反比例函数复习
人教版反比例函数图像与性质的复习
y
y
P(m,n)
P(m,n)
oA
x
oA
x
类型四 利用k的几何意义解题
1、如图,点P是反比例函数 y
2 x
图象上的
一点,PD⊥x轴于D,则△POD的面积为 1 .
y
P
oD
x
大家有疑问的，可以询问和交流
可 以 互 相 讨 论下， 但要小 声点
2、如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分 别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为12,则这个 反比例函数的关系式是__y_______12_x 。
yHale Waihona Puke yBP(m,n)
B
P(m,n)
oA
x
oA
x
S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|k|
设 P (m ,n )是双曲线
y=
k x
(k
≠ 0)上任意一点
,
(2)过 P 作 x轴的垂线 ,垂足为 A ,连结OP,则
S OA 2 1 P O A A P 1 2 |m |• |n | 1 2 |k |
(2) 根据图象写出当一次函数的值 小于反比例函数的值时，自变量x 的取值范围.
练习 反比例函数与一次函数的综合应用
例、如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数图象 与反比例函数图象的两个交点.
解：（1）反比例函数解析式
y8 x
一次函数的解析式 y=-x-2
（2）x的取值范围为 4x0 或 x2
y
pN M ox
3.如图，点A、B是双曲线
y
3 x
上的点，分别经过
A、B两点向x轴、y轴作
垂线段，若 S阴影 1， 则 S1 S2 4 。
初三数学反比例函数知识点归纳-复习必备打印背熟
反比例函数是什么？反比例函数相关知识1：反比例函数是什么？反比例函数的定义域和值域因为x在分母上，所以x≠0，即自变量X的取值范围为非零实数。
而且常数k≠0，因此y≠0，即因变量y的`取值范围为非零实数。
反比例函数的图像及其性质形状：反比例函数的图象是两条双曲线，每一条曲线都无限向X轴Y轴延伸但不与坐标轴相交。
增减性：当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。
对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。
2：反比例函数知识点1、反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)(即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0，x≠0)若y=k/nx此时比例系数为：k/n2、函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)3、反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola)，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。
4、反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用?过反比例函数y=k/x(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值_y的.绝对值=(x_y)的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM?PN=|y|?|x|=|xy|=|k|。
-反比例函数复习--公开课优质课件可修改全文
, k2 x
8 x
4-1=3(小时），即服药一次，治疗疾病的有效
时间是3小时
8
x
例 6.[2011·济宁] 如图 14－4，正比例函数 y＝12x 的图象与反比
例函数 y＝kx(k≠0)在第一象限的图象交于 A 点，过 A 点作 x 轴的垂线，
垂足为 M，已知△OAM 的面积为 1.
·人教版
考点2 反比例函数的图象与性质
1．反比例函数
y
＝
k x
(k≠0)
的
图
象
是
双___曲__线___
，
且
关
于
_原__点_____对称．
2．反比例函数 y＝kx(k≠0)的图象和性质：
·人教版
考点2 反比例函数的图象与性质
·人教版
考点2 反比例函数的图象与性质
3.反比例函数 y＝kx(k≠0)中的比例系数 k 的几何意义如图 14－1， 过双曲线上任一点 P(x，y)作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN 所得的矩形 PMON 的面积 S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|. ∵y＝kx，∴xy＝k, ∴S＝|k|.
·人教版
例5、病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时， 每毫升血液中的含量达到最大值4毫升。已知服药后2小时前每 毫升血液中的含量y（毫克）与时间x（小时）成正比例；两小 时后y 与x成反比例，根据以上信息解答下列问题： （1）求当0≤x ≤2时，y与x的函数关系式； （2）求当x＞2时，y与x的函数关系式； （3）若每毫升血液中的含量低于2毫克时治疗有效，则服药一 次，治疗疾病的有效时间是多长？
·人教版
[2011·孝感] 如图 14－2，点 A 在双曲线 y＝1x上，点 B 在双曲线 y＝3x上，且 AB∥x 轴，C、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为
第26章 反比例函数章末核心要点分类整合 人教版数学九年级下册复习课件(55张PPT)
章末核心要点分类整合
1. 双曲线y＝kx中k的几何意义：设P是双曲线y＝kx上任意一 点，过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为H，G，连接
PO(O为坐标原点)，则S△POH＝S△POG＝|2k|，S矩形PHOG＝|k|. 2. 用待定系数法求反比例函数解析式的步骤：一设、二代、
ax＋b与反比例函数y＝axb(a， b为常数且均不等于0)在同 一坐标系内的图象可能是 图26-1 中的( )
解题秘方：对a，b的取值分四种情况讨论，结合函数图象 进行判断. 解：分四种情况： (1)当a>0，b>0时， 一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、
二、三象限，此时反比例函数y＝
ab x
频率f /MHz 10
15
50
波长λ/m
30
20
6
(1)求波长λ关于频率f的函数解析式； 解：设波长λ关于频率f的函数解析式为λ＝kf (k≠0). 把(10，30)代入上式，得1k0＝30，解得k＝300. ∴λ＝30f 0．
(2)当f＝75 MHz时，求此电磁波的波长λ .
解：当f＝75 MHz时，λ＝37050＝4(m). ∴ 当f＝75 MHz时，此电磁波的波长λ为4 m ．
解：∵
k＝5＞0，∴反比例函数y＝
5 x
的图象分别位于第一、
三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.
又∵ A(x1，－1)，B(x2，1)，C(x3，5)都在反比例函数y＝5x 的图象上，
∴ A(x1，－1)在第三象限，B(x2，1)，C(x3，5)在第一象限， 且x3＜x2. ∴ x1＜0，x2＞x3＞0. ∴ x1＜x3＜x2．
∵ A(－2 ，3)，B(3，－2)在一次函数y＝ax＋b的图象上， ∴ቊ－3a2＋a＋b＝b＝－32，，解得ቊab＝＝－1. 1， ∴一次函数的解析式为y＝－x＋1．
中考数学考点专题复习课件反比例函数的图象和性质
解：(1)过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F，∵点 D 的坐标为(4，3)，∴OF
＝4，DF＝3，∴OD＝5，∴AD＝5，∴点 A 坐标为(4，8)，∴k＝xy＝4×8
＝32，∴k＝32 (2)将菱形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，使得点 D 落在函数 y＝3x2(x＞0)的
图象 D′点处，过点 D′做 x 轴的垂线，垂足为 F′.∵DF＝3，∴D′F′＝3，∴ 点 D′的纵坐标为 3，∵点 D′在 y＝3x2的图象上，∴3＝3x2，解得：x＝332，即 OF′＝332，∴FF′＝332－4＝230，∴菱形 ABCD 平移的距离为230
3．(2015·苏州)若点 A(a，b)在反比例函数 y＝2x的图象上，则代数式 ab
－4 的值为( B)
A．0 B．－2 C．2 D．－6
4．(2015·牡丹江)在同一直角坐标系中，函数 y＝－xa与 y＝ax＋1(a≠0)
的图象可能是( B )
,A)
,B)
,C)
,D)
5．(2015·青岛)如图，正比例函数 y1＝k1x 的图象与反 比例函数 y2＝kx2的图象相交于 A，B 两点，其中点 A 的横坐标为 2，当
①ACMN ＝||kk12||； ②阴影部分面积是12(k1＋k2)； ③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|； ④若 OABC 是菱形，则两双曲线既关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称．
其中正确的是①__④__．(把所有正确的结论的序号都填上)
(3)(2015·宿迁)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(8，1)，B(0，－3)， 反比例函数 y＝kx(x＞0)的图象经过点 A，动直线 x＝t(0＜t＜8)与反比例函数 的图象交于点 M，与直线 AB 交于点 N.
反比例函数复习课件
知识点回顾1 1．什么是反比例函数？
一般地，函数 y k（k是常数， x
k≠0）叫做反比例函数．
2．解析式还有两种常见的表达形式。 y=kx-1（k≠0） xy = k （k≠0）
你一定能找对！
1.下列函数中哪些是反比例函数？
y = 3①x-1
y = 2x2
②y=
1 x
y = 23x③ ④
｜k｜的一半．
2.设x为一切实数，在下列函数中
，当x增大时，y的值总是减小的函
C
数是( )
(A) y = -5x -1 ( B) y=x2
(C) y=-2x+2； (D) y=4x.
3. 已知k<0,则函数 y1=kx,y2=
k x
在同一坐标系中的图像大致是
D
()
y
y
(A)
0
(B)
x
0
x
y
y
(C)
0
(D)
x
0
x
4. 已知k>0,则函数 y1=kx+k与kxy2=
在同一坐标系中的图像大致是 ( C)
y
y
(A)
(B)
0
x
0
x
y
y
(C)
(D)
0
x
0
x
5.设P(2,3)是反比例函数图像 上的一点，求△POA的面积。
y
P(2,3)
oA
x
y P(m,n)
oA
x
6.在平面直角坐标系内，从反比例函数
y=k/x（k＞0）的图象上的一点分别作坐标轴 的垂线段，与坐标轴围成的矩形的面积是12，
8.已知：y=y1+y2，其中y1与x成正 比例，y2与x成反比例，当x=1时 ，y=4，当x=2时，y=5，求函数y 的解析式。
第二十六章反比例函数复习课件2024-2025学年人教版数学九年级下册
xy＝k
y＝kx－1
(k≠0)
防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0.
1.下列函数中哪些反比例函数?
课堂检测
(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?
(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
知识梳理
课堂检测
1.已知一个反比例函数图像经过点A(2, 3)． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)判断点B(-1, 6), C(3, 2)是否在这个反比例函数的图像上？
课堂检测
解(1)∵设反比例函数解析式为y= (k为常数, k≠0) ∵反比例函数图像经过点A(2, 3), ∴把点A的坐标代入解析式y= , 得3= , 解得k=6, ∴这个函数的解析式为y= .
考点6 利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题注意：实际问题中.如图，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间 x 成反比例函数关系，已知第 12 分钟时，材料温度是14℃．
解（1）：设停止加热过程中对应的函数解析式为 ,
课堂检测
∵点（12，14）在该函数图像上，
∴14= 解得k=168.
∴停止加热过程中对应的函数解析式为 .
反比例函数图象性质及应用复习课件
04
反比例函数的实际应用案 例
电流与电阻的关系
总结词
电流与电阻成反比关系，当电阻增大时，电流减小；反之亦然。
详细描述
在电路中，电流与电阻之间的关系表现为反比例关系。当电路中的电压保持恒定时，电阻的阻值增大，会导致电 流减小；反之，如果电阻的阻值减小，电流则会增大。这一关系在电子设备和电路设计中具有重要应用。
答案解析
针对每个练习题，提供 详细的答案解析，帮助 学生理解解题思路和过
程。
感谢您的观看
THANKS
表达式
一般形式为 y = k/x，其中 k 是 常数且 k ≠ 0。
图像特点
双曲线
反比例函数的图像是双曲线，分布在两个象限内。
渐近线
图像分别渐近于 x 轴和 y 轴。
变化趋势
随着 x 的增大或减小，y 的值会无限接近于 0 但永远不会等于 0。
渐近线与对称性
渐近线
对于反比例函数 y = k/x (k > 0)，其图像在第一象限和第三象限内，当 x 趋于正无穷 或负无穷时，y 值趋于 0，因此渐近于 x 轴；当 y 趋于正无穷或负无穷时，x 值趋于 0 ，因此渐近于 y 轴。对于 k < 0 的情况，图像在第二象限和第四象限内，渐近线为 y
反比例函数图象性质及 应用复习ppt课件
目录 CONTENT
• 反比例函数的基本性质 • 反比例函数的图像绘制 • 反比例函数的应用场景 • 反比例函数的实际应用案例 • 反比例函数与其他知识点的关联 • 复习与巩固
01
反比例函数的基本性质
定义与表达式
定义
反比例函数是指形如 y = k/x (k ≠ 0) 的函数，其中 x 是自变量， y 是因变量。
反比例函数整章知识点复习
在生物学中，反比例函数可用于描述种群数量与资 源之间的关系，如食物与捕食者数量等。
03
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像绘制
通过选择适当的x值，计算对应的y值 ，在坐标系上标出对应的点，连接各 点绘制出反比例函数的图像。
100%
经济问题
在经济学中，反比例函数可以用 来描述成本与产量的关系、供需 关系等。
80%
生态问题
在生态学中，反比例函数可以用 来描述种群数量与环境容量的关 系等。
05
反比例函数习题解析
基础题目解析
01
02
03
题目
已知点$P(x, y)$在反比例 函数$y = frac{k}{x}$的图 象上，若$x$与$y$的乘积 为$2k$，则$k$的值为 ____．
竞赛题目解析
01
k、a、b 的值；
02
k、a、b 的值；
03
k、a、b 的值；
04
k、a、b 的值；
THANK YOU
感谢聆听
反比例函数的计算方法
01
对于反比例函数
$f(x)
=
frac{k}{x}$，求值时只需将 $x$ 值
代入函数中即可。
02
若需要求 $f(x)$ 的导数或积分， 则需使用相应的微积分法则进行 计算。
反比例函数在实际问题中的应用
在物理学中，反比例函数可用于描述两个物理量之 间的反比关系，如电荷与电场强度、电流与电阻等 。
反比例函数的图像
图像特点
双曲线，分布在两个象限内，随着k的正负变化而分别分布在第一 、三象限或第二、四象限。
反比例函数复习课课件
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
2023
PART 05
反比例函数的易错点与难 点解析
REPORTING
易错点的解析
混淆反比例函数与正比例函数
01
正比例函数是y=kx，而反比例函数是xy=k。学生常常将两者混
淆，导致在解题时出现错误。
忽视反比例函数的定义域
02
反比例函数的定义域是x不为0的实数，学生常常忽视这一点，
导致在解题时出错。
2023
PART 04
反比例函数的综合题解析
REPORTING
反比例函数的综合题解析
01
分析与照顾 into acts' intoic andic. of course, and will,, on the在这
பைடு நூலகம்02
saidcoupled =oman ofic ofic of and ofic and of intoic of and, and other神话 top similar 觉ungais'hipster
描述反比例函数的定义
详细描述
反比例函数是一种数学函数，其定义为 y = k/x，其中 k 是常数且 k ≠ 0。当 x 取任意非零实数时，y 的值都存在。
反比例函数的图像
总结词
描述反比例函数的图像特点
详细描述
反比例函数的图像通常在 x 轴和 y 轴上都有渐近线，即当 x 或 y 趋于无穷大时 ，函数值趋于 0。图像通常位于第一象限和第三象限。
反比例函数的性质
总结词：列举反比例函数 的性质
1. 当 k > 0 时，函数图像 在第一象限和第三象限；
3. 反比例函数是奇函数， 即 f(-x) = -f(x)；
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反比例函数复习
知识点一 1.什么叫反比例函数
一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成： (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.自变量x不能为零．
2.反比例函数有哪些等价形式
k
x
k1
y kx-
=
练习1：
1、函数
3
x
y=
2
y
x
=-
1
4
y
x
=-
2
1
5
y x
=-3
2
xy
=中，反比例函数有
个
2、在下列函数表达式中,x均为自变量,哪些函数中y是x的反比例函数
每一个反比例函数相应的k值是多少
2、若函数是反比例函数，则m值为
3、下列的数表中分别给出了变量y与x
函数关系的是（）
C D
3、已知12
y y y
=-，
1
y与x成反比例，2y与x－2成正比例，且当x = 1
时，y=－1；x=3时，y=5．求y与x的函数关系式.
4、如右图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的
解析式为（）
A. )0
(
1
>
=x
x
y B. )0
(
1
>
-
=x
x
y
C. )0
(
1
<
=x
x
y D. )0
(
1
<
-
=x
x
y
知识点二反比例函数的图像性质
k
y
x
=
()
2
5
5y
x
=
()3
6
2
y
x
=
+
()1
72
y x-
=()1
8
3
y
x
=
2
3
(2)m
y m x-
=-
5、直线y=kx(k>0)与双曲线4
y x
=
交于A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点，则112227x y x y -的值等于 _______
变式：x1+x2=_____ y1+y2=_____ 122127x y x y -＝_____ 知识点三、与面积有关的问题： 面积性质（一）：
设P （m ，n ）是双曲线x
k y =（k ≠0）上任意一点，过P 作x 轴的垂线，垂
若将此题改为过P 点作y 轴的垂线段,其结论成立吗 面积性质（二）
过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A ，
练习3：
1、如图,点P 是反比例函数 2y x
=
则△POD 的面积为 .
2、如图:A
、C 是函数 1y x
=
的图象上任意两点，过垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，
记AOB Rt ∆的面积为1S ，OCD Rt ∆的面积为2S ，则
A. S1>S2 B .S1<S2 C. S1 = S2 D. S1和S2的大小关系不能确定. 3、如图，P 是反比例函数x
k y =图像上一点，由P 分别向x x
1
2111||||||222OAP S OA AP m n mn k ∆=
⋅⋅=•==12
11||||22OAP S OA AP n m mn ∆=⋅⋅=
•==S OAPB OA AP m n mn k
•=•==则矩形＝x
引垂线，阴影部分面积为3，则这个反比例函数的解析式是
知识点四、.利用反比例函数解决实际问题:关键是:建立反比例函数模型.主要类型:
(1)形积类:体积不变,底面积与高成反比例. (2)行程类:总路程不变,速度与时间成反比例
(3)压强类:压力不变,压强与面积成反比例. (4)杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂
(5)电学类:电压不变,输出功率与电阻成反比例电压不变,电流与电阻成反比例.
练习4：
1.若一个圆锥的侧面积为20，则下图中表示这个圆锥母线长l与底面半
2、已知某种灯泡的使用寿命大约为
2000小时，这种灯泡的可工作天数y
）
综合练习：
一次函数y=kx+b的图象与反比例函数2
y
x
-
=图象相交于A(-1,m),B(n,-1)两点.
(1) 写出这个一次函数的表达式;
(2) 画出函数图象草图,并据此写出使一次函数值大于反比例函数值的x
的取值范围.
发散思维一 连接 OA, OB, 求三角形△AOB 的面积.
发散思维二
在x 轴上是否存在点p ，使△AOP 为等腰三角形
若存在, 把符合条件的p 点都求出来,若不存在,请说明理由.
（二）随堂练习，巩固深化
1、 如右图，△OPQ
是边长为2的等边三角形，若反比例
函数的图象过点P ，
则它的解析式是_____________
2、某新建的大楼楼体外表需贴磁砖，楼体外表总面积为40002m 。
（1）设所需磁砖的块数为n （块），每块磁砖的面积为S （2m ），试求n 与S 的函数关系式；（2）如果每块磁砖的面积均为802cm ，每箱磁砖有120块，需买磁砖多少箱
3、已知：如图，一次函数4+-=x y 的图象与反比例函数x
k
y =的图象相交与A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是2-。
（1）求A 、B 两点的坐标（4分） （2）求反例函数的解析式（2分） （3）求AOB ∆的面积。
（2分）
A
B
O
O
P
Q
x
y。