2015届第一轮复习《分式》
初中数学一轮复习：分式的通分与约分(专题训练)
分式的通分与约分（培优训练）知识解读1.约分步骤：（1）分子、分母都是单项式第一步：判断结果的符号，整个分式、分子和分母的负号个数之和，奇数个为负，偶数个为正；第二步：约去公因式，系数与系数约分，相同的字母与相同的字母分别约分。
（2）分子、分母是多项式第一步：分别将分子、分母因式分解第二步：分子、分母约去公因式注意：最高次项系数为负数的，可应用分式性质将最高次项系数化为正数后再因式分解。
2.寻找最大公因式的方法寻找分子、分母最大公因式的步骤：（1）系数，找最大公约数；（2）相同式子，找最低次幂。
如果分子或分母是多项式，要先进行因式分解，再找公因式。
二、通分1.通分步骤（1）确定几个分式的最简公分母；（2）将几个分式的分子、分母同时乘同一个整式，使得所有分式的分母都化成最简公分母。
2.寻找最简公分母的方法（1）分母为单项式①系数取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；②取单项式中的每个字母出现的最高次幂作为最简公分母中该字母的次数。
（2）分母为多项式：①将每个分母因式分解；②找出每个出现的因式的最高次幂，它们的积为最简公分母的因式；③若有系数，方法同上。
培优学案典例示范一、约分例1 约分：【跟踪训练1】约分：二、先化简，才能简化求值过程例2 计算：【跟踪训练2】先化简，再求值：三、通分例3 通分【跟踪训练3】通分：四、分式的特殊求值技巧例4 如果，则= 。
【跟踪训练4】已知，求的值。
五、设参数求代数值例5 已知，求的值。
【跟踪训练5】若是（）A.2B.-2C.3D.-3竞赛链接例6 已知，满足，则的值为（）A.1B.C.D.【跟踪训练6】若则的值为（）A. B. C. D.直击中考1.已知实数满足，则的结果是（）A. B. C. D.2.约分：3.已知，求的值4.已知的值5.一项工程，由甲队单独做填可以完成，由乙队单独做填可以完成。
（1）乙队一天可以做多少？（2）若甲队做m填，乙队做n天，一共可以完成多少？（3）甲和乙两队一起做，几天可以完成工程的？6.先将分式约分，然后代入你喜欢的一个值求分式的值，下面是小明的解题过程：你认为小明的解题过程有错误吗？如果有错误，支出错误的地方及原因，并写出正确的解答过程。
第15章分式小结与复习课件(共34张PPT)
【例5】 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．(1)求普通列车的行驶路程；
解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)．答：普通列车的行驶路程是520千米；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度．
3.分式的加减法则：
(1)同分母分式的加减法则：
(2)异分母分式的加减法则：
4.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式．
3.分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审清题意；(2)设未知数； (3)找相等关系；(4)列出方程；(5)解这个分式方程；(6)验根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题意）；(7)答.
解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意得
解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)．
分式方程的应用
步骤
一审二设三找四列五解六检七答，尤其不要忘了验根
2015年中考数学第一轮复习数与式
2015年中考数学第一轮复习数与代数一 选择题1．无理数－3的相反数是( )A ．－ 3 B. 3 C.13 D ．－132下列各式，运算结果为负数的是( )A ．－(－2)－(－3)B ．(－2)×(－3)C ．(－2)2D ．(－3)－33若x ＝1，y ＝12，则x 2＋4xy ＋4y 2的值是( ) A ．2 B ．4 C.32 D.124若3x ＝4,9y ＝7，则3x －2y 的值为( )A.47B.74 C ．－3 D.275下列运算正确的是( )A ．a ＋a ＝a 2B ．(－a 3)2＝a 5C ．3a ·a 2＝a 3D ．(2a )2＝2a 26下列式子变形是因式分解的是( )A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6B ．x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)C ．(x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3)7分解因式(x －1)2－2(x －1)＋1的结果是( )A ．(x －1)(x －2)B ．x 2C ．(x ＋1)2D ．(x －2)28使代数式x 2x －1有意义的x 的取值范围是( ) A ．x ≥0 B ．x ≠12 C ．x ≥0且x ≠12D ．一切实数 9下列计算正确的是( )A.20＝2 10B.2·3＝6C.4－2＝ 2D.(－3)2＝－310．若a ＜1，化简(a －1)2－1＝( )A ．a －2B ．2－aC ．aD ．－a11数轴上A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为( )A ．－2－ 3B ．－1－ 3C ．－2＋ 3D ．1＋ 312如果(2a －1)2＝1－2a ，则( ) A ．a ＜12 B ．a ≤12 C ．a ＞12 D ．a ≥1213已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( )A ．－15B ．15C ．－152 D.15214从边长为(a ＋1)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为(a －1)cm 的正方形(a ＞1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是( )A ．2 cm 2B ．2a cm2 C ．4a cm 2 D ．(a 2－1)cm 215把四张形状大小完全相同的小长方形卡片[如图(1)]不重叠的放在一个底面为长方形(长为m cm ，宽为n cm)的盒子底部[如图(2)]，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图(2)中两块阴影部分的周长和是( )A ．4m cmB ．4n cmC ．2(m ＋n ) cmD ．4(m －n ) cm二 填空题1 (3＋1)(3－1)＝____________；2 若3×9m ×27m ＝311，则m 的值为____________．3 分解因式x 3－4x ＝______________________.4 已知a －b a ＋b ＝15，则a b ＝__________. 5 当x ＝______时，分式x 2－2x －3x －3的值为零． 6 已知代数式2a 3b n ＋1与－3a m ＋2b 2是同类项，2m ＋3n ＝________.7 请你用科学记数法表示0.000 001 6=________________________8 计算18－2 12＝________. 9 若20n 是整数，则正整数n 的最小值为________． 10 一组按一定规律排列的式子(a ≠0)：－a 2，a 52，－a 83，a 114，…， 则第n 个式子是________(n 为正整数)．11 通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低a 元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b 元，则原收费标准每分钟是____________元． 12 矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是图X1－3－5三 解答题1计算：－22＋-113⎛⎫ ⎪⎝⎭－2cos60°＋|－3|. (sin30°)－2＋0－|3－18|＋83×(－0.125)3.2．化简：(a ＋b )2＋a (a －2b )． 化简：x 2－1x ＋1÷x 2－2x ＋1x 2－x.3 已知2x －1＝3，求代数式(x －3)2＋2x (3＋x )－7的值．4 已知A ＝2x ＋y ，B ＝2x －y ，计算A 2－B 2.5 已知，x ＝2 009，y ＝2 010，求代数式x －y x ÷22xy y x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值．6 先化简，再求值：(2x ＋3)(2x －3)－4x (x －1)＋(x －2)2，其中x ＝－ 3.7 已知：x ＝3＋1，y ＝3－1，求x 2－2xy ＋y 2x 2－y 2的值．8 先化简，再求值. 2212111x x x x ⎛⎫-++ ⎪+-⎝⎭÷x －1x ＋1，其中x ＝2.9 先化简，再求值：a －2a 2－1÷2111a a a -⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，其中a 是方程x 2－x ＝6的根．10 已知x 2－3x －1＝0，求x 2＋1x 2的值．11 已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断△ABC 的形状．12观察下列等式：第1个等式：a 1＝11×3＝12×113⎛⎫- ⎪⎝⎭； 第2个等式：a 2＝13×5＝12×1135⎛⎫- ⎪⎝⎭；第3个等式：a 3＝15×7＝12×1157⎛⎫- ⎪⎝⎭； 第4个等式：a 4＝17×9＝12×1179⎛⎫- ⎪⎝⎭；… 请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝______________＝______________；(2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝______________＝______________(n 为正整数)；(3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．。
中考数学一轮复习专题解析—分式的运算
中考数学一轮复习专题解析—分式的运算复习目标1.了解分式的概念2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。
3.会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算4.能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程5.会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；考点梳理一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.【归纳总结】分式的概念需注意的问题：（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B ≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B ≠0．②当B =0时，分式无意义；当分式无意义时，B =0．③当B ≠0且A =0时，分式的值为零．例1、若把x ，y 的值同时缩小x 为原来的13倍，则下列分式的值保持不变的是（）A ．xy x y+B ．22y x ++C ．()22x y x +D ．222x y x -【答案】C 【解析】A.1111333==11333x y xyxy x y x y x y⨯⨯+++，选项说法错误，不符合题意；B.61263=3616233y y x x y x +++=+++，选项说法错误，不符合题意；C.22222222111()()()33311()()33x y x y x y x x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==，选项说法正确，符合题意；D.22222213112261())(33()3xx xy x y x y x ⨯==---⨯，选项说法错误，不符合题意故选C二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．例2、计算22111m mm m----的结果是（）A．1m+B．1m-C．2m-D．2m--【答案】B【解析】解：()222121211 1111mm m m m mm m m m---+-===-----；故选B．【归纳总结】约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．【特别提醒】通分注意事项(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．【特别提醒】1.解分式方程注意事项(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．2.列分式方程解应用题的基本步骤(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．例3、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周6000件提高到8400件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（）A．6000x＝840080x+B．6000x+80＝8400xC．8400x＝6000x﹣80D．6000x＝840080x-【答案】A【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换交通工具后平均每人每周投递快件（x+80）件，依题意得：6000x＝840080x+，故选：A．综合训练1．（2022·全国九年级课时练习）若代数式13x x -+有意义，则x 的取值范围是（）A ．3x ≠B ．1x ≠C ．3x ≥-D ．3x ≠-【答案】D【分析】根据分式有意义的条件分析即可．【详解】 数式13x x -+有意义，30x ∴+≠，解得3x ≠-．故选D ．2．（2022·老河口市教学研究室九年级月考）化简2b a ba a a ⎛⎫+-÷ ⎪⎝⎭的结果是（）A ．-a bB ．a b +C ．1a b-D ．1a b+【答案】A【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．【详解】解：2b a ba a a ⎛⎫+-÷⎪⎝⎭=22a b aa a b-⨯+=()()a b a b aaa b+-⨯+=-a b ．故选：A ．3．（2022·厦门市第九中学九年级二模）港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55千米．通车前需走水陆两路共约170千米，通车后，约减少时间3小时，平均速度是原来的2.5倍，如果设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，则可列方程为（）A ．1705532.5x x-=B ．5517032.5x x-=C ．17055 2.53x x ⨯-=D ．1705532.5x x-=【答案】D【分析】设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，根据它们行驶的时间差为3小时列出分式方程．【详解】解：设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，所以通车后，的平均时速为2.5x 千米/小时，依题意得：1705532.5x x-=故选D ．4．（2022·哈尔滨市第十七中学校）分式方程1x x +12x +-＝1的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【答案】A【分析】观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可．【详解】解：112x x x ++-＝1，去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得：（x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2），x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ，x ＝1，经检验，x ＝1是原分式方程的解．故选：A ．5．（2022·四川九年级期中）关于x 的方程244x ax x -=++有增根，则a 的值为（）A ．－4B ．－6C ．0D ．3【答案】B【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根求得4x =-，代入整式方程即可．【详解】解：244x ax x -=++两边同时乘4x +得：2x a -=①∵244x ax x -=++有增根∴4x =-代入方程①得：6a =-故答案为B ．6．（2022·全国）已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==，∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．7．（2022·日照市田家炳实验中学九年级一模）已知关于x 的方程2222x mm x x+=--无解，则m 的值是___．【答案】12或1【分析】分方程有增根，增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母20x -=，得到2x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值和方程没有增根两种情况进行讨论.【详解】解：①当方程有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，∴最简公分母20x -=，解得2x =，当2x =时，1m =故m 的值是1，②当方程没有增根时方程两边都乘2x -，得22(2)x m m x -=-，解得221mx m =-，当分母为0时，此时方程也无解，∴此时210m -=，解得12m =，∴综上所述，当12m =或1时，方程无解.故答案为：12或1.8．（2022·山东滨州市·九年级其他模拟）已知关于x 的分式方程3522x mx x=+--的解为非负数，则m 的取值范围为______．【答案】10m ≥-且6≠-m 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，可得答案．【详解】解：3522x m x x=+--去分母，得：35(2)x m x =-+-，移项、合并，得：210x m=+系数化为1得：102mx +=∵分式方程的解为非负数，∴1002m +≥且1022m +≠，解得：10m ≥-且6≠-m ，故答案为：10m ≥-且6≠-m ．9．（2022·云南九年级期末）先化简，再求值：212(1)11x x x ++÷+-，其中2x =．【答案】x -1，1【分析】根据分式的混合运算法则化简原式然后代值计算即可．【详解】解：原式=2111()12x x x x ++-⨯++=2(1)(1)12x x x x x ++-⨯++=1x -，∵2x =，∴原式=211-=．10．（2022·河南三门峡市·）下面是小锐同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++()()()()23321233x x x x x +-+=-++…第一步()321323x x x x -+=-++…第二步()()()23212323x x x x -+=-++…第三步()()262123x x x --+=+…第四步()262123x x x --+=+…第五步526x =-+…第六步（1）填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，通分的依据是______；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．（2）请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简；（3）除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】（1）①三，分式的基本性质；②五，括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）见解析；（3）最后结果应化为最简分式或整式【分析】（1）①分式的通分是把异分母的分式化为同分母的分式，通分的依据是分式的基本性质，据此即可进行判断；②根据分式的运算法则可知：第五步开始出现错误，然后根据去括号法则解答即可；（2）根据分式的混合运算法则解答；（3）可从分式化简的最后结果或通分时应注意的事项等进行说明．【详解】解：（1）①在以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质（或分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变）；②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是“-”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；（2）原式()262172326x x x x ---==-++；（3）答案不唯一．如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．。
精品 中考数学一轮综合复习 第05课 方程与不等式(分式方程)
中考数学一轮复习第05课 方程与不等式（分式方程）知识点：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧増根：解分式方程步骤：定义：分式方程相同字母或因式：系数：分式的通分分式的加减法则：相同字母或因式：系数：分式的约分分式的乘除法则：分式的运算分式的符号法则：分式的基本性质：的条件：分式值为的条件：分式值为分式值为零的条件：分式无意义的条件：分式有意义的条件：定义：分式)3()2()1()2()1()2()1(1-1课堂同步：1.下列等式：①()a b a b c c ---=-;②x y x y x x -+-=-;③a b a b c c -++=-;④m n m n m m---=-中,成立的是（ ） A.①② B.③④ C.①③ D.②④2.下列各式中，可能取值为零的是（ ） A.2211mm +- B.211m m -+ C.211m m +- D.211m m ++ 3.如果把分式xyy x 2+中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值( ) A.扩大10倍 B.缩小10倍 C.是原来的23 D.不变 4，有两块面积相同的试验田,分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意,可得方程（ ） A.9001500300x x =+ B.9001500300x x =- C.9001500300x x =+ D.9001500300x x =-5.化简1(1)(1)1m m -++的结果是 6.化简：2222222a b a b a ab b a b--÷+++=______________ 7.如果实数x 满足0322=-+x x ，那么代数式11)21(2+÷++x x x 的值为_ _. 8.某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路,为了减少施工对城市交通所造成的影响,实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务.求原计划每小时修路的长度.若设原计划每小时修x m ，则根据题意可得方程 ．9.轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是 千米/时．10.当x 取什么值时，下列分式有意义： (1)32-x x (2)141+-x x (3)422+x x (4)1212+-+x x x (5)4-x x (6)21102x x -+11.化简下列各分式：a b a b a b b a +⋅+)2﹢﹣（ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+÷+-1111222x x x xx 224422111m m m m m m -+-÷+---，其中x=212.解方程：(1)32121---=-x x x (2)2163524245--+=--x x x x13.已知:25)5)(2(14-++=+-+x B x A x x x 求A,B.14.已知:3511=+y x ,求yxy x y xy x +++-2232的值. 15.如果21<<x ，试化简x x --2|2|x x x x |||1|1+---.16.已知：432z y x ==，求22232z y x xz yz xy ++-+的值.17.已知:251=+x x ，求(1)221x x +;(2)1242++x x x 的值.18.已知分式方程21212-=---x k x x 的解为正数，求k 的取值范围.19.已知实数a 满足a 2+2a ﹣15=0，求12231211222+-++÷-+-+a a a a a a a 的值．25，可提前20.某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援四化建设，每天比原计划增产%10天完成任务，问原计划日产多少台？21.现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务.求原来每天装配的机器数.22.某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？23.某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少.24.有一工程需在规定日期内完成，如果甲单独工作，刚好能够按期完成；如果乙单独工作，就要超过规定日期3天.现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙单独完成，刚好在规定日期完成，求规定日期是几天？25.张明与李强共同清点一批图书,已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同,且李强平均每分钟比张明多清点10本,求张明平均每分钟清点图书的数量．26.某公司投资某个工程项目,现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目.公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍;甲、乙两队合作完成工程需要20天;甲队每天的工作费用为1000元、乙队每天的工作费用为550元．根据以上信息,从节约资金的角度考虑,公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？27.乌梅一上市,水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅,前两天以高于进价40% 的价格共卖出150kg,第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出,前后一共获利750元,求小李所进乌梅的数量．28.某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子,节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒;节日过后每盒以低于进价5元作为售价,售完余下的粽子,整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价．29.学校新到一批理、化、生实验器材需要整理,若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成,现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后,李老师因事外出,王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．（1）王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？（2）学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？30.某书店老板去图书批发市场购买某种图书.第一次用1200元购书若干本,并按该书定价7元出售，很快售完.由于该书畅销,第二次购书时,每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时,出现滞销,便以定价的4折售完剩余的书.试问该老板这两次售书总体上是赔钱了,还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱,赔多少？若赚钱,赚多少？31.某校为美化校园,计划对面积为1800m2的区域进行绿化,安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍,并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时,甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元,乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元,至少应安排甲队工作多少天？第05课 方程与不等式（分式方程）测试题日期： 月 日 满分：100分 时间：20分钟 姓名： 得分：1.分式21+-x x 的值为0时,x 的值是（ ） A.0 B.1 C.-1 D.-2 2.下列各式与yx y x +-相等的是( ) A.55+++-y x y x B.y x y x +-22 C.)()(222y x y x y x ≠-- D.2222y x y x +- 3.计算111---a a a 的结果为（ ） A.11-+a a B.1--a a C.-1 D.1-a 4.计算：211(1)1m m m +÷⋅--的结果是（ ） A.221m m --- B.221m m -+- C.221m m -- D.21m -5.已知2111=-b a ，则ba ab -的值是( ) A.21 B.-21 C.2 D.-2 6.化简)11()12(x x x x -÷--的结果是（ ） A.x 1 B.x-1 C.x 1-x D.1-x x7.计算 dd c c b b a 1112⨯÷⨯÷⨯÷ 的结果是（ ） A.2a B.2222d c b a C.bcd a 2 D.其他结果 8.甲安装队为A 小区安装66台空调,乙安装队为B 小区安装60台空调,两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台.设乙队每天安装x 台,根据题意,下面所列方程中正确的是（ ）A.66602x x =-B.66602x x =-C.66602x x =+D.66602x x=+ 9.甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作.甲队单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队,两队又共同工作了1天,总量全部完成.那么乙队单独完成总量需要（ ）Ａ.6天 Ｂ.4天 Ｃ.3天 Ｄ.2天10.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab---+的值等于（ ） A.6 B.-6 C.215 D.27- 11.如图,设）（乙图中阴影面积甲图中阴影面积0>>=b a k ，则有（ ） A.k ＞2B.1＜k ＜2C.D. 12.设m ＞n ＞0，m 2＋n 2=4mn ，则22m n mn -的值等于( ) A.32B.3C.6D.3 13.对于分式5312-+x x ，（1）当 时，分式有意义； （2）当 时，分式无意义；（3）当 时，分式的值为0； （4）当 时，分式的值为1；14.化简分式：x x x 1)11(2-÷+ 22()a b ab b a a a --÷- 221()a b a b a b b a-÷-+-17.先化简,再求代数式:1222122+-+÷--+a a a a a a 的值,其中260tan 60-=a .18.某漆器厂接到制作480件漆器订单,为了尽快完成任务,该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%,结果提前10天完成任务.原来每天制作多少件？19.甲、乙两地相距828km,一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地,直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地,求两车的平均速度。
中考数学第一轮总复习精品教案二、因式分解、分式、数的开
中考数学第一轮总复习精品教案二、因式分解、分式、数的开不错的,下载资料二、因式分解、分式、数的开方(3课时)教学目标：1．掌握本部分的知识结构图．基本概念的掌握要到位，不仅要理解更要会运用，复习时应要求学生先观察后动手，并保证较高的正确率。
2．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．3．通过学生自己归纳总结本部分内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．教学重点与难点重点：复习性质、公式、法则时，要注意运用的条件，并重视对典型例题的变式训练，以达到熟悉运用公式、法则，提高运算能力的目的．．难点：复习性质、公式、法则时，要注意运用的条件，并重视对典型例题的变式训练，以达到熟悉运用公式、法则，提高运算能力的目的．教学时间：3课时因式分解、分式、数的开方本单元在第一轮复习时大约需要3课时，其中包【知识回顾】不错的,下载资料2（1）因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式．（2）因式分解的方法：①提公因式法：ma②a b3mb mc m(a b c)；公3式法2：2a2b2(a b)(a b),a22ab b2(a b)2；(a b)(a ab b)；③十字相乘法：x2a1a2x2(a b)x ab (x a)(x b)；(a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2x c2)，（a1a2≠０）．④分组分解法：分组以后能提公因式或利用公式分解，从而把原多项式因式分解．（3）分式的概念：形如AB（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的代数式叫做分式．分式有意义的条件是分母不等于零；分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．（4）分式的基本性质：AB A MB M,AB A MB M（其中M是不为零的整式）．（5）分式的运算与分数的运算相仿．（6）平方根与算术平方根的概念：如果x2记作xa(a 0)，其中a(a 0)a(a 0)，那么x叫做a的平方根，叫做a的算术平方根．叫做a的立方根，记为x3（7）立方根的概念：如果x3（8）二次根式概念：形如a，那么xaa(a 0)的式子叫二次根式．（9）最简二次根式：满足下列两个条件，被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．（10）同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．（11）相关性质：a 0(a 0);(a)abab2a(a 0);a2|a|;ab ab(a 0,b 0)；(a 0,b 0)．不错的,下载资料（12）二次根式的运算：①加、减运算：先把每个二次根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式．②乘、除运算：是积、商性质的逆向应用．运算结果中每一个二次根式都应是最简二次根式．3、能力要求例1 在二次根式①，②23，③23，④27中与3是同类二次根式的是（）．A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 解答本题的关I是能正确化简题中的四个二次根式，然后根据被开方数是否相同来选择与∵23,3是否为同类二次根式．2322,23136,27 33．∴与3是同类二次根式的是①④，故答案选项C．最简二次根式、同类二次根式是本节内容两个重要概念，正确理解这两个概念，是进行二次根式加减运算的前提，因此在总复习时，应加强二次根式的化简的习题训练．例2 把下列各式因式分解：（１）6m2a2a b b22（２）8x3127y3（３）7mn 20n（１）本题在进行因式分解时，不能直接提公因式或用公式法来分解，因此考虑用分组分解法．在分组时，尝试第一、第二两项分在一组，第三、第四两项分在另一组后不能继续分解，因此把第一、第四两项结合，第二、第三两项结合，通过提公因式后来实现因式分解．（２）把8x3化为(2x)3，把(13y)3127y3化为，然后直接利用立方差公式来进行因式分解．（３）对于二次三项式的因式分解，常常考虑用十字相乘法来分解．（１）原式＝(a2b) (a b) (a b)(a b) (a b) (a b)(a b 1)．2（２）原式＝(2x)3-(（３）原式＝(3m13y)3=(2x-13y)(4x2+23xy+19y)2．4n)(2m 5n)．华师版义务教育新课标实验教材中的因式分解要求偏低．事实上，让学生掌握十字相乘法分解因式，对于灵活解一元二次方程、解一元二次不等式等非常有用；另外，分组是数学中的一种重要的解题思想方法，对于不能直接提公因式、利用公式来分解因式的多项式，可以尝试用分组分解法来进行因式分解．对于立方和（差）公式，在中考总复习时要补充，让学生会运用公式来因式分解.不错的,下载资料例3 化简：(aaa 1)a222a 4aa 1a23a 2．在进行分式的加减乘除混合运算中，要注意运算顺序，先算乘除、再算加减，有括号先算括号里面的．对于分子、分母是多项式的分式，应先把分子、分母因式分解，然后再约分化简．原式＝a2a aa 1(a 2)(a 2)a(a 2)a 1(a 1)(a 2)aa 1．分式的加减乘除混合计算是考查学生因式分解、通分、约分等运算能力的经典题型，是学生中考过关的重要题型之一，复习中要高度重视．例4 已知a1 12,b1 12，求代数式a3bab3的值．由于a、b均为可化简的二次根式，应先将a、b进行化简。
中考数学一轮复习11分式(含答案)
第十一讲：分式分式作为初中数学的重点容之一，也是每年中考的热门考点，考查题型也是多种多样，分值一般在6-9分左右。
知识点1：分式的定义例1：请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式 ｘ2－4ｘｙ＋4ｙ2 ｘ2－4ｙ2 ｘ－2ｙA ．1 B. 2 C.3 D.4 思路点拨：分母中含字母的代数式，xy x 1,2-都是分式，其他都不是。
注意：（1）π除外 ；(2)分式是形式定义，如x x 2化简之后为x ，但xx 2是分式。
答案：B 练习1．为了预防甲型H1N1流感的大面积传播，某药店以进价x 元新进一批“达菲”药品，售价为120元，则该药的利润率可表示为__________2.对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算※如下：a ※b =ba ba -+，如3※2=52323=-+．那么12※4= ． 答案：1.120120100%x x x x --⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭或； 2. 1/2； 最新考题1.(2009年)某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树口棵。
实际每小时植树的棵数是原计划的1．2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务(用含口的代数式表示)．1.a40 知识点2：分式成立的条件例1：写出一个含有字母x 的分式（要求：不论x 取任何实数，该分式都有意义） ．211x +（答案不惟一） 思路点拨：本题考查了分式成立的条件即分母不能为0 例2：分式2-x x成立的条件是思路点拨：分式成立的条件是分母即x-2≠0 答案：x ≠2 练习： 1.要使分式11x +有意义，则x 应满足的条件是（ ） A ．1x ≠B ．1x ≠-C ．0x ≠D ．1x >2.当x = 时，分式12x -无意义． 答案：1. B 2. 2 最新考题1.（2009綦江）在函数13y x =-中，自变量x 的取值围是 ． 2.（2009年黔东南州）当x______时，11+x 有意义．答案：1.3x ≠ ；2.1-≠ 知识点3：分式值为0的条件 例：若分式122--x x 的值为0，则x 的值为（ ） A. 1B. -1C. ±1D.2思路点拨：应同时具备两个条件:（1）分式的分子为零;（2）分式的分母不为零 答案：D练习：分式1322--+x x x 的值为0，则x 的值为 （ ）A.x=-3B.x=3C.x=-3或 x=3D.x=3或 x=-1 答案：A1.（2009）若分式33x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A ．3 B ．3- C ．3± D ．0 2.(2009年)已知分式11x x +-的值为0，那么x 的值为______________。
中考数学一轮复习 第一单元 数与式 第3讲 分式数学课件
2.(2018·台州)若分式(fēnshì)1 有意义,则实数x的取值范围是x≠2.
x2
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考点(kǎo diǎn)二 分式的基本性质(近5年未单独考查)
1.分式的基本性质 分式的分子和分母(fēnmǔ)都乘(或除以)同一个⑤不等于零的整式,分式的值⑥不变.
第二十六页，共三十五页。
3.(2014·山西(shān xī),12,3分)化简 1 + 的6 结果是 x 3 x2 9
1 .x 3
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探难疑·知易
易错题1 若分式(fēnsh| ì)x | 的1 值为0,则x=
.
x1
解析(jiě xī) |x|-1=0且x+1≠0,∴x=1.
3.化简:
1
÷
x
2
x,再x 任 取xx 一 11 个你认为(rènwéi)合适的值代入求值.
解析(jiě xī)
原式x=2 x÷ x =x 1· = x 2 . x2 x x 1 x(x 1)
x1 x1
x x1
由题可知x≠1,x≠0,x≠-1,∴当x=2时,原式= =2. 2 21
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第十九页，共三十五页。
2.化简: 3 x ÷ 3 - 3 x . 1
x2 1 x 1 x 1
解析(jiě xī)
原式=3( x · 1) - x= 1 - 1 =
( x 1)( x 1) 3 x x 1
1 - 1= x x1
=x- 1 . x
x(x 1) x(x 1)
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人教版九年级下册数学第一轮复习教案：第3课时_分式
第3课时 分式【课标要求】1.了解分式的概念。
2.会利用分式的基本性质进行约分和通分。
3.会进行简单的分式加、减、 乘、除运算。
【知识要点】1.分式：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有 ，那么代数式B A叫做分式。
2.分式的有意义、无意义和值为零：（1）若分式B A 有意义，则必须满足条件： ； （2）若分式B A 无意义，则必须满足条件： ； （3）若分式B A值为零，则必须满足条件： 。
◆注意：（1）（2）两类问题，不能先对分式进行约分！例如：1.若分式422--x x 有意义，则x 取值范围是 。
正解：2042±≠⇒≠-x x。
错解：∵21422+--=x x x∴202-≠⇒≠+x x 。
（原因：先对分式进行约分了！）3.分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值 。
即：M B M A BA∙∙=，MB MA BA÷÷=（其中M 是不等于0的整式）4.分式的运算： （1）加减运算：例如：计算：923122---x x x 。
解：原式=()()()33231-+--x x x x →对各个分母进行因式分解！=()()()()332333-+--++x x x x x x x x→找到最简公分母是：()()33-+x x x然后通分！=()()()333-+--x x x x →把各个分子进行合并！然后看分子、分母能不能约分！=()31+-x x→约分，得到结果！ （2）乘除运算：例如：计算：44422222-+-÷+-x x x x x x解： 原式=()()()()222222--+∙+-x x x x x x→对各个分子、分母进行因式分解！=x→约分，得到结果！【典型例题】【例1】填写出未知的分子或分母： （1）2223()11,(2)21()x y x y x y y y +==+-++ 【例2】（08，株洲）若使分式2xx -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．2x ≠- C ．2x >-D ．2x <（07，临汾）若分式211x x --的值为0，则（ ）A ．1x =B ．1x =-C ．1x =±D ．1x ≠ 【例3】你能说出下列分式的最简公分母吗？ （1）223111,,342x y xy x- （2）91,62,12--++x xx x x x【例4】化简：222412()2144x x xx x x x ---⋅-+-+【例5】先化简，再求值： （08，资阳）（212x x -－2144x x -+）÷222x x-，其中x ＝1．【课堂检测】▲1.化简分式：22544______,202ab x x a b x -+=-=________．22193m m m -=-+ 。
分式-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
最简 分式
一个分式的分子与分母没有_公__因__式__时,这个分式叫做最简分式.
01
分式的概念
考点聚焦 02 分式的基本性质
03 分式的运算
精讲精练
典例精讲
分式---化简求值
知识点三
【例3】先化简,再求值
(1
a
2
a
a
)
a
2
a2 1 2a
1
,其中a=sin30º.
解：当a=sin30º时，a=0.5，原式=
运 易失 (1)分子变号不彻底,只变部分,未变整体； 算 分的 (2)代值时未考虑到原式的分母要有意义；
原因 (3)将本节分式的化简与后面章节的解分式方程混淆,盲目去分母.
课堂小结
分式
知识梳理
强化 训练
当堂训练
分式
1.要使分式 5 有意义,则x的取值范围是( A )
x 1
A.x≠1 B.x＞1 C.x＜1 D.x≠-1
2
2021 2022
强化训练
分式
提升能力
2.先化简：(
2x x2
5 1
x
3
) 1
x
2
2
x 2x
，再从-2＜a≤2中选取一个合适的整数 1
值代入求值.
解：原式 2x 5 3(x 1) • (x 1)2 2 x • (x 1)2 x 1 (x 1)( x 1) 2 x (x 1)(x 1) 2 x x 1
03 分式的运算
精讲精练
典例精讲
分式---基本性质
【例2】下列计算错误的是( A )
A. 0.2a b 2a b 0.7a b 7a b
B.
x3 y2 x2 y3
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中考数学第一轮总复习——分式
【课前热身】
1．当x＝______时，分式11xx有意义；当x＝______时，分式
2
xxx
的值为0．
2．填写出未知的分子或分母：
（1）2223()11,(2)21()xyxyxyyy.
3．计算：________xyyyxx．
4．代数式21,,,13xxaxxx 中，分式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5. 计算22()abab的结果为（ ）
A．b B．a C．1 D．1b
【考点链接】
1. 分式：整式A除以整式B，可以表示成 AB 的形式，如果除式B
中含有 ，那么称 AB 为分式．若 ，则 AB 有
意义；若 ，则 AB 无意义；若 ，则 AB ＝0.
2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个
不等于零的整式，分式的 ．用式子表示
为 .
3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分
式的约分．
4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的
分式，这一过程称为分式的通分.
5．分式的运算
⑴ 加减法法则：
① 同分母的分式相加减： .
② 异分母的分式相加减： .
⑵ 乘法法则： .
⑶乘方法则： .
(4)除法法则： .
【典例精析】
例1 （1） 当x 时，分式x13无意义；
（2）当x 时，分式392xx的值为零.
例2 ⑴ 已知 31xx，则221xx ＝ .
⑵已知113xy，则代数式21422xxyyxxyy的值
为 .
例3 先化简，再求值：
(1)（212xx－2144xx）÷222xx，其中x＝1．
⑵221111121xxxxx，其中31x.
【中考演练】
1．化简分式：22544______,202abxxabx=________．
2．计算：x－1x－2 ＋12－x ＝ .
3．分式223111,,342xyxyx的最简公分母是_______．
4．把分式)0,0(yxyxx中的分子、分母的x、y同时扩
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大2倍，那么分式的值（ ）
A. 扩大2倍 B. 缩小2倍
C. 改变原来的41 D. 不改变
5．如果xy=3，则xyy=（ ）
A．43 B．xy C．4 D．xy
6．若220xx，则22223()13xxxx的值等于（ ）
A．233 B．33 C．3 D．3或33
7. 已知两个分式：A＝442x，B＝xx2121，其中x≠±2．下
面有三个结论：
①A＝B； ②A、B互为倒数； ③A、B互为相反数．
请问哪个正确?为什么?
8. 先化简22211111xxxxx，再取一个你认为合理的x值，
代入求原式的值.
9、计算：22221(1)121aaaaaa
10、化简：22222369xyxyyxyxxyyxy
11、化简：221211241xxxxxx．
12、求代数式的值：)2422(4222xxxxxx，其中22x
13、先化简，再求值222366510252106aaaaaaaa其中22a．
14、先化简211()1122xxxx，然后从2,1,1中选取一
个你认为合适．．的数作为x的值代入求值.
15、已知a = 2，1b，求2221abaab÷1a的值．
16、先化简，再求值：
22
11()22xyxyxxyx
， 其中 x=2 ， y=3