离散数学 第五章 函 数

第五章 函 数 习 题5.1 1．解 （1）是X到Y的函数，其定义域为domf=A={1,2,3},其值域为ranf={a,c}. （2）是X到Y的函数，其定义域为domf=A={1,2,3},其值域为ranf=B={a,b,c}. （3）不是X到Y的函数，∵存在lfb和lfc与函数定义矛盾。 （4）是X到Y的函数，其定义域为domf=A={1,2,3},其值域为ranf={b}. 2．解 因为，f: I I+,由f(x)= |x|+2给出，，即x∈I,|x|≥0,则f(x)=|x|+2≥2故它的值域为ranf=N-{0,1}. 3．解 （1）f(A)=f({5})={<5,6>}, f-1(B)=f-1({<2，3>})={2}; (2) f(A)=f({2,3})={5,7}, f-1(B)= f-1({1，3})={0,1}; (3) f(A)=f((0,1))=(1/4,3/4), f-1(B)= f-1([1/4,1/2])=[0,1/2]; (4) f(A)=f({0,1/2})={1,2/3}, f-1(B)= f-1({1/2})={1}. 4．解 ∵|A|=3,|B|=2,∴|BA|=8.即A→B的函数有8个，具体如下： f1={,,}, f2={,,}, f3={,,}, f4={,,}, f5={,,}, f6={,,}, f7={,,}, f8={,,}. 因此，BA={f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7, f8}。 习 题5.2 1．解 （1）是单射但不是满射； （2）既不是单射也不是满射； （3）是满射； （4）是满射，单射，双射。 2．解 （1）f：II, f(x)= x3;

(2) 是偶数当是奇数当nnnfNf,0,1)(},1,0{:; (3) f：RR, f(x)= x2+1; (4) f：II, f(x)= x+1. 3．解 （1）f={<0,0>,<1,4>,<2,3>,<3,2>,<4,1>},如图显然可知，是双射。

(2) f={<0,0>,<1,4>,<2,2>,<3,0>,<4,4>}，由图可知，f即不是单射也不是满射。 4．解 f1={,}, f2={,}, f3={,}, f4={,}. 其中f2，f3是双射，而f1，f4既不是满射也不是单射。 5．证明 设任意n∈N,则至少∈NN则f(n,1)=n∈N，g(n,1)=n∈N故f,g是满射. 但f,g都不是单射，如f(2,2)=4=f(3,1),g(3,4)=g(2,6)=12。 6．证明 （1）对于,∈R×R，设f()=f()，即<(x+y)/2, (x-y)/2>=<(u+v)/2, (u-v)/2>，

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 图：3（1）的示意图 AfB 0 1

2

3 4

0 1 2

3 4

图：3（2）的示意图

AfB 亦即(x+y)/2=(u+v)/2，(x-y)/2=(u-v)/2，解得 x=u,y=v，故=，因此，f是单射； (2)证f是满射，既任意∈R×R,令f()=，则有<(x+y)/2, (x-y)/2>=,既有 (x+y)/2=u，(x-y)/2= v 只要取x=u+v，y=u-v,就可使上式成立，且因为∈R×R，所以，∈R×R。 故f是满射。综合上述f是双射。 7．解 ψA(1)= ψA(2)=1; ψA(3)= ψA(4)=0; ΨB(1) =1; ψB(2) =ψB(3)= ψB(4)=0;

ΨC(1)=ψC(2) =ψC(3)= ψC(4)=0;

ΨM(1)=ψM(2) =ψM(3)=ψM(4)=1。

8．证明（1）①x∈A且x∈B，则x∈A∪B，因此，ψAB(x)=1, ψA(x)+ ψB(x)-ψA(x)ψB(x)=1+1-11=1， 所以，ψAB(x)= ψA(x)+ ψB(x)-ψA(x)ψB(x)； ② x∈A，xB，则x∈A∪B，因此，ψAB(x)=1, ψA(x)+ ψB(x)-ψA(x)ψB(x)=1+0-10=1， 所以，ψAB(x)= ψA(x)+ ψB(x)-ψA(x)ψB(x)； ③ xA，x∈B，同②可证ψAB(x)= ψA(x)+ ψB(x)-ψA(x)ψB(x)； ④ xA，xB，则xA∪B，因此，ψAB(x)=0, ψA(x)+ ψB(x)-ψA(x)ψB(x)=0+0-00=0， 所以，ψAB(x)= ψA(x)+ ψB(x)-ψA(x)ψB(x)。 综合①②③④，对所有x∈U，都有ψAB(x)= ψA(x)+ ψB(x)-ψA(x)ψB(x)。

（2）若x∈A则xA，所以，)(1110)(xxAA；

若xA则x∈A，因此，)(1011)(xxAA。 （3）①xA，则xA-B，所以，ψA-B(x)=0，ψA(x)=0，故 ψA(x)(1-ψB(x))=0(1-ψB(x))=0=ψA-B(x);

②x∈A且x∈B，则xA-B，所以，ψA-B(x)=0，ψA(x)=1，ψB(x)=1，故 ψA(x)(1-ψB(x))=1(1-1)=0=ψA-B(x);

③x∈A，xB，则x∈A-B，所以，ψA-B(x)=1，ψA(x)=1，ψB(x)=0，故 ψA(x)(1-ψB(x))=1(1-0)=1=ψA-B(x)。

习题5.3 1．解 对于任意b∈B, 因为f：AB是双射，即f：AB是满射，则存在a∈A使∈f，由逆关系定义有∈f-1；若∈f-1且∈f-1，则又由逆关系定义得∈f且∈f，又因为f：AB

是单射故x=x1。综上所述由函数定义知1f是B到A的函数。 2．解 没有，因为f不是双射函数。若将函数f的定义域和值域分别改为[0,]和[-1,1]，则f有逆函数。 3．解 g·f(x)=g(f(x))=g(2x+5)=(2x+5)+7=2x+12； f·g(x)=f(g(x))=f(x+7)=2(x+7)+5=2x+19; f·f(x)=f(f(x))=f(2x+5)=2(2x+5)+5=4x+15; g·g(x)=g(g(x))==g(x+7)=(x+7)+7=x+14; f·k(x)=f(k(x))=f(x-4)=2(x-4)+5=2x-3; g·h(x)=g(h(x))=g(x/3)=x/3+7. 4．解ff={,,}{,,}={,,}; fff= f(ff)= {,,}{,,}={,,}。 5．解 （1）g·f(x)=g(f(x))=g(x2-2)= (x2-2)+4= x2+2; f·g(x)=f(g(x))=f(x+4)=(x+4)2-2= x2+8x+14. (2) g·f(x)=x2+2,不是单射，也不是满射和双射； f·g(x)= x2+8x+14也不是单射，满射和双射。 6．证明 （1）因为g·f：A→C是双射，则g·f：A→C是单射。假设a1,a2∈A且a1≠a2，f(a1)= f(a2)，而g：B→C是函数，则g·f(a1)= g·f(a2)，这与g·f：A→C是单射矛盾，故f是单射; (2) 因为g·f：A→C是双射，则g·f：A→C是满射。所以，对于任意c∈C,存在a∈A,使g·f(a)=c即g(f(a))=c,又因为f：A→B是函数，故存在b=f(a)∈B，因此，存在b∈B使得g(b))=c，故g是满射. 7．证明 因为，f：A→B是双射，由定理2知f-1:B→A是双射，故f-1也存在逆函数(f-1)-1：A→B，故对任意a∈A，设f(a)=b，则f-1(b)=a，因此有(f-1)-1(a)=b，于是f(a)=(f-1)-1(a)，由a的任意性可知f=(f-1)-1。 习题5.4 1．证明 要证A≈N,只须证明存在N到A的双射函数即可。设f：N→A，f(n)=11n+3,对与任意n∈N，显然，f：N→A是单射。下面证明f：N→A是满射。 事实上，任取a∈A，由A中元素的形式，则存在x∈N,使得a=11x+3,且f(x)=11x+3=a,故f是满射,即f是双射。 综合上述，A≈N. 2．解 A={2n|n∈N},B={2n+1|n∈N},C={3n|n∈N}，A,B,C这三个集合均是N的子集且都N等势。事实上，可以作如下的三个函数。 f:N→A,f(n)=2n,n∈N; g:N→B,g(n)=2n+1,n∈N h:N→C,h(n)=3n,n∈N 容易证明这三个都是双射函数。 3．证明 作函数f：[0,1]→[2,3]，f(x)=x+2,x∈[0,1]。因为，f是严格单调的函数，所以，f是单射，又任意x∈[2,3]，则x-2∈[0,1]，且f(x-2)=(x-2)+2=x，故f是满射，故[2,3]≈[0,1] 4．解 （1）作恒等函数任意a∈，IA(a)=a，显然IA是A上的双射函数，故A≈A （2）若A≈B，则存在双射函数f：A→B，由5.3节定理1和定理2知f：A→B存在逆函数，且1f:B

→A也是双射双射，故B≈A。 （3）因为，A≈B,B≈C，则存在双射函数f:A→B和g:B→C，则f和g的复合函数g·f：A→C也是双射（5.3节定理5）即A≈C。 5．证明 因为A≈C,B≈D，则存在双射函数f:A→C和g:B→D。由此可定义函数h:A×B→C×D，对于任意∈A×C，h(a,b)=,其中c=f(a),d=g(b)。下面证明：h:A×B→C×D是单射。

对,∈A×B.若h(a1,b1)=h(a2,b2)= ，即f(a1)=f(a2)=c,g(b1)=g(b2)=d,而f和g都是单射，所以有a1=a2，b1=b2，即=。 再证明h:A×B→C×D是满射。事实上对任意的∈C×D,则c∈C,d∈D,由于f,g都是满射，所以存在a∈A,b∈B使得f(a)=c,g(b)=d。 即存在∈A×B，使得h(a,b)= ，故h是A×B到C×D的满射。 因此，h是A×B到C×D的双射，故A×B≈C×D。 复习题五 1．解 （1）是函数，定义域是{1,2,3,4}，值域是{x, y, z}，非满射，也非单射； (2) 不是函数； (3) 是函数，定义域是{1,2,3,4}，值域是{x, y, z, w},是双射，故有逆函数，则逆函数是 {,,,},则定义域{x, y, z, w}，值域{1,2,3,4}； (4) 不是函数； (5) 是函数，定义域是{1,2,3,4}，值域是{y},单射，非满射，更不是双射。 2．解 因为S=(A(BC))(BC)，所以 S(x)= A(BC)(x)+BC(x)-A(BC)BC(x)