提公因式法1
提公因式法(1)
提公因式法（1）学习目标：1、理解公因式及提公因式法.2、会找多项式中各顶的公因式及会用提公因式法分解因式.学习过程：一、快乐自学（自信使人成功）根据学习目标，自学教材P5- P8，并完成下列问题：1、多项式各项都有的__________叫做多项式各项的公因式. 把一个多项式中各项的公因式提到括号外面, 这种把多项式因式分解的方法叫做___________.须注意:⑴公因式的系数是各项系数的____________;⑵公因式含的字母是各项中____的字母, 且其指数应取次数_______的;⑶公因式是多项式的某项时, 提出公因式后, 该项应改为___充当;⑷首项为负数时, 应先提取”-“号, 使剩下因式第一项系数为____数;⑸当提公因式的各项中为分数系数时, 须把公分母也提出来.2、(1)代数式 223212,9,3abc a b b c -的共同点是都含有一个因式______________;(2)代数式2216,12,24x y xy xy -的共同点是都含有一个因式__________.3、你能指出下面多项式中各项的公因式吗？⑴ 22a +43a ⑵ 24xy+16x 2y⑶362m n+48m 2n⑷-12y x 2 +18xy - 15y (5) 2323r h r ππ+4、把下列各式分解因式（1）8x －72= ； （2）a 2b －5ab= ；（3）4m 3－6m 2= ； （4）a 2b －5ab+9b= 。
二 、合作探究（团结就是力量）三、拓展延伸（勇攀知识高峰）1. 如何利用因式分解法计算:3.167×1.258+1.258×(-4.167)+11×1.258 ?2. 20123- 4×20113+ 10×20103能被7整除吗? 为什么?四、达标训练（迅达成功彼岸）（一）、必做题：1、多项式11824n n x x +-的公因式是___,提取公因式后另一个因式是 .2、把下列多项式分解因式:(1)2328a bc a b +; (2)323612a a b a -+;(3)3223314728m n m n m n +-; (4)323612x x x -+-;(5)32222152142x y xy x y --+; (6)21327n n n aa a ++-+-（二）、选做题：3、分解因式: 22221218246(________________)a b ab a b ab -+=.4、若8,12a b ab +==,则22ab a b --的值是_____.5、计算: 2009201011()()22-+-=_____；6、已知,x y 互为相反数,则233x xy +=__________. 五、课外作业：（不满是向上的车轮）完成教材P10 A 组1 ,2.⑴⑵⑶ 3题学习反思：。
2.2提公因式法(1课时)
2.2提取公因式法（1课时）授课教师：张娟【教材分析】因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，因式分解不仅在多项式的除法、简便运算中有直接作用，也为以后学习分式运算、解方程、方程组及代数式的恒等变形提供了必要的基础。
进行因式分解的途径很多，技巧性强，逆向思维能力要求较高。
所以因式分解是发展学生智力、培养能力、深化学生的逆向思维能力的良好载体。
【教材背景】“提取公因式法”是北师大版初中八年级数学下册“因式分解”一章的重点内容之一，是学生学习因式分解的第一种分解因式的方法。
是最基本也是最重要的因式分解方法。
应该培养学生的观察、分析、判断能力和预见能力。
【教学方法】（一）教法分析1.为了调动学生的学习的积极性，充分肯定学生的主体地位，使学生变被动学习为主动的学习，应采用师生问答，启发诱导法和练习法，，及组织学生活动法。
2.教具准备：课件，多媒体（二）、学法分析为了培养学生的数学思维能力、自学能力，这节课主要采用指导学生通过讨论完成相应的学习过程：预习—听课（问答）—反馈巩固—系统小结—完成作业。
以达到巩固、熟练知识的目的，同时指导学生注意运用观察分析的学习方法。
【教学目标】知识技能目标：理解公因式的概念，会找出多项式的公因式，并能用提取公因式法因式分解过程方法目标：初步形成观察、分析、概括的能力和逆向思维方式情感态度目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。
【教学重难点】教学重点：掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解教学难点：准确找出公因式。
【教学过程】一.回顾旧知1. 多项式的分解因式的概念：把一个多项式__________________的形式，叫做把这个多项式分解因式.2. 分解因式与整式乘法是_____过程.3. 分解因式要注意以下几点:①分解的对象必须是_______.②分解的结果一定是几个整式的_____的形式.二.探究新知1.公因式的定义及确定方法下列各多项式的各项有没有共同的因式？（1）ma＋mb＋mc （2）8 a 3 b2 –12ab 3 + ab从上面的代数式中，大家注意观察每一个代数式有什么特点？各项之间有什么联系？由于m是左边多项式ma＋mb＋mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式．通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤．①首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4．②其次找各项中含有的相同的字母，如（2）中相同的字母有ab，相同字母的指数取次数最低的．【注意】多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式。
第1 课时提公因式法公开课教案
§14．3．因式分解第1 课时提公因式法教学目标（一）知识与技能1．因式公解、公因式．2．用提公因式法分解因式．（二）方法与过程1．使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．2．了解公因式概念和提取公因式的方法．3．会用提取公因式法分解因式．（三）情感、态度与价值观在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．教学重点会用提公因式法分解因式．教学难点如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．教学方法引导发现法．教学过程一．温故而知新计算：请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．(1)、a(b+c) （2）、(a+b)(a-b) （3）p(a+b+c)（学生在运算与交流中积累解题经验）这几个计算题实际就是整式的乘法，整式乘法也可以理解将几个整式的积的形式转化为一个多项式的形式，有时为了需要，也可以将一个多项式转化为几个整式的积的形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．三．新课探究分析讨论，探究新知．把下列多项式写成整式的乘积的形式（逆向思维）（1）x2+x=_________ （2）x2-1=_________ (3)am+bm+cm=__________ 像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．小试牛刀：下列变形中，属于因式分解的是：（1）、a（b+c）=ab+ac （2）x3+2x2-3=x2(x+2)-3 （3）a2-b2=（a+b）（a-b）可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．你能试着将多项式pa+pb+pc 进行因式分解吗？由p（a+b+c）=pa+pb+pc可得pa+pb+pc=p（a+b+c）．（1）这个多项式有什么特点？（2）因式分解的依据是什么？（3）分解后的各因式与原多项式有何关系？多项式中各项都有一个公共的因式p，（3）中各项都有一个公共因式m，我们叫这些公共因式为各自多项式的公因式。
提公因式法练习题
提公因式法（1）（一）课堂练习 一、填空题1.把一个多项式___________________也叫做把这个多项式_______。
2. (1)x 2-5xy_________ (2)-3m 2(4)-4a 3b 2-12ab 33. (3)9m 3+27m 2(5)2a 3b-4a 2b 2+2ab 3(7)21a 2-a=21a( ) 二、选择题1.(A)m(a+b)=ma+mb (B)x 2(C)x 22. (A)8a 2b 3c=2a 2·2b 3·2c (B)x 2(C)(x-y)2=x 2-2xy+y 2(D)3x 33.下列各式因式分解错误的是 （ (A)8xyz-6x 2y 2(C)a 2b 2-41ab 3=41ab 2(4a-b) (D)-a 2+ab-ac=-a(a-b+c)4.多项式-6a 3b 2-3a 2b 2+12a 2b 3因式分解时，应提取的公因式是 （ ） (A)3ab (B)3a 2b 2(C)- 3a 2b (D)- 3a 2b 25.把下列各多项式分解因式时，应提取公因式2x 2y 2的是 （ ）(A)2x 2y 2-4x 3y (B)4x 2y 2-6x 3y 3+3x 4y 4(C)6x 3y 2+4x 2y 3-2x 3y 3(D)x 2y 4-x 4y 2+x 3y 36.把多项式-axy-ax 2y 2+2axz 提公因式后，另一个因式是 （ ）(A)y+xy 2-2z (B)y-xy 2+2z (C)xy+x 2y 2-2xz (D)-y+xy 2-2z7.如果一个多项式4x 3y-M 可以分解因式得4xy(x 2-y 2+xy) ，那么M 等于 （ ）(A)4xy 3+4x 2y 2 (B)4xy 3-4x 2y 2 (C)-4xy 3+4x 2y 2 (D)-4xy 3-4x 2y 22-b 2②x 2+2x-3=x(x+2)-3 ③（ ） 个 2n 2(6)-4m 4n+16m 3n-28m 2n a n -a n+2+a 3n×199.7+7.5×199.7-1.8×199.7 3的值。
因式分解之提公因式和公式法
因式分解之提公因式和公式法因式分解是数学中的一种常见的运算方法，它可以把一个复杂的多项式表达式分解成更简单的因式乘积，从而更好地理解和运算。
一、因式分解的概念因式分解是指把一个多项式表达式写成因式的乘积形式的过程。
因式分解有两种主要的方法，一种是提公因式法，另一种是公式法。
1.1提公因式法提公因式法是指将多项式中的一个或多个公因式提取出来，使得多项式能够写成一个公因式乘以另外一个因式的形式。
提公因式法有以下几个步骤：步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
例子1：将多项式4x^2-5x+2进行因式分解。
首先，我们观察多项式，发现每一项的系数都是正整数，所以可以将多项式因式分解为最简整数.步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
4x^2-5x+2=(4x^2)+(-5x)+2步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=4x(x)+(-5x)+2步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=4x(x-5)+2步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=4x^2-20x+2例子2：将多项式2x^3+3x^2-4x-6进行因式分解。
步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
2x^3+3x^2-4x-6=(2x^3)+(3x^2)+(-4x)+(-6)步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=2x(x^2)+3x(x)+(-4x)+(-6)步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=2x(x^2+1.5x-2-3)步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=2x^3+3x^2-4x-6通过这个例子我们可以看出，当多项式中存在公因子时，提公因式法能够帮助我们简化运算过程，从而更方便地处理多项式。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
提公因式法1
(3)a b+ab
2
2
(4)3x -6x
2
3
(5)8m2 n+2mn2 (6)3x 2-6xy+3x
如何确定多项式的公因式？ 公因式的确定：（1）系数—— 最大公约数 （2）字母—— 各项都含有的相同字母 （3）指数—— 相同字母的最低次幂
（1）a b+ab =ab (
2 2
2
2
a+b
2
)
(2) 3x -6x =3x (
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
课本第96页习题4．2第1题
3、多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 3x +4x呢？多项式mb +nb–b呢？ 答：多项式ab+ac有相同的因式 a，多项式3x2 +4x有相同的因式 x，
2 多项式mb +nb–b有相同的因式 b。
2
2
结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．
(1)2x+4 (2)ma+mb+mc
3
2
（4） 3a m–6a m +12am
3
2
（5）–2x –12xy +8x
2
2
用提公因式法分解因式： （1）ma +mab （4）a b-5ab+9b
2 2
(2) 3y +6y
3
3
2 2
(3) ab - 5ab
2
(5)-4a +4a - 16a
从今天的课程中，你学会了哪些知识？需要注意什么地方？ 1、学会了用提公因式法分解因式（第一找公因式，第二提公因式） 2、要注意：用提公因式法进行因式分解时，要做到准确迅速地确定公因式， 需考虑以下因素： ①第一项有负号，先把负号作为公因式的符号； ②公因式系数是各项系数的最大公约数； ③公因式中的字母是各项都含有的字母； ④公因式中的字母的次数是各项相同字母的最低次幂； ⑤若有某项与公因式相同时，该项保留公因式是1，而不是0；不要丟项。 ⑥提公因式一定要提最大公因式，要提“净”。
初中数学 教学设计1：提公因式法
（2）y－x=__________（x－y）；
（3）b+a=__________（a+b）；
（4）（b－a）2=__________（a－b）2；
（5）－m－n=__________－（m+n）；
（6）－s2+t2=__________（s2－t2）；
三、例题讲解
从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？
等式右边的项有什么特点？
［生］等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式(a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式.
[师］由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，
因此m叫做这个多项式的各项的公因式.
［师］后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.
在分解因式时应如何减少上述错误呢？
将x写成x·1,这样可知提出一个因式x后，另一个因式是1.
［师］从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？
［生］不是，是两个多项式的乘积.
[例］把下列各式分解因式:
（1）a（x－y）+b（y－x）;
（2）6（m－n）3－12（n－m）2
（3）
（4）
四、课堂练习
把下列各式分解因式：
解：（1）x（a+b）+y（a+b）
=（a+b）（x+y）;
(2）(－2）101+(－2）100.
人教版数学八年级上第十四章14.3因式分解第一课时教案-word文档
第十四章整式的乘法和因式分解14.3 因式分解第一课时14.3.1 提公因式法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]理解因式分解的概念，知道因式分解和整式的乘法是方向相反的变形。
[2]理解公因式的概念，会根据“三定法”确定公因式。
[3]掌握因式分解中的提公因式法。
1.2过程与方法：[1]通过对比整式乘法，理解因式分解的概念，发展学生的逆向思维能力。
[2]通过类比数的结合律，抽象出因式分解中的提公因式方法。
1.3 情感态度与价值观：[1]在数学运算中培养学生细致严谨的精神素养。
[2]让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度。
2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]因式分解的概念及提公因式法。
2.2 教学难点[1]正确找出多项式各项的公因式[2]正确认识分解因式与整式乘法的区别和联系。
3 专家建议学生刚刚学习过有关幂的运算，因此在教学设计中可以多适当安排一些有关幂的、应用提公因式法的分解因式题目。
此外，因式分解属于新概念，它和学生以往的运算认知是相反的，教师在教学过程中应该耐心面对学生的错误，并多举出实例使学生区别整式乘法和因式分解。
4 教学方法观察思考——概念介绍——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。
这节课开始，我们先来思考一个问题，630能被哪些数整除？【生】把630分解质因数，可以得到：630=2×32×5×7。
【师】这个问题大家小学就知道了对吧，但现在我们在学习整式的乘法，所以我们可以想一下，一个数可以写成若干个因数乘积的形式，整式能不能这样做呢？这就是这节课我们要学习的内容。
【板书】第十四章整式的乘法和因式分解14.3 因式分解14.3.1 提公因式法6.2 新知介绍[1]因式分解的概念【师】大家看投影（给出114页探究），首先我们来完成这样的一个任务：把下列多项式写成整式的乘积的形式。
根据整式的乘法，你能得到答案么？【生】（完成题目，给出答案）。
提公因式法(1)教案和教学反思
4.2提公因式法（1）学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。
2.会用提公因式法把多项式因式分解。
教学重点：能确定多项式公因式，并用提公因式法把多项式因式分解。
教学难点：确定多项式的公因式。
教学过程：一、复习回顾，引入课题1.什么是因式分解？2.因式分解与整式乘法有什么关系？二、自主先学，感知设疑小组讨论自学的收获和困惑：1.什么是公因式？2.如何确定多项式各项的公因式？3.会用提公因式法把多项式因式分解吗？三、目标导学，情境引入（一）展示学习目标，让学生齐读。
学习目标：1.了解公因式的定义，能确定多项式各项的公因式。
2.会用提公因式法把多项式因式分解。
（二）情境引入多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式m b2+nb-b呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流。
这几个多项式的相同因式比较好找，学生容易找到，并逆用乘法分配律将他们写成几个因式的乘积的形式，让学生初步感受找公因式，并提公因式。
四、互助研学，探究解疑（一）探究活动一公因式的定义利用情境中提出的几个多项式让学生归纳出公因式的定义，并让学生齐读记忆。
培养学生的初步归纳能力。
一个多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
（二）议一议：确定公因式的方法？多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？让学生分组讨论，教师可以点拨学生从系数，字母，指数三方面去考虑。
学生讨论后提问并归纳出确定公因式的方法：系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数；字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即取字母最低次幂。
简单的说就是：1.定系数；2.定字母；3.定指数。
（三）即学即练1.多项式8x2y-14x2y+4x y3各项的公因式是（）A. 8xyB. 2xyC. 4xyD. 2y2.下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是（）A.15a2b−20a2b2B.30a2b3-15a b4-10a3b2C.10a2b2-20a2b3+50a4b5D.5a2b4-10a3b3+15a4b2(四)探究活动二提公因式分解因式你能将多项式2x2+6x3因式分解吗？指名上台讲解。
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§2.2.1 提公因式法（一）
学习目标：
1. 了解公因式的意义，并能准确的确定一个多项式各项的公因式；
2. 掌握因式分解的概念，会用提公因式法把多项式分解因式.
3．进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法
学习重点：
能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.
学习难点：
正确识别多项式的公因式.
预习作业
1、一个多项式各项都含有 _______因式，叫做这个多项式各项的_____
2、公因式是各项系数的_________与各项都含有的字母的_______的积。
3、如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个______提出来，从而将这个多项式化成两个因式的乘积形式，这种分解因式的方法叫做______________
4、把首项系数变为正数。
（1）=--22xy y x —（ ）
（2）=-+-xy xy y x 1892722—（ ）
（3）=++---b a b a b a n n n 221—（ ）
例1、确定下列各题中的公因式： （1）324bc a -，212ac ，38ab （2）)(23n m a --，)(42m n a -
（3）18-n m y x ，n m y x 14+-
例2、用提公因式法分解因式 （1）c ab b a 323128- （2）x xy x +-632（跟踪练习课本48页随堂练习1，2）） （3）m m m
2616423-+- （练习课本49页随堂练习5,6，知识技能中有关题目） （4）114
12-+-+k k k x x x （练习下边4） 练习：1．分解因式： （1）x x 2172- （2）abc c ab b a
+-323128 （3）x x x 28122423+-- （4）1212222-+-+n n n a a a
例3、利用分解因式简化计算：9999449957-⨯+⨯
拓展训练： 1．利用分解因式计算：2
1)2()2(20122011⨯-+-
3．证明：127525
-能 被120整除。
4计算：2011200920103363
-⨯+
提公因式法小结：
1、当首项系数为负时，一般要提出负号，使剩下的括号中的第一项的系数为正，括号内其余各项都应注意改变负号。
2、公因式的系数取多项式中各项系数的最大公约数，公因式的字母取各项相同字母的最低次幂的积。
3、提取公因式分解因式的依据就是乘法分配律的逆用
4、当把某项全部提出来后余下的系数是1，不是0（提公因式后括号内多项式的项数与原多项式的项数一致）。