提公因式法
提公因式法
例１分解因式： (2)-2m3+8m2-12m (3)3x2-6xy+x
1、当多项式第一项的系数是负数时，通常把负号作为公 因式的负号写在括号外，使括号内第一项的系数化为正 数，在提出负号时，多项式的各项都要变号！
2、如果提取公因式与多项式中的某一项相同，那么提 取后多项式中的这一项剩下“1”结果中的“1”不能漏写； 3、多项式有几项，提取公因式后另一项也有几项。
A. 6x2y=3xy· 2x
B. ab+ac+d=a(b+c)+d
C. a2－1=(a+1)(a－1)
D. (a+1)(a－1)= a2－1
例１分解因式：
2a-3a²b· 3b=3a²b (2a-3b) 解: 原式=3a²b·
(1)6a3b-9a2b2
公因式
把公因式提出来，多项式6a³ b-9a² b² 就可以分解成 两个因式3a² b和(2a-3b)的乘积。像这种因式分解的 方法，叫做提公因式法。 1、找出公因式 2、提取公因式得到另一个因式 3、写成积的形式
(1)2a2b+8ab2 (2)3x2-6x3
公因式是2ab 公因式是3x2
(3)9abc-6a2b2+12abc2 公因式是3ab
总结
找一个多项式的公因式的方法一般分 三个步骤： 一看系数：当多项式的各项系数都 是整数时，公因式的系数应取各项系 数的最大公因数。 二看字母：公因式的字母应取多项 式中各项都含有的相同字母。 三看指数：相同字母的指数取次数 最低的。
(2) 3a(x-y)-2b(y-x) (3) 6a(x-y)2-4b(y-x)2
总结：用提公因式法分解因式时，公因式可以 是一个单项式也可以是一个多项式。
提公因式法口诀
提公因式法口诀
以下是五个符合要求的口诀：
《提公因式法口诀一》
一提二看要记清，公因式它要找明。
首先观察多项式，相同部分就是它。
就像寻找好朋友，手牵手儿一起走。
提取出来放前面，后面式子再化简。
大家快来一起练，提公因式不再难。
《提公因式法口诀二》
一提公因式别着急，先把各项仔细瞧。
数字系数也有份，字母相同要抓牢。
指数最小不能忘，如同宝藏要找到。
找到之后提出来，式子变得更美妙。
小朋友们认真学，数学知识轻松搞。
《提公因式法口诀三》
公因式呀要寻找，一找系数公因数，二找字母共有的，三看指数最低的。
就像猎人寻猎物，一个一个不马虎。
找到之后往外提，式子简化真有趣。
学会这个小窍门，数学成绩往上提。
《提公因式法口诀四》
提公因式有妙招，一步一步要记牢。
一看系数能约分，二瞧字母都含啥。
然后确定最低次，公因式就被找到啦。
好像拼图找关键，一块一块拼整齐。
努力练习多尝试，数学难题都跑光。
《提公因式法口诀五》
要想学好提公因式，这个口诀要牢记。
一找公因第一步，相同部分不能漏。
二把公因提出来，剩下式子接着来。
如同拆礼物般妙，层层揭开见分晓。
小朋友们加油干，数学之路光闪闪。
原创不易，请尊重原创，谢谢!。
华师大版八年级数学上册第12章第5节《因式分解》教学课件第1课时 提公因式法
达标检测 反思目标
1、下列各式从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A、a 2a 2 a2 4 B、m2 1 n2 m 1n 1
C、8x 8 8 x 1 D、x2 2x 1 x x 2 1
2、多项式 8a3b2 12ab3c 16ab 的公因式是______ 3、把下列各式因式分解:
（1）a a 3 23 a （2）9a2b3 6a3b2 3a2b2 （3）6x3 10x2 2x （4） a y z 4bz y
4、先因式分解再求值：5xm 2 4x2 m ，其中
x 0.4, m 5.5
2.一般的,如果多项式的各项都有______,可以先把这个 ______提取出来,将多项式写成______与另一个因式 ____的形式,这种分解因式的方法叫做提取公因式法.
初步应用提公因式法
例1 把 8a3b2+12ab3c 分解因式．
解： 8a3b2+12ab3c =4ab2 2a2+4ab2 3bc =4ab（2 2a2+3bc）.
（３）、提取公因式时应先观察第一项系数的符号， 负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一 项都____，然后再提取公因式。
总结梳理 内化目标
１、这节课你学到了些什么知识？
２、你还有什么疑惑？
1.因式分解与整式乘法之间的关系：因式 分解与整式乘法是相反方向的变形，即互 逆变形;
2.提取公因式法分解因式应注意： 找公因式，提公因式，注意符号及漏掉项 ;
第1课时 提公因式法
创设情景 明确目标 1、630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？
2、当a=101,b=99时，求a2-b2的值。怎么能够 使运算能够更简便呢?
完整版)提公因式法练习题
完整版)提公因式法练习题提公因式法一、课堂练1.把一个多项式拆分成几个乘积的形式，这个操作叫做因式分解，也可以说是把这个多项式分解成若干个因式的乘积。
2.填写公因式：1) x(x-5y)。
(2) -3m2(n-4)。
(3) 4b(3b2-2b+1)4) -4ab2(a+3b)。
(5) xy(x2y2-xy+2)3.填写括号中的多项式：1) -4b(a+1)。
(2) 4xy(2x-3y)。
(3) 9m2(m+3)4) -3p(5q+3p)。
(5) 2ab(a2-2ab+b2)。
(6) -x(x-y+z)7) a(2a-1)二、选择题1.正确的因式分解变形是选项B：x2+3x-4=x(x+3)-4.2.正确的因式分解变形是选项C：(x-y)2=x2-2xy+y2.3.错误的因式分解是选项C：a2b2-1/3ab2=4ab(4a-b)。
4.多项式-6a3b2-3a2b2+12a2b3因式分解时，应提取的公因式是选项D：-3a2b2.5.应提取公因式2x2y2的是选项B：2x2y2(1/2xy+y-1)。
提公因式法一、课堂练1.把一个多项式拆分成若干个因式的乘积形式，这个操作叫做因式分解。
2.填写公因式：1) x(x-5y)。
(2) -3m^2(n-4)。
(3) 4b(3b^2-2b+1)4) -4ab^2(a+3b)。
(5) xy(x^2y^2-xy+2)3.填写括号中的多项式：1) -4b(a+1)。
(2) 4xy(2x-3y)。
(3) 9m^2(m+3)4) -3p(5q+3p)。
(5) 2ab(a^2-2ab+b^2)。
(6) -x(x-y+z)7) a(2a-1)二、选择题1.正确的因式分解变形是选项B：x^2+3x-4=x(x+3)-4.2.正确的因式分解变形是选项C：(x-y)^2=x^2-2xy+y^2.3.错误的因式分解是选项C：a^2b^2-1/3ab^2=4ab(4a-b)。
4.多项式-6a^3b^2-3a^2b^2+12a^2b^3因式分解时，应提取的公因式是选项D：-3a^2b^2.5.应提取公因式2x^2y^2的是选项B：2x^2y^2(1/2xy+y-1)。
《提公因式法》 讲义
《提公因式法》讲义一、什么是提公因式法在数学的多项式运算中，提公因式法是一种非常重要和基础的方法。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们简化复杂的多项式，让计算变得更加轻松和高效。
简单来说，提公因式法就是把多项式各项中的公因式提取出来，将多项式化成几个整式乘积的形式。
例如，对于多项式 6x ＋ 9，其中 3 是 6x 和 9 的公因式，我们可以把 3 提取出来，得到 3(2x ＋ 3)。
二、为什么要使用提公因式法提公因式法的使用有很多好处。
首先，它能让复杂的多项式变得简洁明了，更容易理解和计算。
想象一下，如果面对一个长长的多项式，通过提公因式，我们可以将其转化为几个简单的式子相乘，是不是一下子就清晰了很多？其次，提公因式法是后续学习其他数学知识的基础。
比如在因式分解、解方程等方面，都经常会用到提公因式法。
再者，它有助于培养我们的观察能力和逻辑思维能力，让我们能够快速准确地找出多项式中的公因式，并进行相应的运算。
三、如何找出公因式要使用提公因式法，关键的第一步就是找出公因式。
公因式可以是数字，也可以是字母，或者是数字与字母的组合。
1、数字公因式先看各项系数的最大公约数。
比如多项式 12x ＋ 18，12 和 18 的最大公约数是 6，所以数字公因式就是 6。
2、字母公因式观察各项中相同的字母。
比如多项式 5x²y ＋ 10xy²，都有字母 x 和y，所以字母公因式就是 xy。
3、字母的指数确定相同字母的最低指数。
在多项式 8x³y² 12x²y³中，x 的最低指数是 2，y 的最低指数是 2，所以公因式是 4x²y²。
四、提公因式的步骤当我们找出公因式后，就可以按照以下步骤进行提公因式了。
1、确定公因式这是前面已经详细讲解过的，一定要准确找出。
2、用各项分别除以公因式得到除后的式子。
3、将公因式与除后的式子相乘写成乘积的形式。
提公因式法优秀教案
提公因式法优秀教案一、教材分析本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．二、学生知识状况分析学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本上了解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．三、教学目标知识与技能1、经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中能确定多项式的公因式。
2、会用提公因式法把多项式分解因式。
3、培养学生解决问题的能力。
过程与方法在探索过程中培养学生解决问题的主动性，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想。
情感、态度与价值观在数学活动中培养学生的合作意识和创新精神，体会数学知识间的整体联系。
教学重点：会用提公因式法分解因式。
教学难点：正确找出多项式中各项的公因式，并注意各项变形的符号问题。
四、教学过程设计（一）温故知新活动内容：计算：采用什么方法？依据是什么？活动目的：旨在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。
（二）想一想活动内容：多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 3x2+x呢？多项式mb2+nb–b呢？结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．活动目的：在学生能顺利地寻找数的公因数之后，再引导学生采用类比的方法在多项式中寻找相同的因式．（三）议一议活动内容：多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？那多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．活动目的：公因式由简单到复杂，由于第一个多项式提供的比较简单，寻找的公因式不具备归纳的条件，而后面所提供的寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式只是多了含字母y的因式，对比前一个公因式，通过寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式，可顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力具备了归纳出怎样寻找多项式各项公因式的条件，培养学生的初步归纳能力．（四）试一试活动内容：将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：（1）ab+ac （2）x2+4x （3）mb2+nb–b如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．活动目的：让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．（五）做一做活动内容：将下列多项式进行分解因式：（1）3x+ （2）7x –21 （3） 8a3b2–12ab3c+ab （4）–24x3+12x2－28x先让学生思考这些问题，然后教师在教学中注意讲清确定公因式的具体步骤，从系数、字母和字母的次数3个方面进行分析；讲完后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式，另一个因式是否还有公因式？从而把提取公因式的“提”的具体含意深刻化。
初中数学教学课例《因式分解(提公因式法)》课程思政核心素养教学设计及总结反思
的巩固对因式分解，特别是提公因式法理解并学会应
用。
课例研究综
在整个教学教程中，学生均处于主导地位，教师只
述
是从旁引，学生对于由自己推导出性质定理感到非常兴
奋。尽管新旧两种教法的对比上，新课程的教学不一定 马上显露出强劲的优势，甚至可能因为强化练习较少， 在短时间内，学生的成绩比不上传统教法的学生成绩， 但从长远目标看来，这种对数学本质的训练会有效地提 高学生的数学素养，培养出学生对数学本质的理解，而 不仅仅是停留在对数学的机械模仿记忆的层面上。总 之，教学的着眼点，不是熟练技能，而是发展思维，使 学生在学习的情感态度与价值观上发生深刻的变化．再 教设计：在探索及运用提公因式法进行分解因式时，应 该让学生多练习一些有关幂的运算中应用提公因式法 （因式分解）的题目，更加容易加深学生的理解，以及 拓展应用提公因式法进行因式分解。
初中数学教学课例《因式分解（提公因式法）》教学设计及 总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《因式分解（提公因式法）》
称
本节课选自人教版数学八年级上册第十五章第四
节第一个内容。因式分解是进行代数恒等变形的重要手
段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，因此
学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要 教材分析
第一组式子的观察得出第二组式子的结果，然后通过对 这两组式子的结果的比较，使学生对因式分解有一个初 步的意识，由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解， 发展学生的逆向思维能力。
活动 4：归纳、得出新知 比较以下两种运算的联系与区别： （1）a(a+1)(a-1)=a3-a（2）a3-a=a(a+1)(a-1) 在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？除 此之外，你还能找到类似的例子吗？ 结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这 种变形叫做把这个多项式因式分解。其中，把多项式中 各项的公因式提取出来做为积的一个因式，多项式各项 剩下部分做为积的另一个因式这种因式分解的方法叫 做提公因式法。 辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？ （1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1 （3）a(a–b)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2 学生讨论、发言对因式分解，特别是提公因式法的 认识、理解、看法，并总结出因式分解、提公因式法的 定义。通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：（1） 分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；（2）分解因 式的结果要以积的形式表示；（3）每个因来的多项式的次
因式分解-提公因式法PPT演示课件
拓展运用：
1.已知1＋x＋x2＋x3=0.
求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2000的值.
解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3) ＋x5(1＋x＋x2＋x3) ＋……＋ x1997(1＋x＋x2＋x3) ＝0
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2.试说明:817－279－913能被45整除. 解：∵原式＝(34)7－ (33)9－ (32)13
1)定系数 2)定字母 3)定指数
3、用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的乘积）
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）小心漏项（如：1）;（2）公因式可以是多项式形式。
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祝同学们： 天天快乐， 学业有成。
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5
合作探究
用心观察，找到答案 多项式 8x+12y 8ax+12ay 公因式
4 4a 4a2b
8a
3
bx+12a2b2y
2
9x -6xy+3x
3x
（2）多项式中的公因式是如何确定的？(合作交流探索）
6
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
定系数： 公因式的系数是各项整数系数的 最大公约数。 定字母： 取各项的相同的字母 相同字母的指数取次数最低的， 定指数：
2 x +
(x+1)(x-1)= x2－1 .
x2－1= ( x 1)(x 1)
x= x( x 1)
把一个多项式化成几个整式积的形式 ，这种变形叫做把这个多项式因式分 解（或分解因式）.
2
思考：
因式分解与整式乘法有何关系?
x2 + x
完整版)提公因式法因式分解练习题
完整版)提公因式法因式分解练习题因式分解——提公因式法以下是因式分解和不是因式分解的变形：1) 6a^3-3a^2b = 3a^2(2a-b) 是因式分解。
2) -x^2+x^3 = -x^2(1-x) 是因式分解。
3) (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 是因式分解。
4) (x-2)(x-3) = x^2-5x+6 是因式分解。
5) m^2 = m×m 不是因式分解。
6) m^2+m = m^3 不是因式分解。
二、用提公因式法因式分解1) 8ab^2-16a^3b^3 = 8ab^2(1-2a^2b^2)。
2) -m^2n+mn^2 = -mn(m-n)。
3) -15xy-5x^2 = -5x(x+3y)。
4) a^2b^2-1/4ab^3 = 1/4ab^2(a-4b)。
5) a^3b^3+a^2b^2-ab = ab(a^2b^2+a-b)。
6) -8a^3y+12a^2y^2-16ay^3 = -4ay(2a-y)(2a+3y)。
7) -3a^3m-6a^2m+12am = -3am(a^2+2a-4)。
8) -x^3y^2+2x^2y+xy = xy(-x^2+2x+1)。
用提公因式法因式分解(二)1) (a+b)-(a+b)^2 = -(a+b)(2a+b)。
2) x(x-y)+y(y-x) = 0.3) 6(m+n)^2-2(m+n) = 2(m+n)(3m+3n-1)。
4) 3(y-x)^2+2(x-y) = (y-x)(3y-3x+2)。
5) -3x(y-x)-(x-y) = -2(x-y)(x+3)。
6) m(m-n)^2-n(n-m)^2 = (m-n)^2(m+n)。
7) 6p(p+q)-4q(q+p) = 2p(3p-2q)。
8) 12a^2b(x-y)-4ab(y-x) = 4ab(3a-1)(y-x)。
9) (a+b)(x+y)-(a+b)(x-y) = 2(a+b)y。
公因式怎么找公因式分解法步骤及过程公因式的求法提公因式法
公因式：是只有多项式才有的，是指这个多项式中各项都具有的公共因式。
它可以是一个单项式，也可以是一个多项式，还可以是一个单项式与一个多项式的积。
公因式的求法：系数：各项系数的最大公约数；字母：各项都含有的字母；指数：相同字母的最低次幂。
提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
确定公因式的一般步骤：（1）如果多项式是第一项系数是负数时，应把公因式的符号“"提取。
（2）当各项系数都是整数时，取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数。
（3）把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式。
上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤（1）可省略。
注意：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
提出“”号时，多项式的各项都要变号。
例：3x+6+x+y+xy+1=3（x+2）+（x+xy）+（y+1）=3(x+2)+x（1+y）+（y+1）=3(x+2)+（x+1）（y+1）可见提公因式法也是需要一定的技巧。
再看一道例题：（xy）2+yx=(yx)2+(yx) (技巧就在这一步)=(yx+1)(yx)注意：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
如：口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
提取公因式法的解题步骤：提取公因式法是因式分解的一种基本方法。
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来作为多项式的一个因式，提取公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式。
提取公因式是乘法分配律的逆运算，其最简形式为：ma+mb+mc=m(a+b+c)。
利用提公因式法分解因式时，一般分两步进行：（1）提公因式：把各项中相同字母或因式的最低次幂的积作为公因式提出来；当系数为整数时，还要把它们的最大公约数也提出来，作为公因式的系数；当多项式首项符号为负时，还要提出负号。