对一道课本习题的改编历程
一道课本习题的变身
ＡＡ Ｆ不全等 ． Ｅ
综上 ， 、 不正确 ， ④ ⑥ 其余均正确 ．
点评 事 实上 深 入探 究 本题 还 有更 丰富 的结
（） ２ 当点 Ｐ位于 Ｃ Ｄ的中点 时 ， 你找 到 的三角形 与 ＡＢ Ｃ的周长 比是 多少 ？ Ｐ 解 （ ）如 图 ４ 若另 一条 直角边 与 Ａ １ ， Ｄ 变身
２ ３０ ３２０ 席欣 力
安徽 省 定远县 第二 中学 课本 相似 三 角 形 的判 定 一 节 中有 这 样 一 道 习 题 ： 方形 Ａ Ｃ 正 Ｂ Ｄ中 ， Ｆ分 别在 Ｂ Ｃ Ｅ、 Ｃ、 Ｄ上 ， Ｂ ＝ 且 Ｅ Ｅ ＤＦ ＝３ Ｃ 如 图 １ ， Ｃ， Ｆ（ ） 求证 ：ｘ Ｂ ／Ａ Ｅ一 ／Ｅ Ｆ． ｘ Ｃ 教
ＡＥ Ｆ； Ａ Ｄ Ｃ 在 Ａ Ｆ和 ＡＡ Ｆ中 ， 然 ＬＤ ＝ ＬＡ Ｆ Ｅ 虽 Ｅ
：
终 经过 点 ， 另一 条 直 角 边 与正 方 形 的某 一边 所 在
直 线交 于点 Ｅ ．问 ： （ ）哪一个 三角 形与 ＡＢ Ｃ相 似？ １ Ｐ 并证 明 你 的
结论 ．
９ 。Ａ ：Ａ 但 Ａ ：Ａ ≠ Ａ 所 以 ＡＡ Ｆ和 ０ ，Ｆ Ｆ， Ｄ Ｂ Ｅ， Ｄ
３ 操 作纷 呈异 彩
上Ｅ 因 为 ＡＡ Ｅ￣ Ｆ； Ｂ ，ＡＥ Ｆ， 以Ａ ＝Ａ ＝２ 所 Ｃ 所 ， Ｂ Ｅ
，
￣ Ｅ ＝２ Ｆ． 面 ＝面 ＝２ ＿Ａ １ Ｅ 因为Ａ Ｂ Ａ Ｅ
，
＝ Ｌ ＡＥＦ ＝
９ 。所 以 ＡＡ Ｅ￣ ＡＡ Ｆ； ￣Ａ ＝１ ０， Ｂ ， Ｅ 因刀 Ｂ
为 １＋Ｌ２ ９ 。所 以 Ｌ２＋Ｌ３＝９ 。所 以 Ａ ０， ０， Ｅ
斗 口 一
÷ 即 Ｐ＝ ． 以Ｐ Ｃ 中 或Ｂ ＝ ， Ｂ ÷ Ｃ所 为Ｂ 的 点 Ｐ
对一道课本练习题答案的纠正
加法都可以首尾相接求和1这个加法操作规则不受向量维度的限制1向量的加减运算可以不通过相应基底或坐标表示而直接操作1其二,向量的内积a b,它的运算结果不再是向量,而是一个实数了1向量内积对于任何一个向量集合不再具备前面说的那种运算的封闭性1为什么a b不存在逆运算,为什么没有三个以上向量的内积1你看见a b=|a||b|co s<a b>这个定义在做什么事情了吗?a+b,a-b,λa(λ∈R),向量加向量,向量减向量,向量乘以一个实数,我们把向量比作硬梆梆的“箭”,那么,它们的运算结果仍旧是硬梆梆的“箭”,它自己就是一枝硬梆梆的可以平移的实体1你需要用模和方向来刻划这个硬梆梆的奇异的量1但是,硬梆梆和硬梆梆的点乘积竟然不再硬梆梆的,竟然“水化了”,变成实数了,在实轴上流淌1如果a⊥b,a与b成90°角,那么a b=0,a,b的内积还要“气化”呢,比“水化”还要厉害1随着向量a,b夹角<a,b>的不同,co s<a,b>让这个投影的“气化”的程度有所不同1尽管向量内积的这种“水化”和“气化”现象也可以通过向量内积的基底运算和坐标公式反映出来,然而“水化”与“气化”毕竟可以成为向量运算的一个捷径而不再依赖于向量的基底表示或是坐标表示1a b=0Ζa⊥b,cos<a,b>=a b|a||b|,|b||co s<a,b>|=|a b||a|,|a|2=a2,|a b|≤|a||b|,这样一些让几何代数都受益的美餐都是由向量内积的这种“水化”和“气化”功能烹调而成的1a b的这种“水化”“气化”功能的实质,是向量a, b之间投影的运算,是我们通常把它称之为a b的几何意义的那个实数值1对一道课本练习题答案的纠正山东省济南市长清第五中学 250309 齐相国 题目 求函数f(x)=(x-1)[2x2-(3a+4)x+9a-4]在[0,3]上的最大值与最小值,其中0<a<2.本题是《普通高中课程标准实验教科书(选修)》数学2—2(2007年4月第2版 2007年7月第1次印刷)p.30练习B第2题1配套《教师教学用书》p.20给出的提示答案是:“当x=3时,有最大值4;当x=0时,有最小值4-9a1”《教师教学用书》提供的答案是错误的!解析 f′(x)=6x2-(6a+12)x+12a1令f′(x)=0,解得x=a(0<a<2)或x=2.当x变化时,f′(x)、f(x)变化状态如下表:x0(0,a)a(a,2)2(2,3)3f′(x)+0-0+f(x)4-9aη极大值-(a-1)2(a-4)γ极小值3a-4η4 因为0<a<2,所以-14<f(0)=4-9a< 4=f(3),-4<f(2)=3a-4<2<4=f(3),又f(3)-f(a)=a(a-3)2>0,所以f(3)>f(a),所以当x=3时,f(x)的最大值为41又f(a)-f(0)=(6)>,所以f()>f();f()f()=()(+)=(a)[(a-1)2+3]>0,所以f(a)>f(2).所以函数f(x)的最小值必为f(0)或f(2)1当0<a<23时,f(0)<f(2),函数f(x)的最小值为4-9a;当a=23时,f(0)=f(2)=-2;函数f(x)的最小值为-2;当23<a<2时,f(0)>f(2),函数f(x)的最小值为3a-4;综上,当x=3时,f max(x)=4;f m in(x)=4-9a,(0<a<23)-2,(a=23)3a-4,(23<a<2)1作者简介 齐相国,1970年10月生人,男,本科学历, 1992年参加工作,中学一级教师,济南市优秀教师1在省、国家级报刊杂志上发表各类文章余篇156中学数学杂志 2008年第5期 Z H ONGXU ESH U X U EZ H A Z H I a2-a0a0a-22-a a2-2a42-200。
核心素养下扇形中矩形的裁剪——对一道课本例题的探究
在 Ｒｔ△犗犃犇 中，犗犃＝ｔａ犇ｎ６犃０°＝槡３３ｓｉｎα，因此，犃犅
＝犗犅 －犗犃 ＝ｃｏｓα－槡３３ｓｉｎα． 设矩 形 犃犅犆犇 的 面 积 为犛，则 犛 ＝犃犅·犅犆 ＝
（ ） 槡３
ｃｏｓα－ ３ｓｉｎα
ｓｉｎα＝ｓｉｎαｃｏｓα－槡３３ｓｉｎ２α＝１２ｓｉｎ２α－
槡６３（１ －
ｃｏｓ２α） ＝
用意识是这样描述的：“能综合应用所学数学知识、思
想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中
简单的数 学 问 题；能 理 解 对 问 题 陈 述 的 材 料，并 对 所
提供的信 息 资 料 进 行 归 纳、整 理 和 分 类，将 实 际 问 题
抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进
而加以验 证，并 能 用 数 学 语 言 正 确 地 表 达 和 说 明．应
教学
２０２０年５月 新颖试题
参谋
由０＜α
＜
π，得 π ３６
＜２α＋
π ６
＜
５６π．
所以当２α＋
π ６
＝２π，即α＝６π
时，犛
有最大值，且
为槡６３． 因此，当α＝６π 时，矩形犃犅犆犇 的面积最大，最大
面积为槡６３．
基于不等式模型．如果说三角模型是三角恒等变
问题求解过程中培养学生的数学能力，提升数学核心
素养．下面以人教 Ａ 版必修４第３章的一道例题为原
型，体 验 数 学 建 模 在 实 际 问 题 中 的 应 用，以 及 例 题 教
学如何进行拓展研究．
例题 如图１，已知扇形
犗犘犙 的半径为１，圆心角为３π，
犆 是 扇 形 弧 上 的 动 点，矩 形
１ ２ｓｉｎ２α
＋
2020.12.02漫谈初中数学试题的改编 棕北中学 罗兴国
y x2 5x 5
x＝2.5 (0,9.5)
93
G2 4
17 ,
67 3 8
17
1
yBC
2
x
5
(0,5)
yAB
1 2
x1 2D来自0,1 2 N (1,1) M
9 2
,
11 4
G1 (3,－1)
试题成改都编市赏二〇析一八年高中阶段教育学校统一招生考试 (含成都市初中毕业会考)
y x2 5x 5
由树状图可知：
P购到最低价格礼物=3/6=1/2，
∵1/2>1/3，
∴他的想法是正确的．
(注：若判断了想法正确， 但没有说理，给1分)
二、源于其他试题，改变图形形状或数据， 从而编制出更有价值的新题
设EG＝FH＝x
H 45°
A
32
x D
45°
F
25
45°
45°
G
B
x
45°
E
C
三、利用教材素材创新试题， 考查应用意识和建模能力
(9,-6) (4,-11)
(0,3)
(9,-6)
(4,-11) 图3
试题改编赏析
改编：罗兴国
试题改编赏析
法一：(构造“一线三等角”相似)
F y
3n－3
(1,5)
(0,3) D (－1,0)C O
n－1
E 5x
A n＋1 H
P
3n＋3
G
试题改编赏析
法二：(以定点C处定角为准构造母子型相似 )
y (1,5) D
成都市数学教师测量技术培训
漫谈初中数学试题的改编
罗兴国名师工作室
成都市棕北中学 罗兴国 2020.12.02
例谈课本例题的改编策略
例谈课本例题的改编策略【摘要】本文主要讨论了改编课本例题的策略及重要性。
首先分析了课本例题的特点，探讨了改编的必要性。
随后介绍了具体的改编方法，并解析了改编后的效果。
最后讨论了改编策略所面临的挑战。
通过本文的研究，可以总结出改编课本例题的重要性，并展望了未来的发展方向。
改编课本例题可以提高学生的思维能力和创造力，使教学更加生动有趣。
改编策略也面临着教师创新能力的挑战，以及教学资源的不足等问题。
在未来，可以通过更多的教师培训和教学资源的支持，进一步推动改编课本例题的发展，为学生提供更加丰富多样的学习体验。
【关键词】课本例题，改编策略，特点分析，必要性探讨，具体方法介绍，改编效果解析，挑战讨论，重要性总结，发展方向展望1. 引言1.1 背景介绍课本是学生学习的重要教材，其中的例题是帮助学生理解和掌握知识的重要工具。
有时候课本例题的设计可能过于固定和单一，不具备足够的灵活性和多样性，导致学生在解题过程中缺乏创新性和思维能力的培养。
为了解决这一问题，改编课本例题成为了一种常见的教学策略。
通过对课本例题的重新设计和改编，可以激发学生的学习兴趣，提升他们的解题能力和思维水平。
改编课本例题的背景也与当前教育改革的要求息息相关。
随着教育理念的更新和社会需求的变化，传统的教学模式已经不能完全适应现代教育的需求。
创新教学策略，如改编课本例题，已成为教育工作者积极探索的方向之一。
通过改编课本例题，可以更好地培养学生的创造力、逻辑思维能力和解决问题的能力，为他们的未来学习和发展奠定良好的基础。
从背景的介绍可以看出，改编课本例题的重要性和必要性不言而喻。
1.2 问题提出在教学中，课本例题是教师们经常使用的重要教学工具，能够帮助学生巩固知识、提高解题能力。
有时候课本例题的设计并不完全符合学生的实际情况，导致学生无法很好地理解题目或者解题过程。
这就引出了一个很重要的问题：如何改进课本例题的设计，让其更适合学生的学习需求呢？在实际教学中，我们经常会遇到一些课本例题过于简单或者过于复杂，不符合学生的实际水平和理解能力；还有一些例题可能过于枯燥和枯燥，导致学生缺乏兴趣和动力去解题。
如何进行原创或改编试题(数学)(1)
如何进行历史试题的改编和原创试题改编的一般方法试题改编是对原有试题进行改造，使之从形式上、考查功能上发生改变而成为新题。
改编试题的具体方法有：设置新的问题情境、不同题型之间的转换、重新整合、转变考查目标等。
1、设置新的问题情境一道常规的纯粹历史问题，当把它放置在一个新的问题情境中时，由于知识载体发生了改变，这道试题就变为一道新题，这可以反映出历史知识应用的灵活性。
例如原题：1. 恩格斯说：“这是一次人类从来没有经历过的最伟大的.进步的变革，是一个需要巨人而产生巨人——在思维能力，热情和性格方面............方面的巨人的时代”材料描述的时代最早出现在（)A.英国B.法国C.意大利D.美国可以改编成1. 恩格斯说：“这是一次人类从来没有经历过的最伟大的.进步的变革，是一个需要巨人而产生巨人——在思维能力，热情和性格方面............方面的巨人的时代”材料描述的事件是（)A.文艺复兴B.启蒙运动C.工业革命D.第一次世界大战还可以改编成：1. 恩格斯说：“这是一次人类从来没有经历过的最伟大的.进步的变革，是一个需要巨人而产生巨人——在思维能力，热情和性格方面............方面的巨人的时代”下列人物中属于材料描述的“巨人”有（)A但丁 B.哥伦布 C.克伦威尔 D.华盛顿2、不同题型之间的转换在中考历史试卷中，出现了较多的通过改造题型来获取新试题的形式。
可以将文字陈述性试题改为图片阅读类试题或者例如原题：（2011年连云港市中考历史试题第20题）“（江南）一岁或稔（丰收），则数郡忘饥。
”这一现象开始出现于A．秦朝B．西汉C．东晋南朝D．宋朝后改编：（2013年连云港市中考历史试题）29.右图（魏晋时期民族流动示意图）中历史现象导致的直接后果是A.江南经济发展B.北方文化繁荣C.专制统治加强D.国家统一完成许多命题材料很好，从考查内容和考查功能上来看往往是很经典的试题，但由于第二、三问的难度过大，所以常常会使考生因感到畏惧而放弃解答该题。
数学选择题的命制方法——例谈教材例题、习题的改编
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
例题改编(1)
例题改编，培养能力 ——小学数学利用“例题”改编，促进学生提高发现问题的能力 一、研究提出的背景 （一）、现实因素 2011年出版的《义务教育数学课程标准》当中就曾经提出过这样一个概念：通过了几年的义务教育阶段孩子们对数学的学习，学生们要在数学领域能体会到数学的知识之间的联系，也能使得孩子们找到数学与其他学科之间是有沟通的地方，数学更能联系起生活。并且还可以通过在课堂上所学习的数学知识去解决生活当中的实际问题，这就是数学与生活之间的联系。运用了数学的思维方式去进行思考问题，同时还通过已经学到的数学知识能在生活当中去发现问题，并且提出问题解决问题。使得数学的理念真真正正的可以应用到实践当中，为孩子们解决所遇到的问题。但是到现在为止，我不知道孩子们能否达到这些要求所规定的标准，尤其是他们在生活当中很难发现问题提出问题，并且去分析以至于解决问题。这一方面尤为明显，因此我觉得必须要去培养孩子这方面的能力。而这既是响应了义务教育数学课程标准所规定的要求，同时也是符合生活当中对孩子们的要求。我们既有观念性的要求也有实质性的要求，那么我将通过一种方法，那就是用例题的方式，进行例题改编来促进学生在题的过程当中去发现问题，提出问题，培养孩子们这种发现问题解决问题的能力 （二）、教学现状 在我们的数学教学过程当中，以及在我们完成数学书后习题或是数学练习册的过程当中，我们经常会遇到这样的数学题“你是否能提出其他的什么数学问题并解答，你还得到了什么样的信息”等等。诸如此类问题是学生们最不愿意去回答的。有些孩子根本不愿意去给自己提问题，或者所提出的问题根本没有针针对出题的本意去认真思考，或者是为了应付考试，应付答案而胡乱去写几句比较简单的，更有甚者直接写不能提出问题。我们追究其存在的原因，那么就是分为两种情况，第一种情况是孩子觉得没有什么可以写，第二种情况就是想写却写不出。这两种情况都是孩子们缺乏提出问题，解决问题的表现。也正是因为此，我们有必要去培养孩子这种能力。 （三）、阶段发展问题 并且在与同事聊天交流的过程当中，我也发现着一个这样的规律。像这种提出数学问题并且解答的练习题，在低年级回答的孩子往往会多一些，随着年级与年龄的增长。将会越来越多的孩子不愿意去回答问题，甚至到了高年级的时候，只剩下班级里的一两个同学或是三四个同学去回答这样的问题。到了讲练习册的时候，这道题变成了老师的独唱，几乎很少有同学去愿意配合老师。也是在这个同时，老师渐渐的也忽略了这样的题目。我们也就忽略了孩子们发现问题和提出问题的这种能力缺乏对他们的培养，长此以往，孩子们对此并不感冒。渐渐地也就习以为常，不愿意去做这样的事情了。 二、课题概念的深化 在数学课堂上它不同于语文课堂。想要对知识的巩固，一大部分程度就靠做题做书上的练习题。我们课堂的高效性课堂的成绩往往很大程度上决定于我们书上所给的习题解读以及习题练习使用。但是教材往往给我们的只是一个单一的例子，是辅助我们对所讲知识进行练习的工具。要想使得学生彻底的对习题、对知识点进行掌握，对知识进行合理的运用到实际生活当中，光靠书上的习题是不够的。但是万变不离其宗。这就要求我们走出教材所规定的局限，又依赖于教材给的框架，对我们书上教材的力气进行有效的改变合理的使用。才可以帮助学生发现问题。提出问题分析问题解决问题。 三、研究目标 （一）、例题人物在身边 教材的课后习题以及单元练习题有他安排的合理性、科学性和对知识的巩固性加上系统性。教师在进行教学活动时需要充分的考虑本节课所讲的内容，根据自己所讲的内容以及数学信息，并且考虑到学生在课堂上反映出来的学习状态，对课后习题进行删减。或者是根据自己当时学校的实际情况进行略微改动而重复。去调动孩子学习的积极性，吸引孩子们对数学的注意，使得孩子们对所要讲授的数学内容充满着熟悉感、新鲜感。这样才可以充分调动孩子们去学习这堂课。例如人教版的四年级上册，我们会学习到《解决问题的策略》这一章节。例题给出了：小明要买三本笔记，用去了9元，小红要买5本该用多少元？对于传统的问题，我们会发现书中给的孩子往往不可以吸引孩子们的兴趣，我们不妨把书中的小明和小红改成现实生活中的班级的某位同学，这样被点名的同学就会非常注意这道题。同时也是通过这种方式使得孩子们觉得我要解决的问题就贴近与我们日常的生活，贴近于我们的周边，更使得孩子们愿意去解决这样的问题。有的孩子甚至会想到这个问题和他有关，那么下个问题是否和我有关呢，如果老师不提出这样的问题，而是去问他你能提出什么样的问题，转而就会回答有关于自身的。而这也就是改编问题之后，调动了孩子们的积极性，使得孩子们愿意去参与这样一次课堂的互动，愿意与老师进行交流。在我们的教授过程当中，我们有必要去加深对问题或者是对例题改编的深刻性认识以及联系我们的生活实际。通过这样的改变，自然而然地引发了孩子们对每一个条件的关注度。使学生能感受到要解决问题，在听老师叙述的时候总会认真去听，甚至有的孩子还会主动的去用笔记录，运用策略的心理需求。从而引导孩子用不同的方式去完成。在这个过程当中，我们也可以利用列表格的方式去列出买一个笔记本用多少钱，从而去引发孩子们去想想买两本买三本，如果要买五本六本甚至更多需要多少钱，从而使得孩子们深刻地认识到知识点。 （二）、例题事件在身边 在我们改变例题的过程当中，除了有之前说的改掉人物名称。使得例题中的人物更贴近于我们的生活，使得主人公就在我们的前后左右之外，还有一种改法，那就是改变题当中所出现的事物，使得事物更具有吸引力 ，我们可以把生活当中的柴米油盐以及常见的食物蔬菜水果，甚至是电器等等。搬到我们的课堂上来进行运算，也可以模拟出同学们去购买商品、购买零食或者是买衣服的情景，拿到课堂上来去学习。通过这样的例题改编，使得例题更加的贴近于我们的生活，贴近于实际更能引起孩子们的兴趣，因为这样的例题改变是与课堂的教材所提供的例题完全不同的风格。风格更加的幽默风趣，如果教师在搭配上俏皮的言语，那么班级的活力会被瞬间点燃。也就是通过这样的一种改变，可以吸引孩子们对课堂的兴趣。通过这样的与实际相结合的方式让孩子们更多的去了解到生活，同时在这个过程当中孩子们也会有一个反思，在他们熟悉的过程当中也会提出贴近于自己生活的问题。进而将这些问题系统化的提出来，大家一起去解决，去思考，通过这样的方式孩子们逐渐的就会提出问题、分析问题、解决问题。在这个过程当中也会培养孩子们去多多的发现问题。 四、实施原则 在实践的过程当中，我们一定要去遵循一定的原则。盲目地实践不会产生太好的结果，我们必须去遵循一定的教学原则才可以使得孩子们的学习达到最大的效益化。第一点原则就是一定要尊重学生的主体地位，课堂是孩子们的，老师只是主导作用，我们起到一个引领的作用，还是要充分地调动孩子们的积极性、主动性，让他们主动的去思考、去提出、去分析、去解决。在整个的教学过程当中发挥出孩子们的主观能动性。第二点就是在我们的教学过程当中，一定要注重整体性原则，班级是孩子们的班级，由班级的每一个人组成，我们不能让每一个孩子掉队，必须团队协作。在整个过程当中不能忽略任何一个人放过任何一个人。必须使得每个孩子都能了解到我们课堂当中的知识点，都能提出自己的建设化问题。第四点就是我们要注意课堂可以吸引孩子的兴趣，但并不是盲目地。我们的课堂必须要有一定的目的，而这个目的就是通过我们一系列的教学手段实施之后使得孩子可以独立的发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，而不是在整个过程当中盲目地去提出一些没有意义的问题。我们必须为孩子提出的建设化问题进行表扬，并且为孩子们规定一个方向，无意义的问题忽略，或是明确地指出这种问题提出的错误性，省得孩子犯类似的错误。最后一点提出问题是关键解决问题是目的，我们提出的问题必须能得到解决，如果提出的问题得不到解决，那么就不是一个完整的课堂，我们还要注意课堂的完整性提出问题，并且解决问题。 五、课题研究的操作方法 我们在之前都说过改编例题有助于提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。可以说通过对例题的改编，通过对例题的变形，使得孩子更容易通过改编例题的方式掌握数学知识的本质要求，理解数学题中蕴含的知识点，蕴含的数学真理。但是在具体的实践当中，如何去应用？学生们该如何去对例题进行改变。同时在同学们对例题进行改变的过程当中，作为老师的我们，是课堂上的主导，我们该如何一步一步的去引入孩子走进改变例题的过程当中去，而且在改变的过程当中，我们又要怎样的去辅导孩子们呢？接下来我们就谈一谈改编例题在课堂当中如何去具体实施。 首先第一点要想使得学生能实现对例题的改编，那么我们就要保证学生对于例题讲解一定要懂，对于知识的理解，一定要透。如果对于我们教师所讲的例题不明白、不清楚，就不可能实现这一点，这就要求教师在讲例题的时候，将知识点清楚的深入的教给孩子们，并且当他们遇到了困难的地方，我们一定要多次讲解。例如，当我们在讲假分数这一概念的时候，往往孩子们对它的理解并不是很清晰，不可以把假分数当成一个分数。甚至不可以清楚的写出假分数所表现的形式，而这就要求我们在讲知识点的时候一定要把它讲透，让孩子们对假分数充分的理解，明白分子大于分母的数都叫做假分数。对于概念理解透彻才可以贯彻下去，孩子们才可以实现举一反三。 第二点就是当孩子们对例题有了充分的了解之后，他们不可以举一反三，这时我们该如何去做。当孩子们对例题有了理解，对知识点有了认识之后，需要做的就是多磨多练，这时对于例题的改编，这体现了能力的提升。可是孩子们往往被思维定势束缚住，而不能去进行改编例题。这就靠我们去打破这种传统。例如在实际的教学当中，我们想要去解决平均分这个概念，让孩子可以自己去编问题来进行理解知识点——平均分。在我们讲完知识点之后，那么就可以给孩子们发象征性的十样东西或二十样东西。例如十个小球，二十个卡片等等，让孩子们用这些东西去编写例题。假如：我有十张卡片，我想分给两个同学该如何去分，每个孩子分到五张，两个孩子分的一样多，那么这种方法就是平均分。在分的过程当中，如果将这一事件，分卡片的过程完整地叙述下来，采用数学应用题的方式，那么他则完成了对例题的编写。我们还可以在这个过程当中引导同学，除了可以去分开片还可以分其他的东西，在生活中联系起来运用。那么我们的课堂将会五花八门，将会出现一系列的分东西，通过这样一个过程，让学生自己去感受，例题是如何编写的。也正是通过这样一个过程，让孩子通过编写例题，通过分卡片在整个过程当中可以提出问题，从而去分析去解决，理解了数学问题的本质。 六、研究方法 本课题研究主要采用结合文献研究法、课堂观察法。 七、研究步骤 本课题分为三个阶段进行。 （一）准备阶段： （1）查阅相关文献资料 （2）调查了解学生思维水平的状况并且作出客观的分析。 （二）实施阶段
对一道教材习题的解法探究
发展 学 生的思维能 力 ， 大 大提 高 学 习 效 率 ， 收 到 事 半 功倍 的
效果．
关 键 词： 教 材 习题
一
构造法
发 散 思 维
什 么 要 从 结论 出 发 呢 ？笔 者 认 为 是 “ 构造 ” 方 法 的 渗透 ． 在 选 修 ４ — ５ 不 等 式选 讲 中 ， 从 绝 对 值 的 三 角 不 等 式 到 基 本 不 等 式 在 到 柯西不等式 和排序不等式 ， 无不体 现“ 构造法 ” 在 解 题 中 的优 越性 ， 同 时 构 造 法 也 是 数 学 中 的一 种 重 要 的 方 法 ． 教 材 是 学 生 学 习 的根 ， 是 思 维 方 法 的源 ， 仔细研究教材 ， 体会编者的意图 ． 在 教 学 中加 以 渗 透 ， 既 能加 深学 生对 知 识 的 理 解 ， 又 能锻 炼 学 生 的思 维 能 力 ． 三、 一题 多解 — — 发 散 学 生 思 维
又 因 为ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ｌ 。 所 以ａ － ＋ ｂ ‘ ＋ ｃ ≥ ．
的 乘 积 之差 ） 记做Ｃ ； 这 种 延 伸 运算 可 以记 做
ｃ －ａ ＝Ｂ
２ ． “ ｘ ｌ ≠ｘ ２ ， Ｙ ｌ ≠ｙ ２ ” 型
ｃ ＝ ｌ Ｔ （ 一） Ｉ ＝ ａ ｄ — ｂ ｃ
１ １ １
．
３
３
’
题 目： 已知 ａ ， ｂ ． ｃ ∈Ｒ ． ， ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ｌ ， 求证 ： ａ ‘ ＋ ｂ ＋ ｃ ≥ ．
。
《 教师用书》 证法 ： ３ （ ａ ２ ＋ ｂ ２ ＋ ０ ２ ） ： ２ （ ａ ２ ＋ ｂ ＋ ｃ ） ＋ （ ａ ２ ＋ ｂ ２ ＋ ｃ ２ ）
ｌ ａ
人教A版必修4课本例题习题改编.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作人教A 版必修4课本例题习题改编1.原题（必修4第十页A 组第五题）改编1 下列说法中正确的是( ) A ．第一象限角一定不是负角 B ．－831°是第四象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的角一定相等 解：选C. －330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A 错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B 错误；0°角，360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D 错误． 改编2 已知θ为第二象限角，那么3θ是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角 C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角解：选D.36090360180,,1203012060,3k k k z k k k z θθ+〈〈∙+∈∴∙+〈〈∙+∈（1）当()3,36030360180,,3k n n z n n n z θ=∈∙+〈〈∙+∈时此时3θ为第一象限角；（2）当()31,360150360180,,3k n n z n n n z θ=+∈∙+〈〈∙+∈时此时3θ为第二象限角；（3）当()32,360270360300,3k n n z n n θ=+∈∙+〈〈∙+时此时3θ为第四象限角。
2.原题（必修4第十页B 组第二题）改编 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.143 π B ．－143 π C.718 π D ．－718 π解：选B. 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.3.原题（必修4第十九页例6）改编 （1）已知sin α 13=，且α为第二象限角，求tan α；（2）已知sin α= m (0,1)m m ≠≠±，求tan α。
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对一道课本习题的改编历程起因：对《中学数学学习方法》一书中的下面这道练习题的思考。
在此题中，虽P是BC边上任意一点，但无论它位置如何变化，都有AP=PF,PG=BP+DG。
回想到它的原型（课本的这道题），从特殊到一般，弱化条件，从易到难可做变式如下：
（1）其余条件不变，当点Ｅ是BC边上任意一点时，AE=EF是否还成立？若成立请写出证明过程。
（证明方法类似课本，此外我发现还有5种方法）。
（2）如图，连接AF交CD于点G，连接EG，证明EG=BE+DG。
在证明（2）的过程中，我思考得出：只要AB=AD，∠
然有EG=BE+DG，所以得出变式
（３）四边形ABCD（不一定是正方形）中， AB=AD，对角互
（图略，证明略）
做完以上变式后，我思考：既然点E是动点，那它在BC 延长线或反延长线上时，AE=EF还成立吗？EG、BE、DG之间是否也有这样的关系？如果不是，那又是什么数量关系？
还是从特殊到一般，从易到难去考虑，先从正方形入手。
1.先讨论点Ｅ在BC的延长线上的情况。
如下图：可得
AE=EF是否成立？BE、DG、EG之间有何数量关系？请写出证明过程。
（BE=DG+EG，证明过程略）弱化条件得到变式（5）
四边形ABCD（不一定是正方形）中，AB=AD，对角互补，∠
AE=EF是否成立？BE、EG、DG之间有什么数量关系？请写出证明过程。
（DG=BE+EG，证明过程略）弱化条件得到变式（7）
四边形ABCD（不一定是正方形）中，AB=AD，对角互补，∠
著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出：“一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题可以解决的十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。
”
这道题还能变吗？原题是点变，那形变可以吗？把正方
形改成等边三角形看看。
类比前面可得变式（8）：如图所示，∠AEF=60°（原题中∠AEF=90°，在此是等边三角形，为了构造全等三角形，改成60°）。
证明AE=EF。
（证明略）
变式（9）：如图所示，点E在BC延长线上，∠AEF=60°，证明AE=EF。
（证明略）
变式（10）：如图所示，点E在CB延长线上，∠AEF=60°，
A
变式（11）：如上图，∠AEF=108°，证明AE=EF。
（证明略）
变式（12）：如下图，点E在BC延长线上，∠AEF=108°，
以此类推，正n边形中，只要∠AEF=正n边形的内角，都有AE=EF。
只是没有像四边形中的BE、EG、DG之间那样的关系。
著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出：数学问题解决的过程必须经过下列四个步骤，即理解问题、明确任务；拟定求解计划；实现求解计划；检验和回顾。
我们经常都忘了或没有做第四步。
如果我们经常对于精彩习题进行解题回顾，也许就能想到更好或更多的解法，也许就能命制出新颖精彩的中考题。