非对称实矩阵合同的条件
矩阵的合同,等价与相似
矩阵的合同，等价与相似一、矩阵的合同，等价与相似的定义、性质及判定条件（一）矩阵的等价：1、定义：若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。
2、性质：（1）反身性：即A A ≅.（2）对称性：若A B ≅，则B A ≅（3）传递性：即若A B ≅，B C ≅，则A C ≅（4） 若A 为m n ⨯矩阵，且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），使得000rm nI PAQ B ⨯⎛⎫==⎪⎝⎭.其中r I 为r 阶单位矩阵. （5） 设A B 、是两m n ⨯矩阵，则A B ≅当且仅当()()r A r B =3、判定：矩阵等价的充要条件：两个s n ⨯矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的n 阶矩阵Q ，使B PAQ =由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使得B PAQ =.（二）矩阵的合同： 1、定义：两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、性质：（1）反身性：任意矩阵A 都与自身合同.（2）对称性：如果B 与A 合同，那么A 也与B 合同.（3）传递性：如果B 与A 合同，C 又与B 合同，那么C 与A 合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.（4） 数域F 上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. （5） 复数域上秩为r 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形： 22212r f y y y =++3、判定定义2 设,A B 均为数域p 上的n 阶方阵，若存在数域p 上的n 阶可逆矩阵p ，使得T P AP B =,则称矩阵为合同矩阵（若数域p 上n 阶可逆矩阵p 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A 与B 合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A 与B 不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p 上的n 阶矩阵p ,T P AP B =（三）矩阵的相似 1、定义：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
线代合同的判定条件
线代合同的判定条件宝子们，今天咱们来唠唠线性代数里合同这个事儿的判定条件哈。
合同在咱线代里可是个挺有趣的概念呢。
那啥是合同呢？简单来说啊，就是在矩阵的世界里，存在一种特殊的关系，就像两个人有某种默契一样。
对于实对称矩阵啊，有个很重要的判定条件哦。
如果有两个实对称矩阵A和B，存在一个可逆矩阵C，使得C的转置乘以A乘以C等于B，那这两个矩阵A和B就是合同的啦。
这就像是找到了一个神奇的桥梁C，通过这个桥梁把A和B联系起来，让它们有了这种特殊的合同关系呢。
咱再深入一点哈。
实对称矩阵的合同啊，还和它们的正负惯性指数有关系。
啥是正负惯性指数呢？就是在把实对称矩阵化成对角矩阵的时候，正对角元的个数就是正惯性指数，负对角元的个数就是负惯性指数。
如果两个实对称矩阵的正负惯性指数都相同，那这两个矩阵就是合同的哟。
这就好比两个人有相同的性格特点，那他们就比较合得来，在矩阵的世界里就是合同的关系啦。
还有哦，从特征值的角度来看呢。
虽然特征值不完全相同的两个实对称矩阵也可能合同。
比如说，一个矩阵的特征值是1，2，3，另一个矩阵的特征值是2，1，3，虽然顺序有点不一样，但它们的正负惯性指数是一样的，所以这两个矩阵也是合同的。
就像两个人做事的顺序不太一样，但是本质上都是有相同的能力和特点，所以还是很合得来的。
宝子们啊，要理解线代里合同的判定条件，就得像交朋友一样，多去发现矩阵之间那些隐藏的联系。
比如说，看到两个矩阵的时候，先想想能不能找到那个神奇的可逆矩阵C，要是找不到，就去看看它们的正负惯性指数或者特征值的情况。
这就像我们在生活里，判断两个人能不能成为好朋友，有时候要看有没有共同的朋友（可逆矩阵C），要是没有，就看看性格特点（正负惯性指数或者特征值）是不是相似啦。
线代里的合同判定其实很有趣的，只要我们把它当成是矩阵之间的一种特殊友谊去理解，就会发现其实也没有那么难啦。
宝子们要多做些练习题，多去探索探索矩阵之间的这种神秘的合同关系哦。
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别全套资料
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别全套资料(全套资料，可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质 （一）等价：1、概念.若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅.2、矩阵等价的充要条件：A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同. （二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P,使得A B ≅P T AP B =成立,则称A ，B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换.2、矩阵合同的充要条件：矩阵A ，B 均为实对称矩阵,则A B ≅二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念:n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
2、矩阵相似的性质：~A B 11~,~,~(,)|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)即的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件:~()()A B E A E B λλ⇔-≅- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=,12(,,,)m B βββ=1、若向量组(12,,,m βββ)是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同,钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
判断矩阵的合同与相似
判断矩阵的合同与相似篇一：矩阵的合同与相似及其等价条件矩阵的相似与合同及其等价条件研究（数学与统计学院 09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶引言矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念矩阵等价的定义[1]定义如果矩阵A可以有矩阵B经过有限次初等变换得到，称A与B是等价的.由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：定义如果n阶矩阵A可以由n阶矩阵B进过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的.根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述：定义设矩阵A,B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P和Q,使得PAQB,则称矩阵A与B等价，记作A∽B. 矩阵相似的定义[2]定义设矩阵A，B为n阶矩阵，如果存在一个是n阶可逆矩阵P，使得P1APB,则称矩阵A与矩阵B相似，记作A～B.n阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:性质反身性，即任一n阶矩阵A与自身相似. 性质对称性，即如果A～B，则B～A. 性质传递性，如果A～B，B～C，则A～C.性质 P1(k1A1k2A2)Pk1P1APk2A2P. （k,k是任意常数）12性质 P1(A1A2)P(P1A1P)(P1A2P).性质若矩阵A与矩阵B相似，则Am与Bm相似.（m为正整数）证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，那么P1AP 可以得到Am与相Bm相似.性质如果矩阵A、B都是满秩，则A～B，那么B～A. 证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，那么P1AP故可以得到B～A.性质如果矩阵A～B，那么AB.证明存在一个可逆矩阵P，使得P1APB，又因为P1APB，P1P1，故可以得到AB.性质相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似.证明设BP1AP，若矩阵B可逆，B1P1AP也相似.若B不可逆，则P1AP不可逆，即A也不可逆.性质相似矩阵有相同的特征值.证明设BP1AP，EBP1EPP1AP1111mBmP1AmP，故1B1P1A1P。
一类三阶非对称实矩阵合同的充要条件
㊀[收稿日期]２０１９Ｇ０６Ｇ２９;㊀[修改日期]２０１９Ｇ１２Ｇ１２㊀[基金项目]河南省２０１９年度科技发展计划科技攻关项目(１９２１０２３１０４４４);河南省教育厅２０１９年度河南省高等学校重点科研项目(１９A １２００１０)㊀[作者简介]梁淑华(１９７８－),女,硕士,讲师,从事经济数学与管理研究．E m a i l :s h u h u a ８６６＠１２６．c o m第３６卷第４期大㊀学㊀数㊀学V o l ．３６,ɴ．４２０２０年８月C O L L E G E MA T H E MA T I C SA u g．２０２０一类三阶非对称实矩阵合同的充要条件梁淑华(洛阳师范学院商学院,河南洛阳４７１９３４)㊀㊀[摘㊀要]从两个非对称实矩阵合同的定义出发,给出了两个二阶非对称实矩阵合同的判定条件．利用矩阵的计算技巧和待定系数法,将一类三阶非对称实矩阵合同的判定归结于二阶非对称实矩阵的情形,并刻画了两类非对称实矩阵合同的等价关系,最后得出了一类三阶非对称实矩阵合同判定的一个充要条件．[关键词]非对称实矩阵;合同;可逆矩阵[中图分类号]O １５７．４㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０２０)０４Ｇ０１０６Ｇ０５１㊀引㊀㊀言在高等代数或线性代数课程的知识范畴内,合同关系定义在两个实对称矩阵之间．众所周知,两个同阶的实对称矩阵合同当且仅当它们的正㊁负惯性指数分别相同,即它们的正㊁负特征值的个数分别相同[１]．自然要问:合同关系是否只存在于两个实对称矩阵之间?两个非对称的实矩阵是否可以合同?如果两个非对称的实矩阵可以合同,那么如何刻画它们之间合同的一些判定条件?最近的文[２]在A s ,B s 为正定矩阵的前提下,给出了判定两个非对称的n 阶实矩阵合同的一个充分条件;文[３]给出了判定二阶非对称实矩阵合同的一个充要条件,在此基础上,本文主要利用矩阵的计算技巧研究一类三阶非对称的实矩阵合同判定的充要条件．２㊀主要结果及证明设A 是n 阶非对称实矩阵,用A T表示A 的转置矩阵．记A s ＝A ＋A T ２,A w ＝A －A T２,则分别称A s 和A w 为矩阵A 的对称部分和反对称部分．引理１([３,定理１])㊀设二阶矩阵A ＝λ１a －a λ２æèçöø÷,B ＝λ３b －b λ４æèçöø÷,a ,b 均为正实数,则A ,B 合同的充要条件是A s 合同于B s ,且b ２λ１λ２＝a ２λ３λ４．引理２㊀设二阶矩阵A ＝λ１a －a λ２æèçöø÷,B ＝λ３b －b λ４æèçöø÷,a ,b 均为正实数,则A ,B 合同当且仅当下列条件之一成立:(i )若λ１λ２λ３λ４ʂ０,则b ２λ１λ２＝a ２λ３λ４;㊀(i i )λ１＝λ３＝０,λ２λ４＞０;(i i i )λ１＝λ４＝０,λ２λ３＞０;㊀(i v )λ２＝λ３＝０,λ１λ４＞０;(v )λ２＝λ４＝０,λ１λ３＞０;㊀(v i )λ１＝λ２＝λ３＝λ４＝０．证㊀因为A s 与B s 都为对称矩阵,所以A s 与B s 合同当且仅当A s 与B s 的正特征值的个数和负特征值的个数分别相同．易知,A s 的全部特征值为λ１,λ２,B s 的全部特征值为λ３,λ４,故A s 与B s 合同当且仅当下列条件之一成立:(i )λ１λ３＞０,λ２λ４＞０;㊀(i i )λ１λ４＞０,λ２λ３＞０;㊀(i i i )λ１＝λ３＝０,λ２λ４＞０;(i v )λ１＝λ４＝０,λ２λ３＞０;㊀(v )λ２＝λ３＝０,λ１λ４＞０;㊀(v i )λ２＝λ４＝０,λ１λ３＞０;(v i i )λ１＝λ２＝λ３＝λ４＝０．再注意到若λ１λ２λ３λ４ʂ０且b ２λ１λ２＝a ２λ３λ４,则上述条件(i )和(i i )均成立．因此A s 与B s 合同,且b ２λ１λ２＝a ２λ３λ４当且仅当下列条件之一成立:(i )若λ１λ２λ３λ４ʂ０,则b ２λ１λ２＝a ２λ３λ４;㊀(i i )λ１＝λ３＝０,λ２λ４＞０;(i i i )λ１＝λ４＝０,λ２λ３＞０;㊀(i v )λ２＝λ３＝０,λ１λ４＞０;(v )λ２＝λ４＝０,λ１λ３＞０;㊀(v i )λ１＝λ２＝λ３＝λ４＝０．根据引理１,得到所要证的结论．引理３㊀设二阶矩阵A ＝λ１a －a λ２æèçöø÷,B ＝λ３b －b λ４æèçöø÷,a ,b 为两个非零实数,则A ,B 合同当且仅当下列条件之一成立:(i )若λ１λ２λ３λ４ʂ０,则b ２λ１λ２＝a ２λ３λ４;㊀(i i )λ１＝λ３＝０,λ２λ４＞０;(i i i )λ１＝λ４＝０,λ２λ３＞０;㊀(i v )λ２＝λ３＝０,λ１λ４＞０;(v )λ２＝λ４＝０,λ１λ３＞０;㊀(v i )λ１＝λ２＝λ３＝λ４＝０．证㊀因为０１１０æèçöø÷T λ３－b b λ４æèçöø÷０１１０æèçöø÷＝λ４b －b λ３æèçöø÷,所以B 与矩阵B ᶄ＝λ４－b b λ３æèçöø÷合同;同理A 与矩阵A ᶄ＝λ２－a a λ１æèçöø÷合同．故A 与B 合同当且仅当A 与B ᶄ合同,也当且仅当A ᶄ与B 合同．若a ＞０,b ＞０,则直接根据引理２,即得所要证的结论;若a ＞０,b ＜０,则A 与B 合同当且仅当A 与B ᶄ合同;若a ＜０,b ＞０,则A 与B 合同当且仅当A ᶄ与B 合同,若a ＜０,b ＜０,则A 与B 合同当且仅当A ᶄ与B ᶄ合同,进而由引理２,即得所要证的结论．引理４㊀设三阶矩阵A ＝λ０a １a ２a １λ１＋a ２１λ０a ＋a １a ２λ０a ２－a ＋a １a ２λ０λ２＋a ２２λ０æèçççççöø÷÷÷÷÷,㊀B ＝μ０b １b ２b １λ３＋b ２１μ０b ＋b １b ２μ０b ２－b ＋b １b ２μ０λ４＋b ２２μ０æèçççççöø÷÷÷÷÷;二阶矩阵A ０＝λ１a －a λ２æèçöø÷,B ０＝λ１b －b λ２æèçöø÷,这里a ,b 为任意的非零实数,且λ０,μ０满足λ０μ０＞０;a １,a ２,b １,b ２为任意实数,则三阶矩阵A 与B 合同当且仅当二阶矩阵A ０与B ０合同．证㊀不失一般性,假设λ０,μ０均为正实数．令P ＝１λ０００－a １λ０１０－a ２λ００１æèççççççöø÷÷÷÷÷÷;㊀Q ＝１μ０００－b １μ０１０－b ２μ００１æèççççççöø÷÷÷÷÷÷,则P ,Q 可逆,并且P T A P ＝１０００λ１a ０－a λ２æèçççöø÷÷÷,㊀Q T B Q ＝１０００λ３b ０－b λ４æèçççöø÷÷÷．７０１第４期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀梁淑华:一类三阶非对称实矩阵合同的充要条件令A ᶄ＝P T A P ,B ᶄ＝Q T B Q ,则A ᶄ＝１０００λ１a ０－a λ２æèçççöø÷÷÷＝１００A ０æèçöø÷,㊀B ᶄ＝１０００λ３b ０－b λ４æèçççöø÷÷÷＝１００B ０æèçöø÷,并且三阶矩阵A 与B 合同当且仅当A ᶄ与B ᶄ合同．(i )设A ０与B ０合同,则存在二阶可逆矩阵D ０,使得D T０A ０D ０＝B ０．令D ＝１００D ０æèçöø÷,则D 是三阶可逆矩阵,并且D TA ᶄB ＝１００D ０æèçöø÷T １００A ０æèçöø÷１００D ０æèçöø÷＝１００D T０A ０D ０æèçöø÷＝１００B ０æèçöø÷＝B ᶄ．故A ᶄ与B ᶄ合同．因此三阶矩阵A 与B 合同．(i i )设三阶矩阵A 与B 合同,则A ᶄ与B ᶄ合同,故A ０与B ０同时为可逆矩阵或者同时为不可逆矩阵,即λ１λ２ʂ－a ２,λ３λ４ʂ－b ２或者λ１λ２＝－a ２,λ３λ４＝－b ２．若λ１λ２＝－a ２,λ３λ４＝－b ２,由于a ,b 都为非零实数,故λ１λ２λ３λ４ʂ０,且b ２λ１λ２＝a ２λ３λ４．因此由引理３得A ０与B ０合同．若λ１λ２ʂ－a ２,λ３λ４ʂ－b ２,则A ０与B ０均为可逆矩阵．因为A ᶄ与B ᶄ合同,所以存在可逆矩阵C 使得C T A ᶄC ＝B ᶄ．令C ＝y αβC １æèçöø÷,其中y 是一个实数,α是一个二维行向量,β是一个二维列向量,C １为二阶方阵,则由C TA ᶄC ＝B ᶄ得y βT αT C T１æèçöø÷１００A ０æèçöø÷y αβC １æèçöø÷＝１００B０æèçöø÷．由此得到(∗)y ２＋βTA ０β＝１,y α＋βT A ０C １＝０,y αT ＋C T１A ０β＝０,αT α＋C T １A ０C １＝B ０．ìîíïïïïï令C ２＝C １＋x βα,下面用待定系数法求x ,使得C T２A ０C ２＝B ０．由(C １＋x βα)TA ０(C １＋x βα)＝B ０得到C T １A ０C １＋x C T １A ０βα＋x αT βT A ０C １＋x ２αT βTA ０βα＝B ０．将(∗)中的四个式子分别代入上式可得[x ２(１－y ２)－２x y ]αT α＝αT α,即取x ＝－１y ＋１或x ＝－１y －１可使C T ２A ０C ２＝B ０,两边再取行列式知C ２可逆,结论得证．定理１㊀设三阶矩阵A ＝λ０a １a ２a １λ１＋a ２１λ０a ＋a １a ２λ０a ２－a ＋a １a ２λ０λ２＋a ２２λ０æèçççççöø÷÷÷÷÷,㊀B ＝μ０b １b ２b １λ３＋b ２１μ０b ＋b １b ２μ０b ２－b ＋b １b ２μ０λ４＋b ２２μ０æèçççççöø÷÷÷÷÷,这里a ,b 均为非零实数,且λ０,μ０满足λ０μ０＞０;a １,a ２,b １,b ２为任意实数,则A ,B 合同当且仅当下列条件之一成立:(i )若λ１λ２λ３λ４ʂ０,则b ２λ１λ２＝a ２λ３λ４;㊀(i i )λ１＝λ４＝０,λ２λ３＞０;(i i i )λ１＝λ３＝０,λ２λ４＞０;㊀(i v )λ２＝λ３＝０,λ１λ４＞０;(v )λ２＝λ４＝０,λ１λ３＞０;㊀(v i )λ１＝λ２＝λ３＝λ４＝０．８０１大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷证㊀根据引理３和引理４可得．最后,在定理１的判别条件下给出具体的可逆矩阵C 使得C T A C ＝B 来说明本文判别法的正确性．不妨假设λ０＞０,μ０＞０;矩阵P ,Q 如引理４证明中所示．(i )若λ１λ２λ３λ４ʂ０,则b ２λ１λ２＝a ２λ３λ４．分两种子情形:①λ１λ３＞０,λ２λ４＞０,取C ＝P １０００λ３λ１０００λ４λ２æèçççççöø÷÷÷÷÷Q －１;②λ１λ４＞０,λ２λ３＞０,取C ＝P １００００λ４λ１０－λ３λ２０æèçççççöø÷÷÷÷÷Q－１．(i i )λ１＝λ４＝０,λ２λ３＞０,取C ＝P １００００－b a λ２λ３０λ３λ２０æèçççççöø÷÷÷÷÷Q－１．(i i i )λ１＝λ３＝０,λ２λ４＞０,取C ＝P １０００b a λ２λ４０００λ４λ２æèçççççöø÷÷÷÷÷Q －１．(i v )λ２＝λ３＝０,λ１λ４＞０,取C ＝P １０００b a λ１λ４０００λ４λ１æèçççççöø÷÷÷÷÷Q －１．(v )λ２＝λ４＝０,λ１λ３＞０;取C ＝P １００００－b a λ１λ３０λ３λ１０æèçççççöø÷÷÷÷÷Q－１．(v i )λ１＝λ２＝λ３＝λ４＝０,取C ＝P １０００b a０００b a æèçççççöø÷÷÷÷÷Q －１．３㊀结㊀㊀论本文给出了一类三阶非对称实矩阵合同判定的充要条件．主要是利用矩阵的计算技巧,把要解决的三阶的情形归结于二阶的情形．在由高阶回归低阶的处理中,我们是采用待定系数法,筛选出满足条件的可逆矩阵．这些都可以作为大学线性代数或高等代数课程教学的一个补充．致谢㊀作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见．９０１第４期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀梁淑华:一类三阶非对称实矩阵合同的充要条件０１１大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３６卷[参㊀考㊀文㊀献][１]㊀北京大学数学系前代数小组．高等代数[M]．４版．王萼芳,石生明,修订．北京:高等教育出版社,２０１３:２０６－２３３．[２]㊀李成博,胡志广,詹华英．非对称实矩阵合同的条件[J]．大学数学,２０１５,３１(４):７９－８２．[３]㊀周江涛,孙胜先．二阶非对称实矩阵合同的充要条件[J]．大学数学,２０１７,３３(５):５２－５５．AN e c e s s a r y a n dS u f f i c i e n tC o n d i t i o no n t h eC o n g r u e n c e o fN o nＧs y m m e t r i cR e a lM a t r i c e sL I A N GS h uＧh u a(S c h o o l o fB u s i n e s s,L u o y a n g N o r m a lU n i v e r s i t y,L u o y a n g H e n a n４７１９３４,C h i n a)A b s t r a c t:W i t h i nt h ek n o w l e d g eo f l i n e a ra l g e b r ac o u r s e s,s t a r t i n g f r o m t h ed e f i n i t i o no ft h ec o n g r u e n c eo fn o nＧa s y m m e t r i c r e a lm a t r i c e s,w e g i v e t h e c o n d i t i o n s f o r j u d g i n g t h e c o n g r u e n c eo f t w o２ˑ２n o nＧa s y m m e t r i c r e a lm a t r i c e s．B a s e do n t h e c a l c u l a t i o n t e c h n i q u e o fm a t r i xa n d t h em e t h o do f u n d e t e r m i n e d c o e f f i c i e n t,t h e j u d g m e n t o f t h e c o n g r u e n c e o f a c l a s s o f３ˑ３n o nＧa s y m m e t r i cr e a lm a t r i c e sc o m ed o w nt ot h ec a s eo f２ˑ２n o nＧa s y m m e t r i cr e a lm a t r i c e s,a n dt h e e q u i v a l e n c e r e l a t i o n a b o u t t h e c o n g r u e n c e b e t w e e n t h e t w o c l a s s e s o f n o nＧa s y m m e t r i c r e a lm a t r i c e s i s d e s c r i b e d．F i n a l l y,a n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o no n t h e c o n g r u e n c e o f３ˑ３n o nＧs y m m e t r i c r e a lm a t r i c e s i s g i v e n．K e y w o r d s:n o nＧs y m m e t r i c r e a lm a t r i c e s;c o n g r u e n c e;i n v e r s em a t r i c e s。
非对称矩阵合同
非对称矩阵合同合同范本。
合同标题，非对称矩阵合同。
本合同由以下双方（以下简称“甲方”和“乙方”）于（日期）签订：甲方，（公司/个人名称）。
地址：联系电话：法定代表人/负责人：乙方，（公司/个人名称）。
地址：联系电话：法定代表人/负责人：鉴于甲方拥有（产品/服务）的独家技术和知识产权，并愿意授权乙方使用该技术和知识产权，双方经友好协商，达成以下协议：第一条技术授权。
1.1 甲方同意授权乙方使用其拥有的（产品/服务）技术和知识产权，包括但不限于专利、商标、著作权等相关权利。
1.2 乙方在获得技术授权后，应当按照甲方的要求合理、合法地使用技术和知识产权，并严格遵守相关的保密义务。
1.3 甲方保证其拥有的技术和知识产权完全合法，并无侵犯第三方权利的情况。
第二条保密条款。
2.1 双方同意在合作过程中，对涉及技术和知识产权的信息进行严格保密，未经对方书面同意不得向任何第三方透露相关信息。
2.2 保密期限为本合同有效期及终止后的五年内。
第三条费用及结算方式。
3.1 乙方在获得技术授权后，应当按照双方协商的方式支付相关授权费用。
3.2 甲方应当在收到相关费用后，及时提供授权证书及相关技术支持。
第四条违约责任。
4.1 任何一方违反本合同的约定，应当承担相应的违约责任，并赔偿对方因此造成的损失。
4.2 如因不可抗力或其他不可预见的情况导致无法履行本合同，双方应当及时协商解决方案，并尽最大努力减少损失。
第五条争议解决。
5.1 本合同的订立、效力、解释和履行均适用中华人民共和国法律。
5.2 因本合同引起的任何争议，双方应当通过友好协商解决。
协商不成的，任何一方均可向本合同签订地的人民法院提起诉讼。
第六条其他条款。
6.1 本合同自双方签字盖章之日起生效，有效期为（具体时间）。
6.2 本合同一式两份，甲乙双方各持一份，具有同等法律效力。
甲方（盖章）：乙方（盖章）：签署日期：签署日期：合同范本专家。
（以上为合同范本，具体内容仅供参考，具体合同条款应根据实际情况进行调整和完善，若有法律问题，请咨询专业律师。
矩阵合同和相似意思
矩阵合同和相似意思一、矩阵合同与相似的意思1. 矩阵相似- 对于两个n阶方阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得\(B = P^{-1}AP\)，那么就称矩阵A相似于矩阵B。
相似关系是一种等价关系，它反映了矩阵在不同基下的线性变换关系。
从几何意义上讲，相似矩阵代表的线性变换是同一线性变换在不同基下的矩阵。
例如，在二维平面上的旋转变换，在标准基下和在某个非标准基下的矩阵是相似的。
相似矩阵具有相同的特征值、行列式、迹（主对角线元素之和）等重要性质。
- 可衍生注释：特征值在相似变换下不变是一个非常重要的性质。
这就好比一个物体的本质特征，无论从哪个角度去观察（不同的基），它的某些内在属性（特征值）是不会改变的。
就像一个人，无论他穿着不同风格的衣服（不同的基下的矩阵），他的身高、体重等基本特征（特征值等）是不变的。
2. 矩阵合同- 设A和B是两个n阶对称矩阵，如果存在一个可逆矩阵C，使得\(B =C^{T}AC\)，那么称A与B合同。
合同关系主要针对对称矩阵，它也具有等价关系的性质。
从二次型的角度来看，合同矩阵对应的二次型可以通过可逆的线性变换相互转化。
例如，对于二次型\(f(x)=x^{T}Ax\)和\(g(y)=y^{T}By\)，如果A和B合同，那么可以通过\(x = Cy\)这样的线性变换将\(f(x)\)转化为\(g(y)\)。
合同矩阵有相同的正负惯性指数，即正特征值、负特征值和零特征值的个数分别相同。
- 可衍生注释：正负惯性指数相同就像两个容器，虽然它们的形状（矩阵的具体形式）可能不同，但是它们盛装不同性质东西（正特征值、负特征值和零特征值的个数）的分布情况是一样的。
二、运用片段“我跟你说啊，矩阵合同和相似这俩概念可太有意思了。
就拿相似来说吧，你想啊，假如矩阵是个超级英雄，那相似就像是这个超级英雄换了身衣服，但能力还是那些能力。
就像A矩阵和B矩阵相似，存在个可逆矩阵P，使得\(B = P^{-1}AP\)。
非对称实矩阵合同的条件
（ Ｃ ）不相 似但 合 同
两个 矩 阵的 特征值 相 同 ， 容 易错 用实 对称 矩 阵合 同 的判 定 条件 得 到 Ａ 与 合 同 （ 一 个 实对 称 矩 阵
不能 合 同与一 个非 对称 实矩 阵 ） ． 由此 ， 学 生经 常提 问 ： 合 同关 系 是否 只存 在 于两个 实对 称矩 阵之 间？ 两 个非 对称 实矩 阵是 否可 以合 同？如何 判定 ？ 为 了 回答 以上 问题 ， 本 文在工 科 线性代 数 的知 识 范畴 内 ， 给 出 了对称 部分 是正 定矩 阵 的两个 非对 称
『 Ｌ － ］ 满 足 Ｐ Ｐ — Ｂ ． 简 单 计 算 之 后 ， 得 到 Ｉ Ｐ Ｉ 一 一 一 ３ ， 但 是 在 ｐ ｒ Ａ ｐ 一 ． Ｂ 两 边 同 时 取 行
Ｃ Ｊ
列 式 得 到 导 ＝ ＝ ： １ ， 矛 盾 ．
３ 两 个 非 对 称 实 矩 阵合 同 的 一个 判 定 定 理
第 ３ １卷 第 ４期
２ ０ １ ５年 ８ 月
大 学 数 学
ＣＯ ＬＬＥＧＥ Ｍ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ ＣＳ
Ｖｏ １ ． ３ １ ， № ． ４
Ａｕ ｇ． ２ ０１ ５
非 对 称 实 矩 阵 合 同 的条 件
李 成 博 ， 胡 志广 。， 詹华英。
（ １ ． 天津大学 理学院数学系 ， 天津 ３ ０ ０ ０ ７ ２ ；２ ． 天津师范大学 数学科学学 院 ， 天津 ３ ０ ０ ３ ８ ７ ； ３ ． 天 津 理 工大 学 理学 院 数 学 系 ，天 津 ３ ０ ０ ３ ８ ４ ）
实矩 阵合 同的一个 充分 条件 ， 并举 例 做具 体说 明．
２ 合 同 的 一 个 必 要 条 件
实数域上两个同阶的对称矩阵合同的充分必要条件
实数域上两个同阶的对称矩阵合同的充分必要条件两个同阶的对称矩阵合同的充分必要条件可以通过特征值和特征向量来描述。
为了方便讨论，我们先给出一些基本概念。
设A和B是n阶矩阵，A和B被称为合同的当且仅当存在非奇异矩阵P使得A=P^(-1)BP，其中P^(-1)表示矩阵P的逆矩阵。
我们需要知道对称矩阵的性质。
一个n阶矩阵A如果满足A=A^T，则被称为对称矩阵。
对称矩阵的特点是它的主对角线上的元素是对称的，即a_ij = a_ji。
接下来，我们来分析两个同阶对称矩阵合同的充分必要条件。
一、充分条件：1.特征值和特征向量：如果A和B是两个n阶对称矩阵，且它们有相同的特征值和对应的特征向量，则A和B合同。
即如果A和B的特征多项式相同，它们就合同。
证明：设λ是A的特征值，v是A对应于λ的特征向量，则Av=λv。
由于A和B合同，存在非奇异矩阵P使得A=P^(-1)BP。
将等式Av=λv两边同时左乘P和右乘P^(-1)，得到PAP^(-1)(Pv) =λ(Pv)，即B(Pv)=λ(Pv)。
所以，B也具有特征值λ和对应的特征向量Pv。
由于λ是任意的，并且特征向量可以作线性组合，所以A和B 有相同的特征值和特征向量。
因此，A和B合同。
2.正交对角化：如果A和B是两个n阶对称矩阵，且它们可以通过正交矩阵相似对角化，即存在正交矩阵Q使得Q^T AQ和Q^T BQ均为对角矩阵，则A和B合同。
证明：设Q是正交矩阵，即Q^TQ = I。
由于A和B可以通过正交矩阵相似对角化，存在对角矩阵D和D'使得Q^T AQ = D和Q^T BQ = D'。
由于Q是正交矩阵，所以Q^TQ = I，即(Q^T)^(-1)Q = I。
因此，A和B合同，即A=QDQ^T和B=QD'Q^T。
二、必要条件：对于两个同阶对称矩阵A和B，如果A和B合同，那么它们有相同的秩和相同的正惯性指数（正特征值的个数）。
证明：设A和B合同，即存在非奇异矩阵P使得A=P^(-1)BP。
实数域(有理数域)上反对称矩阵的相似(合同)分类
‐3‐
北京工业大学毕业设计（论文）
一.绪 论
（一）背景资料
This article focuses on the special charm of this matrix: real skew symmetric matrices. This thesis introduces some basic properties of real skew symmetric matrix. By careful discussion, we deduce that real skew symmetric matrix has many properties, which are nearly parallel to the theory that the symmetric matrix. It is similar to the (contract) with a quasi-diagonal matrix. Then we investigate the appropriate orthogonal matrix such that real skew-symmetric matrix are similar (congruent) to quasi-diagonal matrix. Finally, we describe the construction method of real skew-symmetric matrix. By a series of study, we can understand skew-real symmetric matrix clearly, and enjoy the "beautiful" experience of skew-symmetric matrix fully. Key words: skew-symmetric matrix, similarity, congruent transformation
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非对称实矩阵合同的条件
李成博;胡志广;詹华英
【摘要】在工科大学的线性代数课程的知识范畴内,给出了一类非对称实矩阵的合同的判定的一个充分条件,并举例做具体说明;此项研究回答了工科大学生在学习矩阵合同理论时经常提出的一个疑问,可以作为工科大学线性代数教学的一个合理的补充材料.
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2015(031)004
【总页数】4页(P79-82)
【关键词】非对称实矩阵;合同;正定实矩阵;对角化
【作者】李成博;胡志广;詹华英
【作者单位】天津大学理学院数学系,天津300072;天津师范大学数学科学学院,天津300387;天津理工大学理学院数学系,天津300384
【正文语种】中文
【中图分类】O13
众所周知，两个同阶实对称矩阵实合同(以下简称合同)当且仅当它们的正负惯性指数分别相等，或者说当且仅当它们的正、负特征值的个数分别相等.在第一作者给天津大学的本科生讲授线性代数课程的过程中，会经常讲到下面这个习题：
设则A与B________.
(A) 相似且合同(B) 相似但不合同(C) 不相似但合同(D) 不相似且不合
同
两个矩阵的特征值相同，容易错用实对称矩阵合同的判定条件得到A与B合同(一个实对称矩阵不能合同与一个非对称实矩阵).由此，学生经常提问：合同关系是否只存在于两个实对称矩阵之间？两个非对称实矩阵是否可以合同？如何判定？
为了回答以上问题，本文在工科线性代数的知识范畴内，给出了对称部分是正定矩阵的两个非对称实矩阵合同的一个充分条件，并举例做具体说明.
设n阶实方阵A,B都是非对称的，即A≠AT,B≠BT，其中上标T表示方阵的转置.并记As，Aas为矩阵A的对称和反对称部分，即
类似的，也用Bs,Bas表示矩阵B的对称和反对称部分.为了叙述简单，用记号
A≃B表示矩阵A与B合同.
定理1 若A≃B,则As≃Bs.
这个定理可以用来判定两个非对称实矩阵不合同.
例.
因为As=的特征值是的特征值是-3,-3,6,所以As与Bs不合同，从而由定理1知A 与B不合同.
下面的例子说明定理1的逆命题不成立.
例与.
因为As=的特征值是-1,3,Bs=的特征值是-2,4，所以As与Bs合同.但是，A与B 不合同，若不然，可以找到可逆矩阵.
P=满足PTAP=B.简单计算之后，得到,但是在PTAP=B两边同时取行列式得到，矛盾.
如前，设A,B都是非对称的n阶实矩阵并进一步假设As是正定的.若A≃B,则由定理1得Bs正定.由此，不妨也假设Bs正定.下面讨论A≃B成立的充分条件.为此，需要用到下面的定理.
定理2[1] 设M是n阶实正定矩阵，N是n阶实对称矩阵则存在可逆矩阵P满足其中λ1,λ2,…,λn是实数.
定理3 设可逆矩阵P满足
其中每个λi>0.若
则
证综合已知条件，有
这就证明定理的结论.
为方便起见，给出应用定理3来判断非对称实矩阵合同的主要步骤(其合理性请参
看后面的定理4).
第一步求解一元n次方程组|Bs-λAs|=0，得到n个正实根λ1,λ2,…,λn.
第二步对每一个λi(相同的λi只计算一次即可)，求解线性方程组(Bs-λiAs)X=0，得到通解的表达式.
第三步对第二步中的每一个线性方程组，可以选取合适的基础解系并把这些基础解系中的向量作为列向量组成一个n阶方阵P，使得
第四步验证
是否成立.如果成立，则得到A≃B.
例3 判断矩阵A=与相合.
解写出两个矩阵的对称和反对称部分
首先，求解=0，得.然后，求得线性方程组
和
的通解分别是和.
从而，可以设矩阵,因为PTAsP=En,可以取,此时也有
最后，容易验证
所以，由定理3得矩阵A与B相合.
(i) 两个非对称实矩阵A,B合同的一个等价刻画是它们的对称部分As,Bs和反对称部分Aas,Bas同步合同,即存在(同一个)可逆矩阵P,使得
这个问题不同于实对称矩阵的合同，难度大，还没有十分满意的结果.本文的目的不是给出非对称矩阵合同的深入完整的研究，而是像本文开始提到的那样，在工科大学的线性代数课程的知识范畴内，给出相对容易的一个合同的判定定理并举出实例，希望可以作为工科大学生学习实对称矩阵合同理论的一个补充材料.
(ii) 当对称部分As,Bs都正定时，可以分别做满秩线性替换X=P1Y，X=P2Y，使得
不妨从一开始就假设As=Bs=En,也就是说，
所以，理论上来说，判断A,B合同的问题化为了Aas,Bas(正交)合同的问题.而由正规实矩阵的结论，两个反对称矩阵(正交)合同当且仅当特征多项式相同[2]. (iii) 下面这个定理保证了前面提到的应用定理3来判断非对称矩阵合同的步骤中第一步和第三步总是可以实施的.
定理4 设A是正定矩阵，B是实对称矩阵，则存在可逆矩阵P=[X1,X2,…,Xn]满足
其中λ1,λ2,…,λn是实数，且PTAP=En,PTB P=diag(λ1,λ2,…,λn).
证设A=STS，则
因为实对称矩阵的特征值都是实数，得到|B-λA|=0有n个实根，设为λ1,λ2,…,λn.对于任一个λi，考虑其对应的线性方程组(B-λiA)X=0，由实二次型理论(或者用施密特正交化方法)可以选取一个基础解系Xi1,Xi2,…,Xik，满足
而对于两个不同的λi,λj，任取X,Y分别为线性方程组
的解，则
这样取得的解向量组成矩阵P，即是定理中要求的矩阵.
【相关文献】
[1] 天津大学数学系代数教研组.线性代数及其应用[M].北京：科学出版社，2010:253-254.
[2] 孟道骥.高等代数与解析几何(下)[M].北京:科学出版社,2010.。