2020-2021学年浙江省温州外国语学校八年级(下)期中数学试卷(附答案详解)

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2020-2021成都石室佳兴外国语学校九年级数学下期中第一次模拟试卷附答案

2020-2021成都石室佳兴外国语学校九年级数学下期中第一次模拟试卷附答案一、选择题1．有一块直角边AB=3cm ，BC=4cm 的Rt △ABC 的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）A ．67B ．3037C ．127D ．60372．如图，123∠∠∠==，则图中相似三角形共有（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，12AD DB =，DE=4，则BC 的长是（）A ．8B ．10C ．11D ．12 4．若37a b =，则b a a -等于（） A ．34 B ．43 C ．73 D ．375．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y ＝k x与一次函数y ＝kx ﹣1（k 为常数，且k ＞0）的图象可能是（） A ． B ． C ． D ．6．如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，增加下列条件中的一个：①∠AED ＝∠B ，②∠ADE ＝∠C ，③AE DE AB BC=，④AD AE AC AB =，⑤AC 2＝AD •AE ，使△ADE 与△ACB 一定相似的有（）A ．①②④B ．②④⑤C ．①②③④D ．①②③⑤7．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果70A ∠︒＝，那么DOE ∠的度数为（）A ．35︒B ．38︒C ．40︒D ．42︒ 8．在平面直角坐标系中，将点（2，l ）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（）A ．（0，5）B ．（5，1）C ．（2，4）D ．（4，2） 9．如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为（）A ．33B ．55C ．233D ．25510．如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A ．12B ．2C ．14D ．1311．若270x y -=. 则下列式子正确的是（）A ．72x y =B ．27x y =C ．27x y =D ．27x y = 12．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．在△ABC 中，∠ABC=90°，已知AB=3，BC=4，点Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交直线AB 于点P ，当△PQB 为等腰三角形时，线段AP 的长为_____．14．已知反比例函数21k y x+=的图像经过点(2,1)-，那么k 的值是__． 15．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．16．如图，菱形ABCD 的边AD 与x 轴平行，A 、B 两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y ＝3x的图象经过A 、B 两点，则菱形ABCD 的面积是_____；17．如图，等腰△ABC 中，底边BC 长为8，腰长为6，点D 是BC 边上一点，过点B 作AC 的平行线与过A 、B 、D 三点的圆交于点E ，连接DE ，则DE 的最小值是___．18．如图，在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆2AB m =，它的影子 1.6BC m =，木杆PQ 的影子有一部分落在了墙上， 1.2PM m =，0.8MN m =，则木杆PQ 的长度为______m ．19．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA ＝3OD ，OB ＝3OC )，然后张开两脚，这时CD ＝2，则AB ＝_____．20．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．三、解答题21．（1）计算：tan 609tan308sin 602cos 45︒︒︒︒+-+（2）在ABC V 中，90,2,6C AC BC ︒∠===，求A ∠的度数22．如图1，为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm .长度均为20cm 的连杆BC ，CD 与AB 始终在同一水平面上.（1）旋转连杆BC ，CD ，使BCD ∠成平角，150ABC ∠=︒，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE .（2）将（1）中的连杆CD 绕点C 逆时针旋转，使165BCD ∠=︒，如图3，问此时连杆端点D 离桌面l 的高度是增加了还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm ，参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）23．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．24．已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．（1）如图1，求证：AD=CD；（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．25．如图，E为□ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD于点F，求证：BO EO FO BO=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】试题解析：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．∵S△ABC=12AB•BC=12AC•BP，∴BP=·341255 AB BCAC⨯==．∵DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，∴DE BQ AC BP=．设DE=x，则有：1251255xx-=，解得x=60 37，故选D．2．D解析：D【解析】【分析】根据已知及相似三角形的判定定理，找出题中存在的相似三角形即可.【详解】∵∠1＝∠2，∠C＝∠C，∴△ACE∽△ECD，∵∠2＝∠3,∴DE∥AB，∴△BCA∽△ECD，∵△ACE∽△ECD，△BCA∽△ECD，∴△ACE∽△BCA，∵DE∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∵∠1＝∠2，∴△AED∽△BAE，∴共有4对，故此选D 选项.【点睛】本题考查学生对相似三角形判断依据的理解掌握，也考察学生的看图分辨能力.3．D解析：D【解析】【分析】根据ADDB=12，可得ADAB=13，再根据DE∥BC，可得DEBC=ADAB；接下来根据DE=4，结合上步分析即可求出BC的长.【详解】∵AD DB =12， ∴AD AB =13， ∵在△ABC 中，DE ∥BC ， ∴DE BC =AD AB =13. ∵DE=4，∴BC=3DE=12.故答案选D.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理.4．B解析：B【解析】由比例的基本性质可知a=37b ，因此b a a -=347337b b b -=. 故选B.5．B解析：B【解析】当k ＞0时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限，故A 、C 选项错误； ∵一次函数y=kx-1与y 轴交于负半轴，∴D 选项错误，B 选项正确，故选B ．6．A解析：A【解析】①AED B ∠=∠，且DAE CAB ∠=∠，∴ADE ACB V V ∽，成立．②ADE C ∠=∠且DAE CAB ∠=∠，∴ADE ACB V V ∽，成立． ③AE DE AB BC=，但AED V 比一定与B Ð相等，故ADE V 与ACD V 不一定相似． ④AD AE AC AB =且DAE CAB ∠=∠，∴ADE ACB V V ∽，成立．⑤由2AC AD AE =⋅，得AC AE AD AC=无法确定出ADE V ，故不能证明：ADE V 与ABC V 相似．故答案为A ．点睛：本题考查了相似三角形的判定定理:(1)两角对应相等的两个三角形相似;(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;(3)三边对应成比例的两个三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.7．C解析：C【解析】【分析】连接CD ，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可，【详解】连接CD ，如图所示：∵BC 是半圆O 的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=90°-∠A=20°，∴∠DOE=2∠ACD=40°，故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8．B解析：B【解析】【分析】在平面直角坐标系中，将点（2，l ）向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变.【详解】将点（2，l ）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是（5，1）.故选：B.【点睛】本题运用了点平移的坐标变化规律，关键是把握好规律.9．D解析：D【解析】【分析】【详解】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB=221310+=，AD=222222+=，cosA=ADAB=2210=25，故选D．10．D解析：D【解析】【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．【详解】过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB=13 CDBD=，∴tanB′=tanB=13．故选D．【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．11．A解析：A【解析】【分析】直接利用比例的性质分别判断即可得出答案．【详解】∵2x -7y =0，∴2x =7y ．A ．72x y =，则2x =7y ，故此选项正确； B ．27x y =，则xy =14，故此选项错误； C ．27x y =，则2y =7x ，故此选项错误； D ．27x y =，则7x =2y ，故此选项错误．故选A ．【点睛】本题考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题的关键．12．D解析：D【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D ．二、填空题13．或6【解析】【分析】当△PQB 为等腰三角形时有两种情况需要分类讨论:①当点P 在线段AB 上时如图1所示由三角形相似（△AQP ∽△ABC ）关系计算AP 的长；②当点P 在线段AB 的延长线上时如图2所示利用角解析：53或6．【解析】【分析】当△PQB 为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论:①当点P 在线段AB 上时，如图1所示．由三角形相似（△AQP ∽△ABC ）关系计算AP 的长；②当点P 在线段AB 的延长线上时，如图2所示．利用角之间的关系，证明点B 为线段AP 的中点，从而可以求出AP ．【详解】解:在Rt △ABC 中，AB =3，BC =4，由勾股定理得：AC =5.∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，当点P 在线段AB 上时，如题图1所示：∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB =PQ ，由(1)可知,△AQP ∽△ABC ， ∴,PA PQ AC BC = 即3,54PB PB -= 解得：43PB =， ∴45333AP AB PB =-=-=；当点P 在线段AB 的延长线上时，如题图2所示：∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB =BQ .∵BP =BQ ，∴∠BQP =∠P ，∵90,90BQP AQB A P o o ，∠+∠=∠+∠= ∴∠AQB =∠A ，∴BQ =AB ，∴AB =BP ，点B 为线段AP 中点，∴AP =2AB =2×3=6. 综上所述,当△PQB 为等腰三角形时,AP 的长为53或6. 故答案为53或6.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．14．【解析】【分析】将点的坐标代入可以得到-1=然后解方程便可以得到k 的值【详解】∵反比例函数y ＝的图象经过点（2-1）∴-1=∴k＝−；故答案为k ＝−【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式可以解析：32 k=-【解析】【分析】将点的坐标代入，可以得到-1=212k+，然后解方程，便可以得到k的值．【详解】∵反比例函数y＝21kx+的图象经过点（2，-1），∴-1=21 2 k+∴k＝− 32；故答案为k＝−32．【点睛】本题主要考查函数图像上的点满足其解析式，可以结合代入法进行解答15．【解析】【分析】认真审题根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短分别求出PBOBOAAB的长度利用△PBM∽△AB O即可求出本题的答案【详解】解：如图过点P作PM⊥AB则：∠PMB=90°当PM⊥解析：28 5【解析】【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB 的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案【详解】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=22345+=，∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，∴△PBM∽△ABO，∴PB PM AB AO=，即：754PM =，所以可得：PM=285．16．【解析】【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H根据反比例函数解析式求出A的坐标点B的坐标求出AHBH根据勾股定理求出AB根据菱形的面积公式计算即可【详解】作AH⊥BC交CB的延长线于H∵反比例函数y解析：42【解析】【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可．【详解】作AH⊥BC交CB的延长线于H，∵反比例函数y＝3x的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（3，1），∴AH＝3﹣1＝2，BH＝3﹣1＝2，由勾股定理得，AB2222+＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AB＝2，∴菱形ABCD的面积＝BC×AH＝2，故答案为42．【点睛】本题考查的是反比例函数的系数k 的几何意义、菱形的性质，根据反比例函数解析式求出A 的坐标、点B 的坐标是解题的关键．17．【解析】【分析】如图连接AEADOEOD 作AJ⊥BC 于JOK⊥DE 于K 首先证明∠EOD＝2∠C＝定值推出⊙O 的半径最小时DE 的值最小推出当AB 是直径时DE 的值最小【详解】如图连接AEADOEOD 作A解析：5【解析】【分析】如图，连接AE ，AD ，OE ，OD ，作AJ ⊥BC 于J ，OK ⊥DE 于K ．首先证明∠EOD ＝2∠C ＝定值，推出⊙O 的半径最小时，DE 的值最小，推出当AB 是直径时，DE 的值最小．【详解】如图，连接AE ，AD ，OE ，OD ，作AJ ⊥BC 于J ，OK ⊥DE 于K ．∵BE ∥AC ，∴∠EBC+∠C ＝180°，∵∠EBC+∠EAD ＝180°，∴∠EAD ＝∠C ，∵∠EOD ＝2∠EAD ，∴∠EOD ＝2∠C ＝定值，∴⊙O 的半径最小时，DE 的值最小，∴当AB 是⊙O 的直径时，DE 的值最小，∵AB ＝AC ＝6，AJ ⊥BC ，∴BJ ＝CJ ＝4，∴AJ 22A C CJ -2264-5∵OK ⊥DE ，∴EK ＝DK ，∵AB ＝6，∴OE ＝OD ＝3，∵∠EOK ＝∠DOK ＝∠C ，∴sin ∠EOK ＝sin ∠C ＝256，∴3EK ＝256， ∴EK ＝5，∴DE ＝25，∴DE 的最小值为25．故答案为25．【点睛】本题考查三角形的外接圆，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．18．3【解析】【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长再根据此影长列出比例式即可【详解】解：过N 点作ND⊥PQ 于D 又∵AB=2BC=16PM=12NM=08∴PQ=QD+DP=QD+NM=1解析：3【解析】【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长，再根据此影长列出比例式即可．【详解】解：过N 点作ND ⊥PQ 于D ，BC DN AB QD∴= 又∵AB=2，BC=1.6，PM=1.2，NM=0.8， 1.5AB DN QD BC ⋅∴== ∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（m ）．故答案为：2.3．【点睛】在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．19．6【解析】【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似然后利用相似三角形的性质求解【详解】∵OA＝3ODOB ＝3CO∴OA：OD ＝BO ：CO ＝3：1∠AOB＝∠DO解析：6【解析】【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】∵OA＝3OD，OB＝3CO，∴OA：OD＝BO：CO＝3：1，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴31 AO ABOD CD==，∴AB＝3CD，∵CD＝2，∴AB＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题．20．【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC可设BC=x只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积【详解】如图所示：设BC＝x则CE＝1﹣x∵AB∥EF∴△ABC∽△FEC∴＝∴＝解得x＝∴阴影解析：1 6【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．【详解】如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，∵AB ∥EF ，∴△ABC ∽△FEC ∴AB EF ＝BC CE， ∴12＝x 1x - 解得x ＝13， ∴阴影部分面积为：S △ABC ＝12×13×1＝16，故答案为：16．【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.三、解答题21．（12；（2）∠A ＝60°【解析】【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）由锐角三角函数定义求出∠A 度数即可．【详解】（13323+9+23+33-43+2=2322⨯⨯⨯ （2）∵90,2,6C AC BC ︒∠=== ∴tanA ＝632BC AC ==， ∴∠A ＝60°【点睛】此题考查了实数的运算以及解直角三角形，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（1）39.6DE cm ≈；（2）下降了，约3.2cm .【解析】【分析】（1）如图2中，作BO ⊥DE 于O ．解直角三角形求出OD 即可解决问题．（2）作DF ⊥l 于F ，CP ⊥DF 于P ，BG ⊥DF 于G ，CH ⊥BG 于H ．则四边形PCHG 是矩形，求出DF ，再求出DF-DE 即可解决问题．【详解】（1）过点B 作BO DE ⊥，垂足为O ，如图2，则四边形ABOE 是矩形，1509060OBD =-=o o o ∠， ∴sin 6040sin 60203DO BO =⋅=⨯=o o ，∴203539.6DE DO OE DO AB cm =+=+=+≈.（2）下降了.如图3，过点D 作DF l ⊥于点F ，过点C 作CP DF ⊥于点P ，过点B 作BG DF ⊥于点G ，过点C 作CH BG ⊥于点H ，则四边形PCHG 为矩形，∵60CBH ︒∠=，∴30BCH ︒∠=，又∵165BCD ︒∠=，∴45DCP ︒∠=， ∴sin 60103CH BC ︒==*sin 45102DP CD ==，∴DF DP PG GF DP CH AB =++=++1021035=.∴下降高度：20351021035DE DF -=-103102=3.2cm ≈.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23．（1）详见解析；（2）AC=9，CD=15 2.【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；（2）利用相似三角形的性质解答即可．【详解】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；（2）∵△ABE∽△ACB，∴AB AE AC AB=，∴AB2＝AC•AE，∵AB＝6，AE＝4，∴AC＝29 ABAE=，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴CD CE AB AE=，∴()••651542AB AC AEAB CECDAE AE-⨯====．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．24．（1）证明见解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．【解析】分析：（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．详解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，∴∠ADE=∠CGF，∵AC⊥BD、BF⊥CD，∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，∴∠DAE=∠GCF，∴AD=CD；（2）设DE=a，则AE=2DE=2a，EG=DE=a，∴S△ADE=12AE×DE=12×2a×a=a2，∵BH是△ABE的中线，∴AH=HE=a，∵AD=CD、AC⊥BD，∴CE=AE=2a，则S△ADC=12AC•DE=12•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；在△ADE和△BGE中，∵AED BEG DE GEADE BGE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ADE≌△BGE（ASA），∴BE=AE=2a，∴S△ABE=12AE•BE=12•（2a）•2a=2a2，S△ACE=12CE•BE=12•（2a）•2a=2a2，S△BHG=12HG•BE=12•（a+a）•2a=2a2，综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．25．见解析【解析】【分析】由AB∥CD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由AD∥BC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而解答．【详解】∵AB∥CD，∴△AOB∽△COE．∴OE：OB=OC：OA；∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB．∴OB：OF=OC：OA．∴OB：OF=OE：OB，即：BO EO FO BO【点睛】本题考查了平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握行四边形的性质与相似三角形的判定与性质.。

18.22 平面直角坐标系中的正方形(专项练习)-2020-2021学年八年级数学下册(人教版)

专题18.22 平面直角坐标系中的正方形（专项练习）一、填空题1．（2019·广东红岭中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边长为2，点A 的坐标为(1,1)．若直线y x b =+与正方形有两个公共点，则b 的取值范围是____________．2．（2020·山东九年级）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕O 点顺时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕O 点连续旋转2021次得到正方形202120212021OA B C ，则点2021A 的坐标为_______．3．（2020·河北八年级期末）正方形111A B C O ，正方形2221A B C C ，正方形3332A B C C ，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，若点1A 、2A 、3A 和1C 、2C 、3C …分别在直线1y x =+和x 轴上，则点2020B 的坐标是__________．4．（2019·北京人大附中八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点D 在y 轴上，且(3,0),(2,)A B b -，则直线CD 的解析式是_____________．5．（2019·丹东市第七中学九年级月考）如图，平面直角坐标系中正方形OABC ，点A 的坐标为(1，2)，则点C 的坐标 __6．（2021·湖北八年级期末）如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A的坐标为(，则点B 的坐标为______．7．（2020·宁波市第十五中学八年级期末）如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC ，点C 的坐标为()2,1--点B 坐标为________．8．（2019·河南八年级期末）如图在平面直角坐标系中，A (4,0)，B (0,2)，以AB 为边作正方形ABCD ，则点C 的坐标为___________.9．（2020·甘肃八年级期末）如图：在平面直角坐标系中，直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形1n n n n A B C C -，使得点1A 、2A 、3A 、．．．在直线l 上，点1C 、2C 、3C 、…在y 轴正半轴上，则点2018B 的坐标是__________．10．（2020·湖北九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C ，继续旋转至2020次得到正方形202020202020OA B C ，那点2020B 的坐标是__________．11．（2021·沭阳县修远中学八年级月考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数24y x =-的图象经过正方形OABC 的顶点A 和C ，则正方形OABC 的面积为____．二、解答题12．（2016·浙江八年级月考）如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC ，点C 的坐标为（﹣4，﹣2），（1）求点A 的坐标.（2）线段BO 的长度.13．（2019·北京八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点D 在y 轴上，且A （-3，0），B （2，b ），求正方形ABCD 的面积．14．（2018·青岛超银中学九年级单元测试）在平面直角坐标系中，正方形OABC 的点()2,0A ，()0,0O ，()0,2C ，现将此正方形绕O 逆时针旋转45，得到正方形111OA B C ，求正方形111OA B C 各顶点的坐标．15．（2019·四川八年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的点A 、C分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点()6,6B 在第一象限，AP 平分CAB ∠交OB 于P .（1）求OPA ∠的度数和OP 的长；（2）点P 不动，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转至图2的位置，60COP ∠=︒，AP 交OB 于点F ，连接CF .求证：OF CF PF +=；（3）如图3，在（2）的条件下，正方形的边AB 交x 轴于点D 、OE 平分BAD ∠，M 、N 是OB 、OE 上的动点，求BN MN +的最小值，请在图中画出示意图并简述理由. 16．（2019·天津中考模拟）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标；（2）如图①，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．17．（2020·广东九年级）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A （0，1），点C （1，0），正方形AOCD 的两条对角线的交点为B ，延长BD 至点G ，使DG BD =．延长BC 至点E ，使CE BC =，以BG ，BE 为邻边做正方形BEFG ．（①）如图①，求OD 的长及AB BG的值；（①）如图①，正方形AOCD 固定，将正方形BEFG 绕点B 逆时针旋转，得正方形BE F G '''，记旋转角为α（0°＜α＜360°），连接AG '．①旋转过程中，当BAG ∠'=90°时，求α的大小；①在旋转过程中，求AF'的长取最大值时，点F'的坐标及此时α的大小（直接写出结果即可）．18．（2020·四川八年级期末）如图，将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中的第一象限，点A，点B分别在y轴，x轴正半轴上，AB所在的直线方程为443y x=-+．（1）求点C和点D的坐标；（2）连接BD，将线段BD绕点B顺时针方向旋转至BE的位置，交线段CD于点F若DE DF=，求直线CE的解析式．19．（2021·广东八年级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数112y x=+的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．（1）求正方形ABCD的面积；（2）求点C，D的坐标；（3）在x轴上是否存在点M，使MDB∆的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019·福建八年级期末）如果P 是正方形ABCD 内的一点，且满足①APB＋①DPC＝180°，那么称点P 是正方形 ABCD 的“对补点”.（1）如图1，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点M ，求证：点M 是正方形ABCD 的对补点；（2）如图2，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A （1，1），C （3，3）.除对角线交点外，请再写出一个该正方形的对补点的坐标，并证明.21．（2020·天津九年级月考）已知正方形OABC 在平面直角坐标系中，点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 在原点，E ，F 分别在OA ，OC 上，且4OA =，2OE =．将OEF 绕点O 逆时针旋转，得OEF 点E ，F 旋转后的对应点为1E ，1F ．（①）①如图①，求11E F 的长；①如图①，连接1CF ，1AE ，求证11OAE OCF △≌△；（①）将OEF 绕点O 逆时针旋转一周，当11OE CF ∥时，求点1E 的坐标（直接写出结果即可）．22．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO 的边OC 落在x 轴的正半轴上，且AB ①OC ，BC OC ⊥，AB =4，BC =6，OC =8．正方形ODEF 的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO 面积．将正方形ODEF 沿x 轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形ABCO 的重叠部分面积为S ．（1）分析与计算：求正方形ODEF 的边长；（2）操作与求解：①正方形ODEF 平行移动过程中，通过操作、观察，试判断S （S ＞0）的变化情况是； A ．逐渐增大B ．逐渐减少C ．先增大后减少D ．先减少后增大①当正方形ODEF 顶点O 移动到点C 时，求S 的值；（3）探究与归纳：设正方形ODEF 的顶点O 向右移动的距离为x ，求重叠部分面积S 与x 的函数关系式．23．（2020·北京四中九年级）在ABC 中，点D 在AB 边上（不与点B 重合），DE BC ⊥，垂足为点E ，如果以DE 为对角线的正方形上的所有点都在ABC 的内部或边上，则称该正方形为ABC 的内正方形．（1）如图，在ABC 中，4AB =，30B ∠=︒，点D 是AB 的中点，画出ABC 的内正方形，直接写出此时内正方形的面积；（2）在平面直角坐标系xOy 中，点(,2)A t ，(0,0)B ，3,02C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ①若2t =，求ABC 的内正方形的顶点E 的横坐标的取值范围；①若对于任意的点D ，ABC 的内正方形总是存在，直接写出t 的取值范围．24．（2020·四川师范大学附属中学九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线12:43l y x =-+分别交x 、y 轴于B 、A 两点，将AOB 沿直线29:22l y x =-折叠，使点B 落在点C 处．（1）求点C 的坐标．（2）若点D 沿射线BA 运动，连接OD ，当CDB △与CDO 面积相等时，求直线OD 的解析式．（3）在（2）的条件下，当点D 在第一象限时，沿x 轴平移直线OD ，分别交x ，y 轴于点E ，F ，在平面直角坐标系中，是否存在点(),3M m ）和点P ，使四边形EFMP 为正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．25．（2020·湖北江夏一中八年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，(,)A a b ，(,0)B c 是x轴正半轴上一点，30ABO ∠=︒|2|a -互为相反数．（1）求c 的值；（2）如图2，AC AB ⊥交x 轴于C ，以AC 为边的正方形ACDE 的对角线AD 交x 轴于F ．①求证：2BE OC =；①记22BF OF m -=，2OC n =，求m n的值． 26．（2019·辽宁七年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，如图正方形ABCD 的顶点A ，B 坐标分别为()1,0A -，()3,0B ，点E ，F 坐标分别为(),0E m ，()3,0F m ，且12m -<≤，以EF 为边作正方形EFGH .设正方形EFGH 与正方形ABCD 重叠部分面积为S .（1）①当点F 与点B 重合时，m 的值为______；①当点F 与点A 重合时，m 的值为______. （2）请用含m 的式子表示S ，并直接写出m 的取值范围.27．（2019·北京八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的两个顶点的坐标分别为(2,0)A -，4()2,D -，顶点B 在x 轴的正半轴上．(1)写出点,B C 的坐标；(2)直线55y x =+与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ．求EFC ∆的面积．28．（2019·河北九年级）如图，在平面直角坐标系中，点()()2,1,6,1B C ，四边形ABCD 是正方形，作直线()0y kx k =>与正方形AB CD 、边所在直线相交于E F 、（1）若直线()0y kx k =>经过点A ，求k 的值；（2）若直线()0y kx k =>平分正方形ABCD 的面积，求E 的坐标；（3）若AEF ∆的外心在其内部，直接写出k 的取值范围．29．（2020·天津南开翔宇学校九年级月考）在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A -，点(0,6)C .若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形'''OA B C ，记旋转角为α.（①）如图①，当45α=︒时，求BC 与''A B 的交点D 的坐标；（①）如图①，当60α=︒时，求点'B 的坐标；（①）若P 为线段'BC 的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可)．参考答案1．﹣2＜b ＜2【解析】【分析】当直线y =x +b 过D 或B 时，求得b ，即可得到结论．【详解】①正方形ABCD 的边长为2，点A 的坐标为（1，1），①D （1，3），B （3，1）．当直线y =x +b 经过点D 时，3=1+b ，此时b =2．当直线y =x +b 经过点B 时，1=3+b ，此时b =﹣2．所以，直线y =x +b 与正方形有两个公共点，则b 的取值范围是﹣2＜b ＜2．故答案为﹣2＜b ＜2．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．2．22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】如图，①四边形OABC 是正方形，且OA=1，①A （0，1），①将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，①A 1），A 2（1，0），A 3，），…，发现是8次一循环，所以2021÷8=252……5，①点A 2021的坐标为（2-，2-）．故答案为（2-，2-）．【点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．3．20202019201921,2()B ﹣ 【分析】根据直线解析式先求出OA 1=1，再求出第一个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为22，得出规律，即可求出第n 个正方形的边长，从而求得点B n 的坐标，即可求得点B 2020的坐标．【详解】解：①直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=-1，①OA 1=1，①B 1（1，1），①OA 1=1，OA=1，①①OAA 1=45°，①①A 2A 1B 1=45°，①A 2B 1=A 1B 1=1，①A 2C 1=2=21，①B 2（3，2）同理得：A 3C 2=4=22，…，①B 3（7，4）；B 4（24-1，24-1），即B （15，8），①B n （2n -1，2n -1），①B （22020-1，22019）故答案为（22020-1，22019）．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解题的关键．4．355y x =-+ 【分析】根据A(-3，0)，B (2，b)，得到OA=3，OE=2，易证得≅≅Rt AOD Rt BEA Rt DFC ，得到DF=AO=3，OD=AE=CF=5，即可求得点C 、D 的坐标，从而求得直线CD 的解析式．【详解】作CF①y 轴于F ，BE①x 轴于E ，①A(-3，0)，B (2，b)，①OA=3，OE=2，①AE= OA+OE =5，①四边形ABCD 是正方形，①AB=AD=CD ，①BAD=①ADC=90︒，①①1+①DAO=90︒，①2+①DAO=90︒，①2+①CDF=90︒，①3+①CDF=90︒，①①1=①2=①3，①≅≅Rt AOD Rt BEA Rt DFC ，①DF=AO=3，OD=AE=CF=5，①OF= OD - DF=2，①点C 的坐标为(5，2)，点D 的坐标为(0，5)，设直线CD 的解析式为5y kx =+，把点C 的坐标为(5，2)代入得：255k =+，解得：35k =-，①直线CD 的解析式为355y x =-+，故答案为：355y x =-+．【点拨】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．(-2，1)【分析】过点A 作AD①x 轴于D ，过点C 作CE①x 轴于E ，根据同角的余角相等求出①OAD=①COE ，再利用“角角边”证明①AOD 和①OCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD ，CE=OD ，然后根据点C 在第二象限写出坐标即可．【详解】如图，过点A 作AD①x 轴于D ，过点C 作CE①x 轴于E ，①四边形OABC 是正方形，①OA=OC ，①AOC=90°，①①COE+①AOD=90°，又①①OAD+①AOD=90°，①①OAD=①COE ，在①AOD 和①OCE 中，90OAD COE ADO OEC OA OC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩①OE=AD=2，CE=OD=1，①点C 在第二象限，①点C 的坐标为（-2，1）．故答案为（-2，1）．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．6．(1-+【分析】过点A作AE①x轴，垂足为点E，过点B作BF①y轴，垂足为点F，交EA的延长线于点D，证明①AOE①①BAD，得到BF，DE的长度，后将线段的长度转化为点的坐标即可．【详解】过点A作AE①x轴，垂足为点E，过点B作BF①y轴，垂足为点F，交EA的延长线于点D，①四边形ABCO是正方形，①OA＝AB，①OAB＝90°，①①DBA+①BAD＝90°，①BAD+①EAEO＝90°，①①DBA＝①EAO，在①DBA和①EAO中，①DBA=①AEO,①D=①EAB=OA，①①BDA①①AEO，①BD＝AE，AD＝OE，①A（1），①OE＝AD＝DF=1，BD＝1，+1，①点B坐标为（1+1），故答案为：(1+．【点拨】本题考查了正方形的性质，一线三直角全等模型，线段与坐标的关系，根据图形的特点，熟练构造模型证明三角形全等是解题的关键．7．()3,1-【分析】过点A 作AD y ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴，过点B 作BF CE ⊥交CE 的延长线于F ．先证明AOD COE BCF ∆∆∆≌≌，得到1AD CE BF ===，2OD OE CF ===，根据点的坐标定义即可求解．【详解】解：如图，过点A 作AD y ⊥轴于D ，过点C 作CE x ⊥轴，过点B 作BF CE ⊥交CE 的延长线于F ．()2,1C --，2OE ∴=，1CE =．四边形OABC 是正方形，OA OC BC ∴==．易求AOD COE BCF ∠=∠=∠．又90ODA OEC F ∠=∠=∠=︒①AOD COE BCF ∆∆∆≌≌，1AD CE BF ∴===，2OD OE CF ===，∴点A 的坐标为()1,2-，211EF =-=，点B 到y 轴的距离为123+=，∴点B 的坐标为()3,1-．故答案为：()3,1-【点拨】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，全等三角形的判定与性质，根据题意，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．8．(2,6)或(−2,−2)【解析】【分析】当点C 在AB 上方时，过点C 作CE①y 轴于点E ，易证①AOB①①BEC （AAS ），根据全等三角形的性质可得BE=AO=4，EC=OB=2，从而得到点C 的坐标为（2,6），同理可得当点C 在AB 下方时，点C 的坐标为：（-2,-2）.【详解】解：如图所示，当点C 在AB 上方时，过点C 作CE①y 轴于点E ，①A (4,0)，B (0,2)，四边形ABCD 为正方形，①①BEC=①AOB=90°，BC=AB ，①①BCE+①EBC=90°，①OBA+①EBC=90°，①①BCE=①OBA ，①①AOB①①BEC （AAS ），①BE=AO=4，EC=OB=2，①OE=OB+BE=6，①此时点C 的坐标为：（2,6），同理可得当点C 在AB 下方时，点C 的坐标为：（-2,-2），综上所述，点C 的坐标为：(2,6)或(−2,−2)故答案为：(2,6)或(−2,−2).【点拨】本题主要考查坐标与图形以及三角形全等的判定和性质，注意分情况讨论，不要漏解. 9．（22017，22018-1）【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征和正方形的性质找出A 1、B 1、A 2、B 2、A 3、B 3的坐标，从而求出B n ，从而求出结论．【详解】解：将y=0代入1y x =-中，得x=1①A 1（1，0），①OA 1= A 1B 1=1，即点B 1（1，1）=（21-1，21-1）；将y=1代入1y x =-中，得x=2①A 2（2，1），①A 2 C 1= A 2B 2=2，即点B 2的坐标为（2，1＋2）=（2，3）=（22-1，22-1）；将y=3代入1y x =-中，得x=4①A 2（4，3），①A 3C 2= A 3B 3=2，即点B 3的坐标为（4，1＋2＋4）=（4，7）=（23-1，23-1）； ①点B n 的坐标是（2n -1，2n -1）．①点2018B 的坐标是（22018-1，22018-1）=（22017，22018-1）．故答案为：（22017，22018-1）．【点拨】此题考查一次函数图象上点的坐标特征以及规律型坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“点B n 的坐标是（2n -1，2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键．10．（-1，-1）【分析】连接OB ，根据图形可知，点B 在以点O 为圆心、、OB 为半径的圆上运用，将正方形OABC绕点O 逆时针依次旋转45°，可得点B 的对应点坐标，根据图形及对应点的坐标发现是8次一个循环，进而得出结论．【详解】解：如图，①四边形OABC 是正方形，且OA=1，①B （1,1），连接OB ，由勾股定理可得OB = ，由旋转的性质得：1232OB OB OB OB ===== 将正方形OABC 绕点O 逆时针依次旋转45°，得：11245AOB BOB B OB ∠=∠=∠==︒，①(10B ，()21,1B -，()3B ，41(1)B --，，…，可发现8次一循环， ①202082524÷=，①点2020B 的坐标为(11)--，, 故答案为(11)--，．【点拨】本题考查了几何图形的规律探究，根据计算得出“8次一个循环”是解题的关键． 11．325【分析】过点C 作CD x ⊥轴于点D ，过点A 作AE y ⊥轴于点E ，由正方形的性质就可以得出CDO AEO ∆≅∆，就可以得出CD AE =，OD OE =，由一次函数24y x =-的图象经过正方形OABC 的顶点A 和C ，设点(,24)C a a -，就可以得出(24,)A a a --代入解析式就可以求出a 的值，由正方形的面积等于2OC 就可以求出结论．【详解】解：过点C 作CD x ⊥轴于点D ，过点A 作AE y ⊥轴于点E ，90CDO AEO ∴∠=∠=︒．四边形OABC 是正方形，90AOC ∴∠=︒，OC OA =．90DOE ∠=︒，AOC DOE ∴∠=∠，AOC AOD DOE AOD ∴∠-∠=∠-∠，COD AOE ∴∠=∠．在CDO ∆和AEO ∆中，CDO AEO COD AOE OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CDO AEO AAS ∴∆≅∆CD AE ∴=，OD OE =．一次函数24y x =-的图象经过正方形OABC 的顶点A 和C ，设点(,24)C a a -， OD a ∴=，24CD a =-，OE a ∴=，24AE a =-，(24,)A a a ∴--，2(24)4a a ∴-=--，125a ∴=． 125OD ∴=，45CD =，在Rt CDO ∆中，由勾股定理，得2222212432555OC OD CD ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 2OABC S CO =正方形，325OABC S ∴=正方形．故答案为：325．【点拨】本题考查了正方形的性质及面积公式的运用，垂直的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，一次函数图象上点的坐标的特征的运用，构造K 字形全等，得出AC 两点坐标关系是解题的关键．12．（1）A(-2,4)；（2）【解析】试题分析：（1）过点A 作AE①y 轴，垂足为E ，过点C 作CD①y 轴，垂足为D,易证①AEO①①ODC ，即可求得A 点的坐标；（2）过点B 作BF①CD 交DC 的延长线于点F ，易证①BFC①①ODC ，即可求得点B 的坐标，由勾股定理求得正方形的边长，即可求得正方形的对角线OB 的长.试题解析：（1）过点A 作AE①y 轴，垂足为E ，过点C 作CD①y 轴，垂足为D,易证①AEO ≅①ODC,得A(-2,4)；（2）同理可证①BFC ≅①ODC ，得B(-6,2)，得.13．34【分析】过点B 作BM①x 轴于点M ，通过证明AOD BMA ≅，可得,AO MB DO AM ==，即可得出AO 、DO 的值，根据勾股定理求出AD 的值，即可求出正方形的面积．【详解】过点B 作BM①x 轴于点M①四边形ABCD 是正方形,90AD AB DAB ︒∴=∠=90OAD BAM ︒∴∠+∠=90BAM ABM ︒∠+∠=OAD ABM ∴∠=∠在①AOD 和①BMA 中AOD AMBOAD ABM AD AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOD BMA ∴≅,AO MB DO AM ∴==(3,0),(2,)A B b -3,2AO OM ∴==3,325MB AM AO OM ∴==+=+=5DO ∴=22292534AD AO DO =+=+=234ABCD S AD ∴==正方形．【点拨】本题考查了正方形的面积问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．14．1A ，(1B ，(1C ，()0,0O ．【分析】作A 1D①x 轴于D ，C 1E①x 轴于E ，如图，根据正方形的性质得，①BOA=①BOC=45°，再根据旋转的性质得点B 1在y 轴上，OB 1，①A 1OD=45°，①B 1OC 1=45°，OA 1=OA=OC 1=2，则可判断①A 1OD 和①EOC 1都是等腰直角三角形，于是可根据等腰直角三角形的性质得到A 1D=OD=2OA 1，C 1E=OE=2OC 1，然后根据各象限点的坐标特征和y 轴上点的坐标特征写出正方形OA 1B 1C 1各顶点的坐标．【详解】解：作1A D x ⊥轴于D ，1C E x ⊥轴于E ，如图，①正方形OABC 的点()2,0A ，()0,0O ，()0,2C ，①OB =45BOA BOC ∠=∠=，①正方形OABC 绕O 逆时针旋转45，得到正方形111OA B C ，①点1B 在y 轴上，1OB OB ==，145A OD ∠=，1145B OC ∠=，112OA OA OC ===，①1A OD 和1EOC 都是等腰直角三角形，①112A D OD OA ===112C E OE ===，①1A ，(1B ，(1C ，()0,0O ．【点拨】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．15．（1）∠OP A=67.5°；OP ＝6；（2）详见解析；（3）【分析】（1）先求出①3=①2=①BAC=45°，进而得出①CAP=22.5°，即可得出OP=OA ，即可得出结论；（2）先求出①P=15°，进而判断出①FOG 是等边三角形，再判断出①COF①①POG ，即可得出结论，（3）先作出点B 关于OE 的对称点B'，得出BN+MN=B'M ，然后根据垂线段最短的性质可确定M 点坐标，即可计算出结论．【详解】解：（1）如图1，①AC ，OB 是正方形OABC 的对角线，①OA ＝AB ，①2＝①3＝①BAC ＝45°，①AP 是①BAC 的角平分线，①①1＝12①BAC ＝22.5°， ①①OAP ＝①3+①1＝67.5°，在①OAP 中，①OP A ＝180°﹣①2﹣①OAP ＝67.5°，①①OAP ＝①OP A ，①OA ＝OP ，①B （6，6），①AB ＝6，①OA ＝AB ＝6，①OP ＝6；（2）如图2，①四边形OABC 是正方形，①OA ＝OC ，①AOC ＝90°，①①COP ＝60°，①①AOP ＝150°，由（1）知，OP ＝OA①①P ＝15°，由（1）知，①POG ＝45°，①①AGO ＝①P +①POG ＝60°，①OB 是正方形的对角线，①①BOC ＝45°，①①COP ＝60°，①POG ＝45°，①①BOG ＝①COP ＝60°，①①OFG 是等边三角形，①OF ＝FG ＝OG ，在①COF 和①POG 中，45OF OGCOF POG OC OP=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，①①COF ①①POG ，①PG ＝CF ，①CF +OF ＝PG +FG ＝PF ；（3）如图3，过点B 作BQ ①OE 于Q ，延长BQ 交x 轴于B '，①OE 是①DOB 的平分线，①BQ ＝B 'Q ，①点B '与点B 关于OE 对称，连接B 'M '交OE 于N '，①BN '+M 'N '＝B 'N '+M 'N '＝B 'M '，过点B '作B 'M ①OB 于M ，交OE 于N ，此时，BN +MN 最小，①OB 是边长为6的正方形的对角线，①OB ＝由作图知，OB '＝OB ＝，由（2）易知，①BOD ＝30°，在Rt①B 'OM 中，B 'M ＝12OB '＝3，即：BN +MN 的最小值为【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，角平分线的性质，灵活运用所学知识进行推理证明是解题关键．16．（1）(6-；（2）3,3+；（3）3323AP +.【分析】（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B ，在Rt①BA′D 中，①OBC ＝45°，A′B ＝6，可求得BD 的长，进而求得CD 的长，即可得出点D 的坐标；（2）过点C′作x 轴垂线MN ，交x 轴于点M ，过点B′作MN 的垂线，垂足为N ，证明①OMC′①①C′NB′，可得C′N＝OM＝，B′N＝C′M＝3，即可得出点B′的坐标；（3）连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，因为P为线段BC′的中点，所以PK＝12OC′＝3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围．【详解】解：（1）①A（﹣6，0）、C（0，6），O（0，0），①四边形OABC是边长为6的正方形，当α＝45°时，如图①，延长OA′经过点B，①OB＝OA′＝OA＝6，①OBC＝45°，①A′B＝6，①BD＝（6）12=-，①CD＝6﹣（12-=6，①BC与A′B′的交点D的坐标为（6-6）；（2）如图①，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，①①OC′B′＝90°，①①OC′M＝90°﹣①B′C′N＝①C′B′N，①OC′＝B′C′，①OMC′＝①C′NB′＝90°，①①OMC′①①C′NB′（AAS），当α＝60°时，①①A′OC′＝90°，OC′＝6，①①C′OM＝30°，①C′N＝OM＝，B′N＝C′M＝3，①点B′的坐标为(3,3+；（3）如图①，连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，①P为线段BC′的中点，①PK＝12OC′＝3，①P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，①AK＝①AP最大值为3，AP的最小值为3，①AP长的取值范围为3323AP+.【点拨】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P的轨迹．17．（①，12AB BG =；（①）①α=30°，α=150°，①F '），α=315°．【分析】（①）根据正方形的性质以及勾股定理即可解决问题；（①）①因为①BAG ′=90°，BG ′=2AB ，可知sin①AG ′B ='AB BG =12，推出①AG ′B =30°，推出旋转角α=30°，据对称性可知，当①ABG ″=60°时，①BAG ″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°；①当α=315°时，A 、B 、F ′在一条直线上时，AF ′的长最大．【详解】解：（①）如图①中，①A （0，1），①OA =1．①四边形OADC 是正方形，①①OAD =90°，AD =OA =1，①OD =AC ，①AB =BC =BD =BO =2． ①BD =DG ，①BG ，①AB BG=12．（①）①如图①中，①①BAG ′=90°，BG ′=2AB ，①sin①AG ′B ='AB BG =12， ①①AG ′B =30°，①①ABG ′=60°，①①DBG ′=30°，①旋转角α=30°，根据对称性可知，当①ABG ″=60°时，①BAG ″=90°，也满足条件，此时旋转角α=150°．综上所述：旋转角α=30°或150°时，①BAG ′=90°． ①如图3中，连接OF ．①四边形BE ′F ′G ′，①BF ′=2，①当α=315°时，A 、B 、F ′在一条直线上时，AF ′的长最大，最大值为2+2，此时α=315°，F ′（1122+-，）．【点拨】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用． 18．（1）点C 的坐标为(7,3)，点D 的坐标为(4,7)；（2）直线CE 的解析式为746y x =-．【分析】（1）先求出点A 、B 的坐标，从而可得3,4OB OA ==，再根据正方形的性质、直角三角形的性质可得,AB BC OAB HBC =∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得3, 4CH BO BH AO ====，从而可得7OH =，由此即可得出点C 的坐标，同样的方法可求出点D 的坐标；（2）设旋转角DBE ∠的大小为x ，先根据正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质求出30x =︒，再根据直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得//BD CE ，然后利用待定系数法求出直线BD 的解析式，从而可得直线CE 的解析式中的一次项系数，最后将点C 的坐标代入即可得．【详解】（1）AB 所在的直线方程为443y x =-+，当0x =时，4y =，即()0,4A ，当0y =时，4403x -+=，解得3x =，即(3,0)B ， 3,4OB OA ∴==，如图，过点C 作⊥CH x 轴，垂足为H ，四边形ABCD 是正方形，90,ABC AB BC ∴∠=︒=，90OAB OBA OBA HBC ∴∠+∠=∠+∠=︒， OAB HBC ∴∠=∠，在OAB 和HBC 中，90OAB HBC AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()OAB AAS HBC ∴≅，3, 4CH BO BH AO ∴====，347OH OB BH ∴=+=+=，∴点C 的坐标为(7,3)，同理可得：点D 的坐标为(4,7)；（2）设旋转角DBE ∠的大小为x ，四边形ABCD 是正方形，45BDC ∴∠=︒，AC BD =，AC BD ⊥， DFE ∠是BDF 的一个外角，45DFE DBE BDC x ∴∠=∠+∠=+︒， DE DF =，45DEF DFE x ∴∠=∠=+︒，由旋转的性质得：BD BE =，45BDE BED x ∴∠=∠=+︒，4545EDF BDE BDC x x ∴∠=∠-∠=+︒-︒=，在EDF 中，由三角形的内角和定理得：180EDF DEF DFE ∠+∠+∠=︒，即()245180x x ++︒=︒，解得30x =︒，如图，过点E 作EM BD ⊥于点M ，连接AC ，交BD 于点N ，则1122CN AC BD ==，在Rt BEM 中，30EBM x ∠==︒，1122EM BE BD ∴==， EM CN ∴=，,E AC BD M BD ⊥⊥，//EM CN ∴，∴四边形EMNC 是平行四边形，//BD CE ∴，设直线BD 的解析式为y kx b =+，将()3,0B 和()4,7D 代入得：3047k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得721k b =⎧⎨=-⎩，则直线BD 的解析式为721y x =-，//BD CE ，∴设直线CE 的解析式为7y x m =+，将点()7,3C 代入得：493m +=，解得46m =-，故直线CE 的解析式为746y x =-．【点拨】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的性质、利用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，较难的是题（2），利用平行四边形的判定与性质得出//BD CE 是解题关键．19．（1）5；（2）()1,3C -，()3,2D -；（3）存在，()1,0M - 【分析】（1）在直角三角形AOB 中，由OA 与OB 的长，利用勾股定理求出AB 的长即可；（2）过C 作y 轴垂线，过D 作x 轴垂线，分别交于点E ，F ，可得三角形CBE 与三角形ADF 与三角形AOB 全等，利用全等三角形对应边相等，确定出C 与D 坐标即可；（3）作出B 关于x 轴的对称点B′，连接B′D ，与x 轴交于点M ，连接BD ，BM ，此时①MDB 周长最小，求出此时M 的坐标即可．【详解】（1）对于直线112y x =+，令0x =，得到1y =；令0y =，得到2x =， ①()2,0A -，()0,1B ，在Rt AOB ∆中，2OA =，1OB =，根据勾股定理得：AB == 所以正方形ABCD 面积为5.（2）作CE y ⊥轴，DF x ⊥轴，可得90CEB AFD AOB ∠=∠=∠=︒， ①正方形ABCD ，①BC AB AD ==，90DAB ABC ∠=∠=︒， ①90DAF BAO ∠+∠=︒，90ABO CBE ∠+∠=︒，①90DAF ADF ∠∠=+︒，90BAO ABO ∠+∠=︒， ①BAO ADF CBE ∠=∠=∠， ①BCE DAF ABO ∆∆∆≌≌，①2BE DF OA ===，1CE AF OB ===，①213OE OB BE =+=+=，213OF OA AF =+=+=， ①()1,3C -，()3,2D -；（3）找出B 关于x 轴的对称点B ′，连接B D '，与x 轴交于点M ，此时BMD ∆周长最小， ①()0,1B ， ①()0,1B '-设直线B D '的解析式为y kx b =+，把B ′与D 坐标代入得：132b k b =-⎧⎨-+=⎩，解得：11k b =-⎧⎨=-⎩，即直线B D '的解析式为1y x =--，令0y =，得到1x =-，即()1,0M -．【点拨】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．20．（1）证明见解析；（2）对补点如：N（52，52）．证明见解析【解析】试题分析：(1)根据正方形的对角线互相垂直,得到①DMC＝①AMB＝90°,从而得到点M是正方形ABCD的对补点.(2) 在直线y＝x（1＜x＜3）或直线y＝－x＋4（1＜x＜3）上除（2，2）外的任意点均可,通过证明①DCN①①BCN,得到①CND＝①CNB,利用邻补角的性质即可得出结论.试题解析：（1）①四边形ABCD是正方形，① AC①BD．① ①DMC＝①AMB＝90°.即①DMC＋①AMB＝180°．① 点M是正方形ABCD的对补点．（2）对补点如：N（52，52）．说明：在直线y＝x（1＜x＜3）或直线y＝－x＋4（1＜x＜3）上除（2，2）外的任意点均可.证明（方法一）：连接AC ，BD由（1）得此时对角线的交点为（2，2）．设直线AC的解析式为：y＝kx＋b，把点A（1，1），C（3，3）分别代入，可求得直线AC的解析式为：y＝x．则点N（52，52）是直线AC上除对角线交点外的一点，且在正方形ABCD内.连接AC，DN，BN，① 四边形ABCD是正方形，① DC＝BC，①DCN＝①BCN．又① CN＝CN，① ①DCN①①BCN．① ①CND＝①CNB．① ①CNB＋①ANB＝180°，① ①CND＋①ANB＝180°．① 点N是正方形ABCD的对补点．证明（方法二）：连接AC ，BD，由（1）得此时对角线的交点为（2，2）．设点N是线段AC上的一点（端点A，C及对角线交点除外），连接AC，DN，BN，① 四边形ABCD是正方形，① DC＝BC，①DCN＝①BCN．又① CN＝CN，① ①DCN①①BCN．① ①CND＝①CNB．① ①CNB＋①ANB＝180°，① ①CND＋①ANB＝180°．① 点N是正方形ABCD除对角线交点外的对补点．设直线AC的解析式为：y＝kx＋b，把点A（1，1），C（3，3）分别代入，可求得直线AC的解析式为：y＝x．在1＜x ＜3范围内，任取一点均为该正方形的对补点，如N （52，52）．21．（①）①11=E F ①见解析；（①）点1E 的坐标为(或(1,．【分析】（1）①根据勾股定理求出EF 的长，11E F 的长；根据SAS 定理证明11OAE OCF △≌△即可；（2）由于①OEF 是等腰Rt①，若OE①CF ，那么CF 必与OF 垂直；在旋转过程中，E 、F 的轨迹是以O 为圆心，OE （或OF ）长为半径的圆，若CF①OF ，那么CF 必为①O 的切线，且切点为F ；可过C 作①O 的切线，那么这两个切点都符合F 点的要求，因此对应的E 点也有两个；在Rt①OFC 中，OF=2，OC=OA=4，可证得①FCO=30°，即①EOC=30°，已知了OE 的长，通过解直角三角形，不难得到E 点的坐标，由此得解．【详解】解：（①）①①等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 在原点，2OE =， ①90EOF ∠=︒，2OF OE ==．在Rt OEF 中，由勾股定理，得EF =．①11OE F △是由OEF 绕点O 逆时针旋转得到的，①11=E F①①四边形OABC 为正方形， ①OA OC =，①将OEF 绕点O 逆时针旋转，得11OE F △， ①11AOE COF ∠=∠，又OEF 是等腰直角三角形， ①11OE F △是等腰直角三角形， ①11OE OF =， ①11OAE OCF △≌△．（①）如图，①OE①OF ，①过点F 与OE 平行的直线有且只有一条，并与OF 垂直，当三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周时，则点F 在以O 为圆心，以OF 为半径的圆上． ①过点F 与OF 垂直的直线必是圆O 的切线．又点C 是圆O 外一点，过点C 与圆O 相切的直线有且只有2条，不妨设为CF 1和CF 2，此时，E 点分别在E 1点和E 2点，满足CF 1①OE 1，CF 2①OE 2．当切点F 1在第二象限时，点E 1在第一象限． cos①COF 1=112OF OC =， ①①COF 1=60°，①①AOE 1=60°． ①点E 1的横坐标为：x E1=2cos60°=1，点E 1的纵坐标为：y E1①点E 1的坐标为(1；当切点F 2在第一象限时，点E 2在第四象限．同理可求：点E 2的坐标为(1，)．综上所述，三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE①CF ，此时点E 的坐标为E 1(1或E 2(1，．【点拨】本题考查了图形的旋转变化、全等三角形的判定和性质、切线的判定、解直角三角形、以及分类讨论的数学思想．能够联系圆的相关知识来解答（3）题是此题的一个难点． 22．（1）①ODEF 1S =(48)6362ABCO S =+⨯=，设正方形的边长为x ，①236x =，6x =或6x =-（舍去）．。

2020-2021学年浙江省精诚联盟高一(下)联考数学试卷(3月份)(附答案详解)

2020-2021学年浙江省精诚联盟高一（下）联考数学试卷（3月份）一、单选题（本大题共8小题，共32.0分） 1. 若向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(−1,2)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =( )A. −4B. −2C. 2D. 42. 设i 是虚数单位，则复数z =2i(−2+3i)对应的点在复平面内位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 在四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则向量NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13a ⃗ +12b ⃗ B. 23a ⃗ +12b ⃗ C. 13a ⃗ −12b ⃗ D. 23a ⃗ −12b ⃗ 4. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A =30°，B =45°，a =2√3，则b =( )A. √6B. √2C. √3D. 2√65. 在△ABC 所在的平面内，点O 满足|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，若AB =2，AC =6，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 16B. −16C. 32D. −326. 在锐角△ABC 中，已知a =3，c =√7，C =60°，则△ABC 的面积为( )A. √32B. 3√32或3√34C. 3√32D. 3√347. 在△OAB 中，OA =OB =2，AB =2√3，动点P 位于直线OA 上，当PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角余弦值为( )A. −3√77B. 2√77C. −√217D. √2138. 已如平面向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ ，满足|a ⃗ |=3√3，|b ⃗ |=2，|c ⃗ |=2，b ⃗ ⋅c ⃗ =2，则(a ⃗ −b ⃗ )2(a ⃗ −c ⃗ )2−[(a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ −c ⃗ )]2的最大值为( )A. 192√3B. 192C. 48D. 4√3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 已知复数z =2+i ，则下列结论正确的是( )A. |z|=√5B. 复数z 的共轭复数为2−iC. zi 2021=1+2iD. z 2=3+4i10. 下列命题中正确的是( )A. 若a ⃗ =b ⃗ ，则3a ⃗ >2b ⃗B. BC⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 若向量a ⃗ ,b ⃗ 是非零向量，则|a ⃗ |+|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |⇔a ⃗ 与b ⃗ 方向相同 D. 若a ⃗ //b ⃗ ，则存在唯一实数λ使得a ⃗ =λb ⃗11. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−3,1)，则( )A. (a ⃗ +b ⃗ )//a ⃗B. 向量a ⃗ 在向量b ⃗ 上的投影向量为−12b ⃗ C. a ⃗ 与(a ⃗ −b ⃗ )的夹角余弦值为2√55D. 若c ⃗ =(√55,−2√55)，则a⃗ ⊥c ⃗ 12. 已知点O 为△ABC 所在平面内一点，2OA⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则下列选项正确的是( )A. AO ⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 直线AO 必过BC 边的中点 C. S △ABC ：S △AOC =3：1D. 若|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=14 三、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13. 已知向量a ⃗ =(x,3)，b ⃗ =(4,6)且a ⃗ //b ⃗ ，则x = ______ ． 14. 复数21−i 的虚部为______ ．15. 已知向量a ⃗ =(cosθ,sinθ)，b ⃗ =(1,√3)，则|2a ⃗ +b ⃗ |的最小值为______ ． 16. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式S =√14[c 2a 2−(c2+a 2−b 22)2](其中a ，b ，c ，S 为三角形的三边和面积)表示.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a =3，且bcosC −ccosB =2c 23，则△ABC 面积的最大值为______ ．四、解答题（本大题共4小题，共52.0分）17. 已知向量a ⃗ =(1,−1)，|b ⃗ |=√2，且(2a ⃗ +b⃗ )⋅b ⃗ =4． (1)求向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角； (2)求|a ⃗ +b ⃗ |的值．18. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，且c =1．在①acosC +ccosA =2；②bsinC −√3ccosB =c ；③asinB =2csinA 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． (1)求角A ；(2)若_______，角B 的平分线交AC 于点D ，求BD 的长．19. 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ，现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量得sinC =45，sinB =6365，∠B 为钝角．(1)求缆车线路AB 的长：(2)问乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短．20. 在△AOB 中，已知OA =√2，OB =√3，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，a ⃗ ⋅b⃗ =−1，设点P 为边AB 上一点，点Q 为线段BO 延长线上的一点． (1)求OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值：(2)若PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(−1,2)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =−2+6=4．故选：D ．直接利用向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的运算，坐标运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：复数z =2i(−2+3i)=−4i −6对应的点(−6,−4)在复平面内位于第三象限，故选：C ．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查平面向量基本定理的应用，判断四边形是平行四边形，利用向量加法法则进行转化是解决本题的关键，是基础题．根据条件判断ABCD 为平行四边形，利用向量加法法则进行转化求解即可．【解答】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴四边形ABCD 为平行四边形，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵M 为线段BC 的中点，N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ ，NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ ，则NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ +12b ⃗ ，故选：B ．4.【答案】D【解析】解：因为A =30°，B =45°，a =2√3，由正弦定理得，asinA =bsinB ，所以b =asinB sinA=2√3×√2212=2√6．故选：D ．由已知结合正弦定理即可直接求解．本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：点O 满足|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以O 是三角形的外心，过O 作OS ⊥AB ，OT ⊥AC 垂足分别为S ，T 则S ，T 分别是AB ，AC 的中点， AB =2，AC =6，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AS ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AT ⃗⃗⃗⃗⃗ | =−1×2+3×6=16．故选：A ．作出边AB ，AC 的垂线，利用向量的运算将BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义，以及三角形的外心，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，体现了分类讨论思想的应用．由已知结合余弦定理先求出b ，然后结合三角形的面积公式即可求解．【解答】解：由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab，所以12=9+b 2−76b，解得b =1或b =2，当b =1时，b 2+c 2−a 2<0，此时A 为钝角，不合题意，当b =2时，△ABC 的面积S =12absinC =12×3×2×√32=3√32．故选：C ．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量夹角余弦值的求法，考查向量的数量积、夹角公式等基础知识，考查运算求解能力等基础知识，是基础题．取AB 的中点C ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−3，要使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小，只需|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小，由此能求出结果．【解答】解：如图所示，取AB 的中点C ，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两式平方相减可得4PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−3，则要使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小，只需|PC⃗⃗⃗⃗⃗ |最小，而此时，CP ⊥OA ，此时可根据已知条件OA =OB =2，AB =2√3，解得PA =32，PB =√212，PC =√32，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−3=−94， ∴cos <PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PA⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−94√212⋅32=−√217．故选：C ．8.【答案】B【解析】解：如图所示，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，取BC 的中点D ，连接OD ，以点O 为圆心，|a⃗ |为半径作圆O ， cos∠BOC =cos <b ⃗ ，c ⃗ >=b ⃗⋅c ⃗ |b ⃗ ||c ⃗ |=12，因为0≤∠BOC ≤π，所以∠BOC =π3，所以△BOC 为等边三角形，因为D 为BC 的中点，OD ⊥BC ，所以△BOC 的底边BC 上的高为|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2sin π3=√3， a ⃗ −b ⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，a⃗ −c ⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ −c ⃗ )=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAC ，所以(a ⃗ −b ⃗ )2(a ⃗ −c ⃗ )2−[(a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ −c ⃗ )]2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAC)2 =(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠BAC)2=(2S △ABC )2，由圆的几何性质可知，当A ，O ，D 三点共线且O 为线段AD 上的点时， △ABC 的面积取得最大值，此时△ABC 的底边BC 上的高h 取最大值，即ℎmax =|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√3，(S △ABC )max =12×2×4√3=4√3，因此(a ⃗ −b ⃗ )2(a ⃗ −c ⃗ )2−[(a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ −c ⃗ )]2的最大值为4×(4√3)2=192．故选：B ．作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，取BC 的中点D ，连接OD ，分析出△BOC 为等边三角形，可求得|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，计算得出以(a ⃗ −b ⃗ )2(a ⃗ −c ⃗ )2−[(a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ −c ⃗ )]2=(2S △ABC )2，利用圆的几何性质求出△ABC 面积的最大值，即可得出结果．本题主要考查平面向量数量积的运算，圆的几何性质，考查数形结合与转化的数学思想，属于难题．9.【答案】ABD【解析】解：∵z =2+i ，∴|z|=√22+12=√5，z −=2−i ，故选项A 、B 正确；又z ⋅i 2021=(2+i)i =−1+2i ，故选项C 错误； ∵z 2=(2+i)2=3+4i ，∴选项D 正确，故选：ABD ．由题设利用复数的相关概念及运算法则逐个选项判断正误即可．本题主要考查复数的相关概念及运算，属于基础题．10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查向量的定义，向量的运算法则以及共线向量定理的应用，是基础题．利用向量的定义判断A ，向量加减运算判断B ；向量的模的运算判断C ，共线向量判断D 即可．【解答】解：向量不能比较大小，所以A 不正确；BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以B 正确；若向量a ⃗ ,b ⃗ 是非零向量，则|a ⃗ |+|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |⇔a ⃗ 与b ⃗ 方向相同，所以C 正确．若a ⃗ //b ⃗ ，当b ⃗ ≠0⃗ 时，则存在唯一实数λ使得a ⃗ =λb ⃗ ，所以D 不正确．故选：BC ．11.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算与命题真假判断问题，也考查了计算与推理能力，是基础题．根据平面向量的坐标表示与运算法则，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：对于A ，向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−3,1)，所以a ⃗ +b ⃗ =(−1,2)，且−1×1−2×2=−5≠0，所以a ⃗ +b ⃗ 与a⃗ 不平行，A 错误；对于B ，向量a ⃗ 在向量b ⃗ 上的投影向量为|a ⃗ |cosθ⋅b⃗ |b⃗ |=a ⃗ ⋅b⃗ |b⃗ |2⋅b ⃗ =−510⋅b ⃗ =−12b ⃗ ，所以B 正确；对于C ，因为a ⃗ −b ⃗ =(5,0)，所以cos <a ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ >=a ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )|a ⃗ |×|a ⃗ −b⃗ |=√5×5=2√55，所以C 正确；对于D ，因为c ⃗ =(√55,−2√55)，所以a ⃗ ·c ⃗ =2×√55+1×(−2√55)=0，所以a⃗ ⊥c ⃗ ，选项D 正确．故选：BCD ．12.【答案】ACD【解析】解：对于A ，∵2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，故A 正确；对于B ，若直线AO 必过BC 边的中点D ，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )与A 矛盾，故B 错误；对于C ，由平面向量奔驰定理得：S △BOC ×OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S △AOC ×OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +S △AOB ×OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =2：3：4，∴S △ABC ：S △AOC =(2+3+4)：3=9：3=3：1，故C 正确；对于D ，∵2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴4|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +9|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=16|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14， ∴cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=14，故D 正确．故选：ACD ．利用向量加法公式、向量数量积公式直接求解．本题考查命题真假的判断，考查向量加法公式、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力等基础知识，是基础题．13.【答案】2【解析】解：∵a ⃗ //b ⃗ ， ∴6x −3×4=0，则x =2．故答案为：2．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：复数21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，∴复数21−i的虚部为1．故答案为：1．利用复数的运算法则直接求解．本题考查复数的虚部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】0【解析】解：|2a⃗+b⃗ |=√(2a⃗+b⃗ )2=√4a⃗2+b⃗ 2+4a⃗⋅b⃗ =√4+4+4(cosθ+√3sinθ)=√8+8sin(θ+π6)，∴sin(θ+π6)=−1时，|2a⃗+b⃗ |取最小值0．故答案为：0．根据向量a⃗,b⃗ 的坐标，根据|2a⃗+b⃗ |=√(2a⃗+b⃗ )2及辅助角公式即可求出|2a⃗+b⃗ |=√8+8sin(θ+π6)，从而可得出|2a⃗+b⃗ |的最小值．本题考查了向量的模，向量数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．16.【答案】9√34【解析】【解答】解：因为bcosC−ccosB=2c23，由余弦定理可得b⋅a2+b2−c22ab −c⋅a2+c2−b22ac=2c23，因为a=3，整理可得b=√3c，所以S =√14[c 2a 2−(c2+a 2−b 22)2]=√14[9c 2−(c 2+9−3c 22)2] =√14(18c 2−c 4−814)，可得当c 2=9，即c =3时，S 取得最大值9√34．故答案为：9√34．【分析】利用余弦定理化简已知等式可得b =√3c ，结合题意以及二次函数的性质即可求解．本题主要考查余弦定理以及二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，是中档题．17.【答案】解：(1)由a ⃗ =(1,−1)得|a ⃗ |=√2，∵|b ⃗ |=√2，且(2a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=2|a ⃗ ||b ⃗ |cos⟨a ⃗ ,b ⃗ ⟩+2=4cos⟨a ⃗ ,b ⃗ ⟩+2=4，∴cos〈a ⃗ ,b ⃗ 〉=12，向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°．(2)|a ⃗ +b ⃗ |=√(a ⃗ +b ⃗ )2=√a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√|a ⃗ |2+2|a ⃗ |⋅|b ⃗ |cos⟨a ⃗ ,b ⃗ ⟩+|b ⃗ |2=√6．【解析】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角以及向量的模的求法，考查计算能力．(1)利用向量的数量积的运算法则化简已知条件，转化求向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角； (2)通过向量的模的运算法则转化求解|a ⃗ +b ⃗ |的值．18.【答案】解：(1)因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，且c =1，所以bccosA =12b ，可得cosA =12，因为A ∈(0,π)，所以A =π3．(2)若选条件①，由于c =1，又acosC +ccosA =a ⋅a 2+b 2−c 22ab+c ⋅b 2+c 2−a 22bc=2，整理可得b =2，由A =π3，利用余弦定理可得a =√b 2+c 2−2bccosA =√4+1−2×2×1×12=√3，此时a 2+c 2=b 2，即B =π2，A =π3，因为BD为角B的平分线，△BDC中，由正弦定理得，BDsin30∘=√3sin105°，所以BD=3√2−√62；若选条件②，bsinC−√3ccosB=c，由正弦定理得sinBsinC−√3sinCcosB=sinC，因为sinC>0，所以sinB−√3cosB=1，即2sin(B−π3)=1，由B为三角形内角得B=π2，A=π3，因为BD为角B的平分线，△BDC中，由正弦定理得，BDsin30∘=√3sin105°，所以BD=3√2−√62；若选条件③，asinB=2csinA，由正弦定理得sinAsinB=2sinCsinA，所以sinB=2sinC=2sin(2π3−B)=sinB+√3cosB，所以cosB=0，即B=π2，A=π3，因为BD为角B的平分线，△BDC中，由正弦定理得，BDsin30∘=√3sin105°，所以BD=3√2−√62．【解析】(1)由已知结合向量数量积定义可求cos A，进而可求A；(2)若选①，由已知结合余弦定理进行化简可求b，a，结合勾股定理可判断直角三角形，再由正弦定理可求BD；若选②，bsinC−√3ccosB=c，由正弦定理进行化简，然后结合辅助角公式化简可求B，结合勾股定理可判断直角三角形，再由正弦定理可求BD；若选③，asinB=2csinA，由正弦定理化简可求出B，结合勾股定理可判断直角三角形，再由正弦定理可求BD．本题主要考查了向量数量积的定义，正弦定理，余弦定理，和差角公式，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为sinC =45，sinB =6365，AC =1260m由正弦定理ABsinC =ACsinB ，得AB =AC⋅sinC sinB=1260×456365=1040m ．可得AB 的长为1040m ．(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得：d 2=(100+50t)2+(130t)2−2×130t ×(100+50t)×1213=200(37t 2−70t +50)=200[37(t −3537)2+62537]，因0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，所以当t =3537min 时，甲、乙两游客距离最短．【解析】(1)根据正弦定理即可确定出AB 的长；(2)设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100+50t)m ，乙距离A 处130t m ，由余弦定理可得．此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义以及勾股定理在解三角形中的应用，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于中档题．20.【答案】解：(1)OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=b ⃗ ⋅(b ⃗ −a ⃗ )=b ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ =(√3)2+1=4．(2)如图所示，设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中0≤λ≤1，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)a ⃗ +λb ⃗ ，设OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中t <0， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(1−λ)a ⃗ +λb ⃗ ]⋅a ⃗ =(1−λ)a ⃗ 2+λa ⃗ ⋅b ⃗ =2(1−λ)−λ=2−3λ，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t b ⃗ −[(1−λ)a ⃗ +λb ⃗ ]=(λ−1)a ⃗ +(t −λ)b ⃗ ，所以PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(1−λ)a ⃗ +λb ⃗ ]⋅[(λ−1)a ⃗ +(t −λ)b ⃗ ]=(λ−1)2a ⃗ 2+[(λ−1)(t −λ)−λ(λ−1)]a ⃗ ⋅b ⃗ +λ(λ−t)b ⃗ 2=2(λ−1)2−[(λ−1)(t −λ)−λ(λ−1)]+3λ(λ−t)=7λ2−6λ+2−t(4λ−1)，因为PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以7λ2−6λ+2−t(4λ−1)=2−3λ，所以t =λ(7λ−3)4λ−1，因为t <0且0≤λ≤1，可得出14<λ<37，|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=[(1−λ)a ⃗ +λb ⃗ ]2=(1−λ)2a ⃗ 2+2λ(1−λ)a ⃗ ⋅b⃗ +λ2b ⃗ 2=2(1−λ)2+2λ(λ−1)+3λ2=7λ2−6λ+2=7(λ−37)2+57∈(57,1516)，因此|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是(√357,√154).【解析】(1)利用平面向量数量积的运算性质可求得OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中0≤λ≤1，设OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中t <0，根据PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得出t =λ(7λ−3)4λ−1，由t <0且0≤λ≤1，可得出14<λ<37，计算得出|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |2=7λ2−6λ+2，利用二次函数的基本性质可求得|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围．本题主要考查平面向量数量积的运算，向量的模的求法，考查数形结合与转化的数学思想，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．。

2020-2021学年广东省深圳市罗湖区八年级(下)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年广东省深圳市罗湖区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.x的18与x的和不超过5用不等式可以表示为()A. x8+x≤5 B. x8+x<5 C. x8+x≥5 D. x8+x>53.不等式组{2x+6>0①x−4<0②的解集在数轴上可表示为()A. B.C. D.4.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中()A. 有一个内角大于60°B. 有一个内角小于60°C. 每一个内角都大于60°D. 每一个内角都小于60°5.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB，若∠A=50°，则∠B的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°6.如图，△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，并且DE//AB，则△CDE的周长为()A. 20cmB. 12cmC. 13cmD. 14cm7.如图△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=2√3，D为BC的中点，DE⊥AB，则△EBD的面积为()A. 3√34B. 3√38C. √34D. √388.不等式组{5x+2>3(x−1)x−2≤14−3x的非负整数解有()A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个9.如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是()A. ①②B. ②③④C. ②③D. ①②③10.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于()A. 1−√33B. 1−√34C. 12D. √33二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.不等式组{x>1x≥2解集是______ ．12.如图，当y<0时，自变量x的取值范围是______ ．13. 如图，在△ABC 中，BC =8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于______ cm ．14. 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C 含量及购买这两种原料的价格如下表：甲种原料乙种原料维生素C 含量(单位/千克)600 100 原料价格(元/千克) 8 4现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C ，若所需甲种原料的质量为x 千克，则x 应满足的不等式为______ ．15. 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的两个底角的度数等于______ 度.三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）16. 解不等式5(x −1)<6x +1．17. 求不等式组{32x −1≤2①x +4>1②的解集，并把它的解集表示在数轴上．18.△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位．(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．(2)将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．(3)在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，求经过点P和点C2的一次函数关系式，并求出点P的坐标．19.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F．(1)求n的度数；(2)求△CDF的面积．20.某商场计划从厂家购进甲、乙两种不同型号的电视机，已知进价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元．(1)若商场同时购进这两种不同型号的电视机50台，金额不超过76000元，商场有几种进货方案，并写出具体的进货方案．(2)在(1)的条件下，若商场销售一台甲、乙型号的电视机的销售价分别为1650元、2300元，以上进货方案中，哪种进货方案获利最多？最多为多少元？21.已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．(1)求证：BE=AD；(2)求∠BPQ的度数；(3)若PQ=3，PE=1，求AD的长．22.已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB=∠MON=90°．(1)如图1：连AM，BN，求证：△AOM≌△BON；(2)若将Rt△MON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB=4，ON=3，求出线段AM 的长；(3)若将△MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2=2PO2．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A 、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B 、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C 、是中心对称图形，故本选项符合题意；D 、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C ．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】A【解析】解：“x 的18与x 的和不超过5”用不等式表示为18x +x ≤5，故选：A ．理解：x 的18，即18x ，然后与x 的和即表示为18x +x ，不超过5即≤5，据此可得答案．此题考查一元一次不等式问题，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 3.【答案】C【解析】解：解不等式①，得：x >−3，解不等式②，得：x <4，则不等式组的解集为−3<x <4，故选：C ．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 4.【答案】C【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．故选：C．熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．5.【答案】B【解析】解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=50°，又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACD=100°，∴∠B=180°−∠A−∠ACB=180°−50°−100°=30°，故选：B．依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．6.【答案】D【解析】解：∵AB=AC=10cm，AD平分∠BAC，∴CD=BD=4(cm)，AD⊥BC，∵点E为AC的中点，AC=5(cm)，∴CE=DE=12∴△CDE的周长=CE+CD+DE=14(cm)，故选：D．由等腰三角形的性质可得CD=BD=4cm，AD⊥BC，由直角三角形的性质可求解．本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°，∵D 是BC 的中点，BC =2√3，∴Rt △BED 中，BD =12BC =√3，∴DE =√32，BE =32，∴△EBD 的面积为12×√32×32=3√38．故选：B ．根据AB =AC ，BAC =120°可得∠B 和∠C 的度数，根据D 是BC 的中点可以求得BD 的长，从而可以求得BE 和DE 的长，本题得以解决．本题考查含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．8.【答案】B【解析】解：{5x +2>3(x −1)①x −2≤14−3x②，由①得：x >−52，由②得：x ≤4，∴不等式组的解集为−52<x ≤4，则不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个．故选：B ．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出非负整数解即可．此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 9.【答案】D【解析】解：如图，甲乙在x =2时相交，故售2件时两家售价一样．①对．买1件时乙的价格比甲的价格低．②对．买3件时甲的销售价比乙低，③对．买乙家的1件售价约为1元，④错．故选：D ．两条直线相交时，交点坐标同时适合于两个解析式．然后根据图象解答即可得出结论．本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．10.【答案】D【解析】解：设CD 与B′C′相交于点O ，连接OA ．根据旋转的性质，得∠BAB′=30°，则∠DAB′=60°．在Rt △ADO 和Rt △AB′O 中，AD =AB′，AO =AO ，∴Rt △ADO≌Rt △AB′O ．∴∠OAD =∠OAB′=30°．又∵AD =1，∴OD =AD ⋅tan∠OAD =√33． ∴公共部分的面积=2×12×√33×1=1×√33=√33．故选D ．此题只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转的旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积．本题主要考查了利用正方形和旋转的性质来求三角形的面积．11.【答案】x ≥2【解析】解：不等式组{x >1x ≥2解集是x ≥2．故答案为：x ≥2．根据“同大取大”解答即可．本题考查的是不等式解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．12.【答案】x <−2【解析】解：由函数图象可知，当x <−2时，函数图象在x 轴的下方，即当x <−2时，y <0．故答案为：x <−2．根据图象可直接得到答案．此题主要考查了一次函数的性质，关键是能从图象中获取信息．13.【答案】10【解析】解：∵AB的垂直平分线交AB于点D∴AE=BE∴AE+CE=BE+CE∵△BCE的周长等于18cm，BC=8cm∴AE+CE=BE+CE=10cm．故填10．由已知条件，利用线段垂直平分线的性质得AE+CE=BE+CE，再利用给出的周长即可求出AC的长．本题主要考查了线段垂直平分线的性质；进行线段的等量代换后得到AE+CE=BE+ CE是正确解答本题的关键．14.【答案】600x+100(10−x)≥4200【解析】解：若所需甲种原料的质量为xkg，则需乙种原料(10−x)kg．根据题意，得600x+100(10−x)≥4200．故答案为：600x+100(10−x)≥4200．首先由甲种原料所需的质量和饮料的总质量，表示出乙种原料的质量，再结合表格中的数据，根据“至少含有4200单位的维生素C”这一不等关系列不等式．此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是仔细审题，建立数学模型，将实际问题转变为数学问题求解．15.【答案】75度或15【解析】【分析】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．根据题意，先画出相应的图形，然后根据等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，即可得到等腰三角形底角的度数．【解答】解：作CD⊥AB于点D，如图1所示，∵CD=1AC，2∴∠A=30°，∴∠B=∠ACB=75°；作BD⊥CA，交CA的延长线于点D，如图2所示，∵BD=1AB，2∴∠DAB=30°，∴∠BAC=150°，∴∠ABC=∠C=15°；故答案为75度或15．16.【答案】解：去括号，得5x−5<6x+1，移项得，合并同类项，得−x<6，系数化为1得，x>−6．【解析】解此题的步骤是：去括号、移项、合并同类项、系数化为1．本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．17.【答案】解：解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x>−3，则不等式组的解集为−3<x≤2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18.【答案】解：(1)如图，点A(−2,3)、B(−1,1)、C(0,2)关于点C 的对称点坐标分别为A 1(2,1)、B 1(1,3)、C 1(0,2)，依次连结A 1、B 1、C 1．△A 1B 1C 1就是所求的图形．(2)点A 1(2,1)、B 1(1,3)、C 1(0,2)向右平移4个单位得到的对应点分别为A 2(6,1)、B 2(5,3)、C 2(4,2)，依次连结A 2、B 2、C 2．△A 2B 2C 2就是所求的图形．(3)作点A 1(2,1)关于x 轴的对称点D(2,−1)，连结C 2D ，交x 轴于点P ，连结A 1P.由“两点之间，线段最短”可知，此时PA 1+PC 2=DC 2的值最小，∴点P 就是所求的点．设直线PC 2的一次函数关系式为y =kx +b ，由作图可得，点D 在直线PC 2上，把D(2,−1)、C 2(4,2)代入y =kx +b ，得{2k +b =−14k +b =2，解得{k =32b =−4， ∴y =32x −4．当y =0时，由32x −4=0，得x =83，∴P(83,0)．综上所述，经过点P 、C 2的一次函数关系式为y =32x −4，点P 的坐标为(83,0)．【解析】(1)由中心对称的定义，作出点A 、B 关于点C 的对称点，点C 的对称点与点C 重合，再依次连结得到的各点即可求得△A 1B 1C 1．(2)根据平移的特征：图形上的对应点都沿平移方向平移了相同的距离，作出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2，连结A2、B2、C2，求得△A2B2C2．(3)作点A1关于x轴的对称点D，连结C2D交x轴于点P，则点P就是所求的点，由中心对称、平移和轴对称的特征求出点C2、D的坐标，再用待定系数法求出直线PC2的一次函数关系式及点P的坐标．此题重点中心对称、轴对称、平移的特征和作图、最短路线问题的作图以及图形与坐标、用待定系数法求一次函数关系式等知识和方法，图形结合，动手动脑，难度适中，是一道很好的练习题．19.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，点D在AB边上，∴CB=CD=2，∴△BCD为等边三角形，∴∠BCD=60°，即n的度数为60°；(2)∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，∴∠CDF=∠B=60°，∵∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∴∠CFD=90°，∴DF=12CD=1，CF=√3DF=√3，∴S△CDF=12×1×√3=√32．【解析】(1)根据旋转的性质得到CB=CD=2，则可判断△BCD为等边三角形，所以∠BCD=60°，从而得到n的值；(2)利用旋转的性质得到∠CDF=∠B=60°，再计算出∠DCF=30°，所以∠CFD=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系求出DF、CF，然后根据三角形面积公式计算．本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20.【答案】解：(1)设购进甲种型号的电视机x台，则乙种型号的电视机(50−x)台．则1500x+2100(50−x)≤76000，解得x≥4813．则50≥x≥4813．∵x是整数，∴x=49或x=50．故有2种进货方案：方案一：是购进甲种型号的电视机49台，乙种型号的电视机1台；方案二：是甲种型号的电视机50台，乙种型号的电视机0台；(2)方案一的利润为：49×(1650−1500)+(2300−2100)=7550(元)方案二的利润为：50×(1650−1500)=7500(元)．∵7550>7500∴方案一的利润大，最多为7550元．【解析】本题考查了一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．(1)设购进甲种型号的电视机x台，则乙种型号的电视机50−x台．数量关系为：两种不同型号的电视机50台，金额不超过76000元；(2)利润=数量×(售价−进价)．21.【答案】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，在△AEB与△CDA中，{AB=CA∠BAE=∠C AE=CD ，∴△AEB≌△CDA(SAS)，∴BE=AD；(2)解：由(1)知，△AEB≌△CDA，则∠ABE=∠CAD，∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，∴∠BPQ=∠BAD+∠ABD=60°；(3)解：如图，由(2)知∠BPQ=60°．∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，BP=3，∴PQ=12∴BP=6∴BE=BP+PE=7，即AD=7．【解析】(1)根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；(2)利用(1)中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BPQ=60°；(3)利用(2)的结果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP=6，则易求BE=BP+PE=7．本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．22.【答案】(1)证明：如图1中，∵∠AOB=∠MON=90°，∴∠AOM=∠BON，∵AO=BO，OM=ON，∴△AOM≌△BON(SAS)．(2)如图3−1中，设OA交BN于J，过点O作OH⊥MN于H．∵△AOM≌△BON ，∴AM =BN ，∠OAM =∠OBN ，∵∠AJN =∠BJO ，∴∠ANJ =∠JOB =90°，∵OM =ON =3，∠MON =90°，OH ⊥MN ，∴MN =3√2，MH =HN =OH =3√22， ∴AH =√OA 2−OH 2=√42−(3√22)2=√462， ∴BN =AM =MH +AH =√46+3√22．如图3−2中，同法可证AM =BN =√46−3√22．综上所述，BN 的长为√46+3√22或√46−3√22．(3)证明：如图2中，在OB 上取一点T ，使得OT =OP ，连接PT ，NT ．∵∠MON=∠POT=90°，∴∠MOP=∠NOT，∵OM=ON，OP=OT，∴△POM≌△TON(SAS)，∴PM=TN，∠M=∠ONT=45°，∵∠ONM=∠ONT=45°，∴∠PAN=∠ONM+∠ONT=90°，∴PT2=PN2+NT2=PN2+PM2∵△POT是等腰直角三角形，∴PT2=2OP2，∴PM2+NN2=2OP2．【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可．(2)分两种情形分别画出图形求解即可．(3)如图2中，在OB上取一点T，使得OT=OP，连接PT，NT.证明∠PAN=∠ONM+∠ONT=90°，可得PT2=PN2+NT2=PN2+PM2，即可得出结论．本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。

2020-2021青岛银海学校八年级数学下期中一模试卷附答案

2020-2021青岛银海学校八年级数学下期中一模试卷附答案一、选择题1．下列二次根式中,最简二次根式是( ) A ．10B ．12C ．12D ．82．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()()2212a b +--的结果是（）A ．3a b -+B ．1a b +-C ．1a b --+D ．1a b -++3．如图，ABC V 中，CD AB ⊥于,D E 是AC 的中点．若6,5,AD DE ==则CD 的长等于（）A ．5B ．6C ．8D ．104．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是( )A ．小丽从家到达公园共用时间20分钟B ．公园离小丽家的距离为2000米C ．小丽在便利店时间为15分钟D ．便利店离小丽家的距离为1000米 5．下列计算正确的是（） A ．a 2+a 3=a 5B ．3221=C ．（x 2）3=x 5D ．m 5÷m 3=m 2 6．下列各式正确的是（）A ．(255=- B ()20.50.5-=-C ．(2255=D ()20.50.5-=7．如图,在菱形ABCD 中,AB=5,对角线AC=6.若过点A 作AE⊥BC,垂足为E,则AE 的长为( )A ．4B ．2.4C ．4.8D ．58．如图所示□ABCD ，再添加下列某一个条件, 不能判定□ABCD 是矩形的是（）A ．AC=BDB ．AB ⊥BC C ．∠1=∠2D ．∠ABC=∠BCD9．已知一次函数y ＝﹣x +m 和y ＝2x +n 的图象都经过A （﹣4，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为（） A ．48B ．36C ．24D ．1810．如图所示，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE EB =，3OE =，5AB =，▱ABCD 的周长（）A ．11B ．13C ．16D ．2211．下列各式不成立的是（） A ．8718293-= B ．222233+= C ．818495+=+= D ．3232=-+12．下列各式中一定是二次根式的是( ) A ．23-B ．2(0.3)-C ．2-D ．x二、填空题13．如图，直线510y x =+与x 轴、y 轴交于点A ，B ，则AOB V 的面积为___．14．若由你选择一个喜欢的数值m ，使一次函数()2y m x m =-+的图象经过第一、二、四象限，则m 的值可以是___________．15．如图,E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、CD 上的点,AF 与DE 相交于点P,BF 与CE 相交于点Q,若215APD S cm ∆=，225BQC S cm ∆=，则阴影部分的面积为__________2cm ．16．如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN.若AB=7，BE=5，则MN=_______.17．一组数据4、5、a 、6、8的平均数5x =，则方差2s =________.18．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，30ACB ∠=o ，则AOB ∠的大小为______ ．19．一根旗杆在离地面4.5 m 的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6 m 外，则旗杆折断前的高度是________．20．2a =3b =，用含,a b 0.54，结果为________．三、解答题21．为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：成绩x 学校 5060x ≤<6070x ≤<7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤<甲 4 11 13 10 2 乙6315142（说明：成绩80分及以上为优秀，70~79分为良好，60~69分为合格，60分以下为不合格）b．甲校成绩在7080x≤<这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：学校平均分中位数众数甲74.2n85乙73.57684根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是_____________校的学生（填“甲”或“乙”），理由是__________；（3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．22．计算：16(23)(23)27 3+-+-．23．善于学习的小明在学习了一次方程(组)，一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下：（1）请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：①；②；③；④；（2）如果点C的坐标为(1，3)，那么不等式kx+b≤k1x+b1的解集为．24．一次函数y1＝kx+b和y2＝﹣4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（﹣2，0）．（1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是；（2）若不等式kx+b＞﹣4x+a的解集是x＞1．①求点B的坐标；②求a的值．25．鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：鞋长16192427鞋码22283844（1）分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数；（2）设鞋长为x，“鞋码”为y，求y与x之间的函数关系式；（3）如果你需要的鞋长为26cm，那么应该买多大码的鞋？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可．【详解】A10是最简二次根式，本选项正确．B12=2312C 1222=12A8=228不是最简二次根式，本选项错误．故选A．【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断．2．A解析：A 【解析】【分析】先根据数轴上两点的位置确定1a +和2b -. 【详解】观察数轴可得，1a >-，2b >，故10a +>，20b ->，∴()12a b =+-- 12a b =+-+3a b =-+故选：A. 【点睛】.3．C解析：C 【解析】【分析】先根据直角三角形的性质求出AC 的长，再根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：∵ABC V 中，CD AB ⊥于D ， ∴∠ADC =90°，则ADC V 为直角三角形， ∵E 是AC 的中点，DE =5， ∴AC =2DE =10，在Rt ADC V 中，AD =6，AC =10，∴8CD =，故选：C ．【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．4．C解析：C 【解析】解：A ．小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；B ．公园离小丽家的距离为2000米，正确；C ．小丽在便利店时间为15﹣10=5分钟，错误；D ．便利店离小丽家的距离为1000米，正确．故选C ．5．D解析：D 【解析】分析：直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．详解：A 、a 2与a 3不是同类项，无法计算，故此选项错误； B 、32-2=22，故此选项错误； C 、（x 2）3=x 6，故此选项错误； D 、m 5÷m 3=m 2，正确．故选：D ．点睛：此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．6．D解析：D 【解析】【分析】【详解】解：因为()()222550.50.50.5-=-==，，所以A ，B ，C 选项均错，故选D7．C解析：C 【解析】【分析】连接BD ，根据菱形的性质可得AC ⊥BD ，AO=12AC ，然后根据勾股定理计算出BO 长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AE=12AC•BD 可得答案．【详解】连接BD ，交AC 于O 点，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC =CD =AD =5， ∴1,22AC BD AO AC BD BO ⊥==，，∴90AOB ∠=o ， ∵AC =6， ∴AO =3，∴4BO ==，∴DB =8，∴菱形ABCD 的面积是11682422AC DB ⨯⋅=⨯⨯=，∴BC ⋅AE =24，245AE =，故选C.8．C解析：C 【解析】【分析】根据矩形的判定定理逐项排除即可解答．【详解】解：由对角线相等的平行四边形是矩形，可得当AC=BD 时，能判定口ABCD 是矩形；由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当AB ⊥BC 时，能判定口ABCD 是矩形；由平行四边形四边形对边平行，可得AD//BC ，即可得∠1=∠2，所以当∠1=∠2时，不能判定口ABCD 是矩形；由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当∠ABC=∠BCD 时，能判定口ABCD 是矩形．故选答案为C ．【点睛】本题考查了平行四边形是矩形的判定方法，其方法有①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形．9．C解析：C 【解析】【分析】把A （﹣4，0）分别代入一次函数y =﹣x +m 和y =2x +n 中，求得m 和n 的值，根据所得的两个解析式，求得点B 和点C 的坐标，以BC 为底，点A 到BC 的垂线段为高，求出△ABC 的面积即可．【详解】把点A（﹣4，0）代入一次函数y=﹣x+m得：4+m=0，解得：m=﹣4，即该函数的解析式为：y=﹣x﹣4，把点A（﹣4，0）代入一次函数y=2x+n得：﹣8+n=0，解得：n=8，即该函数的解析式为：y=2x+8，把x=0代入y=﹣x﹣4得：y=0﹣4=﹣4，即B（0，﹣4），把x=0代入y=2x+8得：y=0+8=8，即C（0，8），则边BC的长为8﹣（﹣4）=12，点A到BC的垂线段的长为4，S△ABC11242=⨯⨯=24．故选C．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法求一次函数的解析式是解题的关键．10．D解析：D【解析】【分析】根据平行四边形性质可得OE是三角形ABD的中位线，可进一步求解.【详解】因为▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE EB=，所以OE是三角形ABD的中位线，所以AD=2OE=6所以▱ABCD的周长=2（AB+AD）=22故选D【点睛】本题考查了平行四边形性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.11．C解析：C【解析】【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．【详解】==A选项成立，不符合题意；==B选项成立，不符合题意；222==，C 选项不成立，符合题意；==D 选项成立，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．12．B解析：B 【解析】二次根式要求被开方数为非负数，易得B 为二次根式. 故选B.二、填空题13．10【解析】【分析】分别令x=0y=0可得AB 坐标即可求出OAOB 的长利用三角形面积公式即可得答案【详解】∵直线交x 轴于点A 交y 轴于点B ∴令则；令则；∴∴∴的面积故答案为10【点睛】本题考查一次函数解析：10 【解析】【分析】分别令x=0，y=0，可得A 、B 坐标，即可求出OA 、OB 的长，利用三角形面积公式即可得答案．【详解】∵直线510y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ， ∴令0y =，则2x =-；令0x =，则10y =； ∴()2,0A -，()0,10B ， ∴2OA =，10OB =， ∴AOB V 的面积1210102=⨯⨯=．故答案为10 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，分别令x=0，y=0即可求出一次函数与坐标轴的交点坐标；也考查了三角形的面积．14．（答案不唯一满足均可）【解析】【分析】一次函数的图象经过第一二四象限列出不等式组求解即可【详解】解：一次函数的图象经过第一二四象限解得：m 的值可以是1故答案为：1（答案不唯一满足均可）【点睛】此题主解析：（答案不唯一，满足02m <<均可）【解析】【分析】一次函数()2y m x m =-+的图象经过第一、二、四象限，列出不等式组200,m m -<⎧⎨>⎩求解即可．【详解】解：一次函数()2y m x m =-+的图象经过第一、二、四象限，200m m -<⎧⎨>⎩ 解得：02m <<m 的值可以是1．故答案为：1（答案不唯一，满足02m <<均可）．【点睛】此题主要考查了一次函数图象，一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当0,0k b >>时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限；②当0,0k b ><时，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限；③当0,0k b <>时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限；④当0,0k b <<时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限．15．40【解析】【分析】作出辅助线因为△ADF 与△DEF 同底等高所以面积相等所以阴影图形的面积可解【详解】如图连接EF ∵△ADF 与△DEF 同底等高∴S=S 即S−S=S−S 即S=S=15cm 同理可得S=S解析：40【解析】【分析】作出辅助线，因为△ADF 与△DEF 同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解．【详解】如图，连接EF∵△ADF 与△DEF 同底等高，∴S ADF V =S DEF V即S ADF V −S DPF V =S DEF V −S DPF V ，即S APD V =S EPF V =15cm 2，同理可得S BQC V =S EFQ V =25cm 2，∴阴影部分的面积为S EPF V +S EFQ V =15+25=40cm 2.故答案为40.【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于进行等量代换.16．【解析】【分析】连接FC 根据三角形中位线定理可得FC=2MN 继而根据四边形ABCD 四边形EFGB 是正方形推导得出GBC 三点共线然后再根据勾股定理可求得F C 的长继而可求得答案【详解】连接FC ∵MN 分别解析：132 【解析】【分析】连接FC ，根据三角形中位线定理可得FC=2MN ，继而根据四边形ABCD ，四边形EFGB 是正方形，推导得出G 、B 、C 三点共线，然后再根据勾股定理可求得FC 的长，继而可求得答案.【详解】连接FC ，∵M 、N 分别是DC 、DF 的中点，∴FC=2MN ，∵四边形ABCD ，四边形EFGB 是正方形，∴∠FGB=90°，∠ABG=∠ABC=90°，FG=BE=5，BC=AB=7，∴∠GBC=∠ABG+∠ABC=180°，即G 、B 、C 三点共线，∴GC=GB+BC=5+7=12，∴FC=22FG GC =13，∴MN=132，故答案为：132.【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.17．4【解析】【分析】首先根据其平均数为5求得a的值然后再根据方差的计算方法计算即可【详解】解：根据题意得（4+5+a+6+8）=5×5解得a=2则这组数据为45268的平均数为5所以这组数据的方差为s解析：4【解析】【分析】首先根据其平均数为5求得a的值，然后再根据方差的计算方法计算即可．【详解】解：根据题意得（4+5+a+6+8）=5×5，解得a=2，则这组数据为4，5，2，6，8的平均数为5，所以这组数据的方差为s2= 15[（4-5）2+（5-5）2+（2-5）2+（6-5）2+（8-5）2]=4．故答案为：4【点睛】本题考查方差的定义、意义、计算公式，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．18．【解析】【分析】根据矩形的性质可得∠ABC的度数OA与OB的关系根据等边三角形的判定和性质可得答案【详解】∵ABCD是矩形∴∠ABC=90°∵∠ACB=30°∴∠BAO=90°﹣∠ACB=60°∵O解析：60o【解析】【分析】根据矩形的性质，可得∠ABC的度数，OA与OB的关系，根据等边三角形的判定和性质，可得答案．【详解】∵ABCD是矩形，∴∠ABC=90°．∵∠ACB=30°，∴∠BAO=90°﹣∠ACB=60°．∵OA=OB，∴△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出∠ABC的度数是解答本题的关键．19．12米【解析】【分析】【详解】解：如图所示AC=6米BC=45米由勾股定理得AB==75（米）故旗杆折断前高为：45+75=12（米）故答案为：12米解析：12米【解析】【分析】解：如图所示，AC=6米，BC=4.5米，由勾股定理得，AB= 224.56+ =7.5（米）．故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12（米）．故答案为：12米．20．【解析】【分析】将化简后代入ab 即可【详解】解：∵∴故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的乘除法法则的应用解题的关键是将化简变形本题属于中等题型解析：310ab 【解析】【分析】 0.54化简后，代入a ，b 即可．【详解】 545469363230.54100⨯⨯==== 2a =3b =，30540.1=ab 故答案为：310ab ．【点睛】 0.54化简变形，本题属于中等题型．三、解答题21．（1）72.5；（2）甲，理由见解析；（3）320名.【解析】【分析】（1）根据中位数的定义求解可得；（2）根据甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．(1)这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，所以中位数727372.52n +==； (2)甲；这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分，所以该学生在甲校排在前20名，在乙校排在后20名，而这名学生在所属学校排在前20名，说明这名学生是甲校的学生．(3)在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为14216+=．假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为1680032040⨯= ．【点睛】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用是解题关键． 22．1【解析】【分析】先利用平方差公式计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【详解】解：原式=43--=1【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．23．（1）①kx +b =0，②11y kx b y k x b =+⎧⎨=+⎩，③kx +b ＞0，④kx +b ＜0；（2）x ≥1．【解析】【分析】（1）①由于点B 是函数y=kx+b 与x 轴的交点，因此B 点的横坐标即为方程kx+b=0的解；②因为C 点是两个函数图象的交点，因此C 点坐标必为两函数解析式联立所得方程组的解；③函数y=kx+b 中，当y ＞0时，kx+b ＞0，因此x 的取值范围是不等式kx+b ＞0的解集；同理可求得④的结论．（2）由图可知：在C 点右侧时，直线y=kx+b 的函数值要小于直线y=k 1x+b 1的函数值．【详解】解：（1）根据观察得：①kx +b =0，②11y kx b y k x b =+⎧⎨=+⎩，③kx +b ＞0，④kx +b ＜0．故答案为：kx +b =0，11y kx b y k x b =+⎧⎨=+⎩，kx +b ＞0，kx +b ＜0；（2）∵点C 的坐标为(1，3)，∴不等式kx +b ≤k 1x +b 1的解集为x ≥1．故答案为：x ≥1．【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程及一元一次不等式，二元一次方程组之间的内在联系．24．（1）x ＞﹣2；（2）①（1，6）；②10．【解析】【分析】（1）求不等式kx +b ＞0的解集，找到x 轴上方的范围就可以了，比C 点横坐标大就行了（2）①我们可以先根据B ，C 两点求出k 值，因为不等式kx +b ＞﹣4x +a 的解集是x ＞1 所以B 点横坐标为1，利用x=1代入y 1＝kx +b ，即求出B 点的坐标;②将B 点代入y 2＝﹣4x +a 中即可求出a 值.【详解】解：（1）∵A （0，4），C （﹣2，0）在一次函数y 1＝kx +b 上，∴不等式kx +b ＞0的解集是x ＞﹣2，故答案为：x ＞﹣2；（2）①∵A （0，4），C （﹣2，0）在一次函数y1＝kx+b 上，∴b=4-2k+b=0⎧⎨⎩ ，得b=4k=2⎧⎨⎩， ∴一次函数y 1＝2x +4，∵不等式kx +b ＞﹣4x +a 的解集是x ＞1，∴点B 的横坐标是x ＝1，当x ＝1时，y 1＝2×1+4＝6， ∴点B 的坐标为（1，6）；②∵点B （1，6），∴6＝﹣4×1+a ，得a ＝10，即a 的值是10．【点睛】本题主要考查学生对于一次函数图像性质的掌握程度25．（1）一次函数；（2）y ＝2x ﹣10；（3）应该买42码的鞋．【解析】【分析】（1）由表格可知，给出了四对对应值，鞋长每增加3cm ，鞋码增加6，即鞋码与鞋长之间的关系是一次函数关系；（2）设y kx b =+，把表中任意两对值代入即可求出y 与x 的关系；（3）当26x cm =时，代入函数关系式即可计算出鞋码的值．【详解】解：（1）根据表中信息得“鞋码”与鞋长之间的关系是一次函数；（2）设y kx b =+则由题意得22162819k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：210k b =⎧⎨=-⎩∴210y x =-；（3）当26x cm =时，2261042y =⨯==答：应该买42码的鞋．【点睛】本题考查了识表能力、利用待定系数法求一次函数解析式、利用函数解决实际问题的能力，难度不大属于简单题型．。

2020-2021学年广东省佛山市禅城区华英学校八年级(下)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年广东省佛山市禅城区华英学校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.(2020·江苏省无锡市·历年真题)下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.(2018·江苏省·模拟题)若a<b，则下列式子中一定成立的是()A. a−3<b−3B. a3>b3C. 3a>2bD. 3+a>3+b3.(2021·广东省佛山市·期中考试)下列变形属于因式分解的是()A. (x+2)(x−2)=x2−4B. x2−9=(x+3)(x−3)C. x2+2x2+1=x2(x+2)+1D. x−1=x(1−1x)(x≠0)4.(2021·广东省佛山市·期中考试)下列命题的逆命题是正确的是()A. 若a=b，则a2=b2B. 若a>0，b>0，则ab>0C. 等边三角形是锐角三角形D. 同位角相等，两直线平行5.(2021·广东省广州市·模拟题)下列分式中，最简分式是()A. 1510x B. 4ab3a2C. x−13x−3D. x+12x+16.(2020·辽宁省大连市·期中考试)三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是()A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 三边垂直平分线的交点7.(2021·辽宁省沈阳市·月考试卷)如图，直线y1=x+b与y2=kx−1相交于点P，若点P的横坐标为−1，则关于x的不等式x+b>kx−1的解集是()A. x≥−1B. x>−1C. x≤−1D. x<−18.(2021·广东省佛山市·期中考试)已知ab =23，则代数式a2−2ab+b2a2−ab的值为()A. 1B. 12C. −12D. −19.(2020·湖南省长沙市·期中考试)若关于x的不等式组{x−m≥1−2−5x>3的解集中只有3个整数解，则m的取值范围为()A. m<−6B. −6≤m≤−5C. m≥−5D. −6<m≤−510.(2021·广东省佛山市·期中考试)如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G.下列结论：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是等腰三角形；④FGAG =12，其中正确的结论是()A. ①②B. ①③C. ①④D. ③④二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.(2014·江苏省无锡市·模拟题)分解因式：4ax2−a=______ ．12.(2018·广东省江门市·期末考试)若分式x2−25x−5的值为0，则x的值为______．13.(2021·广东省佛山市·期中考试)已知点P(2a+6,4+a)在第二象限，则a的取值范围是______ ．14.(2021·广东省佛山市·期中考试)4x2−(k−1)x+1能用完全平方公式因式分解，则k的值为______ ．15.(2021·广东省佛山市·期中考试)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D.若AC=9，则AE的值是______ ．16. (2021·广东省佛山市·期中考试)如图，已知一块∠ABO =30°的直角三角板的直角顶点与原点O 重合，顶点A 的坐标为(−1,0)，现将该三角板向右平移使点A 与点O 重合，得到△OCB′，则点B 的对应点B′的坐标为______ ．17. (2021·广东省佛山市·期中考试)如图，已知∠AOB =a ，在射线OA 、OB 上分别取点OA =OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B =B 1A 2，连接A 2B 2，…，按此规律，记∠A 2B 1B 2=θ1，∠A 3B 2B 3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn ，则θ2021−θ2020的值为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）18. (2021·广东省佛山市·期中考试)请借助数轴解不等式组{x−42+3≥x 1−3(x −1)<6−x．19. (2021·广东省佛山市·期中考试)已知，△ABC 在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(−3,2)、B(0,2)、C(−1,0)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．(1)请画出△ABC 向右平移5个单位后的图形△A 1B 1C 1； (2)请画出△ABC 关于原点对称的图形△A 2B 2C 2；(3)请画出△ABC 以点O 为旋转中心，逆时针旋转90°所得的图形△A 3B 3C 3．20. (2021·广东省佛山市·期中考试)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，且BE =CF.求证：AB =AC ．21. (2021·广东省佛山市·期中考试)先化简(1+1a+1)÷a 2+4a+4a 2−1，再从−2，−1，0，1中选择一个合适的数代入求值．22.(2020·山西省·期末考试)如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=40°．(1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．23.(2021·广东省佛山市·期中考试)某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式(x2−4x+2)(x2−4x+6)+4进行因式分解，有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖：解：设x2−4x=y.原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)=y2+8y+16(第二步) =(y+4)2(第三步)=(x2−4x+4)2(第四步)根据以上解答过程回答以下问题：(1)该同学第二步到第三步的变形运用了______ (填选项)；A.提取公因式法B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)第四步的结果继续因式分解得到结果为______ ；(3)请你模仿以上方法对多项式(x2+6x)(x2+6x+10)+25进行因式分解．24.(2020·四川省·单元测试)在“老年节”前夕，某旅行社组织了一个“夕阳红”旅行团，共有253名老人报名参加．旅行前，旅行社承诺每车保证有一名随团医生，并为此次旅行请了7名医生，现打算选租甲、乙两种客车，甲种客车载客量为40人/辆，乙种客车载客量为30人/辆．(1)请帮助旅行社设计租车方案；(2)若甲种客车租金为350元/辆，乙种客车租金为280元/辆，旅行社按哪种方案租车最省钱？此时租金是多少？(3)旅行社在充分考虑团内老人的年龄结构特点后，为更好的照顾游客，决定同时租45座和30座的大小两种客车．大客车上至少配两名随团医生，小客车上至少配一名随团医生，为此旅行社又请了4名医生．出发时，旅行社先安排游客坐满大客车，再依次坐满小客车，最后一辆小客车即使坐不满也至少要有20座上座率，请直接写出旅行社的租车方案？25.(2021·广东省佛山市·期中考试)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(a,0)，B(b,0)，且a，b满足|a+b−2|+√2a−b+5=0，现同时将点A，B分别向右平移1个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点为C，D．(1)请直接在坐标系中画出点A、B、C、D.并连接AC、BD、CD．(2)若点E在y轴上，且S△BCE=S四边形ABDC′，求满足条件的点E的坐标．(3)延长DB，交y轴于点F，在线段BF上有一个动点P，在x轴上有一个动点Q，请分析，是否存在△CPQ，使△CPQ成为一个等腰直角三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【知识点】中心对称图形、轴对称图形【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】A【知识点】不等式的基本性质【解析】解：A、由不等式的基本性质可知A选项正确，符合题意；B、由不等式的基本性质可知B选项错误，不合题意；C、不符合不等式的基本性质，故C选项错误，不合题意；D、由不等式的基本性质可知D选项错误，不合题意．故选A．依据不等式的基本性质解答即可．本题主要考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键．3.【答案】B【知识点】因式分解的概念【解析】解：A.从等式左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B.从等式左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；C.从等式左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；D.从等式左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：B．根据因式分解的定义逐个判断即可．本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．4.【答案】D【知识点】证明与定理【解析】解：A、若a=b，则a2=b2，逆命题不成立，a，b可能互为相反数．B、若a>0，b>0，则ab>0，逆命题不成立，a，b可能是负数．C、等边三角形是锐角三角形，逆命题不成立，锐角三角形不一定是等边三角形．D、两直线平行，同位角相等，逆命题成立．故选：D．首先确定逆命题，再判断命题的真假．本题考查命题与定理，逆命题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.【答案】D【知识点】最简分式【解析】解：A、1510x =32x，所以A选项不符合；B、4ab3a2=4b3a，所以B选项不符合；C、x−13x−3=x−13(x−1)=13，所以C选项不符合；D、x+12x+1为最简分式，所以D选项符合．故选：D．根据最简分式的定义计算判断．本题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．6.【答案】C【知识点】角平分线的性质【解析】【分析】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．故选：C．7.【答案】B【知识点】一次函数与一元一次不等式的关系【解析】【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式.解一元一次不等式，观察函数图象得到当x>−1时，函数y=x+b的图象都在y=kx−1的图象上方，所以不等式x+b>kx−1的解集为x>−1．【解答】解：由图像可知，当x>−1时，x+b>kx−1，即不等式x+b>kx−1的解集为x>−1．故选B．8.【答案】C【知识点】分式的值【解析】解：a2−2ab+b2a2−ab=(a−b)2 a(a−b)=a−ba，=1−ba，∵ab =23，∴ba =32，∴原式=1−32=−12．故选：C．直接利用分式的性质化简，在把已知数据代入得出答案．此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．9.【答案】D【知识点】一元一次不等式组的整数解【解析】解：{x−m≥1①−2−5x>3②，解不等式①得：x≥m+1，解不等式②得：x<−1，∵不等式组有3个整数解，∴−5<m+1≤−4，即−6<m≤−5，故选：D．解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出−6<m≤−5可得．本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组是解题的关键．10.【答案】A【知识点】等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质【解析】解：在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠B=60°，在△ABE和△CAD中，{AB=AC∠BAC=∠B=60°AD=BE，∴△ABE≌△CAD(SAS)，∴AE=CD，故①正确；∵∠ACD=∠BAE，∴∠CAF+∠ACD=∠CAF+∠BCE=∠BAC=60°，在△ACF中，∠AFC=180°−(∠CAF+∠ACD)=180°−60°=120°，故②正确；∵∠FAD<∠BAC，∠BAC=∠B=60°，∴∠ADF>60°，∠FAD<60°，∠AFD=60°，∴△ADF不是等腰三角形，故③错误；∵∠AFG=180°−∠AFC=180°−120°=60°，AG⊥CD，∴∠FAG=90°−60°=30°，∴FG=12AF，∴FGAF =12，故④错误，综上所述，正确的有①②．故选：A ．根据等边三角形的性质可得AB =AC ，∠BAC =∠B =60°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△CAD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE =CD ，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ACD =∠BAE ，求出∠CAF +∠ACD =60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AFC =120°，判定②正确；求出∠ADF >60°，∠FAD <60°，∠AFD =60°，判定△ADF 不是等腰三角形；求出∠AFG =60°，再求出∠FAG =30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得FG =12AF ，然后判断④．本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键． 11.【答案】a(2x +1)(2x −1)【知识点】提公因式法与公式法的综合运用【解析】解：4ax 2−a =a(4x 2−1)=a(2x +1)(2x −1)．故答案为：a(2x +1)(2x −1)．先提取公因式a ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可求得答案．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．12.【答案】−5【知识点】分式的值为零的条件【解析】解：由题意可知：{x 2−25=0x −5≠0，解得：x =−5，故答案为：−5．根据分式的值为0的条件，即可求出答案．本题考查分式的值为0的条件，解题的关键是正确理解分式的值为0的条件，本题属于基础题型．13.【答案】−4<a <−3【知识点】平面直角坐标系中点的坐标、一元一次不等式组的解法【解析】解：∵点P(2a+6,4+a)在第二象限，∴{2a+6<04+a>0，解得−4<a<−3，故答案为−4<a<−3．先根据第二象限内点的坐标符号特点列出关于a的不等式组，再求解即可．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14.【答案】5或−3【知识点】因式分解-运用公式法【解析】解：∵4x2−(k−1)x+1是一个完全平方式，∴k−1=±4，解得：k=5或k=−3，故答案为：5或−3．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15.【答案】6【知识点】角平分线的性质、线段垂直平分线的概念及其性质、含30°角的直角三角形【解析】解：∵ED垂直平分AB于D，∴AE=BE，∴∠A=∠ABE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠A=∠ABE=∠CBE，∵∠C=90°，∴∠A+∠ABE+∠CBE=90°，即3∠A=90°，∴∠A=30°，∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∴AE=2DE，∵BE平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CE，∵AC=AE+CE=9，∴3DE=9，∴DE=3，∴AE=2DE=6，故答案为：6．根据线段垂直平分线性质求出BE=AE，求出∠A=∠ABE，根据角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，求出∠A=∠ABE=∠CBE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AE=2DE，根据角平分线的性质求出DE=CE，根据AC=9求出DE即可．本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线性质，含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．16.【答案】(1,√3)【知识点】平移中的坐标变化【解析】解：在Rt△AOB中，∵OA=1，∠ABO=30°，∴AB=2AO=2，∴BO=√AB2−AO2=√22−12=√3，由平移的性质知△AOB≌△OCB′，∴OC=AO=1，B′C=BO=√3，∴点B′的坐标为(1,√3)，故答案为：(1,√3).先根据Rt△AOB中，OA=1，∠ABO=30°知AB=2，BO=√3，由平移的性质知△AOB≌△OCB′，从而得OC=AO=1，B′C=BO=√3，据此可得答案．本题主要考查坐标与图形的变化—平移，解题的关键是掌握平移变换的性质及直角三角形的性质、勾股定理等．17.【答案】180°−α22021【知识点】图形规律问题【解析】解：∵OA1=OB1，∠AOB=α，(180°−α)．∴∠A1B1O=12∴12(180°−α)+θ1=180°．∴θ1=180°+α2．∵B1B2=B1A2，∠A2B1B2=θ1，∴∠A2B2B1=12(180°−θ1)．∴12(180°−θ1)+θ2=180°．整理得：θ2=180°+θ12=3×180°+α4∴θ2−θ1=3×180°+α4−180°+α2=180°−α22．同理可求：θ3=180°+θ22=7×180°+α8．∴θ3−θ2=7×180°+α8−4×180°+α4=180°−α23．⋅⋅⋅，以此类推，θ2021−θ2020=180°−α22021．故答案为：180°−α22021．根据等腰三角形的两个底角相等用α表示出∠A1B1O，再利用平角的定义列式用α表示出θ1，再用θ1表示θ2，并求出θ2−θ1.以此类推求出θ3−θ2，⋅⋅⋅，θ2021−θ2020，结论可得．本题主要考查了图形的变化的规律，准确找出图形的变化的规律是解题的关键．18.【答案】解：{x−42+3≥x①1−3(x−1)<6−x②，解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x>−1，在数轴上表示为：所以不等式组的解集为：−1<x≤2．【知识点】在数轴上表示不等式的解集、一元一次不等式组的解法【解析】分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出来，借助数轴确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】解：(1)如图，△A 1B 1C 1为所作；(2)如图，△A 2B 2C 2为所作；(3)如图，△A 3B 3C 3为所作．【知识点】作图-平移变换、作图-旋转变换【解析】(1)利用点平移的坐标变换规律写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可；(2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A 2、B 2、C 2的坐标，然后描点即可；(3)利用网格特点和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A 3、B 3、C 3即可．本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．20.【答案】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD =CD ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴△BED 和△CFD 都是直角三角形，在△BED 和△CFD 中，{BD =CD BE =CF， ∴△BED≌△CFD(HL)，∴∠B =∠C ，∴AB =AC(等角对等边)．【知识点】直角三角形全等的判定【解析】利用“HL ”证明△BED 和△CFD 全等，再根据全等三角形对应角相等可得∠B =∠C ，然后根据等角对等边即可得证．本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等角对等边的性质，证明得到∠B =∠C 是解题的关键．21.【答案】解：(1+1a+1)÷a 2+4a+4a 2−1 =a +1+1a +1⋅(a +1)(a −1)(a +2)2 =a +21⋅a −1(a +2)2=a−1a+2， ∵(a +1)(a −1)≠0，a +2≠0，∴a ≠1，−1，−2，∴a =0，当a =0时，原式=0−10+2=−12．【知识点】分式的化简求值【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从−2，−1，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 22.【答案】解：(1)如图，点D ，射线AE 即为所求．(2)∵DF 垂直平分线段AB ，∴DB =DA ，∴∠DAB =∠B =30°，∵∠C =40°，∴∠BAC =180°−30°−40°=110°，∴∠CAD =110°−30°=80°，∵AE 平分∠DAC ，∴∠DAE =12∠DAC =40°．【知识点】尺规作图与一般作图、线段垂直平分线的概念及其性质【解析】(1)利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD；作∠CAD的角平分线交BC于E，点D，射线AE即为所求．(2)首先证明DA=DB，推出∠DAB=∠B=30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题．本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】C(x−2)4【知识点】因式分解-提公因式法、因式分解-运用公式法、多项式乘多项式【解析】解：(1)该同学第二步到第三步的变形运用了完全平方公式，故选：C；(2)第四步的结果还能继续因式分解，直接写出结果(x−2)4；故答案为：(x−2)4；(3)设x2+6x=y，原式=y(y+10)+25=y2+10y+25=(y+5)2=(x2+6x+5)2．(1)利用完全平方公式判断即可；(2)检查第四步结果，利用完全平方公式分解即可；(3)仿照阅读材料中的方法将原式分解即可．此题考查了因式分解−运用公式法，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．24.【答案】解：(1)设租甲种客车x辆，则租乙种客车(7−x)辆，依题意，得40x+30(7−x)≥253+7，解得x≥5，又x≤7，即5≤x≤7，x=5，6，7，有三种租车方案：租甲种客车5辆，则租乙种客车2辆；租甲种客车6辆，则租乙种客车1辆；租甲种客车7辆，则租乙种客车0辆；(2)∵5×350+2×280=2310元，6×350+1×280=2380元，7×350=2450元，∴租甲种客车5辆；租乙种客车2辆，所需付费最少为2310元；(3)①大客车上正好配两名随团医生，小客车上正好配一名随团医生，设有a辆大车，(11−2a)辆小车．∵要求最后的车最少有20上座率，30−20=10，∴最后车的空位不超过10个，0≤45a+(11−2a)×30−(253+11)≤10，56≤15a≤66，∵大客车上至少配两名随团医生，小客车上至少配一名随团医生，∵a为整数，得a=4，那么11−2a=3；②若大客车上配两名随团医生，小客车上有若干辆配2名随团医生，有m辆大客车，n辆小客车．即2m+n<11，∵m、n是正整数，∴2m+n≤10，则0≤45m+30n−264≤10符合题意的有：m=2，n=6，租车方案为：租45座的客车4辆，30座的客车3辆或大租45座的2辆，租30座的6辆．【知识点】一元一次不等式的应用【解析】(1)设租甲种客车x 辆，则租乙种客车最多(7−x)辆，依题意关系式为：40x +30(7−x)≥253+7，(2)分别算出各个方案的租金，比较即可；(3)根据大客车上配两名随团医生，小客车上至少配一名随团医生，以及总人数和最后一辆小客车即使坐不满也至少要有20座上座率可以得出答案．本题主要考查一元一次不等式的应用，找到相应的关系式是解决问题的关键．注意第三问应根据医生数及总人数来求得整数解．25.【答案】解：(1)根据题意得：{a +b −2=02a −b +5=0，解得：{a =−1b =3， ∴A(−1,0)，B(3,0)，∵点A ，B 分别向右平移1个单位，再向上平移2个单位，分别得到对应点为C ，D ，∴C(0,2)，D(4,2)；如图1所示，ABDC 即为所画图形(2)设E(0,y)，则CE =|y −2|，∵AB =3−(−1)=3+1=4，∴S 四边形ABDC =4×2=8；∵S △BCE =S 四边形ABDC ， ∴12⋅CE ⋅OB =8，即12×|y −2|×3=8，解得：y =−103或y =223， ∴E(0,−103)或E(0,223)；(3)存在，分三种情况：①当∠PCQ =90°，CP =CQ 时，如图2，过点P 作PH ⊥y 轴于点H ，∵∠CHP =∠QOC =∠PCQ =90°，∴∠QCO +∠PCH =∠QCO +∠CQO =90°，∵CP =CQ ，∴△QCO≌△PCH(AAS)，∴PH =OC =2，OQ =CH ，设直线BD 的解析式为y =kx +b ，则{3k +b =04k +b =2，解得：{k =2b =−6， ∴y =2x −6，当x =2时，y =2×2−6=−2，∴P(2,−2)，∴OQ =CH =4，∴Q(−4,0)，②当∠CPQ =90°，PC =PQ 时，如图3，过点P 作PH ⊥y 轴于点H ，作PG ⊥x 轴于点G ，与①同理可证：△PQG≌△PCH(AAS)，∴PG =PH =2，GQ =CH =4，∴OQ =OG +GQ =2+4=6，∴Q(6,0)，③当∠PQC =90°，CQ =PQ 时，如图4，设Q(m,0)，P(t,2t −6)，作PH ⊥x 轴，∵点P 在线段BF 上，∴PH =6−2t ，∵∠CQO +∠PQH =∠CQO +∠OCQ =90°，∴∠OCQ =∠HQP ，∵∠COQ =∠QHP =90°，CQ =PQ ，∴△COQ≌△QHP(AAS)，∴QH =OC =2，PH =OQ ，∴{t −m =26−2t =−m 或{m −t =26−2t =m，解得：{t =4m =2或{t =43m =103，当t =4时，P(4,2)不在线段BF 上，不符合题意，舍去，当t =43时，P(43,−103)在线段BF 上，符合题意，此时Q(103,0)；综上所述，Q 的坐标为(−4,0)或(6,0)或(103,0)．【知识点】四边形综合【解析】(1)根据非负数的性质求出a、b的值得出点A、B的坐标，再由平移可得点C、D的坐标，即可知答案；(2)分点E在x轴和y轴上两种情况，设出坐标，根据S△BCE=S四边形ABDC列出方程求解可得；(3)分三种情况：①当∠PCQ=90°，CP=CQ时，②当∠CPQ=90°，PC=PQ时，③当∠PQC=90°，CQ=PQ时，分别讨论计算即可．本题主要考查非负数的性质、一元一次方程的应用、平行四边形的性质及平行线的判定与性质，根据非负数性质求得四点的坐标是解题的根本，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．。

2020-2021学年浙江金华婺城区婺州外国语学校九年级(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年浙江省金华市婺城区婺州外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）1.−2020的绝对值是( )A. −2020B. 2020C. −12020D. 120202.如图是由七个相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的主视图是( )A.B.C.D.3.下列计算正确的是( )A. a3+a2=a5B. a3⋅a2=a6C. (2a2)3=6a6D. a6÷(−a)2=a44.本学期，大兴区开展了“恰同学少年，品诗词美韵”中华传统诗词大赛活动．小江统计了班级30名同学四月份的诗词背诵数量，具体数据如表所示：诗词数量(首)4567891011人数34457511那么这30名同学四月份诗词背诵数量的众数和中位数分别是( )A. 11，7B. 7，5C. 8，8D. 8，75.如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则侧面积为( )A. 2πB. 3πC. 6πD. 8π6.若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x−2−1012y830−10则抛物线的顶点坐标是( )A. (−1,3)B. (0,0)C. (1,−1)D. (2,0)7. 抢凳子是小时候常玩的游戏．人围成圈，将凳子放在中间，主持人开始敲鼓，此时人围着凳子按同一方向转圈．当敲击声停止时，就要抢坐在凳子上．因为凳子数量少于玩游戏的总人数，未抢坐到凳子上的玩家淘汰下场．现在甲、乙、丙3位同学准备玩抢凳子的游戏，谁先抢坐到凳子上谁获胜．如图，三人已站定，主持人要在他们中间放一个凳子，为使游戏公平，凳子应放在图中三角形的( )A. 三条高的交点B. 重心C. 内心D. 外心8. 某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是( )A. 240x−20−120x=4 B. 240x+20−120x =4 C.120x−240x−20=4D.120x−240x+20=49. 如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接AM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE.若AF =1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是( )A. 2√1313 B.3√1313 C. 23 D. √131310. 如图，点G 是△ABC 的重心，下列结论：①DGGB =12；②AEEB =EDBC ；③△EDG ∽△CBG ；④S 四边形AEGDS △ABC=13.其中正确的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 分解因式：4−x 2=______. 12. 如图，在△ABC 中，DE//BC ，AE EC=12，AD =2，则BD 长为______.13. 四张扑克牌的牌面如图①，将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上如图②，随机同时抽取两张扑克牌，牌面数字是2和4的概率为______.14.如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为(−3,4)，⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是______.15.如图，直线y=12x+2与双曲线y=kx相交于点A(m,3)，与x轴交于点C.点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，则点P的坐标是______.16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，C，已知A(−1,0)，C(0,3)，则抛物线的表达式为______，如图，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M(m,0)是x轴上一动点，若∠MNC=90∘，则实数m的取值范围为______.17.计算：−12019+(13)−2+(3.14−π)0−4cos30∘.18.解方程：4xx2−4−2x−2=1.19.如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点(小正方形的顶点)上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．20.某校教职工为庆祝“建国70周年”开展学习强国知识竞赛，本次知识竞赛分为甲、乙、丙三组进行．下面两幅统计图反映了教师参加学习强国知识竞赛的报名情况，请你根据图中的信息回答下列问题：(1)该校教师报名参加本次学习强国知识竞赛的总人数为______人，并补全条形统计图；(2)该校教师报名参加丙组的人数所占圆心角度数是______；(3)根据实际情况，需从甲组抽调部分教师到丙组，使丙组人数是甲组人数的3倍，应从甲组抽调多少名教师到丙组？21.小张在甲楼A处向外看，由于受到前面乙楼的遮挡，最近只能看到地面D处，俯角为α.小颖在甲楼B处(B在A的正下方)向外看，最近能看到地面E处，俯角为β，地面上G，F，D，E 在同一直线上，已知乙楼高CF为10m，甲乙两楼相距FG为15m，俯角α=45∘，β=35∘.(1)求点A到地面的距离AG；(2)求A，B之间的距离．(结果精确到0.1m)(sin35∘≈0.57,cos35∘≈0.82,tan35∘≈0.70)22.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作CE⊥AC交AD的延长线于点E，F为CE的中点，连结DB，DF.(1)求∠CDE的度数．(2)求证：DF是⊙O的切线．(3)若tan∠ABD=3时，求AC的值．DE23.【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A(2,0).动点B在⊙O上，连结AB，作等边△ABC(A,B,C为顺时针顺序)，求OC的最大值【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB 为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE.(1)请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；(2)线段OC的最大值为______.【灵活运用】(3)如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90∘，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【迁移拓展】(4)如图③，BC=4√2，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．24.如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(2,0)、C(0,−4)，直线l：y=−12x−4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+85x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F.(1)试求该抛物线表达式；(2)如图1，若点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；(3)如图2，过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC.①求证：△ACD是直角三角形；②试问是否存在这样的点P，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据绝对值的概念可知：|−2020|=2020，故选：B.根据绝对值的定义直接进行计算．本题考查了绝对值．解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.2.【答案】B【解析】解：从正面看易得左边第一列有2个正方形，中间第二列最有1个正方形，最右边一列有2个正方形在右上角处．故选：B.找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3.【答案】D【解析】解：A.a3+a2，无法合并，故此选项不合题意；B.a3⋅a2=a5，故此选项不合题意；C.(2a2)3=8a6，故此选项不合题意；D.a6÷(−a)2=a4，故此选项符合题意．故选：D.直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简，进而判断得出答案．此题主要考查了合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查中位数和众数的概念．掌握在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数是解题的关键．根据众数和中位数的定义解答可得．【解答】解：这组数据中8出现的次数最多，则其众数为8；30个数据的中位数为第15、16个数据的平均数，则其中位数为7+72=7，故选：D.5.【答案】B【解析】解：圆锥的侧面积=12×2π×1×3=3π，故选：B.根据扇形面积公式计算，得到答案．本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，利用条件求得二次函数的解析式是解题的关键.由表中所给数据，可求得二次函数解析式，则可求得其顶点坐标.【解答】解：∵当x=0或x=2时，y=0，当x=1时，y=−1，∴{c=04a+2b+c=0a+b+c=−1，解得{a=1b=−2c=0，∴二次函数解析式为y=x2−2x=(x−1)2−1，∴抛物线的顶点坐标为(1,−1).故选C.7.【答案】D【解析】解：为了游戏公平，凳子的位置到三角形的三个顶点的距离相等，∴凳子放在三角形的外心处，故选：D.利用三角形的外心的性质解决问题即可．本题考查三角形的内心，重心，外心，游戏的公平性等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】D【解析】解：设他上月买了x本笔记本，则这次买了(x+20)本，根据题意得：120x −240x+20=4.故选：D.由设第一次买了x本资料，则设第二次买了(x+20)本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠4元，即可得到方程．此题考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴BA=AD，∠BAD=90∘，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB=90∘，∠DEA=90∘，∵∠ABF+∠BAF=90∘，∠EAD+∠BAF=90∘，∴∠ABF=∠EAD，在△ABF和△DEA中{∠BFA=∠DEA,∠ABF=EAD, AB=DA,∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴BF=AE；设AE=x，则BF=x，DE=AF=1，∵四边形ABED的面积为6，∴12⋅x⋅x+12⋅x⋅1=6，解得x1=3，x2=−4(舍去)，∴EF=x−1=2，在Rt△BEF中，BE=√22+32=√13，∴sin∠EBF=BFBE=3√13=3√1313.故选：B.首先证明△ABF≌△DAE得到BF=AE；设AE=x，则BF=x，DE=AF=1，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到12⋅x⋅x+12⋅x⋅1=6，解方程求出x得到AE=BF=3，则EF=x−1=2，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用余弦的定义求解．本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．10.【答案】C【解析】解：∵点G是△ABC的重心，∴D是AC的中点，E是AB的中点，∵DE//BC，DE=12BC，∴△AED∽△ABC，∴AEAB =EDBC，故②错误；∵DE//BC，∴∠DEG=∠BCG，∠EDG=∠CBG，∴△EDG∽△CBG，∴DGGB =DEBC=12，故①③正确；∵点G是△ABC的重心，∴DG：BD=1：3，∵AD=DC，∴S△ABD=12S△ABC，∵S△ADES△ABC =(EDBC)2=14，∴S△BDE=14S△ABC，∴S△DEG=13S△BDE=112S△ABC，∴S四边形AEGD =S△AED+S△DGE=14S△ABC+112S△ABC=13S△ABC，∴S四边形AEGDS△ABC=13，故④正确；故正确的有①③④，故选：C.根据重心的定义得出D是AC的中点，E是AB的中点，DG：BD=1：3，进而得出ED//BC，得出△AED∽△ABC，△EDG∽△CBG，根据相似三角形的性质得出DGGB =DEBC=12，AEAB=EDBC，S ADES△ABC=(ED BC )2=14，进而根据S△DEG=13S△BDE=112S△ABC，即可求得S四边形AEGD=S△AED+S△DGE=1 4S△ABC+112S△ABC=13S△ABC，即可求得S四边形AEGDS△ABC=13，即可得出答案．本题综合考查了三角形中位线的性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，解答时，需要学生具有综合运用知识的能力．11.【答案】(2−x)(2+x)【解析】解：4−x2=(2−x)(2+x)，故答案为：(2−x)(2+x).直接利用平方差公式进行分解即可．此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b).12.【答案】4【解析】解：∵在△ABC中，DE//BC，AEEC =12，AD=2，∴AEEC =ADBD，即2BD =12，解得：BD=4，故答案为：4结合平行线分线段成比例定理以及比例的基本性质解答即可．此题主要考查平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．同时考查了比例的性质．13.【答案】16【解析】解：根据题意画树状图如下：共有12种等情况数，其中抽取两张扑克牌，牌面数字是2和4的有2种，则牌面数字是2和4的概率为212=16；故答案为：16.画树状图展示所有12种等可能的结果数，再出抽到两张牌的牌面数字之和是奇数的结果数，然后根据概率公式计算概率此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】2√3【解析】解：如图，连接AB，AP.根据切线的性质定理，得AB ⊥PB.要使PB 最小，只需AP 最小，则根据垂线段最短，则AP ⊥x 轴于P ，此时P 点的坐标是(−3,0)，AP =4，在Rt △ABP 中，AP =4，AB =2，∴PB =√AP 2−AB 2=2√3.则PB 最小值是2√3.故答案为：2√3.此题根据切线的性质以及勾股定理，根据垂线段最短的性质进行分析，把要求PB 的最小值转化为求AP 的最小值，进而可以解决问题．本题考查了切线的性质和坐标与图形的性质．此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．15.【答案】(−2,0)或(−6,0)【解析】解：当y =0时，即12x +2=0，解得x =−4，∴直线y =12x +2与x 轴的交点C(−4,0)，设点P(x,0)，∵△ACP 的面积为3，∴12×|x +4|×3=3，解得x =−2或x =−6，∴点P 的坐标为(−2,0)或(−6,0)，故答案为：(−2,0)或(−6,0).根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点C 的坐标，再根据三角形的面积公式列方程可求出点P 的坐标．本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式是解决问题的关键．16.【答案】y =−x 2+2x +3−54≤m ≤5【解析】解：由题意得：{−1−b +c =0c =3，解得：{b =2c =3， ∴抛物线解析式为y =−x 2+2x +3；∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴E(1,4)，设N(1,n)，则0<n ≤4，∵∠MNC =90∘，∴CM 2=CN 2+MN 2，∴32+m 2=12+(3−n)2+(m −1)2+n 2整理得，m =n 2−3n +1，即m =(n −32)2−54， ∵0<n ≤4，当n =32时，m 最小值=−54，n =4时，m =5，综上，m 的取值范围为：−54≤m ≤5. 故答案为：y =−x 2+2x +3，−54≤m ≤5.由y =−x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，A(−1,0)，C(0,3)，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；利用勾股定理得出关系式m =(n −32)2−54，然后根据n 的取值可得答案．此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用．17.【答案】解：−12019+(13)−2+(3.14−π)0−4cos30∘=−1+9+1−4×√32 =−1+9+1−2√3=9−2√3.【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．18.【答案】解：去分母得：4x −2(x +2)=x 2−4，整理得：x 2−2x =0，即x(x −2)=0，所以x =0或x −2=0，解得：x =0或x =2，检验：把x =2代入得：(x +2)(x −2)=0，把x =0代入得：(x +2)(x −2)≠0，∴x =2是增根，分式方程的解为x =0.【解析】方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19.【答案】解：符合条件的图形如图所示．【解析】首先根据题意可知所作的三角形面积为6，则该三角形底与高的乘积为12，据此作图．对于后两个图，结合平行四边形的面积公式可得底与高的乘积为6，结合题干中A点的位置要求进行作图．本题考查作图-应用与设计，关键是灵活运用三角形的面积、平行四边形的面积与性质解决问题．20.【答案】(1)50；(2)180∘；(3)设应从甲组抽调x名教师到丙组，由题意得，25+x=3(15−x)，解得，x=5.答：应从甲组抽调5名教师到丙组，丙组人数是甲组人数的3倍．【解析】解：(1)由条形图可知，甲组有15人，由扇形图可知，甲组人数所占的百分比为30%，∴该校教师报名参加本次学习强国知识竞赛的总人数为：15÷30%=50(人)，则乙组人数为：50×20%=10(人)，补全条形统计图如图所示：故答案为：50；(2)参加丙组的人数所占圆心角度数为：360∘×(1−20%−30%)=180∘，故答案为：180∘；(3)见答案.【分析】(1)根据条形统计图得到甲组有15人，根据扇形图得到甲组人数所占的百分比为30%，计算求出总人数，求出乙组人数，补全条形统计图；(2)根据丙组人数所占的百分比，求出丙组的人数所占圆心角度数；(3)根据题意列出一元一次方程，解方程得到答案．本题考查的是条形统计图、扇形统计图、一元一次方程的应用，读懂条形图和扇形图、掌握解一元一次方程应用题的一般步骤是解题的关键．21.【答案】解：(1)∵由已知得：∠AGD=∠BGE=∠CFD=90∘，∠CDF=α=45∘，∴DF=CF=10，DG=FG+FD=15+10=25，∴AG=GD=25，答：位置A离地面的垂直距离为25米；(2)∵∠CEF=β=35∘，∴CFEF=tan∠CEF=tan35∘≈0.70，∴EF=CF0.70=100.70≈14.29，∴EG=GF+EF=15+14.29=29.29，又∵BGEG=tan∠CEF=tan35∘≈0.70，∴BG=0.70EG=0.70×29.29≈20.50，∴AB≈25−20.50≈4.5.答：A，B相差4.5米．【解析】(1)先由等腰直角三角形的性质得出DF=CF，DG=FG+FD，进而可得出结论；(2)根据锐角三角函数的定义得出EF与BG的长，进而可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．22.【答案】解：(1)∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90∘，∴∠CDE=180∘−90∘=90∘；(2)如图，连接OD，∵∠CDE=90∘，F为CE的中点，∴DF=CF，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠FDC+∠ODC=∠FCD+∠OCD，即∠ODF=∠OCF，∵CE⊥AC，∴∠ODF=∠OCF=90∘，即OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．(3)∵∠E=90∘−∠ECD=∠DCA=∠ABD，∴tan∠E=tan∠DCA=tan∠ABD=3，设DE=x，则CD=3x，AD=9x，∴AC=√(3x)2+(9x)2=3√10x，∴ACDE =3√10xx=3√10.【解析】(1)因为对角线AC为⊙O的直径，可得∠ADC=90∘，即∠CDE=90∘；(2)连接OD，证明DF=CF，可得∠FDC=∠FCD，因为OD=OC，可得∠ODC=∠OCD，即∠ODF=∠OCF=90∘，可得DF是⊙O的切线；(3)证明∠E=∠DCA=∠ABD，可得tan∠E=tan∠DCA=tan∠ABD=3，设DE=x，则CD=3x，AD=9x，在Rt△ADC中，求得AC的长，即可得出ACDE的值．本题考查圆的切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数的定义．解题的关键是掌握圆的切线的判定方法．23.【答案】(1)如图①中，结论：OC=AE，理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，∴BC=BA，BO=BE，∠CBA=∠OBE=60∘，∴∠CBO=∠ABE，∴△CBO≌△ABE，∴OC=AE.(2)3；(3)如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90∘得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值(如图2中)最大值=AB+AN，∵AN=√2AP=2√2，∴最大值为2√2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE=AE=√2，∴OE=BO−AB−AE=5−3−√2=2−√2，∴P(2−√2,√2).(4)AC的最大值为2√2+2√6.AC的最小值为2√6−2√2.【解析】解：(1)见答案．(2)在△AOE中，AE≤OE+OA，∴当E、O、A共线，∴AE的最大值为3，∴OC的最大值为3.故答案为3.(3)见答案．(4)如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，∵∠ABD=∠CBM=60∘，∴∠ABC=∠DBM，∵AB=DB，BC=BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC=MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC=4√2=定值，∠BDC=90∘，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值=2√2+2√2，∴AC的最大值为2√2+2√6.当点A在线段BD的右侧时，同法可得AC的最小值为2√6−2√2，故答案为：AC的最大值为2√2+2√6，AC的最小值为2√6−2√2.【分析】(1)结论：OC=AE.只要证明△CBO≌△ABE即可；(2)利用三角形的三边关系即可解决问题；(3)连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90∘得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2√2+3；过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论；(4)如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC=MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC=4√2=定值，∠BDC=90∘，推出点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大；本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)把A(2,0)、C(0,−4)代入y=ax2+85x+c中得：{4a+165+c=0c=−4，解得：{a=15c=−4，∴该抛物线表达式为：y=15x2+85x−4；(2)如图1，设点P的坐标为(x,15x2+85x−4)，则F(x,−12x−4)，∵点P在第三象限，∴PF=(−12x−4)−(15x2+85x−4)=−15x2−2110x，∵C(0,−4)，∴OC=4，∵四边形PCOF是平行四边形，且PF//OC，∴PF=OC=4，即−15x2−2110x=4，2x2+21x+40=0，(x+8)(2x+5)=0，x1=−8，x2=−2.5，当y=0时，15x2+85x−4=0，解得：x1=−10，x2=2，∴P的坐标为(−8,−4)或(−2.5,−274)；(3)①当y=0时，−12x−4=0，x=−8，∴D(−8,0)，由勾股定理得：DC2=82+42=80，AC2=22+42=20，AD2=102=100，∴AD2=AC2+DC2，∴∠ACD=90∘，∴△ACD是直角三角形；②设点P的坐标为(x,15x2+85x−4)，由①知：∠ACD=90∘，∠PHC=90∘，AC=√20=2√5，CD=√80=4√5，∴AC CD=12如图3，点P在第一象限，当△ACD∽△PHC时，则ACCD =PHCH=2√54√5=12，∴CH=2PH，∴15x2+85x−4−(−4)=2x，解得：x1=0(P与C重合，舍)，x2=2，∴此时点P的横坐标为2；如图4，点P在第一象限，当△ACD∽△CHP时，则ACCD =CHPH=12，∴PH=2CH，∴−x=2[−4−(15x2+85x−4)]，解得：x1=0(舍)，x2=−5.5，∴此时点P的横坐标为−5.5；如图5，点P在第二象限，当△ACD∽△CHP时，则ACCD =CHPH=12，∴PH=2CH，∴−x=2[(15x2+85x−4)−(−4)]，解得：x1=0(舍)，x2=−10.5，∴此时点P的横坐标为−10.5(P在直线l上)；如图6，点P在第二象限，当△ACD∽△PHC时，则ACCD =PHCH=12，∴CH=2PH，∴[(15x2+85x−4)−(−4)]=−2x，解得：x1=0(舍)，x2=−18，∴此时点P的横坐标为−18；综上所述，点P的横坐标为2或−5.5或−10.5或−18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD 相似．【解析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)先设点P的坐标为(x,15x2+85x−4)，根据PF//OC，可知点P的横坐标和点F的横坐标相等，则可得F(x,−12x−4)，根据点P在第三象限，表示PF的长，由四边形PCOF是平行四边形，则PF=OC=4，列方程可得结论；(3)①根据勾股定理计算△ACD三边的平方，并由勾股定理的逆定理可得：△ACD是直角三角形；②根据点P在各个象限上，利用△ACD两直角边的比为1：2，并利用相似比列方程可得结论，注意点P与A重合时也成立．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、相似三角形的性质，依据平行线的对边相等列出关于x 的方程是解答问题(2)的关键，利用相似三角形的性质列出关于x的方程是解答问题(3)的关键，并注意运用分类讨论的思想，不要丢解．。

2020-2021武汉实验外国语学校初中部初二数学下期末模拟试题(附答案)

2020-2021武汉实验外国语学校初中部初二数学下期末模拟试题(附答案)一、选择题1．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，点A 的坐标为(1，)，则点C 的坐标为( )A ．(－，1)B ．(－1，)C ．(，1)D ．(－，－1)2．要使函数y ＝(m ﹣2)x n ﹣1+n 是一次函数，应满足( )A ．m ≠2，n ≠2B ．m ＝2，n ＝2C ．m ≠2，n ＝2D ．m ＝2，n ＝03．下列有关一次函数y ＝﹣3x +2的说法中，错误的是（）A ．当x 值增大时，y 的值随着x 增大而减小B ．函数图象与y 轴的交点坐标为（0，2）C ．函数图象经过第一、二、四象限D ．图象经过点（1，5）4．若函数()0y kx k =≠的值随自变量的增大而增大，则函敷2y x k =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．如图，菱形中，分别是的中点，连接，则的周长为（）A ．B ．C ．D ． 6．在体育课上，甲，乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的（）A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．方差 7．如图，一次函数y ＝mx +n 与y ＝mnx （m ≠0，n ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．8．如图1，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B =90°，AC =AD ．动点P 从点B 出发沿折线B →A →D →C 方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP 的面积S 与运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，则AD 等于（）A ．10B ．89C ．8D ．419．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数是（）A ．-2B ．﹣1+2C ．﹣1-2D ．1-2 10．无论m 为任何实数，关于x 的一次函数y ＝x ＋2m 与y ＝－x ＋4的图象的交点一定不在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．将根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度hcm ，则h 的取值范围是( )A ．h 17cm ≤B ．h 8cm ≥C ．7cm h 16cm ≤≤D ．15cm h 16cm ≤≤12．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于点G ，下列结论：①15BAE DAF ∠=∠=o ；②AG=3GC ；③BE +DF =EF ；④2CEF ABE S S ∆∆=.其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④二、填空题13．如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1_____S 2；（填“＞”或“＜”或“＝”）14．将一次函数y=3x ﹣1的图象沿y 轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为__．15．如图所示，BE AC ⊥于点D ，且AB BC =，BD ED =，若54ABC ∠=o ，则E ∠=___o ．16．函数x ____．17．20n n 的最小值为___18．一个三角形的三边长分别为15cm 、20cm 、25cm ，则这个三角形最长边上的高是_____ cm ．19．如图，矩形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是-1，以A 点为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴于点E ，则这个点E 表示的实数是_______20．一组数据：1、2、5、3、3、4、2、4，它们的平均数为_______，中位数为_______，方差是_______．三、解答题21．某篮球队对队员进行定点投篮测试，每人每天投篮10次，现对甲、乙两名队员在五天中进球数（单位：个）进行统计，结果如下：甲1061068乙79789经过计算，甲进球的平均数为8，方差为3.2.（1）求乙进球的平均数和方差；（2）如果综合考虑平均成绩和成绩稳定性两方面的因素，从甲、乙两名队员中选出一人去参加定点投篮比赛，应选谁？为什么？22．如图所示，在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于F．（1）请猜测OE与OF的大小关系，并说明你的理由；（2）点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？写出推理过程；（3）点O运动到何处且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（写出结论即可）23．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．24．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE ，连接CF ．（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE 的面积．25．若一次函数y kx b =+，当26x -≤≤时，函数值的范围为119y -≤≤，求此一次函数的解析式？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】试题分析：作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．如图：过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE ，再利用“角角边”证明△AOD 和△OCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD ，CE=OD ，然后根据点C 在第二象限写出坐标即可．∴点C 的坐标为（-，1）故选A ．考点：1、全等三角形的判定和性质；2、坐标和图形性质；3、正方形的性质． 2．C解析：C【解析】【分析】根据y=kx+b （k 、b 是常数，k≠0）是一次函数，可得m-2≠0，n-1=1，求解即可得答案．【详解】解：∵y=（m ﹣2）x n ﹣1+n 是一次函数，∴m ﹣2≠0，n ﹣1=1，∴m≠2，n=2，故选C ．【点睛】本题考查了一次函数，y=kx+b ，k 、b 是常数，k≠0，x 的次数等于1是解题关键．3．D解析：D【解析】【分析】A 、由k ＝﹣3＜0，可得出：当x 值增大时，y 的值随着x 增大而减小，选项A 不符合题意；B 、利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出：函数图象与y 轴的交点坐标为（0，2），选项B 不符合题意；C 、由k ＝﹣3＜0，b ＝2＞0，利用一次函数图象与系数的关系可得出：一次函数y ＝﹣3x +2的图象经过第一、二、四象限，选项C 不符合题意；D 、利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出：一次函数y ＝﹣3x +2的图象不经过点（1，5），选项D 符合题意．此题得解．【详解】解：A 、∵k ＝﹣3＜0，∴当x 值增大时，y 的值随着x 增大而减小，选项A 不符合题意；B 、当x ＝0时，y ＝﹣3x +2＝2，∴函数图象与y 轴的交点坐标为（0，2），选项B 不符合题意；C 、∵k ＝﹣3＜0，b ＝2＞0，∴一次函数y ＝﹣3x +2的图象经过第一、二、四象限，选项C 不符合题意；D 、当x ＝1时，y ＝﹣3x +2＝﹣1，∴一次函数y ＝﹣3x +2的图象不经过点（1，5），选项D 符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．4．C解析：C【解析】【分析】根据正比例函数和一次函数的图像与性质逐项判断即可求解.【详解】∵函数()0y kx k =≠的值随自变量的增大而增大，∴k ＞0，∵一次函数2y x k =+，∴1k =1＞0，b=2k ＞0，∴此函数的图像经过一、二、四象限；故答案为C.【点睛】本题考查了正比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数和一次函数的图像特点是解题的关键.5．D解析：D【解析】【分析】首先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF，然后连接AC可推出△ABC以及△ACD为等边三角形．根据等边三角形三线合一的性质又可推出△AEF是等边三角形．根据勾股定理可求出AE的长，继而求出周长．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝2cm，∠B＝∠D，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴BE＝DF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF．连接AC，∵∠B＝∠D＝60°，∴△ABC与△ACD是等边三角形，∴AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠BAE＝∠DAF＝30°，∴∠EAF＝60°，BE=AB=1cm，∴△AEF是等边三角形，AE＝，∴周长是．故选：D．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理，涉及知识点较多，也考察了学生推理计算的能力.6．D解析：D【解析】【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则各数据与其平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则各数据与其平均值的离散程度越小，稳定性越好。

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2020-2021学年浙江省温州外国语学校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.二次根式√2x−3有意义时，x的取值范围是()A. x≤32B. x<32C. x>32D. x≥323.方程x2−4x=0的解为()A. 2B. 4C. 0或4D. ±24.用反证法证明“若l1//l2，l2//l3，则l1//l3”时应假设()A. l1⊥l3B. l1⊥l2，l2⊥l3C. l1与l3相交D. l1与l2不平行，l2与l3不平行5.如图，在▱ABCD中，AE⊥CD，若∠B=70°，则∠DAE的度数是()A. 70°B. 30°C. 20°D. 15°6.在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x(m)，则可列方程()A. (30−2x)(20−x)=468B. (20−2x)(30−x)=468C. 30×20−2⋅30x−20x=468D. (30−x)(20−x)=4687.用配方法解一元二次方程x2−6x+3=0化成(x+a)2=b的形式，则a、b的值分别是()A. 3，12B. −3，12C. 3，6D. −3，68.已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程(a+b)x2+2cx+a+b=0的根的情况是()A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法判断9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′关于D(−1,0)成中心对称．已知点A的坐标为(−3,−2)，则点A′的坐标是()A. (1,3)B. (1,2)C. (3,2)D. (2,3)10.数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形(如图1)，即它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，从这以后人们开始热衷图形完美分割的研究，▱EFGH 被分割成13个小正三角形(如图2)，已知中间最小的两个正三角形△ABC和△ADC 边长均为2，则▱EFGH的周长为()A. 78B. 64C. 80D. 72二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.当a=3时，则√2+2a=______．12.河堤横断面如图所示，堤高AC=2米，迎水坡AB的坡比是1：3，则AB的长为______．13.4月9日我校组织了安全教育网上竞赛活动，从八年级抽取20名学生的成绩整理如表：分数(分)60708090100人数(人)23852这组成绩的众数是______分．14.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加，2018年我国快递业务收入为4000亿元，2020年增长至5760亿元．则我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为______．15.如图所示，数轴上点A表示的数为a，化简|a|+√(a−√3)2=______ ．16.如图所示，一个边长为3的大正六边形ABCDEF中，铺上六个大小相同的直角三角形，中间围成一个小的正六边形．这个小正六边形A′B′C′D′E′F′的边长为______．17.如图，在△ABC中，AB=6，AC=9，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点B作BG⊥AD，分别交AD、AC于点F、G，连接EF，则线段EF的长是______．18.如图所示，在等腰Rt△ABC，∠B=90°，BC=2，D在线段AC上运动(包括端点A、C)，将线段BD绕着点B顺时针旋转90°得到线段BE，连接AE，以AE，BE为邻边构造▱AEBF，连接EF，在D运动过程中，EF的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共46.0分）+√18÷√9；19.(1)计算：√12−√6×√13(2)解方程：x2−4x=5．20.如图，在7×7的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，O均在格点上．(1)在图1中，作一个各顶点均在格点上的▱ABCD，使得O为对角线交点；(2)在图2中，作一个各顶点均在格点上的▱A1B1C1D1，使其面积等于8，且该平行四边形的一条边等于其一条对角线．21.某班要从甲、乙两名同学中选取一名参加校数学竞赛，如图是甲乙两人四次考试成绩的折线统计图：(1)学校规定将“八上期中”、“八上期末”、“八下开学考”、“八下期中”四次成绩分别按20%，40%，20%，20%计入总分，请填写表：平均分中位数方差甲85分______ 分5分 2乙______ 分85分15.6875分 2(2)请根据你在(1)中所求的统计量，结合折线统计图，你认为选哪一位同学参加此次数学竞赛？请简述理由．22.如图，在▱ABCD，点E为AD的中点，延长BE、CD交于点F，连接AF，BD，CE．(1)求证：四边形ABDF为平行四边形．(2)若BE为∠ABC的角平分线，AB=5，CE=6，求△AEF的面积．23.某商店在销售旺季以20元/件的成本价购进一批甲商品，当售价为40元时，可售出30件．为推广宣传，商家决定降价促销，已知售价每降价1元，可多售出5件．(1)当降价4元时，该商店销售甲商品的获利是______元．(2)为使销售该商品获利765元，且尽快清空库存，则应将售价定为多少元？(3)当售价在30元～40元之间(包括30元和40元)时，甲商品的获利能否达到最大？若能，请求出此时的售价；若不能，请说明理由．24.如图，在▱ABCD中，A的坐标为(3,0)，B的坐标为(−1,0)，∠CBA=60°，点E为线段CD上动点，过点E作EG⊥AB交点x轴于点G，过点E作EF//AC交AD于点F，连接CG，GF．(1)判断△ABC的形状，并说明理由．(2)在点E的运动过程中，当S△BCG：S△EFD=8：9时，求DE的值．CE(3)当四边形CGFE有一组邻边相等时，求点E的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；B、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】D【解析】解：根据题意得：2x−3≥0，．解得：x≥32故选：D．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可得2x−3≥0，解不等式可求x的取值范围．主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．3.【答案】C【解析】解：∵x2−4x=0，∴x(x−4)=0，则x=0或x−4=0，解得：x1=0，x2=4，故选：C．方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵求证：l1//l3，若用反证法证明该题，则需要从结论的反面出发，∴第一步应假设l1与l3不平行，则l1与l3相交．故选：C．由于反证法的步骤是首先假设结论不成立，进而得出答案．本题考查了反证法，解题关键是区分命题的条件与结论．5.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=70°，∵AE⊥CD，∴∠DAE=90°−∠D=20°，故选：C．由平行四边形的性质可得∠B=∠D=70°，由余角的性质可求解．本题考查的是平行四边形的性质．本题利用了平行四边形对角相等的性质求得∠D的度数．6.【答案】A【解析】解：设入口的宽度为x m，由题意得：(30−2x)(20−x)=468．故选：A．根据余田的面积为468列出方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．7.【答案】D【解析】解：∵x2−6x+3=0，∴x2−6x=−3，则x2−6x+9=−3+9，即(x−3)2=6，∴x=−3，b=6，故选：D．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：△=(2c)2−4(a+b)(a+b)=4c2−4(a+b)2=4(c+a+b)(c−a−b)．∵a，b，c分别是三角形的三边，∴a+b>c．∴c+a+b>0，c−a−b<0，∴△<0，∴方程没有实数根．故选：A．由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△= (2c)2−4(a+b)(a+b)=4c2−4(a+b)2，根据三角形的三边关系即可判断．本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对(2c)2−4(a+b)(a+b)进行因式分解．9.【答案】B【解析】解：设点A′的坐标是(a,b)，根据题意知：a−32=−1，−2+b2=0．解得a=1，b=2．即点A′的坐标是(1,2)，故选：B．根据点D是线段AA′的中点以及中点坐标公式解答．本题综合考查了中心对称，坐标与图形的变化，难度不大，掌握对称中心的性质是解题的关键．10.【答案】A【解析】解、：如图所示：设△BMN的边长是x，∵△ABC和△ADC边长均为2，∴PM=PK=AM=x+2，FR=PN=x+2+x=2x+2，OH=OK=KD=x+2+2=x+4，RG=RB=FR+x=3x+2，即EH=OE+OH=2x+6+x+4=3x+10，FG=FR+RG=2x+2+3x+2=5x+4，∴3x+10=5x+4，解得：x=3，HG=HQ+QG=x+6+3x+2=4x+8=20，FG=5x+4=19，∴▱EFGH的周长为：2×(20+19)=78．故选：A．设△BMN的边长是x，按照图形规律表示出FG和EH，再列出等式即可求出x，再表示出HG，即可求出▱EFGH的周长．本题考查平行四边形的性质以及规律型—图形的变化，细心观察，逐步推理表示出平行四边形EH、FG的长是解题关键．11.【答案】2√2【解析】解：∵a=3，∴√2+2×3=√8=2√2．故答案为：2√2．将a=3，代入求得即可．本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的意义是解题的关键．12.【答案】2√10米，AC=2米，【解析】解：∵迎水坡AB的坡比是1：3=ACBC∴BC=3AC=6(米)，∴AB=√AC2+BC2=√22+62=2√10(米)，故答案为：2√10米．先由坡度的定义求出BC的长，再由勾股定理即可求解．本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键．13.【答案】80【解析】解：由表格中的数据可得，这组数据的众数是80分，故答案为：80．根据表格中的数据，可以直接写出这组数据的众数，本题得以解决．本题考查众数，解答本题的关键是明确题意，利用众数的知识解答．14.【答案】20%【解析】解：设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：4000(1+x)2=5760，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意舍去)，答：我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为20%，故答案为：20%．根据题意可得等量关系：2018年的快递业务量×(1+增长率)2=2020年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】√3【解析】解：由数轴可得：0<a<1，故原式=a+√3−a=√3．故答案为：√3．直接利用数轴得出a的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．16.【答案】√3【解析】解：∵小正六边形A′B′C′D′E′F′中，∠C′B′A′=120°，∴∠AB′B=60°，∵∠ABB′=90°，AB=3，∴BB′=√3，AB′2=2BB′=2√3，∵AA′=BB′=√3，∴A′B′=AB′−AA′=√3，故答案为：√3．解直角三角形求出BB′，AB′可得结论．本题考查正多边形和圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17.【答案】1.5【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线∴∠BAD=∠CAD，在△BAF和△GAF中，{∠BAF=∠GAFAF=AF∠AFB=∠AFG=90°，∴△BAF≌△GAF(ASA)，∴AG=AB=6，BF=FG，∴GC=AC−AG=9−6=3，∵BF=FG，BE=EC，∴EF=12GC=1.5，故答案为：1.5．利用ASA定理证明△BAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得到AG=AB=6，BF=FG，根据三角形中位线定理计算，得到答案．本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．18.【答案】√2≤EF≤2√5【解析】解：设EF与AB交于点O，取BC的中点G，连接DG，∵等腰Rt△ABC，∠ABC=90°，∴AB=BC，∵线段BD绕着点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴BD=BE，∠DBE=90°，∴∠CBD=∠ABE，在△CBD和△ABE中，{CB=AB∠CBD=∠ABE BD=BE，∴△CBD≌△ABE(SAS)，∴DG=OE，∵点D在AC上运动，∴GD⊥AC时，DG最小，∵CG=1，∴DG最小为√2，2当D与A重合时，DG最大为√5，∴√2≤DG≤√5，2∵四边形AEBF为平行四边形，∴EF=2OE=2DG，∴√2≤EF≤2√5，故答案为：√2≤EF≤2√5．由共顶点的两个等腰直角三角形，可得出△CBD≌△ABE(SAS)，将OE的范围转化为DG的范围即可．本题主要考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的性质等知识，通过全等将OE 转化为DG是解决问题的关键．19.【答案】解：(1)原式=2√3−√2+√2=2√3；(2)∵x2−4x=5，∴x2−4x−5=0，则(x−5)(x+1)=0，∴x−5=0或x+1=0，解得x1=5，x2=−1．【解析】(1)先化简二次根式、计算二次根式的乘除法，再计算加减即可；(2)利用因式分解法求解即可．本题主要考查二次根式的混合运算和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20.【答案】解：(1)如图1中，四边形ABCD即为所求作．(2)如图2中，▱A1B1C1D1即为所求作．【解析】(1)根据要求作出图形即可．(2)画底为4，高为2，且A1B1=B1D1即可．本题考查作图−应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．21.【答案】86 85【解析】解：(1)乙的平均分：(80+84+86+90)÷4=340÷4=85(分)，甲的中位数：(84+88)÷2=172÷2=86(分)，故答案为：85，86；(2)根据在(1)中所求的统计量，结合折线统计图，我认为选甲同学参加此次数学竞赛．理由：虽然甲、乙两人的平均成绩相同，都是85分，但甲同学的中位数大，而乙同学的方差大，成绩不稳．(1)根据平均数、中位数的定义即可求解；(2)由(1)中所求的统计量，结合折线统计图，．本题考查了折线统计图，方差、平均数，中位数，平均数平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．22.【答案】解：(1)证明：由题意得，AB//CF，∴∠ABE=∠DFE，又∵点E为AD的中点，∴AE=DE，在△ABE和△DFE中，{∠ABE=∠DFE,∠AEB=∠DEF AE=DE，∴△ABE≌△DFE(AAS)∴AB=DF，又∵AB//DF，∴四边形ABDF为平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)；(2)过点F作AD的垂线交AD延长线于点K，过点D作DH⊥EC，过点E作EG⊥CD，∵S△AEF=12AE⋅FK；S△EDF=12ED⋅FK，∴S△AEF=S△EDF，又∵BE为∠ABC的角平分线，∴∠ABE=∠EBC，又∵AD//BC，∴∠EBC=∠FED，而∠ABE=∠DFE，∴∠FED=∠DFE，∴ED=FD，由(1)可知AB=DC=FD=5，∴ED=FD=DC=5，又∵S△EFD=12DF⋅EG，S△EDC=12DC⋅EG，∴S△AEF=S△EDF=S△ECD，在等腰△EDC中，ED=CD=5，EC=6，∵DH⊥EC，∴EH=12EC=12×6=3，在Rt△EHD中，ED=5，EH=3，∴DH=√ED2−EH2=√52−32=4，×6×4=12，∴S△ECD=12∴S△AEF=S△EDF=S△ECD=12，故S△AEF=12．【解析】(1)通过证明△ABE≌△DFE，即可推出AB平行且相等于FD，即得证；(2)通过辅助线进行转化得S△AEF=S△EDF=S△ECD，再通过已知条件算出△ECD面积即为△AEF的面积．本题考查平行四边形的性质与判定以及全等三角形的性质与判定，熟练其性质与判定定理通过条件作出辅助线逐步推理是解题关键．23.【答案】800【解析】解：(1)y=(40−4−20)(30+5×4)=800(元)，故答案为：800；(2)设每件商品应降价x元，由题意得：(40−x−20)(5x+30)=765，解得x1=3，x2=11．要尽快清空库存，则x=11，应将售价定为：40−11=29(元)．答：应将售价定为29元；(3)设每件商品应降价x元，利润为y元，由题意得：y=(40−x−20)(30+5x)=−5x2+70x+600=−5(x−7)2+845，∴当x=7时，y取得最大值845，售价为：40−7=33(元)，答：甲商品的获利能达到最大，此时的售价为33元．(1)根据“利润=单件利润×销售量”即可求解；(2)设要使销售该商品获利765元，且尽快清空库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可；(3)设每件商品应降价x元，利润为y元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．本题是二次函数的应用，属于销售利润问题，明确等量关系：总利润=销售量×(售价−进价)，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．24.【答案】解：(1)结论：△ABC是直角三角形．理由：∵A(3,0)，B(−1,0)，∴OA=3，OB=1，在Rt△BOC中，∠BOC=90°，OB=1，∠CBO=60°，∴BC=2OB=2，OC=√BC2−OB2=√22−12=√3，∴AC=√OC2+OA2=√(√3)2+32=2√3，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴△ACB是直角三角形．(2)设E(a,√3)，则G(a,0)，∴S△BCG=12⋅BG⋅OC=12(1+a)×√3=√32(a+1)，∵EF//AC，∴△DEF∽△DCA，∴S△DEFS DCA =(DEEC)2，∵S△DCA=12⋅CD⋅OC=2√3，DE=4−a，∴S△DEF=S△ADC⋅(DECD )2=√38(4−a)2，∵S△BCG：S△EFD=8：9，∴√32(a+1)：√38(4−a)2=8：9，整理得2a2−25a+23=0，解得a=1或232(舍弃)，∴CE=1，DE=3，∴DEEC=3．(3)∵△ECG 是直角三角形，CG 是斜边，EC 是直角边．∴CG ≠CE ．当四边形CGEF 有一组邻边相等时，有三种情形：设G(m,0)，E(m,√3). ①当CE =EF =m 时， ∵EC//AC ， ∴△DEF∽△DCA ， ∴DE CD =EF AC ， ∴4−m 4=m 2√3， ∴m =8√3−12，此时E(8√3−12,√3).②当GF =EF 时，此时点F 的纵坐标为√32， ∴FD =AF ，∵AC//EF ，∴CE =DE ，∵D(4,√3)，C(0,√3)，∴E(2,√3).③当CG =GF 时，∵直线AC 的解析式为y =−√33x +√3，直线AD 的解析式为y =√3x −3√3， ∵EF//AC ，∴直线EF 的解析式为y =−√33x +√33m +√3，由{y =√3x −3√3y =−√33x +√33m +√3，解得{x =m 4+3y =√34m ， ∴F(14m +3,√34m)， ∵CG =GF ，∴m 2+3=(34m −3)2+(√34m)2，整理得m 2+18m −24=0，解得m =−9+√105或−9−√105(舍弃)，∴E(−9+√105,√3).综上所述，满足条件的点E的坐标为(8√3−12,√3)或(2,√3)或(−9+√105,√3).【解析】(1)利用勾股定理的逆定理的证明即可．(2)设E(a,√3)，则G(a,0)，用a表示出两个三角形的面积，列方程把未知数求解出来即可．(3)四边形的一组邻边相等，这样就有四种情况讨论，但是要注意的是CG和CE是在同一个直角三角形中，且CG为斜边，所以他俩不可能相等，只要考虑其它三种情况即可．本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，一次函数的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，第一问难度不大，主要是对勾股定理的逆定理的运用，第二问难度相对大一些，主要还是会对题目中给的面积比会去转化，第三问主要是分类讨论，其它就是考查列方程以及计算的功底，有些计算可能不是很好计算，需要耐心一些，难度不算太大．第21页，共21页。