提公因式法(基础)知识讲解
七年级数学提公因式法知识点归纳
七年级数学提公因式法知识点归纳七年级数学提公因式法知识点归纳初中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。
不光愉快的过新学期，也要面对一件重要的事情那就是学习。
应届毕业生店铺为大家提供了七年级数学提公因式法知识点归纳，希望对大家有所帮助。
◆ 因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式;(化和为积)注意：1、因式分解对象是多项式;2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止;3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性;◆ 分解因式的.作用分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。
◆ 分解因式的一些原则(1)提公因式优先的原则.即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。
(2)分解彻底的原则.即分解因式必须进行到每一个多项式因式都再不能分解为止。
(3)首项为负的添括号原则.即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“-”号的括号，并遵循添括号法则。
◆ 因式分解的首要方法—提公因式法1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。
3、使用提取公因式法应注意几点：(1)提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。
(2)公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。
(找最高公因式)(3)对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。
◆ 提公因式法分解因式的关键：1、确定最高公因式;(各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积)2、提出公因式后另一因式的确定;(用原多项式的每一项分别除以公因式)。
因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。
《提公因式法》分解因式
对于二元一次方程组，可以分别提取每个方程的公因式，得到一组新的方程，然后求解。
提取三角函数的公因式
01
对于三角函数表达式，可以先将 有相同角或相反角的项组合在一 起，然后提取公因式。
02
对于三角函数恒等式，可以运用 公式进行化简，然后再提取公因 式。
03
提公因式法的步骤
确定多项式的项数
确定多项式的项数
首先需要确定多项式的项数。多 项式的项数是指构成多项式的单 项式的个数。
例如
对于多项式 2x² + 3x - 4，我们 可以看到它有三项，分别是 2x² 、3x 和 -4。
确定各项的系数和指数
当一个多项式的第一项和最后 一项是同类项时，需要将整个 多项式的符号放在公因式的外 面。
如果不注意符号的变化，会导 致分解因式出现错误。
注意一些特殊的项
在提公因式法中，还需要注意一 些特殊的项。
例如，当一个多项式的第一项和 最后一项都是负数时，需要将整 个多项式的符号放在公因式的外
面。
如果不注意这些特殊的项，会导 致分解因式出现错误。
提取公因式
将找出的公因式提取出来 ，得到一个或多个没有公 因式的多项式。
公因式的重要性
简化多项式
通过提取公因式，可以将 多项式简化为更容易处理 的形式。
便于计算
在因式分解或化简时，提 取公因式可以简化计算过 程。
便于约分
提取公因式有助于将一个 多项式约分成若干个简单 分式。
公因式法的定义
公因式法
题目2
三角函数 $\cos(A+B)$ 中，公因式 是 $\cos$。
提公因式法讲解
提公因式法讲解以提公因式法讲解为标题，本篇文章将详细介绍提公因式法的概念、步骤和应用。
提公因式法是一种用于因式分解多项式的常用方法，通过找出多项式中的公因子来简化表达式，使得分解更加简单和直观。
一、概念提公因式法是指通过寻找多项式中的公因子来进行因式分解的一种方法。
在多项式中，如果存在一个因子能够整除每一项，那么这个因子就是公因子。
通过提取出公因子，我们可以将多项式分解为更简单的形式，从而更好地理解和运算。
二、步骤提公因式法的步骤如下：1.观察多项式，找出其中的公因子。
多项式中的公因子可以是数字、字母或者字母的乘积。
2.将公因子提取出来，得到一个公因子和一个括号内的表达式。
公因子放在括号外，括号内的表达式是原多项式除以公因子的结果。
3.将原多项式除以公因子得到的括号内的表达式再次进行因式分解，直到无法继续分解为止。
4.将所有的公因子和括号内的表达式相乘，得到最终的因式分解形式。
三、应用提公因式法在数学中有着广泛的应用。
它可以用于简化多项式的表达式、求解方程、解决实际问题等。
1.简化多项式的表达式：通过提取公因子，可以将复杂的多项式表达式简化为更简单的形式，使得计算更加方便和快捷。
2.求解方程：在解方程过程中，我们常常需要将方程转化为因式的形式，从而更好地进行求解。
提公因式法可以帮助我们将方程进行因式分解，使得求解过程更加简单和直观。
3.解决实际问题：提公因式法可以应用于解决实际问题中的数学模型。
通过将实际问题转化为多项式表达式，并利用提公因式法进行因式分解，可以更好地理解和解决实际问题。
四、例题解析下面我们通过一个例题来解析提公因式法的具体步骤：例题：将多项式4x+8y的因式分解。
解析：观察多项式4x+8y，我们可以发现它的公因子是4。
将4提取出来，得到4(x+2y)。
其中，括号内的表达式x+2y是多项式除以公因子4的结果。
经过这一步骤，我们可以发现多项式4x+8y已经被成功因式分解为4(x+2y)的形式。
提公因式法的概念
提公因式法的概念提公因式法是一种数学方法，用于将多项式进行因式分解。
通过找出多项式中的公因式，并提取出来，可以简化多项式的形式，使之更易于理解和计算。
该方法通常应用于代数运算和解方程等数学问题中。
提公因式法的核心思想是将多项式表达式中的每一项进行因式分解，找出它们之间的公因子，并提取出来。
通过这种方式，可以将多项式分解为更简单的形式，使之更易于处理和分析。
具体应用提公因式法进行因式分解的步骤如下：1.首先，将多项式按照加减号分成多个项，如将3x^2 + 5x -2x^3 + 6按照加减号分成四个项。
2.然后，观察每个项之间是否存在公因子。
公因子是指每一项都能够整除的因子。
例如，在3x^2 + 5x - 2x^3 + 6中，3是第一个项和第四个项的公因子，而x是第一个项和第三个项的公因子。
3.确定了公因子后，将这个公因子提取出来，并将其乘以剩余的部分，得到分解后的形式。
例如，在3x^2 + 5x - 2x^3 + 6中，公因子3可以提取出来，得到3(x^2 + 5/3x - 2x^3/3 + 2)。
4.进一步分解剩余部分的多项式，重复上述步骤，直到无法再分解为止。
提公因式法的优点是可以大大简化多项式的形式，使之更易于处理和计算。
通过找出公因子，并将其提取出来，可以将多项式的求解问题转化为更简单的形式，例如可以将求解方程转化为求解一次方程或二次方程的问题。
此外，提公因式法还可以用于多项式的乘法和约分运算。
在进行多项式的乘法运算时，可以通过提取公因子的方法，将复杂的运算转换为简单的乘法运算。
而在进行多项式的约分运算时，也可以利用公因子提取的方法，将多项式约分为最简形式。
需要注意的是，提公因式法只适用于多项式之间存在公因子的情况。
当多项式之间没有公因子时，无法通过提取公因子的方法进行因式分解。
此时，可以尝试其他的因式分解方法，如配方法、二次差分等。
综上所述，提公因式法是一种数学方法，通过找出多项式中的公因子，并将其提取出来，将多项式进行因式分解。
因式分解和提公因式法
因式分解和提公因式法因式分解是代数中的一种重要的运算方法，在解题过程中往往可以起到简化问题、求解方程、找出公因数等作用。
而提公因式法是因式分解的一种特殊形式，通过提取公因式来简化多项式的表达式。
本文将详细介绍因式分解和提公因式法的概念、原理以及应用。
一、因式分解的概念和原理1.1 因式分解的概念因式分解是将一个多项式拆解成若干个因式的乘积，其中每个因式都是多项式的一个因子。
通过因式分解，我们可以将复杂的多项式化简为简单的因子形式，便于进一步求解方程、计算和进行其他代数运算。
1.2 因式分解的原理因式分解的原理是根据多项式的特点和运算规律，将其拆解为不可再分解的因子相乘的形式。
常用的分解方法有提取公因式法、配方法、根据特殊公式和因式定理等。
二、提公因式法的概念和步骤2.1 提公因式法的概念提公因式法是一种较为常见且简便的因式分解方法，通过提取多项式中的公因式，将多项式拆解为公因式和剩余部分的乘积。
这样可以达到简化表达式的效果，从而便于求解方程或进行其他计算。
2.2 提公因式法的步骤步骤一：观察多项式中是否存在公因式；步骤二：提取出公因式，并在多项式外面加上括号，表示公因式；步骤三：将多项式中去掉公因式后的部分作为括号内的剩余部分；步骤四：将公因式和剩余部分用乘号连接起来，得到最终的因式分解式。
三、因式分解和提公因式法的应用3.1 解方程因式分解和提公因式法在解方程中经常被使用。
通过因式分解，可以将原方程化简为简单的因子形式，从而更容易求解。
例如，对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果可以进行因式分解成(a'x + b')(c'x + d') = 0，那么可以根据方程因式乘积为零的性质，得到x的取值。
3.2 简化计算在进行复杂的数学计算时，因式分解和提公因式法可以起到简化计算的作用。
通过将多项式化简为因子形式，可以减少计算的复杂性。
特别是在涉及多次相同运算的情况下，将公因式提取出来可以减少重复计算。
因式分解———提公因式公式法
因式分解———提公因式公式法因式分解是数学中的一个重要的方法，它可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式。
常用的因式分解方法有提公因式法和公式法。
一、提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法，它的基本思想是找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式3x^2+9x分解因式。
解题步骤：1.观察多项式中的每个项，找出它们的公因式。
在这个例子中，3和9都是3的倍数，所以可以提取出公因式3来，即3x^2+9x=3(x^2+3x)。
2.检查提取出的公因式是否是多项式的最大公因子。
这一步其实是用求最大公因子的方法来验证的。
在这个例子中，公因式3是最大公因子，因为3x^2和3x都可以被3整除，而且没有其他的公因子。
3.将提取出来的公因式和剩下的部分组合在一起。
在这个例子中，可以将公因式3和剩下的部分(x^2+3x)组合在一起，即3(x^2+3x)。
综上所述，多项式3x^2+9x可以分解因式为3(x^2+3x)。
二、公式法公式法是因式分解中的另一种常用方法，它适用于具有特定形式的多项式。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式x^2+4x+4分解因式。
解题步骤：1.观察多项式的各个项的系数。
在这个例子中，x^2的系数为1，4x的系数为4，4的系数为42.检查多项式是否具有特定形式。
在这个例子中，多项式的形式为x^2+4x+4，它的形式和公式(a+b)^2非常相似。
3.根据公式(a+b)^2，将多项式进行分解。
根据公式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可以将多项式x^2 + 4x + 4分解为(x+2)^2综上所述，多项式x^2+4x+4可以分解因式为(x+2)^2综合练习：1.将多项式6x^2+9x+3分解因式。
解：可以观察到，多项式的各个项的系数都是3的倍数，所以可以提取公因式3，即6x^2+9x+3=3(2x^2+3x+1)。
2.将多项式x^3-8分解因式。
因式分解-提公因式法
提公因式法的应用场景
• 可提取公因式简化 多项式
• 需要进一步分解剩 余部分
配方法
• 适用于二次方程式 • 通过转化为平方完
成因式分解 • 适用范围有限
根式法
• 适用于含有平方根 的多项式
• 通过提取平方根进 行因式分解
• 限制较多
提公因式法的优点
简单易用
提公因式法是一种较为简单的因式分解方法，易于掌握和应用。
通用性强
因式分解-提公因式法
因式分解是一种重要的数学概念，提公因式法是常用的因式分解方法之一。
提公因式法的定义
提公因式法是一种通过找出多项式中的公因式，将其进行提取，从而达到进 行因式分解的目的的方法。
提公因式法的步骤
1. 找出多项式中的公因式 2. 提取公因式 3. 将剩余部分进行因式分解
示例：使用提公因式法进行因式分解
提公因减少计算量
通过提取公因式，可以简化多项式，减少计算的复杂度。
结论
提公因式法是一种重要的因式分解方法，能够帮助我们简化复杂的代数表达 式，解决方程，以及进行数学建模。
1 简化表达式
提公因式法可以帮助我们简化复杂的代数表达式，使计算更加简便。
2 解方程
提公因式法可以用于解决一些复杂方程，帮助我们找到方程的根。
3 数学建模
提公因式法是数学建模中常用的一种方法，可以帮助我们更好地理解和描述实际问题。
因式分解之提公因式和公式法
因式分解之提公因式和公式法因式分解是数学中的一种常见的运算方法，它可以把一个复杂的多项式表达式分解成更简单的因式乘积，从而更好地理解和运算。
一、因式分解的概念因式分解是指把一个多项式表达式写成因式的乘积形式的过程。
因式分解有两种主要的方法，一种是提公因式法，另一种是公式法。
1.1提公因式法提公因式法是指将多项式中的一个或多个公因式提取出来，使得多项式能够写成一个公因式乘以另外一个因式的形式。
提公因式法有以下几个步骤：步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
例子1：将多项式4x^2-5x+2进行因式分解。
首先，我们观察多项式，发现每一项的系数都是正整数，所以可以将多项式因式分解为最简整数.步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
4x^2-5x+2=(4x^2)+(-5x)+2步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=4x(x)+(-5x)+2步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=4x(x-5)+2步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=4x^2-20x+2例子2：将多项式2x^3+3x^2-4x-6进行因式分解。
步骤一：将多项式中的每一项按照公共因子进行分组。
2x^3+3x^2-4x-6=(2x^3)+(3x^2)+(-4x)+(-6)步骤二：分别对每一组内的项进行因式分解，将其写成一个公因子乘以一个因式的形式。
=2x(x^2)+3x(x)+(-4x)+(-6)步骤三：将每一组内的公因子提取出来，然后将每一组的因式相乘。
=2x(x^2+1.5x-2-3)步骤四：将每一组的结果再相乘，得到最终的结果。
=2x^3+3x^2-4x-6通过这个例子我们可以看出，当多项式中存在公因子时，提公因式法能够帮助我们简化运算过程，从而更方便地处理多项式。
因式分解之提公因式和公式法
因式分解之提公因式和公式法
一、因式分解
所谓因式分解就是将一个复杂的数学式，整理成由最简单的质因数所
组成的式子，以便我们更清楚地理解和计算这个式子。
例如：把一个复
杂的数学式9a^2b - 18ab^2 + 3a^2b分解为：(3a^2b - 6ab^2) +
(3a^2b - 12ab^2)，我们可以发现这个式子表示三个互相独立的数学关系：a^2b 与 -6ab^2 相乘，3a^2b 与 -12ab^2 相乘。
因式分解的步骤主要有以下三步：
1、找出最小的因数，然后把数学表达式中得到的因数分解成单一的
因子（质数）。
2、然后尝试把每个因子再次分解，直到质数的最小单位为止。
3、最后将所有因数重新组合，组成一个正确的数学表达式。
二、提公因式法
提公因式法用于计算两个或多个不同的数学表达式之间的关系，它的
概念很简单，主要是把两个或多个不同的表达式中的相同的因数提取出来，然后把它们放在一起，使其形成一个新的公因式。
比如说，有两个数学表达式（a+b）^2和a^2+2ab+b^2，那么我们可
以把它们中的公因式（a+b）提取出来：（a+b）^2 = (a+b)(a+b) =
a^2+2ab+b^2、如此一来，我们就把两个不同的表达式形成了一个。
从这个计算过程中我们可以发现，提公因式法实际上是一种简化表达
式的思想。
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提公因式法(基础)
【学习目标】
1. 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系；
2.
能确定多项式各项的公因
式，会用提公因式法将多项式分解因式 . 【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多 项式分解因式. 要点诠释：
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式
.
要点诠释：(1 )公因式必须是每一项中都含有的因式
.
(2) 公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式
(3) 公因式的确定分为数字系数和字母两部分： 的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，
要点三、提公因式法
把多项式 枕a+刑i+滋;分解成两个因式的乘积的形式，
m ，另一个因式是 (a+b + M ，即 禅a+衲朋c =潮+ ，而(a+b + C 正好是
ma+mb+m:除以m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法. 要点诠释：(1)提公因式法分解因式实际上是逆用乘
法分配律，
即啊二战 S + E+c).
(2)
用提公
因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式
.
(3) 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“一”号，使括号内的
第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号
.
(4) 用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和
为零，则提取公因式后，该项变为： “+ 1”或“-1 ”，不要把该项漏
掉，或认为是0而出现错误.
【典型例题】 类型一、因式分解的概念
1、(2016?石家庄校级模拟)下列等式从左到右的变形是因式分解的是(
2 2 2
A . 6a b =3ab?2ab
B . 2x+8x - 1=2x (x+4)- 1
C . a 2
- 3a - 4= (a+1) (a -4) D .
l=aCa-—)
因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体， 而不是部分，因
式分解的结果只能是整式的积的形式
. 要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止
.
因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆 .因式分解是一种恒
等变形，而整式乘法是一种运算 .
(1)
(2) (3) ①公因式的系数是各项系数 指
数取各字母指数最低的
其中一个因式是各项的公因式
a
【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，两方面去判断. 从对象和结果
【答案】C.
【解析】A、是单项式乘单项式的逆运算，不符合题意；
B、右边结果不是积的形式，不符合题意；
C、a2- 3a- 4= (a+1) (a- 4),符合题意；
D、右边不是几个整式的积的形式，不符合题意.
故选：C.
【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，
将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解，等式的右边必须是整式因式积的形式.
举一反三:
【变式】(2014 ?海南)下列式子从左到右变形是因式分解的是(
A.a 2+4a- 21=a (a+4)- 21
B.a 2+4a- 21= (a- 3) (a+7)
2
2+4a- 21= (a+2) 2- 25
C. (a - 3) (a+7) =a +4a - 21
D.a
【答案】B.
类型二、提公因式法分解因式
⑵ 多项式4mn‘ -16m2-8m的公因式是
多项式x(b +c - a) - y(b + c - a) - (a -b -c)的公因式是
多项式2(x -3) +x(3 -X)的公因式是
【答案】(1)3 (2)4 m (3) b+c—a (4) X —3
【解析】
解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式.
(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含字母•公因
式为3.
(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数，字母部分是m •公因式为4m.
(3)公因式是(b+ c-a ),为一个多项式因式.
⑷ 多项式可变形2(x-3)—x(x-3 )，其公因式是X-3 •
【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数, 可以是一个
单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式.
举一反三:
【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是(
A x2 -y
B • X2+2X C• x^+y2 D x^-xy+ y2
【答案】B;
x 2y + 5xy - y = y (x 2
+5x )
【答案】C;
2 2 2
解：A. 12abc-9a b c =3abc(4-3abc)，故本选项错误;
A. 1 -q — p B .q - p C . 1 + p —q D .
1 +q -p
【答案】C; 【解析】 2 3 _
解：(P —q ) — (q —p ) =(q — p ) (1 + p —q ).故选 C. …• 2 _ _ 【总结升华】观察等式的右边，提取的是 (q - P ),故可把(p-q )变成(q - P ),即左边
2 =(q - P ) (1 + P -q )•注意偶次幕时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幕时，交 换被减数和减数的位置，应加上负号. 举一反三： 【变式】把多项式(m +1 X m -1)+(m -1)提取公因式(m -1 )后，余下的部分是( A m+1 B . 2m C . 2 D . m + 2
【答案】D; 解：(m +1 x m -1 )+(m -1), =(m -1；(m +1+1 ), =(m -1 X m +2 )• 4、(2015春？新沂市期中)分解因式：3x ( a - b )- 6y ( b - a ). 【思路点拨】 将原式变形后，提取公因式即可得到结果.
【答案与解析】 解：原式=3x (a - b ) +6y (a - b ) =3 (a - b ) 【总结升华】此题考查了因式分解-提公因式法， 键. (x+2y ).
熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关
举一反三: 【变式】用提公因式法分解因式正确的是( A . 12abc-9a 2b 2c 2 =3abc(4-3ab) B .
2 2
3x y-3xy +6y = 3y (X -x +2y )
C.
2
-a +ab-ac = —a(a-b+c)
D.
初一数学下优质学案、专题汇编(附详解)
2 2
B. 3x y-3xy+6y =3y(x -x + 2 )，故本选项错误;
2
C. -a +ab —ac =—a(a —b+c )，正确;
2 2
D. x y +5xy-y=y(x + 5x-1 )，故本选项错误.
类型三、提公因式法分解因式的应用
5、若X2+3x -2 =0，求2x3+6x2-4x 的值.
【答案与解析】
解：由x? + 3x -2 =0，得x? + 3x =2
2x3+6x2-4x =2x(x2+3x )-4x =2x^2 - 4x = 0 .
【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，2x3+6x2=2x(x2+3x)，这样就能由
已知整体代入求值了.。