确；故选：A．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了正方体的几何特征，多面体的表面积运算，难度中档．12．如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有DE⊥平面A′GFC．三棱锥A′﹣FED的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直【分析】由△ABC为正三角形可探讨过A'作面ABC的垂线的垂足的位置在AF上，从而可以得到A，B，C正确，通过举反例否定D，即可得答案．【解答】解：过A′作A'H⊥面ABC，垂足为H，∵△ABC为正三角形且中线AF与中位线DE相交∴AG⊥DE，A′G⊥DE，又∵AG∩A′G=G∴DE⊥面A′GA，∴H在AF上，故恒有平面A′GF⊥平面BCED，故A，B对．S三棱锥A′﹣FED=S△EFD A′H，∵底面面积是个定值，∴当A′H为A′G时，三棱锥的面积最大，故C对；在△A′ED是△AED绕DE旋转的过程中异面直线A′E与BD可能互相垂直，故D不对故选：D．【点评】本题主要考查了命题的真假判断与应用，考查空间中点，线，面的位置关系，以及线面，面面垂直的判断和性质，同时也考查了异面直线所成角，是个基础题二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．直观图（如图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标中四边形ABCD为矩形，面积为8cm2．【分析】由斜二测规则知：A′C′分别在x′轴和y′轴上，故在xoy坐标中AC分别在x轴和y轴上，且OA=2，0C=4，即可的答案．【解答】解：由斜二测规则知：A′C′分别在x′轴和y′轴上，故在xoy坐标中AC分别在x轴和y轴上，且OA=2，0C=4，由平行性不变找出对应的B点，可以得到：在xoy坐标中四边形ABCD为矩形，且面积为8故答案为：矩形；8【点评】本题考查平面图形的直观图的斜二测画法及面积关系，考查作图能力．14．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，这个长方体的外接球的表面积是6π．【分析】根据题意建立方程组，解出长方体的长、宽、高分别为，1，从而算出长方体的对角线长l=，可得外接球的直径，利用球的表面积公式即可算出长方体外接球的表面积．【解答】解：设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，∵长方体共顶点的三个面的面积分别是、、，∴，解之得x=，y=，z=1，可得长方体的对角线长l=．设长方体外接球的半径为R，则2R=l=，可得R=，∴长方体外接球的表面积是S=4πR2=6π．故答案为：6π．【点评】本题给出长方体共顶点的三个面的面积，求外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、矩形面积公式与球的表面积计算等知识，属于基础题．15．已知直线b∥平面α，平面α∥平面β，则直线b与β的位置关系为平行或在平面内．【分析】根据平面与平面平行的性质进行判定，以及直线与平面位置关系的定义进行判定即可．【解答】解：因为平面α∥平面β，而直线b∥平面α则当b在平面β内，原命题成立，若b不在平面β内，则b一定与平面β平行；故答案为：平行或在平面内【点评】本题主要考查了面面平行的性质，以及空间中直线与平面之间的位置关系，同时考查了空间想象能力，属于基础题．16．如图，设正三棱锥P﹣ABC的侧棱长为l，∠APB=30°，E，F分别是BP，CP上的点，则△AEF周长的最小值为．【分析】作出棱锥的展开图，利用数形结合思想能求出△AEF周长的最小值．【解答】解：作出棱锥的展开图．△AEF的周长即为AE、EF、FA三者的和．从图中可见：为使三角形AEF的周长的值最小，只需让A、E、F、A'四点共线即可（形成图中蓝线形状）根据题中给出的条件知：∠APB=∠BPC=∠CPA'=30°，∴∠APA′=90°，AA′==．∴△AEF周长的最小值为l．【点评】本题考查三角形周长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．三．解答题（本大题共6小题，总分74分）17．四棱锥P﹣ABCD的直观图与三视图如图，PC⊥面ABCD（1）画出四棱锥P﹣ABCD的侧视图（标注长度）（2）求三棱锥A﹣PBD的体积．【分析】（1）四棱锥的左视图为棱锥的三角形PCB；（2）以P为顶点，以ABD为底面计算棱锥的体积．【解答】解：（1）四棱锥的侧视图如图所示：（2）V A﹣PBD=V P﹣ABD=S△ABD PC=．【点评】本题考查了棱锥的结构特征和三视图，棱锥的体积计算，属于基础题．18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=，AD=2，求四边形绕AD旋转一周所围成几何体的表面积及体积．【分析】旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积．求出圆台体积减去圆锥体积，即可得到几何体的体积．【解答】解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如右图：S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1===．体积V=V圆台﹣V圆锥=[25π++4π]×4﹣×2π×2×2=×39π×4﹣×8π=．所求表面积为：，体积为：．【点评】本题是基础题，考查旋转体的表面积与体积，转化思想的应用，计算能力的考查，都是为本题设置的障碍，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据．19．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．（1）求异面直线AD1与BD所成的角（2）求证：C1O∥面AB1D1．【分析】（1）由BD∥B1D1，得∠AD1B1是异面直线AD1与BD所成的角，由此能求出异面直线AD1与BD所成的角．（2）连结A1C1，交B1D1于O1，连结AO1，由已知推导出四边形AOC1O1是平行四边形，由此能证明C1O∥面AB1D1．【解答】解：（1）∵BD∥B1D1，∴∠AD1B1是异面直线AD1与BD所成的角，∵AD1=D1B1=AB1，∴∠AD1B1=60°，∴异面直线AD1与BD所成的角为60°．证明：（2）连结A1C1，交B1D1于O1，连结AO1，∵，∴四边形AOC1O1是平行四边形，∴C1O∥O1A，∵C1O⊄面AB1D1，O1A⊂面AB1D1，∴C1O∥面AB1D1．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面．AA1是圆柱的一条母线，已知AB=4，AC=2，AA1=3．（1）求圆柱的表面积．（2）求证：BA1⊥AC．【分析】（1）由已知求出圆柱底面圆半径r，由此能求出圆柱的表面积．（2）推导出AC⊥AA1，AB⊥AC，从而AC⊥平面ABA1，由此能证明BA1⊥AC．【解答】解：（1）∵四边形BCC1B1是圆柱的轴截面．AA1是圆柱的一条母线，AB=4，AC=2，AA1=3．∴r===，∴圆柱的表面积S=2πr×AA1+2πr2=2π+12π．证明：（2）∵AA1是圆柱的一条母线，∴AA1⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴AC⊥AA1，∵四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，∴AB⊥AC，∵AB∩AA1=A，∴AC⊥平面ABA1，∵BA1⊂平面ABA1，∴BA1⊥AC．【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查异面直线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．如图，在底半径为5，高为10的圆锥中内接一个圆柱，（1）写出圆柱的高h与圆柱的底面半径r的关系式（2）当内接圆柱的底面半径为何值时，圆柱的表面积有最大值，最大值是多少？【分析】（1）设圆锥的高与圆柱的下底交点为M，与圆柱的上底交点为O，过O作圆锥底面的平行线OA，交圆锥于A，过M作OA的平行线MN，交圆锥于N，由题意△POA∽△PMN，由此能求出结果．（2）圆柱的表面积S=πr2h=πr2（10﹣2r）=10πr2﹣2πr3，0＜r＜5，由此利用导数性质能求出圆柱的表面积的最大值及相应的r的求法．【解答】解：（1）设圆锥的高与圆柱的下底交点为M，与圆柱的上底交点为O，过O作圆锥底面的平行线OA，交圆锥于A，过M作OA的平行线MN，交圆锥于N，由题意△POA∽△PMN，∴，整理，得h=10﹣2r．圆柱的表面积S=πr2h=πr2（10﹣2r）=10πr2﹣2πr3，0＜r＜5，S′=20πr﹣6πr2，由S′=0，得r=，当0＜r＜时，S′＞0；当时，S′＜0，∴r=时，圆柱的表面积有最大值，最大值为S max=10π×﹣2=．【点评】本题考查圆柱的高与圆柱的底面半径的关系式的求法，考查当内接圆柱的底面半径为何值时，圆柱的表面积有最大值，最大值是多少的求法，是中档题，解题时要注意导数性质的合理运用．22．如图，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形，（1）证明EH∥平面BCD（2）求证：AB∥平面EFGH，（3）若AB=6，CD=9，求四边形EFGH周长的取值范围．【分析】（1）运用平行四边形的性质和线面平行的判定定理，即可得证；（2）运用平行四边形的性质和线面平行的判定定理，可得EF∥平面ABD，再由线面平行的性质定理，可得EF∥AB，由线面平行的判定定理，即可得证；（3）设EH=x，EF=y，运用平行线分线段成比例，可得+=1，即有y=6（1﹣），且0＜x＜9，可得四边形EFGH的周长为l=2（x+y）=2[x+6（1﹣）]=12+，即可得到所求范围．【解答】解：（1）证明：∵截面EFGH是平行四边形，∴EH∥GF，∵EH⊄平面BCD，FG⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD；（2）∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG；∵EF⊄平面ABD，HG⊂平面ABD，∴EF∥平面ABD；又∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD=AB，∴EF∥AB；又∵EF⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，∴AB∥平面EFGH；（2）设EH=x，EF=y，∵EH∥CD，EF∥AB，∴=，=，∴+=+==1，又∵AB=6，CD=9，∴+=1，∴y=6（1﹣），且0＜x＜9，∴四边形EFGH的周长为l=2（x+y）=2[x+6（1﹣）]=12+，∴12＜12+＜18．∴四边形EFGH周长的取值范围是（12，18）．【点评】本题考查线面平行的判定定理和性质定理的运用，注意定理的条件和结论的运用，考查四边形周长的取值范围，注意运用平行线分线段成比例，考查推理能力，属于中档题．。
福建省莆田第八中学高一上学期期中考试数学试题
莆田八中2017-2018学年度上学期期中考试高一年数学科考试时间;120分钟 满分：150分命题教师：林仁鹤 审题教师：林子坤（金石中学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知{}{}21,1<<-=<=x x B x x A ，则=B A ( )A.{}11<<-x xB.{}21<<x x C.{}1->x x D.{}2<x x （2）函数y =的定义域为（ ）A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]- （3）下列函数中，与函数()0≥=x x y 有相同图象的是（ ）A ．y ＝2xB ．y ＝(x )2C ．y ＝33xD ．y ＝xx 2（4）函数()x x f x 32+=的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) （5）幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是()（6）已知134a =， 141log 3b =， 31log 4c =，则（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c b a >>D. b a c >>（7）设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ）A ．}2{<a aB ．{|1}a a ≤C ．}1{>a aD ．{|2}a a ≥（8）已知函数()⎩⎨⎧≤>=0,20,log 3x x x x f x 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛271f f 的值为（ ）A ．81 B ．4 C ．2 D ．41 （9）已知函数()xx x f -+=11log 2，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则 ( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0（10）已知函数)(x f 是R 上的奇函数.当0≥x 时， )(22)(为常数b b x x f x ++=，)1(-f 的值是（ ）。
福建省莆田市莆田第八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
福建省莆田市莆田第八中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,5A =，{}2,4,6B =，则()U A B ⋃=ð（）A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,42．下列各组函数中为同一函数的是（）A ．()f x =()1g x x =-B ．()21f x x =+，()2g t =C ．()f x =，()g x =D ．()f x x =，()2x g x x=3．设{|13}A x x =≤≤，}1{3|B x a x a =≤≤+，若B ⫋A ，则实数a 的取值范围是（）A ．12a =B ．13a ≥C ．1132a ≤≤D ．13a ≥或12a =4．设2247M a a =-+，236N a a =-+，则有（）A ．M N<B ．M N≤C ．M N>D ．M N ≥.5．已知()21f x x -=，则()()2f f =（）A ．9B ．100C ．1D ．06．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数()||1xf x x =-的图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．7．下列关于幂函数y x α=的描述中，正确的是（）A ．幂函数的图象都经过点()0,0和()1,1；B ．幂函数的图象不经过第三象限；C ．当指数α取1，3，12时，幂函数y x α=是其定义域上的严格增函数；D ．若幂函数的图像过点1,84⎛⎫⎪⎝⎭，则它的图像也经过点19,18⎛⎫ ⎪⎝⎭.8．定义{}max ,,a b c 为,,a b c 中的最大值，设()28max ,,63h x x x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则()h x 的最小值为（）．A ．649B ．4C ．0D ．4811二、多选题9．下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“任意1x <，则21x <”的否定是“存在1x <，则21x ≥”.C ．设R x y ∈，，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设R a b ∈，，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件10．下列命题是真命题的为（）A ．若a b >，则22a b >B ．若22ad bd >，则a b >C ．若0a b >>且0m <，则22m m a b >D ．若a b >且c d <，则a c b d->-11．不等式20ax bx c -+>的解集是{}21x x -<<，则下列选项正确的是（）A ．0b <且0c >B ．不等式0bx c ->的解集是{}2x x >C ．0a b c ++>D ．不等式20ax bx c ++>的解集是{}12x x -<<三、填空题12．若集合{}31M x x =∈-<≤N ，{}260N x x x =∈--<Z ，则M N =.13．已知函数()y f x =的定义域为[]8,3-，则函数y =的定义域为．14．设函数()()0f x ax b a =+>，满足()()43f f x x =+，则()f x ＝；函数()g x x =的值域为．四、解答题15．（1）计算：22317878-⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）已知11223a a -+=，求下列各式的值：①1a a -+；②1144a a -+.16．解答下列各题(1)若1x >，求141x x +-的最小值．(2)若正数a ，b 满足281a b+=，求a b +的最小值．17．为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费计算电费，每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分按每度0.5元计算．(1)设月用电量为x 度时，应交电费y 元，写出y 与x 的函数关系式；(2)小明家第一季度的电费情况如下：月份一月二月三月交费金额76元63元45.6元则小明家第一季度共用电多少度？18．已知函数()()423R x xf x a a =-⋅+∈(1)若=2，当[]1,2x ∈-时，求函数()f x 的值域；(2)若关于x 的方程()0f x =在区间()0,2上有两个不相等的实根，求实数a 的取值范围．19．已知定义域为R 的函数()33xxm f x n -=+是奇函数(1)求,m n 的值；(2)判断()f x 的单调性，并用定义证明；(3)若存在[]0,4t ∈，使()()222420f k t f t t -+-<成立，求k 的取值范围.。
福建省莆田市第八中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
2,
0 1
x 1
x
，则 4
f
x
的值域是（
）
A．[-3, 2]
B． 3,1
C． 2,2
D．0, 4
5．已知偶函数 f x 在 , 0 上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A． f 1 f 5 f 2
B． f 2 f 1 f 5
C． f 1 f 2 f 5
D． f 5 f 2 f 1
a
b
0 ，证：
c
a
a
c
b
. b
19．已知二次函数 f x 满足： f x 1 f x x 3 ， f 1 1 .
2
2
(1)求 f x 的解析式；
(2)判定函数 f x 在区间 , 1上的单调性，并用单调性定义证明.
20．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.
则实数 m 的取值范围是
.
试卷第 2页，共 3页
四、解答题
17．已知集合
A
x
|
x2 x5
0
，
B
x
|
x
1 x
3
0 ，U
R
.
（1）求 A B ；
（2）求 A∩ðU B .
18．（1）设 P 2a a 2 3 ， Q a 1a 3 ， a R .试比较 P 与 Q 的大小；
（2）已知 c
3.5 4 ，2.1 2 ，已知函数 f (x) [x2 ] ，下列说法中正确的是（ ）
A． f x f x
B． f x 在[1,1] 上的值域是0,1
C． f x 在 (0, ) 上是增函数
D． x R，f f x x2 0
福建省莆田二十四中2014-2015学年高一上学期期中考试数学 Word版缺答案
福建莆田二十四中2014-2015上学期期中考高一数学试卷命题人：高一数学备课组一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}1,0,1-=M ，则下列关系式正确的是A ．{}M ∈0B ．{}M ∉0C ．M ∈0D ．M ⊆02、已知函数()x x f 2log 1+=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛21f 的值为A ．21B ．21-C ．0D ．-13、函数x y ln =的单调递增区间是A ．[)+∞,eB ．()+∞,0C ．()+∞∞-,D ．[)+∞,14、下列函数是偶函数，且在()0,∞-上单调递减的是A ．x y 1=B ．21x y -=C ．x y 21-=D ．x y =5、下列式子正确的是A ．()03>=a a a a B ．2lg 6lg 2lg 6lg -= C ．()012>=-a a a D ．()()[]()()5lg 3lg 53lg -+-=-⋅- 6、函数31-=-x a y 的图象恒过定点坐标是A ．()3,1-B ．()2,1-C ．()3,2-D ．()2,2- 7、下列函数中，与函数x y 1=有相同定义域的是A. x x f ln )(=B. x x f 1)(=C. 3)(x x f =D. x e x f =)( 8、方程042=-+x x 的解所在区间为A ．()0,1-B ．()1,0C ．()2,1D ．()3,2 9、已知函数f(x)对任意x,y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,则f(1)=A ．- 2B ．1C ．0.5D ．210、设)(,,,3.0log ,2,3.023.02的大小关系为则c b a c b a ===A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<11、已知函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x f x +=2)(，则(1)f -的值为A ．－3B ．－1C ．1D ．312、已知偶函数()f x 与奇函数()g x 的定义域都是(2,2)-，它们在[0,2)上的图象如图所示，则使关于x 的不等式f(x)g(x)>0成立的x 的取值范围为A 、(2,1)(1,2)-- f(x) g(x)B 、(1,0)(0,1)-C 、(2,1)(0,1)--D 、(1,0)(1,2)-O 1二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
福建省莆田二十四中2014-2015学年高一数学上学期期中试题(答案不全)
福建省莆田二十四中2014-2015学年高一数学上学期期中试题〔答案不全〕一、选择题：本大题共12小题，每一小题5分，共60分。
在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1、集合{}1,0,1-=M ，如此如下关系式正确的答案是A ．{}M ∈0B ．{}M ∉0C ．M ∈0D ．M ⊆02、函数()x x f 2log 1+=，如此⎪⎭⎫ ⎝⎛21f 的值为A ．21B ．21-C ．0D ．-13、函数x y ln =的单调递增区间是A ．[)+∞,eB ．()+∞,0C ．()+∞∞-,D ．[)+∞,14、如下函数是偶函数，且在()0,∞-上单调递减的是A ．x y 1=B ．21x y -=C ．x y 21-=D ．x y =5、如下式子正确的答案是A ．()03>=a a a aB ．2lg 6lg 2lg 6lg -= C ．()012>=-a a a D ．()()[]()()5lg 3lg 53lg -+-=-⋅- 6、函数31-=-x a y 的图象恒过定点坐标是A ．()3,1-B ．()2,1-C ．()3,2-D ．()2,2- 7、如下函数中，与函数x y 1=有一样定义域的是A. x x f ln )(=B. x x f 1)(=C. 3)(x x f =D. x e x f =)( 8、方程042=-+x x 的解所在区间为A ．()0,1-B ．()1,0C ．()2,1D ．()3,29、函数f(x)对任意x,y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,如此f(1)=A ．- 2B ．1C ．0.5D ．210、设)(,,,3.0log ,2,3.023.02的大小关系为则c b a c b a ===A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<11、函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x f x +=2)(，如此(1)f -的值为A ．－3B ．－1C ．1D ．312、偶函数()f x 与奇函数()g x 的定义域都是(2,2)-，它们在[0,2)上的图象 如下列图，如此使关于x 的不等式f(x)g(x)>0成立的x 的取值范围为A 、(2,1)(1,2)-- f(x) g(x) B 、(1,0)(0,1)- C 、(2,1)(0,1)-- D 、(1,0)(1,2)- 1 2 x O 1二、填空题：本大题共4小题，每一小题4分，共16分。
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第1页（共18页） 2014-2015学年福建省莆田八中高一（上）期中数学试卷 一.选择题 1．（5分）设集合A={x|x＞﹣1，x∈Q}，则（ ） A．Φ∉A B．∉A C．{}∈A D．{}⊊A 2．（5分）函数的定义域为（ ） A．（1，4] B．（1，4） C．[1，4] D．[1，4）
3．（5分）函数y= 的图象为（ ）
A． B． C． D． 4．（5分）判断下列各组中的两个函数图象相同的是（ ） ①y1=，y2=x﹣5； ②y1=，y2=； ③f（x）=x，g（x）=； ④，f2（x）=2x． A．①、② B．③ C．④ D．无 5．（5分）化简：=（ ） A．4 B．2π﹣4 C．2π﹣4或4 D．4﹣2π 6．（5分）设集合M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合（c，m为常数）为定义域，N为值域的函数关系的是（ ） 第2页（共18页）
A． B． C． D． 7．（5分）若f（x）=x﹣1，x∈{0，1，2}，则函数f（x）的值域是（ ） A．{0，1，2} B．{y|0＜y＜2} C．{﹣1，0，1 } D．{y|﹣1≤y≤1} 8．（5分）如图所示的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象．已知n分别取﹣1，l，，2四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为（ ）
A．2，1，，﹣1 B．2，﹣1，1， C．，1，2，﹣1 D．﹣1，1，2， 9．（5分）函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（ ） A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1] 10．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确度0.04）为（ ） f（1）=﹣2 f（1.5）=0.625 f（1.25）=﹣0.984 f（1，375）=﹣0.260 f（1.4375）=0.165 f（1.40625）=﹣0.052 A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375 11．（5分）函数y=ax2+bx+3在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞）上是减函数，则（ ） A．b＞0且a＜0 B．b=2a＜0 C．b=2a＞0 D．a，b的符号不确定 12．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（ ） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3 第3页（共18页）
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．） 13．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的非空真子集的个数是 ． 14．（4分）四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是 ． 15．（4分）y=loga（x+2）+3过定点 ；y=ax+2+3过定点 ． 16．（4分）关于下列命题： ①若函数y=2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}； ②若函数y=的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是{y|y≤}； ③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}； ④若函数y=log2x的值域是{y|y≤3}，则它的定义域是{x|0＜x≤8}． 其中不正确的命题的序号是 ．（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）
三．解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）计算：
（1）； （2）． 18．（12分）设全集为R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}， 1）求：A∪B，∁R（A∩B）； 2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围． 19．（12分）某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气后4分钟测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm（ppm为浓度单位，一个ppm表示百万分之一），再过4分钟又测得浓度为32ppm．由检验知该地下车库一氧化碳浓度y（ppm）与排气时间t（分钟）存在函数关系y=c（）mt（c，m为常数）． 1）求c，m的值 第4页（共18页）
2）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？ 20．（12分）已知函数f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1﹣x），（a＞0，且a≠1） （1）求函数f（x）﹣g（x）定义域；判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以证明； （2）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值范围． 21．（13分）函数f（x）=2x和g（x）=x3的图象的示意图如下图所示．设两个函数的图象交于点A（x1，y1），B，2，y2）且x1＜x2． （1）若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，910，11，12}，指出a，b的值，并说明理由； （2）结合函数图象示意图，请把f（6），g（6），f（2007），g（2007）四个数按从小到大的顺序排列．
22．（13分）已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）且a＜1 （1）判断f（x）的单调性并证明； （2）若m满足f（3m）＞f（5﹣2m），试确定m的取值范围． （3）若函数g（x）=x•f（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+＞0恒成立，求a的取值范围． 第5页（共18页）
2014-2015学年福建省莆田八中高一（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析
一.选择题 1．（5分）设集合A={x|x＞﹣1，x∈Q}，则（ ） A．Φ∉A B．∉A C．{}∈A D．{}⊊A 【解答】解：∵是无理数， ∴∉A． 故选：B．
2．（5分）函数的定义域为（ ） A．（1，4] B．（1，4） C．[1，4] D．[1，4） 【解答】解：由题意，解得1＜x≤4， 故选：A．
3．（5分）函数y= 的图象为（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：根据指数函数耳朵图象和性质，y=ax，当a＞1时，函数为增函数，当0＜a＜1，函数为减函数， 故选：C．
4．（5分）判断下列各组中的两个函数图象相同的是（ ） 第6页（共18页）
①y1=，y2=x﹣5； ②y1=，y2=； ③f（x）=x，g（x）=； ④，f2（x）=2x． A．①、② B．③ C．④ D．无 【解答】解：①中的两个函数定义域不同，所以不是同一个函数； ②第一个函数定义域为x≥1，第二个函数定义域为x≥1或者x≤﹣1；定义域不同，不是同一个函数； ③定义域相同，但是对应法则不同，不是同一个函数； ④第一个函数定义域为x≥0，但是第二个函数定义域为R； 故选：D．
5．（5分）化简：=（ ） A．4 B．2π﹣4 C．2π﹣4或4 D．4﹣2π 【解答】解：=4﹣π+π=4． 故选：A．
6．（5分）设集合M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合（c，m为常数）为定义域，N为值域的函数关系的是（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：选项A中的函数定义域为{x|﹣2≤x≤0}，值域为{y|0≤y≤2}，不满足题意中对定义域的要求，故A不正确； 选项B函数定义域为{x|﹣2≤x≤2}，值域为{y|0≤y≤2}，满足题意要求，故B正确； 选项C中y轴与图象有两个交点，不满足函数概念中，有唯一的值与自变量对应， 第7页（共18页）
故C不正确； 选项D中函数定义域为{x|﹣2≤x≤2}，值域为{y|0≤y≤1}，不满足题意中对值域的要求，故D不正确； 故选：B．
7．（5分）若f（x）=x﹣1，x∈{0，1，2}，则函数f（x）的值域是（ ） A．{0，1，2} B．{y|0＜y＜2} C．{﹣1，0，1 } D．{y|﹣1≤y≤1} 【解答】解∵x∈{0，1，2}， ∴x﹣1∈{0，﹣1，1}， 故选：C．
8．（5分）如图所示的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象．已知n分别取﹣1，l，，2四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为（ ）
A．2，1，，﹣1 B．2，﹣1，1， C．，1，2，﹣1 D．﹣1，1，2， 【解答】解：在图象中，做出直线 x=2，根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小， 可得曲线C1，C2，C3，C4相 应的n依次为 2，1，，﹣1， 故选：A．
9．（5分）函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（ ） A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]
【解答】解：∵f（）=＜0，f（）=＜0，f（）=＞0，f（1）=π， ∴只有f（）•f（）＜0，