实验6 季节ARIMA模型建模与预测
arima 预测模型公式
arima 预测模型公式ARIMA（自回归移动平均模型）是一种常用的时间序列分析方法，被广泛应用于预测模型的建立和预测结果的生成。
ARIMA模型的基本形式为ARIMA(p, d, q)，其中p表示自回归阶数，d表示差分阶数，q表示移动平均阶数。
ARIMA模型主要用于分析时间序列数据的相关性和趋势性，并基于这些信息进行预测。
其核心思想是将时间序列数据转化为平稳时间序列，然后建立自回归和移动平均模型，最后通过模型的预测能力对未来的数据进行预测。
ARIMA模型的建立主要包括以下几个步骤：1. 数据预处理：对原始时间序列数据进行平稳性检验，如果不满足平稳性要求，则进行差分操作，直到满足平稳性的要求。
2. 模型识别：通过自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的分析，确定AR和MA的阶数p和q。
3. 参数估计：利用最大似然估计方法对ARIMA模型的参数进行估计。
4. 模型检验：通过残差的白噪声检验和模型拟合优度检验，对模型的拟合效果进行评估。
5. 模型预测：利用已建立的ARIMA模型对未来的数据进行预测。
ARIMA模型的建立和应用需要一定的专业知识和技巧。
在实际应用中，还可以通过调整模型的阶数和改进模型的结构，进一步提高模型的预测能力。
ARIMA模型有许多优点，如能够处理非线性、非平稳和具有趋势性的时间序列数据，具有较强的灵活性和预测准确性。
然而，ARIMA 模型也存在一些局限性，如对数据的平稳性要求较高，对噪声的处理能力有限。
ARIMA模型在实际应用中有广泛的应用领域，如经济学、金融学、交通运输、气象预测等。
在金融领域，ARIMA模型可以用于股票价格预测、汇率预测等。
在气象预测中，ARIMA模型可以用于气温、降水量等的预测。
在交通运输中，ARIMA模型可以用于交通流量的预测。
ARIMA模型是一种常用的时间序列分析方法，具有较强的预测能力和灵活性。
在实际应用中，可以根据需求对模型进行调整和改进，以提高预测效果。
ARIMA模型---时间序列分析---温度预测
ARIMA模型---时间序列分析---温度预测（图⽚来⾃百度）数据分析数据第⼀步还是套路------画图数据看上去⽐较平整，但是由于数据太对看不出具体情况，于是将只取前300个数据再此画图这数据看上去很不错，感觉有隐藏周期的意思代码#coding:utf-8import csvimport matplotlib.pyplot as pltdef read_csv_data(aim_list_1, aim_list_2, file_name):i = 0csv_file = csv.reader(open(file_name,'r'))for data in csv_file:if (i == 0):i += 1continueaim_list_1.append(float(data[1]))aim_list_2.append(data[3])returndef plot_picture(x, y):plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.plot(x, y)plt.show()returnif__name__ == '__main__':temp = []tim = []file_name = 'C:/Users/lichaoxing/Desktop/testdata.csv'read_csv_data(temp, tim, file_name)plot_picture(tim[:300], temp[:300])使⽤ARIMA模型（ARMA）第⼀步观察数据是否是平稳序列，通过上图可以看出是平稳的如果不平稳，则需要进⾏预处理，⽅法有对数变换差分对于平稳的时间序列可以直接使⽤ARMA(p, q)模型进⾏拟合ARMA (p, q) : AR(p) + MA(q)此时参数p和q的确定可以通过观察ACF和PACF图来确定通过观察PACF图可以看出，阶数为9也就是p=9，这⾥ACF图看出⾃相关呈现震荡下降收敛，但是怎么决定出q，我没太明⽩，这⾥姑且拍脑袋才⼀个吧就q=3但是这⾥我遇到了⼀个问题，没有搞懂，就是平稳的序列，如果我进⾏⼀阶差分后应该仍然是平稳的序列，但是这个时候我⼜画了⼀个ACF 与PACF图，竟然是下图这样，lag的范围是-0.04到0.04（不懂）lag的范围是-0.04到0.04的问题原因（修改于再次使⽤此模型）原因：当时，我使⽤的是⼀阶差分，也就是让数据的后⼀个值减去前⼀个值得到新的值，这样就会导致第⼀个值变为缺失值（下⾯的数据是再此使⽤此模型时的数据，与原博客数据⽆关）就是因为此处的值为缺失值，导致绘制ACF与PACF时数据有问题⽽⽆法成功显⽰解决办法，在绘制上述图形前，将第⼀个数据去除：dta= dta.diff(1)dta = dta.truncate(before= ym[1])#删除第⼀个缺失值其实还有就是使⽤ADF检验，得到的结果如图，这个p值很⼩===》平稳画图代码def acf_pacf(temp, tim):x = timy = tempdta = pd.Series(y, index = pd.to_datetime(x))fig = plt.figure(figsize=(9,6))ax1 = fig.add_subplot(211)fig = sm.graphics.tsa.plot_acf(dta,lags=50,ax=ax1)ax2 = fig.add_subplot(212)fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(dta,lags=50,ax=ax2)show()ADF检验代码def test_stationarity(timeseries):dftest = adfuller(timeseries, autolag='AIC')return dftest[1]这⾥先使⽤ARMA(9,3)来实验测试⼀下效果，取前300个数据中的前250个作为train，后⾯的作为test 效果可以说这个模型是真的强⼤，预测的还是⼗分准确的代码def test_300(temp, tim):x = tim[0:300]y = temp[0:300]dta = pd.Series(y[0:249], index = pd.to_datetime(x[0:249]))fig = plt.figure(figsize=(9,6))ax1 = fig.add_subplot(211)fig = sm.graphics.tsa.plot_acf(dta,lags=30,ax=ax1)ax2 = fig.add_subplot(212)fig = sm.graphics.tsa.plot_pacf(dta,lags=30,ax=ax2)arma_mod = sm.tsa.ARMA(dta, (9, 3)).fit(disp = 0)predict_sunspots = arma_mod.predict(x[200], x[299], dynamic=True)fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 6))ax = dta.ix[x[0]:].plot(ax=ax)predict_sunspots.plot(ax=ax)show()其实，可以通过代码来⾃动的选择p和q的值，依据BIC准则，⽬标就是bic越⼩越好代码def proper_model(timeseries, maxLag):init_bic = 100000000init_properModel = Nonefor p in np.arange(maxLag):for q in np.arange(maxLag):model = ARMA(timeseries, order=(p, q))try:results_ARMA = model.fit(disp = 0, method='css')except:continuebic = results_ARMA.bicif bic < init_bic:init_properModel = results_ARMAinit_bic = bicreturn init_properModel遇到的问题，预测时predict函数没怎么使⽤明⽩当写于某些预测区间的时候，会报 “start”或“end”的相关错误，还有⼀个函数forcast，这个函数使⽤就是forcast(N)：预测后⾯N个值返回的是预测值（array型）标准误差（array型）置信区间（array型）还有：对于构造时间序列，时间可以是时间格式：如 “2018-01-01” 或者就是个时间戳，在⽤时间戳的时候，其实在序列⾥它会⾃动识别时间戳，并加上起始时间1970-01-01 00:00:01形式附录（代码）预测⼀序列中某⼀点的值#coding:utf-8import csvimport timeimport pandas as pdimport numpy as npfrom statsmodels.tsa.arima_model import ARMAimport argparseimport warningswarnings.filterwarnings('ignore')def timestamp_datatime(value):value = time.localtime(value)dt = time.strftime('%Y-%m-%d %H:%M',value)return dtdef time_timestamp(my_date):my_date_array = time.strptime(my_date,'%Y-%m-%d %H:%M')my_date_stamp = time.mktime(my_date_array)return my_date_stampdef read_csv_data(aim_list_1, aim_list_2, file_name):i = 0csv_file = csv.reader(open(file_name,'r'))for data in csv_file:if (i == 0):i += 1continueaim_list_1.append(float(data[1])) #1：温度 2：湿度dt = int(data[3])aim_list_2.append(dt)returndef proper_model(timeseries, maxLag):init_bic = 100000000init_properModel = Nonefor p in np.arange(maxLag):for q in np.arange(maxLag):model = ARMA(timeseries, order=(p, q)) #bugtry:results_ARMA = model.fit(disp = 0, method='css')except:continuebic = results_ARMA.bicif bic < init_bic:init_properModel = results_ARMAinit_bic = bicreturn init_properModeldef test_300(temp, tim, time_in):x = []y = []end_index = len(tim)for i in range(0, len(tim)):if (time_in - (tim[i]) < 300):end_index = ibreakif (end_index < 100):x = tim[0: end_index]y = temp[0: end_index]else:x = tim[end_index - 100: end_index]y = temp[end_index - 100: end_index]tidx = pd.DatetimeIndex(x, freq='infer')dta = pd.Series(y, index = tidx)print(dta)arma_mod = proper_model(dta, 9)predict_sunspots = arma_mod.forecast(1)return predict_sunspots[0]def predict_temperature(file_name, time_in):temp = []tim = []read_csv_data(temp, tim, file_name)result_temp = test_300(temp, tim, time_in)return result_tempif__name__ == '__main__':parser = argparse.ArgumentParser()parser.add_argument('-f', action='store', dest='file_name')parser.add_argument('-t', action='store', type = int, dest='time_')args = parser.parse_args()file_name = args.file_nametime_in = args.time_result_temp = predict_temperature(file_name, time_in)print ('the temperature is %f ' % result_temp)在上⾯的代码中，预测某⼀点的值我采⽤序列中此点的前100个点作为训练集如果给出待预测的多个点，由于每次都要计算模型的p和q以及拟合模型，时间会很慢，于是考虑将给定的待预测时间点序列切割成⼩段，使每⼀段中最⼤与最⼩的时间间隔在某⼀范围内在使⽤forcast(n)函数⼀次预测多点，然后在预测值中找到与待预测的时间值相近的值，速度⼤⼤提升，思路如图代码#coding:utf-8import csv#import timeimport pandas as pdimport numpy as npfrom statsmodels.tsa.arima_model import ARMAimport warningswarnings.filterwarnings('ignore')def proper_model(timeseries, maxLag):init_bic = 1000000000init_p = 1init_q = 1for p in np.arange(maxLag):for q in np.arange(maxLag):model = ARMA(timeseries, order=(p, q))try:results_ARMA = model.fit(disp = 0, method='css')except:continuebic = results_ARMA.bicif bic < init_bic:init_p = pinit_q = qinit_bic = bicreturn init_p, init_qdef read_csv_data(file_name, clss = 1):i = 0aim_list_1 = [] #temperature(1) or humidity(2)aim_list_2 = [] #timecsv_file = csv.reader(open(file_name,'r'))for data in csv_file:if (i == 0):i += 1continueaim_list_1.append(float(data[clss]))dt = int(data[3])aim_list_2.append(dt)tidx = pd.DatetimeIndex(aim_list_2, freq = None)dta = pd.Series(aim_list_1, index = tidx)init_p, init_q = proper_model(dta[:aim_list_2[100]], 9)return init_p, init_q, aim_list_2, dtadef for_kernel(p, q, tim, dta, tmp_time_list, result_dict):interval = 20end_index = len(tim) - 1for i in range(0, len(tim)):if (tmp_time_list[0]["time"] - tim[i] < tim[1] - tim[0]):end_index = ibreakif (end_index < 100):dta = dta.truncate(after = tim[end_index])else:dta = dta.truncate(before= tim[end_index - 101], after = tim[end_index])arma_mod = ARMA(dta, order=(p, q)).fit(disp = 0, method='css')#为未来interval天进⾏预测，返回预测结果，标准误差，和置信区间predict_sunspots = arma_mod.forecast(interval)####################################for tim_i in tmp_time_list:for tim_ in tim:if tim_i["time"] - tim_ >= 0 and tim_i["time"] - tim_ < tim[1] - tim[0]:result_dict[tim_i["time"]] = predict_sunspots[0][tim.index(tim_) - end_index] returndef kernel(p, q, tim, dta, time_in_list):interval = 20time_first = time_in_list[0]det_time = tim[1] - tim[0]result_dict = {}tmp_time_list = []for time_ in time_in_list:if time_first["time"] + det_time * interval > time_["time"]:tmp_time_list.append(time_)continuetime_first = time_for_kernel(p, q, tim, dta, tmp_time_list, result_dict)tmp_time_list = []tmp_time_list.append(time_first)for_kernel(p, q, tim, dta, tmp_time_list, result_dict)return result_dictdef predict_temperature(file_name, time_in_list, clss = 1):p, q, tim, dta = read_csv_data(file_name, clss)result_temp_dict = kernel(p, q, tim, dta, time_in_list)return result_temp_dictdef predict_humidity(file_name, time_in_list, clss = 2):p, q, tim, dta = read_csv_data(file_name, clss)result_humi_dict = kernel(p, q, tim, dta, time_in_list)return result_humi_dictif__name__ == '__main__':file_name = "testdata.csv"time_in = [{"time":1530419271,"temp":"","humi":""},{"time":1530600187,"temp":"","humi":""},{"time":1530825809,"temp":"","humi":""}] #time_in = [{"time":1530600187,"temp":"","humi":""},]result_temp = predict_temperature(file_name, time_in)print(result_temp)由于后续⼜改动了需求，需要预测温度以及湿度，完成了项⽬在github。
arima时间序列预测模型的形式
arima时间序列预测模型的形式ARIMA（AutoRegressive Integrated Moving Average）模型是一种常用的时间序列预测模型，它可以根据过去的观测值来预测未来的值。
ARIMA模型的主要思想是将时间序列分解为自回归（AR）成分、差分（I）成分和移动平均（MA）成分的组合。
ARIMA模型的核心是自回归成分（AR），它基于时间序列的自相关性，将当前值与过去的若干值进行线性组合。
自回归成分可以表示为AR(p)，其中p表示用于线性组合的过去观测值的个数。
自回归成分的阶数p决定了模型将考虑多少个过去时刻的值。
差分成分（I）是为了处理非平稳时间序列而引入的。
如果时间序列是平稳的，即均值、方差和自协方差在时间上保持不变，那么可以直接应用ARIMA模型进行预测。
但是，很多实际时间序列数据都是非平稳的，因此需要通过差分操作将其转化为平稳序列。
差分成分可以表示为I(d)，其中d表示进行差分的次数。
移动平均成分（MA）是为了捕捉时间序列的滞后效应而引入的。
移动平均成分基于时间序列的残差项，将当前值与过去的若干残差值进行线性组合。
移动平均成分可以表示为MA(q)，其中q表示用于线性组合的残差值的个数。
移动平均成分的阶数q决定了模型将考虑多少个滞后残差。
ARIMA模型的建立过程通常包括模型识别、参数估计和模型检验三个步骤。
模型识别是确定ARIMA模型的阶数p、d和q的过程。
可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来初步判断模型的阶数。
参数估计是利用最大似然估计或最小二乘法来估计模型的参数。
模型检验是通过检验残差序列是否为白噪声，来验证模型的拟合程度。
ARIMA模型具有一定的局限性。
首先，ARIMA模型假设时间序列的模式是稳定的，但实际中很多时间序列数据具有非稳定性。
其次，ARIMA模型的预测结果可能受到异常值和趋势的影响。
如果时间序列中存在异常值或趋势，ARIMA模型的预测结果可能不准确。
金融时间序列分析-ARIMA模型建模实验报告
（1）判断原序列平稳性观察时序图，该序列在不同的阶段有不同的均值，表现出一定的周期性，初步判断不平稳。
继续观察自相关图，由图可以清晰看到，序列自相关函数下降趋势缓慢，没有快速衰减至0，判断其不平稳。
该序列三种模型的分别为0.9104、0.6981、0.4589，均大于0.05，不能拒绝有单位根的原假设，因此是非平稳序列。
需要进行处理后再进行建模。
（2）差分序列平稳性检验对原序列进行一次差分，再对其进行平稳性检验。
观察其时序图，该序列的时序图都表现出围绕其水平均值不断波动的过程，没有明显的趋势或周期性，粗略估计是平稳时间序列。
再观察其自相关函数图。
自相关系数快速衰减到0，在虚线范围内波动，没有明显的波动、发散，判断为平稳序列。
模型3与模型2的伴随概率为0，拒绝有单位根的原假设，说明序列是平稳的。
但模型3的时间趋势项的伴随概率为0.1789，常数项的伴随概率0.3504，在显著性水平0.05情况下不显著，故不选用。
而模型2的常数项的伴随概率为0.6608，也不显著，不选用。
因此模型1是最合适的模型，不含有常数项和时间趋势项。
（3）模型的参数估计及模型的诊断检验观察自相关图最后两列可以看到，Q检验的伴随概率均小于0.05，拒绝没有自相关性的原假设，因此该序列不是白噪声序列，没有把信息都提取出来。
接下来将尝试使用AR（１）、AR（２）、AR（3）、MA（１）、ARMA（1，1）、ARMA（2，1）模型进行拟合。
（1）AR（1）：该模型各项显著，故对其进行残差项白噪声检验，观察Q检验及其伴随概率，在显著性水平为0.05时，拒绝没有自相关性的原假设，不是白噪声序列，不选用。
（2）AR（2）：。
该模型各项显著，故对其进行残差项白噪声检验，观察Q检验及其伴随概率，在显著性水平为0.05时，接受没有自相关性的原假设，是白噪声序列，可以选用。
（3）AR（3）：该模型各项不显著，不选用。
（4）MA（1）：该模型各项显著，故对其进行残差项白噪声检验，观察Q检验及其伴随概率，在显著性水平为0.05时，接受没有自相关性的原假设，是白噪声序列，可以选用。
arima时间序列预测模型python简单
arima时间序列预测模型python简单ARIMA时间序列预测模型（Python简介）时间序列预测是指根据过去的数据来预测未来一段时间内的数值或趋势。
在实际应用中，时间序列预测模型被广泛应用于财务预测、经济预测、股票市场分析等领域。
ARIMA（自回归移动平均）模型是一种经典的时间序列预测模型，它的强大之处在于可以适应多种非线性趋势和季节性模式。
Python是一种功能强大的编程语言，拥有丰富的数据处理和分析库。
其中，statsmodels包提供了ARIMA模型的实现。
本文将介绍ARIMA时间序列预测模型的基本概念，并结合Python代码实例展示其使用方法。
## 1. ARIMA模型介绍ARIMA模型是由AR（自回归）、I（差分）和MA（移动平均）三个部分构成的。
- 自回归（AR）：自回归是指通过观察过去一段时间内的值来预测未来的值。
AR模型将未来的值与过去一段时间内的多个过去值进行线性组合。
- 差分（I）：差分是指对时间序列进行一阶或多阶差分操作，目的是消除趋势和季节性。
- 移动平均（MA）：移动平均是将未来的值与过去一段时间内的误差项进行线性组合。
ARIMA模型的建立需要确定AR、I和MA的参数。
利用时间序列的自相关图ACF（自相关函数）和偏自相关图PACF（偏自相关函数）可以辅助确定这些参数。
## 2. Python实现ARIMA模型在Python中，利用statsmodels库可以方便地实现ARIMA模型。
下面我们将通过一个例子来演示其使用方法。
首先，我们需要导入必要的库：```pythonimport pandas as pdimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA```然后，我们读取时间序列数据并进行预处理。
假设我们的时间序列数据保存在名为"data.csv"的文件中，其中包含两列数据：日期和数值。
基于ARIMA模型的时间序列预测
基于ARIMA模型的时间序列预测时间序列预测是一种重要的预测方法，它在许多领域中都有广泛的应用，包括经济学、金融学、气象学、交通规划等。
基于ARIMA模型的时间序列预测是一种经典方法，它能够通过对历史数据的分析和模型拟合来预测未来的趋势和变化。
本文将介绍ARIMA模型的基本原理及其在时间序列预测中的应用，并通过一个实例来说明其有效性和局限性。
ARIMA模型是自回归移动平均自回归模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model）的简称，它是一种常用于时间序列分析和预测的统计模型。
ARIMA模型基于以下几个假设：首先，时间序列数据应该是平稳的，即其均值和方差在不同时刻上保持不变；其次，时间序列数据之间存在一定程度上的相关性；最后，在建立ARIMA 模型之前需要对原始数据进行差分操作以消除非平稳性。
ARIMA模型包括三个部分：自回归（Autoregressive, AR）部分、差分（Integrated, I）部分和移动平均（Moving Average, MA）部分。
自回归部分表示当前时刻值与过去时刻值之间的线性关系，差分部分表示对原始数据进行差分操作以达到平稳性，移动平均部分表示当前时刻值与过去时刻的误差之间的线性关系。
这三个部分的组合构成了ARIMA模型。
在ARIMA模型中，参数的选择是非常重要的。
选择合适的参数可以提高模型的拟合度和预测准确度。
常用方法包括自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）图，以及信息准则（AIC、BIC等）来选择最佳参数。
ARIMA模型在时间序列预测中具有广泛应用。
例如，在经济学中，ARIMA模型可以用来预测股票价格、通货膨胀率等经济指标；在气象学中，ARIMA模型可以用来预测温度、降雨量等气象数据；在交通规划中，ARIMA模型可以用来预测交通流量、拥堵情况等。
然而，ARIMA模型也存在一些局限性。
首先，在时间序列数据中可能存在非线性关系或季节性变化，在这种情况下使用ARIMA模型可能无法达到理想效果；其次，在实际应用中，时间序列数据可能受到外部因素（如变化、自然灾害等）的影响，这些因素无法通过ARIMA模型来捕捉；最后，ARIMA模型的预测结果可能受到数据长度和质量的影响，因此在使用ARIMA模型进行预测时需要谨慎选择和处理数据。
arima时间序列预测步骤
arima时间序列预测步骤ARIMA（自回归移动平均模型）是一种常用的时间序列预测方法，它可以用来分析和预测具有一定规律性的时间序列数据。
ARIMA模型的预测步骤主要包括：数据准备、模型选择、参数估计、模型检验和预测。
1. 数据准备在进行ARIMA模型的预测之前，首先需要对时间序列数据进行准备。
这包括数据的收集、整理和转换。
收集到的数据应该是连续的、有序的，并且具有一定的规律性。
如果数据存在缺失值或异常值，需要进行相应的处理。
同时，还需要对数据进行平稳性检验，确保时间序列数据不存在趋势和季节性。
2. 模型选择选择合适的ARIMA模型是进行时间序列预测的关键。
ARIMA模型由三个参数组成：p、d和q，分别代表自回归阶数、差分阶数和移动平均阶数。
确定这些参数的方法有多种，常用的方法包括观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF），以及通过信息准则（如AIC、BIC）进行模型比较。
3. 参数估计参数估计是ARIMA模型预测的核心步骤之一。
参数估计可以通过最大似然估计（MLE）方法来实现，也可以通过样本自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的拟合来进行。
根据选择的ARIMA模型，可以使用适当的算法（如Yule-Walker方程、Burg 方法等）来估计模型的参数。
4. 模型检验在进行时间序列预测之前，需要对ARIMA模型进行检验。
常用的检验方法包括残差检验和模型拟合度检验。
残差检验可以通过观察残差序列的平稳性、白噪声性以及自相关性来判断模型的拟合效果。
模型拟合度检验可以通过计算模型的拟合优度、均方根误差（RMSE）和平均绝对百分比误差（MAPE）等指标来评估模型的预测能力。
5. 预测在完成模型检验之后，可以使用已经估计好的ARIMA模型进行预测。
预测的时间范围可以根据实际需求进行设定。
预测结果可以通过绘制预测曲线和计算预测误差来进行评估。
同时，还可以使用一些评价指标（如均方根误差、平均绝对误差）来评估预测的准确性。
基于ARIMA模型的时间序列预测
基于ARIMA模型的时间序列预测章节一：引言1.1 背景介绍时间序列是指通过时间间隔进行记录和测量的数据序列。
时间序列分析是一种重要的统计方法，用于预测未来数据的趋势和模式。
ARIMA （自回归滑动平均）模型是一种常用的时间序列分析方法，被广泛应用于金融、经济、天气等领域的预测与分析。
本文将介绍基于ARIMA 模型的时间序列预测原理、建模步骤以及应用案例。
1.2 目的和意义时间序列预测是许多领域中重要的数据分析任务。
通过预测未来数据的趋势和模式，我们可以更好地制定决策和规划，从而提高效率和减少风险。
ARIMA模型作为一种经典的时间序列分析方法，其在预测准确性和稳定性方面表现出色，因此被广泛应用。
本文旨在介绍ARIMA模型的原理和应用，帮助读者理解和运用该方法。
章节二：ARIMA模型原理2.1 自回归模型（AR模型）AR模型用于描述时间序列与其过去值的线性关系。
AR(p)模型表示当前观测值与过去p个观测值之间存在线性关联，公式如下：y(t) = c + φ1*y(t-1) + φ2*y(t-2) + ... + φp*y(t-p) + ε(t)其中，c是常数，φ1, φ2, ... , φp是模型的参数，ε(t)是表示误差的白噪声随机变量。
2.2 滑动平均模型（MA模型）MA模型用于描述时间序列与其误差项（白噪声）的线性关系。
MA(q)模型表示当前观测值与过去q个误差项之间存在线性关联，公式如下：y(t) = c + θ1*ε(t-1) + θ2*ε(t-2) + ... + θq*ε(t-q) +ε(t)其中，c是常数，θ1, θ2, ... , θq是模型的参数，ε(t)是表示误差的白噪声随机变量。
2.3 差分模型（I模型）差分模型用于将非平稳时间序列转化为平稳时间序列。
差分运算可以通过对观测值进行减法运算得到，表示为Δy(t) = y(t) - y(t-1)。
I(d)模型表示将时间序列进行d阶差分运算后得到平稳时间序列。
ARIMA模型
ARIMA模型⼀、ARIMA模型介绍ARIMA模型全称为⾃回归积分滑动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹⾦斯(Jenkins)于70年代初提出⼀著名时间序列预测⽅法[1]，所以⼜称为box-jenkins模型、博克思-詹⾦斯法。
其中ARIMA（p，d，q）称为差分⾃回归移动平均模型，AR是⾃回归， p为⾃回归项； MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。
所谓ARIMA模型，是指将⾮平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进⾏回归所建⽴的模型。
ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA）、⾃回归过程（AR）、⾃回归移动平均过程（ARMA）以及ARIMA过程。
ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移⽽形成的数据序列视为⼀个随机序列，⽤⼀定的数学模型来近似描述这个序列。
这个模型⼀旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。
⼆、ARIMA模型建模过程1. 检查平稳性平稳性就是围绕着⼀个常数上下波动且波动范围有限，即有常数均值和常数⽅差。
如果有明显的趋势或周期性，那它通常不是平稳序列。
不平稳序列可以通过差分转换为平稳序列。
d阶差分就是相距d期的两个序列值之间相减。
如果⼀个时间序列经过差分运算后具有平稳性，则该序列为差分平稳序列，可以使⽤ARIMA模型进⾏分析。
2、确定模型阶数AIC准则：即最⼩信息准则，同时给出ARMA模型阶数和参数的最佳估计，适⽤于样本数据较少的问题。
⽬的是判断⽬标的发展过程与哪⼀个随机过程最为接近。
因为只有样本量⾜够⼤时，样本的⾃相关函数才⾮常接近原时间序列的⾃相关函数。
具体运⽤时，在规定范围内使模型阶数由低到⾼，分别计算AIC值，最后确定使其值最⼩的阶数，就是模型的合适阶数。
ARIMA模型
ARIMA模型简介ARIMA模型全称为差分自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出的一著名时间序列预测方法，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。
其中ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归, p为自回归项; MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。
或者说，所谓ARIMA模型，是指将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后将因变量仅对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值进行回归所建立的模型。
ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）以及ARIMA过程。
基本思想ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。
这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。
现代统计方法、计量经济模型在某种程度上已经能够帮助企业对未来进行预测。
预测程序ARIMA模型预测的基本程序（一）根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。
一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。
（二）对非平稳序列进行平稳化处理。
如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。
（三）根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。
若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。
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实验6 季节ARIMA模型建模与预测实验指导 一、实验目的 学会识别时间序列的季节变动，能看出其季节波动趋势。学会剔除季节因素的方法，了解ARIMA模型的特点和建模过程，掌握利用最小二乘法等方法对ARIMA模型进行估计，利用信息准则对估计的ARIMA模型进行诊断，以及如何利用ARIMA模型进行预测。掌握在实证研究如何运用R软件进行ARIMA模型的识别、诊断、估计和预测。
二、基本概念 季节变动：客观社会经济现象受季节影响，在一年内有规律的季节更替现象，其周期为一年四个季度或12个月份。 季节ARIMA模型（有文献称SARIMA模型）是指将受季节影响的非平稳时间序列通过消除季节影响转化为平稳时间序列，然后将平稳时间序列建立ARMA模型。ARIMA模型根据原序列是否平稳以及回归中所含部分的不同，包括移动平均过程（MA）、自回归过程（AR）、自回归移动平均过程（ARMA）以及ARIMA过程。
三、实验内容及要求 1、实验内容：给出桂林市1999年到2006的季度旅游总收入数据 （1）根据时序图的形状，采用相应的方法把周期性的非平稳序列平稳化； （2）对经过平稳化后的桂林市1999年到2006的季度旅游总收入序列运用经典B-J方法论
建立合适的ARIMA（,,pdq）模型，并能够利用此模型进行未来旅游总收入的短期预测。 2、实验要求： （1）深刻理解季节非平稳时间序列的概念和季节ARIMA模型的建模思想； （2）如何通过观察自相关，偏自相关系数及其图形，利用最小二乘法，以及信息准则建立合适的ARIMA模型；如何利用ARIMA模型进行预测； （3）熟练掌握相关R操作。
四、实验指导 1、模型识别 （1）数据录入 y<-read.csv("旅游收入.csv") #读入数据 做出该序列的时序图，直观来看，显著非平稳。
（2）作出序列的时序图 命令如下： win.graph(width=5,height=3.5,pointsize=8) #给出作图视窗尺寸 plot(y[,2],xlab='时间',ylab='旅游收入',type='l') #作时序图 05101520253050000100000150000200000时间旅游收入
上图的时间坐标轴标识不清楚，所以做适当修改如下： plot(y[,2],xlab='时间',ylab='旅游收入',type='l',xaxt='n') #关闭默认的坐标轴 axis(1,c(1,5,9,13,17,21,25,29),c('1999','2000','2001','2002','2003','2004','2005','2006')) #设定新的坐标轴
50000100000150000200000
时间旅游收入
19992000200120022003200420052006 时序图上看出，旅游总收入有季节变动的因素影响，呈现循环上升的趋势，但是我们看到2003年的数据从第二季度开始明显有些异常，究其原因，就是2003年非典对国内旅游和国际旅游都产生了强烈影响，而桂林是个以旅游业为支柱产业的旅游城市，对旅游的影响可想而知。因此，为了进一步观察数据的形态，需要对数据做些处理，处理原则可以做如下： 第一、将2003年第二、第三、第四季度数据均用2002年和2004年相对应季度的均值代替； 第二、将04年第一季度数据用2003年和2005年第一季度的均值代替，经过调整后的旅游总收入序列yt时序图见下图：（在EXCEL上重新计算保存工作文档）
60000100000140000180000
时间旅游收入
19992000200120022003200420052006 命令可以为： win.graph(width=5,height=3.5,pointsize=8) plot(y[,3],xlab='时间',ylab='旅游收入',type='l',xaxt='n') axis(1,c(1,5,9,13,17,21,25,29),c('1999','2000','2001','2002','2003','2004','2005','2006')) 两个时序图相比较，明显看出经过调整后的旅游收入以一年的四个季度为周期，呈循环上升的趋势，看出序列不平稳。预对其进行分析，需先平稳化。 （3）差分法消除增长趋势 除了周期性波动外，序列呈现出上升趋势，利用差分方法消除增长趋势： 命令为： y1=diff(y[,3],lag=1) #对序列yt作一阶差分 win.graph(width=5,height=3.5,pointsize=8) plot(y1,xlab='时间',ylab='旅游收入的差分',type='l',xaxt='n') axis(1,c(1,5,9,13,17,21,25,29),c('1999','2000','2001','2002','2003','2004','2005','2006')) 就得到一个不再有长期趋势的序列x，时序图如下：
-60000-2000002000060000
时间旅游收入的差分
19992000200120022003200420052006 （4）季节差分法消除季节变动 经过一阶差分过的时序图显示出序列不再有明显的上升趋势，但有明显的季节变动，现在通过4步差分来消除季节变动，命令如下： >y2=diff(y1,lag=4) #对消除增长趋势后序列做季节差分 >plot(y2,type='l') （注：横坐标轴的变化方法如前！） 得到消除季节变动的序列时序图如下：
0510152025-20000-1000001000020000
Indexy2
经过一阶差分消除增长趋势和经过4步差分消除季节变动的序列围绕0上下波动，看起来是平稳的，需要通过统计检验进一步证实这个结论。
（5）平稳性检验 【注】关于ADF检验 在应用过程中，常用的判断时间序列平稳性的方法有两个：图示法和单位根检验法。 图示法，顾名思义，就是画出时间序列的时序图，来目测时间序列是否平稳。如果画出的时间序列不存在明显的趋势，那么时间序列可能是平稳的。这个方法比较随意和主观，因此，只能作为辅助判断的手段。 单位根检验法是一个需要一定理论基础的判断手段，单位根检验是指检验序列中是否存在单位根，因为存在单位根就是非平稳时间序列了。单位根检验的方法非常多，常用的有DF检验(Dickey-Fuller Test)，ADF检验(Augmented Dickey-Fuller Test)等。其中使用最为广泛的是ADF检验。 ADF检验：（Augmented Dickey-Fuller检验，1979） 单位根检验是用来检验序列平稳性的方法，其原假设是特征方程存在单位根，如果接受原假设，意味着序列非平稳。(具体见参考文献)，R语言中ADF检验如下： 首先加载tseries程序包，然后执行下列命令： adf.test(y2) 结果如下： Augmented Dickey-Fuller Test data: y2 Dickey-Fuller = -4.5715, Lag order = 2, p-value = 0.01 alternative hypothesis: stationary 警告信息： In adf.test(y2) : p-value smaller than printed p-value
ADF检验结果表明，p值小于默认p值（0.05），拒绝存在单位根的原假设，所以验证了序列是平稳的，可以对其进行ARMA模型建模分析。
（6）利用自相关系数和偏自相关系数判断ARMA模型的p和q 命令如下： >acf(y2,25) >pacf(y2,25) xt的自相关系数和偏自相关系数图5-8，从图上看出，自相关系数二阶截尾，偏自相关系数拖尾，可以考虑建立MA（2）模型。
0510152025-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
LagACF
Series y2
510152025-0.4-0.20.00.20.4LagPartial ACF
Series y2