复数十年高考题(带详细解析)
复 数
●试题类编
※
1.设复数z 1=－1+i ，z 2=
2
3
21+i ，则arg 21z z 等于（ ）
A.－
125π B.125
π C.127π D.12
13π 2.复数z =
i
i
m 212+-（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
※
3.如果θ∈（
2
π，π），那么复数（1＋i ）（cos θ＋i sin θ）的辐角的主值是（ ）
A.θ＋
4
9π B.θ＋
4
π C.θ
4
π-
D.θ＋
4
7π 4．复数（2
321+i ）3的值是（ ） A. －i B.i C.－1 D.1
5.如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）
※
6.已知复数ｚ＝
i 62+，则arg z 1
是（ ）
A.6
π
B.6
11π
C.3
π
D.3
5π
图12—1
※
7.设复数z 1＝－1－i 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转
6
5
π后得到向量2OZ ，令2OZ 对应的复数z 2的辐角主值为θ，则tan θ等于（ ）
A.2－3
B.－2＋3
C.2＋
3
D.－2－
3
※
8.在复平面内，把复数3－
3i 对应的向量按顺时针方向旋转
3
π，所得向量对应的复
数是（ ）
A.23
B.－23i
C.
3－3i
D.3+
3i
※
9.复数z ＝)5
sin 5(cos
3π
π
i --（i 是虚数单位）的三角形式是（ ） A.3［cos （5π-
）＋i sin （5
π-）］ B.3（cos
5
π
＋i sin
5
π）
C.3（cos
54π＋i sin 5
4π）
D.3（cos
56π＋i sin 5
6π
） 10.复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 12z 2在复平面内的对应点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 11.设复数z 1＝2sin θ＋i cos θ（
4
π
＜θ＜
2
π
)在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转
4
3
π后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为z 2＝ r （cos ?＋i sin ?），则tan ?等于（ ）
A.
1tan 2tan 2-θθ
B.
1tan 21
tan 2+-θθ
C.
1
tan 21
+θ
D.
1
tan 21
-θ
※
12.复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是（ ）
A.
i 2
123±
B.i 2
123±-
C.±
i 2
1
23+
D.±
i 2
123- 13.复数5
4
)
31()22(i i -+等于（ ） A.1+3i B.－1+3i C.1－
3i
D.－1－
3i
14.设复数z =－
2
321+i （i 为虚数单位），则满足等式z n =z 且大于1的正整数n 中最小的是（ ）
A.3
B.4
C.6
D.7
15.如果复数z 满足|z +i |+|z －i |=2，那么|z +i +1|的最小值是（ ）
A.1
B.
2
C.2
D.
5
二、填空题
16.已知z 为复数，则z +z ＞2的一个充要条件是z 满足 .
17.对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i （x 1、y 1、x 2、y 2为实数），定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2．设非零复数w 1、w 2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2，点O 为坐标原点．如果w 1⊙w 2＝0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为 ．
18.若z ∈C ，且（3＋z ）i ＝1（i 为虚数单位），则z ＝ ．
19.若复数z 满足方程z i =i －1（i 是虚数单位），则z =_____. 20.已知a =
i
i
213+--（i 是虚数单位），那么a 4=_____.
21.复数z 满足（1+2i ）z =4+3i ，那么z =_____. 三、解答题
22.已知z 、w 为复数，（1＋3i ）z 为纯虚数，w ＝i
z
+2，且|w |＝52，求w ．
23.已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2b z＝（a＋2z）2．
24.已知z7＝1（z∈C且z≠1）.
（Ⅰ）证明1＋z＋z2＋z3＋z4＋z5＋z6＝0；
（Ⅱ）设z的辐角为α，求cosα＋cos2α＋cos4α的值.
※25.已知复数z
＝i（1－i）3.
1
（Ⅰ）求arg z1及|z1|；
（Ⅱ）当复数z满足|z|＝1，求|z－z1|的最大值.
26.对任意一个非零复数z ，定义集合M z ＝｛w |w ＝z 2n －1，n ∈N ｝． （Ⅰ）设α是方程x ＋
21
=x
的一个根，试用列举法表示集合M α； （Ⅱ）设复数ω∈M z ，求证：M ω?M z ．
27.对任意一个非零复数z ，定义集合M z ＝｛w |w ＝z n ，n ∈N ｝． （Ⅰ）设z 是方程x +
x
1
=0的一个根，试用列举法表示集合M z ．若在M z 中任取两个数，求其和为零的概率P ；
（Ⅱ）若集合M z 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．
28.设复数z满足|z|＝5，且（3＋4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|2z－m|＝52（m∈R），求z和m的值.
29.已知复数z0＝1－mi（M＞0），z＝x＋yi和ω＝x′＋y′i，其中x，y，x′，y′均为
z2z，|ω|＝2|z|．
实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有ω＝
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x′和y′用x、y表示的关系式；
（Ⅱ）将（x，y）作为点P的坐标，（x′，y′）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.
当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.
※
30.设复数z ＝3cos θ＋i 22sin θ.求函数y ＝θ－arg z （0＜θ＜
2
）的最大值以及对应
的θ值.
※
31.已知方程x 2＋（4＋i ）x ＋4＋ai ＝0（a ∈R ）有实数根b ，且z =a +bi ，求复数z （1
－ci ）（c ＞0）的辐角主值的取值范围.
※32.设复数z满足4z+2z=33+i，ω=sinθ－i cosθ（θ∈R）.求z的值和|z－ω|的取值范围.
※33.已知复数z
满足（z1－2）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z12z2是实数，求复数z2
1
的模.
※
34.已知向量OZ 所表示的复数z 满足（z －2）i =1+i ，将OZ 绕原点O 按顺时针方向旋
转
4
π得1OZ ，设1
OZ 所表示的复数为z ′，求复数z ′+2i 的辐角主值.
※
35.已知复数z =
2321+i ，w =2
222+i ，求复数zw +zw 3的模及辐角主值.
36.已知复数z =
2321+i ，ω=2
222+i .复数z ω，z 2ω3在复数平面上所对应的点分别是P 、Q .证明：△OPQ 是等腰直角三角形（其中O 为原点）.
37.设虚数z 1，z 2满足z 12=z 2.
（1）若z 1、z 2是一个实系数一元二次方程的两个根，求z 1、z 2； ※
（2）若z 1=1+mi （m ＞0，i 为虚数单位），ω=z 2－2，ω的辐角主值为θ，求θ的取值范围.
38.设z 是虚数，w =z +
z
1
是实数，且－1＜ω＜2. （Ⅰ）求|z |的值及z 的实部的取值范围； （Ⅱ）设u =
z
z
+-11，求证：u 为纯虚数； （Ⅲ）求w －u 2的最小值.
39.已知复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|＝1，且z 1+z 2=
2
321+i .求z 1、z 2的值.
※40.设复数z=cosθ+i sinθ，θ∈（π，2π）.求复数z2+z的模和辐角.
※41.在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z
，Z2，Z3，O（其中
1
O
是原点），已知Z2对应复数z2=1+3i，求Z1和Z3对应的复数.
※
42.已知z =1+i ，
（Ⅰ）设w =z 2+3z －4，求w 的三角形式.
（Ⅱ）如果1
22+-++z z b
ax z =1－i ，求实数a ，b 的值.
43.设w 为复数，它的辐角主值为4
3
π，且ωω4)(2-为实数，求复数w .
答案解析
1.答案：B
解析一：通过复数与复平面上对应点的关系，分别求出z 1、z 2的辐角主值.arg z 1=
4
3π，arg z 2=
3
π.
所以arg
πππ12
5
34321=-=z z ∈［0，2π）， ∴arg
12
521=z z π. 解析二：因为
i i i i i z z )2123()2123()2321)(1(2
3
21121++-=-+-=++-=. 在复平面的对应点在第一象限.故选B
评述：本题主要考查复数的运算法则及几何意义、辐角主值等概念，同时考查了灵活运用知识解题的能力，体现了数形结合的思想方法.
2.答案：A
解析：由已知z =
5
1
)21)(21()21)(2(212=-+--=+-i i i i m i i m ［（m －4）－2（m +1）i ］在复平面对
应点如果在第一象限，则?
??<+>-010
4m m 而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于
第一象限.
3.答案：B
解析：（1＋i ）（cos θ＋i sin θ）＝
2（cos
4
π
＋i sin
4
π）（cos θ＋i sin θ）
＝
2［cos （θ＋
4
π
）＋i sin （θ＋
4
π）］
∵θ∈（
2
π
，π） ∴θ＋
4
π∈（
4
3π，45π）
∴该复数的辐角主值是θ＋4
π
．
4.答案：C
解法一：（
2
321+i ）3
＝（cos60°＋i sin60°）3＝cos180°＋i sin180°＝－1 解法二：
i i 2
321,2321+-=-=+ωω， ∴1)()()2
321(
333-=-=-=+ωωi 5.答案：D 6.答案：D
解法一：3
5arg 21arg ),3sin 3(cos 22)2321(22π
πππ=-=+=+=z z i i z
解法二：)31(2i z
+=
∴
2
2311i
z -= ∴
z 1,02
23,02
21<-
>应在第四象限，tan θ＝3-，θ＝arg z 1
．
∴arg
z 1是3
5
π． 7.答案：C 解析：∵arg z 1＝
45π，arg z 2＝12
5π ∴tan θ＝tan
125π
＝tan75°＝tan （45°＋30°）＝
323
333+=-+． 8.答案：B
解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是
i i i i i 32)2
3
21)(33()]3sin()3)[cos(33(-=--=-+--ππ．
9.答案：C
解法一：采用观察排除法.复数)5
sin 5(cos 3π
πi z
--=对应点在第二象限，而选项A 、
B 中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项D 不是复数的三角形式，也可排除，所以
选C.
解法二：把复数)5
sin 5(cos 3π
πi z
--=直接化为复数的三角形式，即
).
54sin 54(cos 3)]5
sin()5[cos(3)5sin 5cos
(3πππ
πππππi i i z +=-+-=+-=
10.答案：D 解析：ππππ
12
23
arg 47,47arg ,6
arg 02121
<
解析：设z 1＝2sin θ＋i cos θ＝|z 1|（cos α＋i sin α）， 其中|z 1|＝ | |sin 2cos ,cos sin 4122z θ αθθ= +， sin α＝ ||cos 1z θ（2 4π θπ<<）． ∴z 2＝|z 1|2［cos （α 43π- ）＋i sin （α4 3π -）］ ＝r （cos ?＋i sin ?）． ∴tan ?＝1 tan 21tan 2cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos ) 4 3cos() 43sin(cos sin -+=-+=-+=-- = θθθθθθααααπαπ α?? 12.答案：D 解法一：∵－i =cos 23π+i sin 2 3π ∴－i 的三个立方根是cos 3 223 sin 3223π πππk i k +++（k =0，1，2） 当k =0时，i i i =+=+2 sin 2cos 323sin 323 cos πππ π ； 当k =1时，i i i 2 1 2367sin 67cos 3223 sin 3223cos --=+=+++πππ πππ； 当k =2时，i i i 2 123611sin 611cos 3423sin 3423cos -=+=+++πππ πππ. 故选D. 解法二：由复数开方的几何意义，i 与－i 的另外两个立方根表示的点均匀地分布在以原点为圆心，1为半径的圆上，于是另外两个立方根的虚部必为－ 2 1 ,排除A 、B 、C ，选D. 评述：本题主要考查了复数开方的运算，既可用代数方法求解，也可用几何方法求解，但由题干中的提示，几何法解题较简捷. 13.答案：B 解法一：)4 sin 4(cos 22 22π πi i +=+， 故（2+2i ）4=26（cos π+i sin π）=－26，1－ )3 sin 3(cos 23π πi i -=， 故35sin 35cos 2)31(5 5 π πi i += -. 于是 i i i i i 31)2 321(22)35sin 35(cos 2) 31()22(565 4 +=--=+-=-+ππ, 所以选B. 解法二：原式=i i i i i 23 212 )2321()2(21)2321(2)1(1622554--= +--=+--+ i i i 314) 31(4314+-=--=+-= ∴应选B 解法三：2+2i 的辐角主值是45°，则（2+2i ）4的辐角是180°；1－ 3i 的一个辐角 是－60°，则（1－3i ）5的辐角是－300°，所以5 4 ) 31() 22(i i -+的一个辐角是480°，它在第二象限，从而排除A 、C 、D ，选B. 评述：本题主要考查了复数的基本运算，有一定的深刻性，尤其是选择项的设计，隐藏着有益的提示作用，考查了考生观察问题、思考问题、分析问题的综合能力. 14.答案：B 解析：z =－ 2 321+i 是z 3=1的一个根，记z =ω，ω4=ω，故选B. 15.答案：A 解析：设复数z 在复平面的对应点为z ，因为|z +i |+|z －i |=2，所以点Z 的集合是y 轴上以Z 1（0，－1）、Z 2（0，1）为端点的线段. |z +1+λ|表示线段Z 1Z 2上的点到点（－1，－1）的距离.此距离的最小值为点Z 1（0，－1）到点（－1，－1）的距离，其距离为1. 评述：本题主要考查两复数之差的模的几何意义，即复平面上两点间的距离. 16.答案：Rez ＞1 解析：设z =a +bi ，如果z +z ＞2，即2a ＞2 ∴a ＞1反之，如果a ＞1，则z +z =2a ＞2，故z +z ＞2的一个充要条件为Rez ＞1. 评述：本题主要考查复数的基本概念、基本运算及充要条件的判断方法. 17.答案： 2 π 解析：设i y x z i y x z OP OP 22112 1 ,+=+= ∵w 1⊙w 2＝0 ∴由定义x 1x 2＋y 1y 2＝0 ∴OP 1⊥OP 2 ∴∠P 1OP 2＝ 2 π． 18.答案：z ＝－3－i 解析：∵（3＋z ）i ＝1 ∴3＋z ＝－i ∴z ＝－3－i 19.答案：1－i 解析：∵z i =i －1，∴i i z 1 -==（i －1）（－i ）=1+i ∴z =1－i . 20.答案：－4 解析：a 4=［（ i i 213+--）2］2=［5)21)(3(i i ---］4=（5 55i +-）4 =（－1+i ）4=（－2i ）2=－4 21.答案：2+i 解析：由已知i i i i i i z -=-++=+-+=++= 25 )83(6441)21)(34(2134， 故z =2+i . 22.解法一：设z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），则（1＋3i ）z ＝a －3b ＋（3a ＋b ）i ． 由题意，得a ＝3b ≠0． ∵|ω|＝25|2| =+i z ， ∴|z |＝ 10522=+b a ． 将a ＝3b 代入，解得a ＝±15，b ＝±15． 故ω＝± i i ++2515＝±（7－i ）． 解法二：由题意，设（1＋3i ）z ＝ki ，k ≠0且k ∈R ， 则ω＝ )31)((i i k ki ++． ∵|ω|＝5 2，∴k ＝±50． 故ω＝±（7－i ）． 23.解：∵z ＝1＋i ， ∴az ＋2b z ＝（a ＋2b ）＋（a －2b ）i ， （a ＋2z ）2＝（a ＋2）2－4＋4（a ＋2）i ＝（a 2＋4a ）＋4（a ＋2）i ， 因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2b z ＝（a ＋2z ）2得 ?? ?+=-+=+). 2(42, 422a b a a a b a 两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0， 解得a 1＝－2，a 2＝－4， 对应得b 1＝－1，b 2＝2． 所以，所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2． 24.（Ⅰ）解法一：z ，z 2，z 3，…，z 7是一个等比数列. ∴由等比数列求和公式可得：011171=--=--=--= z z z z z z z a q a a S n n ∴1＋z ＋z 2＋z 3＋…＋z 6＝0 解法二：S ＝1＋z ＋z 2＋…＋z 6 ① zS ＝z ＋z 2＋z 3＋…+z 6＋z 7 ② ∴①－②得（1－z ）S ＝1－z 7＝0 ∴S ＝ z -10 ＝0 （Ⅱ）z 7＝1，z ＝cos α＋i sin α ∴z 7＝cos7α＋i sin7α＝1，7α＝2k π z ＋z 2＋z 4＝－1－z 3－z 5－z 6 ＝－1－［cos （2k π－4α）＋i sin （2k π－4α）＋cos （2k π－2α）＋i sin （2k π－ 2α）＋cos （2k π－α）＋i sin （2k π－α）］ ＝－1－（cos4α－i sin4α＋cos2α－i sin2α＋cos α－i sin α） ∴2（cos α＋cos2α＋cos4α）＝－1， cos α＋cos2α＋cos4α＝－ 2 1 解法二：z 22z 5＝1，z 2＝ 551 -=z z 同理z 3＝4-z ，z ＝6 -z ∴z ＋z 2＋z 4＝－1－4 -z －2 -z －z ∴z ＋z ＋2 -z ＋z ＋4-z ＋z ＝－1 ∴cos2α＋cos α＋cos4α＝2 1- 25.（Ⅰ）解：z 1＝i （1－i ）3＝i （－2i ）（1－i ）＝2（1－i ） ∴|z 1|＝ 222222=+，arg z 1＝22（cos 47π＋i sin 47 π） ∴arg z 1＝ 4 7 π （Ⅱ）解法一：|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋i sin θ |z －z 1|＝|cos θ＋i sin θ－2＋2i | ＝ )4 sin(249)2(sin )2(cos 22π θθθ-+=++- 当sin （θ 4 π - ）＝1时|z －z 1|2取得最大值9＋42 从而得到|z －z 1|的最大值2 2＋1 解法二：|z |＝1可看成z 为半径为1，圆心为（0，0）的圆. 而z 1可看成在坐标系中的点（2，－2） ∴|z －z 1|的最大值可以看成点（2，－2）到圆上的点距离最大.由图12—2可知：|z －z 1|max ＝2 2＋1 26.（Ⅰ）解：∵α是方程x 2－ 2x ＋1＝0的根 ∴α1＝ 22（1＋i ）或α2＝2 2 （1－i ） 图12—2 1. 【2016高考新课标1文数】设()()12i i a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 考点：复数的概念及复数的乘法运算 【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性. 2.【2016高考新课标2文数】设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ） （A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C 【解析】 试题分析：由3z i i +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C. 考点： 复数的运算，共轭复数. 【名师点睛】复数(,R)a bi a b +∈的共轭复数是(,R)a bi a b -∈，两个复数 是共轭复数，其模相等. 3. [2016高考新课标Ⅲ文数]若43i z =+，则 || z z ＝（ ） （A ）1 （B ）1- （C ）43i 55 + （D ） 43i 55 - 【答案】D 【解析】 试题分析： 43i ||55 z z ==-，故选D ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模． 【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 4.【2016高考四川文科】设i 为虚数单位，则复数2(1)i +=( ) (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意，22(1)122i i i i +=++=，故选C. 考点：复数的运算. 【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可． 5.【2016高考北京文数】复数 122i i +=-（ ） A.i B.1i + C.i - D.1i - 专题八 复数 1.（15北京理科）1．复数()i 2i -= A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i -- 【答案】A 【解析】 试题分析：(2)12i i i -=+ 考点：复数运算 2.（15北京文科）复数()1i i +的实部为 ． 【答案】-1 【解析】 试题分析：复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为-1. 考点：复数的乘法运算、实部. 3.（15年广东理科）若复数 ( 是虚数单位 )，则 A ． B ． C ． D ． 【答案】． 【解析】因为，所以，故选． 【考点定位】本题考查复数的基本运算，属于容易题． 4.（15年广东文科）已知是虚数单位，则复数（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 考点：复数的乘法运算． ()32z i i =-i z =32i -32i +23i +23i -D ()3223z i i i =-=+z =23i - D 5.(15年安徽文科) 设i 是虚数单位，则复数( ) （A ）3+3i （B ）-1+3i （3）3+i （D ）-1+i 【答案】C 考点：复数的运算. 6.(15年福建理科) 若集合 （ 是虚数单位）， ，则 等于 ( ) A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 试题分析：由已知得，故，故选C ． 考点：1、复数的概念；2、集合的运算． 7．(15年福建文科) 若（是虚数单位），则的值分别 等于（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 试题分析：由已知得，所以，选A ． 考点：复数的概念． 8.(15年新课标1理科) 设复数z 满足=i ，则|z|= （A ）1 （B （ C （D ）2 【答案】A ()()112i i -+={}234,,,A i i i i =i {}1,1B =-A B {}1-{}1{}1,1-φ{},1,,1A i i =--A B ={}1,1-(1)(23)i i a bi ++-=+,,a b R i ∈,a b 3,2-3,23,3-1,4-32i a bi -=+3,2a b ==-1+z 1z - 复数高考真题分类汇编 题型一 复数的概念及分类 1．（2015·天津卷）i 是虚数单位，若复数))(21(i a i +-是纯虚数，则=a ． 2．（2016·江苏卷）复数)3)(21(i i z -+=，i 为虚数单位，则z 的实部是 ． 3．（2016·上海卷）设i i z 23+= ，其中i 为虚数单位，则其虚部为 ． 4．（2017·天津卷）已知R a ∈，i 为虚数单位，若i i a +-2为实数，则a 的值为 ． 5．（2017·全国卷）设有下面四个命题： :1p 若复数满足R z ∈1，则R z ∈； :2p 若复数满足R z ∈2，则R z ∈； :3p 若复数1z 、2z 满足R z z ∈21，则21z z =； :4p 若复数R z ∈，则R z ∈； 其中真命题为（ ） A ．1p ，3p B ．1p ，4p C ．2p ，3p D ．2p ，4p 题型二 与共轭复数、复数相等有关的问题 1．（2013·山东卷）复数满足5)2)(3(=--i z （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ） A ．i +2 B ．i -2 C ．i +5 D ．i -5 2．（2013·安徽卷）设i 是虚数单位，若z i z z 22=+?，则=z （ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --1 3．（2013·福建卷）已知复数的共轭复数i z 21+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．（2013·湖北卷）在复平面内，复数i i z +=12（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．（2013·四川卷）如图，在复平面内，点A 表示复数，则图中表示的共轭复数的点是_____ 卷高考题大全—复数 This manuscript was revised by JIEK MA on December 15th, 2012. 2011年——2016年高考题专题汇编 专题2 复数 1、（16年全国1 文）设（1+2i ）（a +i ）的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 2、（16年全国1 理）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B （C 3、（16年全国3 文）若43i z =+，则|| z z = （A ）1 （B ）1- （C ）43+i 55 （D ） 43i 55- 4、（16年全国3 理）若z=1+2i ，则41 i zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i 5、（16年全国2 文）设复数z 满足i 3i z +=-，则z = （A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i - 6、（16年全国2 理）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）(31) -， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 7、（15年全国2 文）若a 为实数，且 231ai i i +=++，则a = A ．-4 B ．-3 C ．3 D ．4 8、（15年全国2理）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 9、（15年全国1 文）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z= （A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i 10、（15年全国1 理）设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B （C （D ）2 11、（14年新课标3 理）设103i z i =+，则z 的共轭复数为（ ） 复数高考题集锦 1.（2009 年广东卷文 ）下列 n 的取值中，使 i n =1（i 是虚数单位）的是 A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5 2.（ 2009 浙江卷文）设 z 1 i （ i 是虚数单位） ，则 2 z 2 （ z 4.（ 2009 安徽卷文） i 是虚数单 位， A ．1+i B. -1-i 8. （2009 广东卷理）设 z 是复数， a （ z ）表示满足 z n 1的最小正整数 n ，则对虚数单 位 i ， a （i ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 9. （ 2009 北 京 卷 理 ） 在 复 平 面 内 ， 复 数 z i （1 2i ） 对 应 的 点 位 于 （） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10. （2009 全国卷Ⅰ理）已知 Z =2+i, 则复数 z=（ B ） 1＋i (A ) -1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 11.（2009 安徽卷 理） i 是虚数单 位， 1 7i 若 2i a bi(a,b R ） ，则乘积 ab 的 值是 （A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ） 15 A ． 1 i C ． 1i D ． 1 i 3i 3.（2009 山东卷文 ） 复数 等于（ 1i ）. A ． 1 2i B.1 2i C.2 i D.2 i i(1+i) 等于 C.1-i D. -1+i 5.(2009 天津卷文) i 是虚数单位， 5i = 2i A 1 2i B 1 2i C 1 2i D 1 2i 6.已知 z 是纯虚数 , z 2 是实数 , 那么 z 等于 1-i (A ) 2i (B)i (C)-i (D)-2i 3 2i 复数 2 3i 1 7.（2009 宁夏海南卷文） A )1 B ） C )i (D) i 【最新】数学《复数》高考复习知识点(1) 一、选择题 1．已知为虚数单位， m R ∈，复数()()22288z m m m m =-+++-，若z 为负实数， 则m 的取值集合为（ ） A ．{}0 B ．{}8 C ．()2,4- D ．()4,2- 【答案】B 【解析】由题设可得2280{280 m m m m -=-++<，解之得8m =，应选答案B 。 2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v 向左平移一个单位后得到00 O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( ) A ．1－i B ．1－2i C ．－1－i D ．－i 【答案】D 【解析】 【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000 OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数 【详解】 因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数， 即0 OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题． 3．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线 【答案】A 【解析】 【分析】 设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】 设()z x yi x y R =+∈、， 1x yi ++= ，()11iz i x yi +=++= y x =-， 所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题． 4．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A B C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】 () 11z i i i =-=+，故z = A. 5．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1 B ．2 C D ．3 【答案】D 【解析】 因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D. 6．已知复数z 满足()1i z i += ，i 为虚数单位，则z 等于（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A 【解析】 因为|2(1)11(1)(1) i i z i i i i -===-++-，所以应选答案A ． 7．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于 复数最新高考试题精选(一) 一．选择题（共32小题） 1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（） A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2 D．i（1+i） 2．=（） A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i 3．（1+i）（2+i）=（） A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i 4．复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 5．设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（） A．B． C．D．2 6．若复数（1﹣i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞） 7．已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则z2=（） A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2 8．已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z?=4，则a=（） A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D． 9．已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（） A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3） 10．设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 11．若复数z=，其中i为虚数单位，则=（） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 12．若z=4+3i，则=（） A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i 13．若z=1+2i，则=（） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 14．复数=（） A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i 15．设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（） A．0 B．2 C．2i D．2+2i 16．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 17．设复数z满足z+i=3﹣i，则=（） A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i 18．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（） A．1 B．C．D．2 19．若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（）A．{﹣1} B．{1} C．{1，﹣1} D．? 20．i为虚数单位，i607的共轭复数为（） A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 21．i为虚数单位，i607=（） A．﹣i B．i C．1 D．﹣1 22．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 23．若为a实数，且=3+i，则a=（） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 24．若（1+i）+（2﹣3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（） A．3，﹣2 B．3，2 C．3，﹣3 D．﹣1，4 25．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（） 复数高考真题汇编 1、（2017北京文）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 2、（2017新课标Ⅱ理）． 3i 1i +=+ A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 3、（2017新课标Ⅲ理数）设复数z 满足(1)2i ，则∣z ∣= A ．12 B ． C D ．2 4、（2017山东理）已知a R ∈ 是虚数单位，若,4z a z z =?=，则 （A ）1或-1 （B （C ） （D 5、（2017新课标Ⅰ理数）设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为（ ） A.13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 6、（2017新课标Ⅱ文）．(1i)(2i)++=（ ） A ．1i - B ．13i + C ．3i + D ．33i + 7、（2017北京理）若复数（1–i ）（）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A （–∞，1） B （–∞，–1） C （1，+∞） D （–1，+∞） 8、（2017新课标Ⅲ文数）复平面内表示复数(–2)的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9、（2017新课标Ⅰ文数）下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1)2 B ．i 2(1) C ．(1)2 D ．i(1) (1i)(i)a -+a (,1)-∞(,1)-∞-(1,)+∞(1,)-+∞ 2014——2016年各省市高考题汇总 1．[2014·重庆卷] 复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A 2．[2014·全国卷] 设z ＝10i 3＋i ，则z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3i D ．1－3i 【答案】D 3．[2014·安徽卷] 设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z － ＝( ) A ．－2 B ．－2iC ．2 D ．2i 【答案】C 4．[2014·北京卷] 复数? ????1＋i 1－i 2 ＝________． 【答案】-1 5．[2014·福建卷] 复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i 【答案】C 6．[2014·广东卷] 已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3＋4i B ．－3－4i C ．3＋4i D ．3－4i 【答案】D 7．[2014·湖北卷] i 为虚数单位，? ????1－i 1＋i 2 ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 【答案】A 8．[2014·湖南卷] 满足z ＋i z ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i 【答案】B 9．[2014·江西卷] z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i 【答案】D 10．[2014·辽宁卷] 设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i 【答案】A 11．[2014·新课标全国卷Ⅰ] （1＋i ）3 （1－i ）2＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 复数高考题型归类解析 一、基本运算型 二、基本概念型 三、复数相等型 四、复数的几何意义型 练习： 1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值 范围是[ ] A.() 22,22 - B.（-2，2） C.（-1，1） D.(3,3 - 2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3 ＋2i，－2＋4i.则对角线CA → 所表示的复数的模为； 3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1|z－z1|的取值范围 是； 五、技巧运算型 六、知识交汇型 七、轨迹方程型练习： 1.已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是() A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 2.如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是() A.1 B. 2 C.2 D. 5 3.若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是. 复数高考题型归类解析 一、基本运算型 二、基本概念型 三、复数相等型 四、复数的几何意义型 练习： 1.如果复数z=1+ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值 范围是[ ] A.() 22,22 - B.（-2，2） C.（-1，1） D.() 3,3 - 2.在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3 ＋2i，－2＋4i.则对角线CA → 所表示的复数的模为； 3.已知复数z1＝i(1－i)2，|z|＝1，则|z－z1|的最大值. 五、技巧运算型 六、知识交汇型 七、轨迹方程型 已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是() A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 答案 A 解析由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0， 即|z|＝3或|z|＝－1. ∵|z|≥0，∴|z|＝3. ∴复数z对应的轨迹是1个圆. 5.如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是() A.1 B. 2 C.2 D. 5 答案 A 解析设复数－2i,2i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋2i|＋|z－2i|＝4，Z1Z2＝4，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值. 因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，Z0Z3＝1.故选A. 8.若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是. 答案 1 解析由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴.|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离.∴|z－1|min＝1. 12.集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z －2|，z∈C}，集合P＝M∩N. (1)指出集合P在复平面上所表示的图形； (2)求集合P中复数模的最大值和最小值. 解(1)由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图所示. 高考复数训练题 1．(2013·山东)复数3－i 1－i 等于 ( C ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i 2．(2013·宁夏、海南)复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝ ( D ) A ．0 B ．2 C ．－2i D ．2i 3．(2013·陕西)已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z 等于 ( D ) A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 4．(2013·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2＋x －1，则f (i)＝ ( B ) A ．2i B ．0 C ．－2i D ．－2 5．(2013·北京朝阳4月)复数z ＝2－i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．(2013·北京东城3月)若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a 的值为 ( A ) 7．(2013·北京西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( B ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 8．(2013·黄冈中学一模)过原点和3－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( D ) A.π6 B ．－π6 C.23π D.56 π 9．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋b i c ＋d i 为实数，则 ( C ) A ．bc ＋ad ≠0 B ．bc －ad ≠0 C ．bc －ad ＝0 D ．bc ＋ad ＝0 10．已知复数z ＝1－2i ，那么1z ＝ ( D ) A.55＋255 i B.55－255i C.15＋25i D.15－25 i 11．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2 是实数，则实数b 的值为 ( A ) A ．6 B ．－6 C ．0 D.16 12．(2013·广东)设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i )＝ ( B ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 13．若z ＝12＋32 i ，且(x －z )4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 2等于 ( B ) A ．－12＋32 i B ．－3＋33i C ．6＋33i D ．－3－33i 14．若△ABC 是锐角三角形，则复数z ＝(cos B －sin A )＋i (sin B －cos A )对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 15．如果复数2－bi 1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于 ( C ) A. 2 B.23 C ．－23 D ．2 高考真题：复数 1i （A ）1+i （B ）1?i （C ）?1+i （D ）?1?i 2．若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z= （A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+（D ）12i -- 3．设i 为虚数单位，则复数（1+i ）2 = （A ）0（B ）2（C ）2i （D ）2+2i 4．设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4 的项为 （A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20ix 4（D ）20ix 4 5（A ）i （B ）1+i （C ）i -（D ）1i - 6．若43i z =+，则 （A ）1（B ）1-（C D 7．若z=1+2i ，则 41 i zz =- A ． 1 B ． ?1 C ． i D ． ?i 8．设复数z 满足3z i i +=-，则z = A ．12i -+ B ．12i - C ．32i + D ．32i - 9．已知()()31z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 A ．()31-， B ．()13-， C ．()1,+∞ D ．()3-∞-， 10．设 的实部与虚部相等，其中 为实数，则 （） A ．?3 B ．?2 C ．2 D ．3 11．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y （A ）1（B C D ）2 12．(2017高考新课标III ，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ． B ． C ． D ．2 13．若复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是 A ． B ． 高中数学高考总复习复数习题及详解一、选择题 1．(2010·全国Ⅰ理)复数3＋2i 2－3i ＝() A．i B．－i C．12－13i D．12＋13i [答案] A [解析]3＋2i 2－3i ＝ (3＋2i)(2＋3i) (2－3i)(2＋3i) ＝ 6＋9i＋4i－6 13＝i. 2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是() A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i [答案] C [解析]由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－2 2＝2，y＝ 5＋3 2＝4， ∴点C对应的复数为2＋4i，故选C. 3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是() A．－1 B．4 C．－1和4 D．－1和6 [答案] C [解析]由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C. [点评]复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点． 4．(文)已知复数z＝ 1 1＋i ，则z－·i在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] B [解析]z＝1－i 2，z －＝1 2＋ i 2，z －·i＝－1 2＋ 1 2i.实数－ 1 2，虚部 1 2，对应点? ? ? ? ? － 1 2， 1 2在第二象 限，故选B. (理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋1 z() A．是纯虚数 B．是虚数但不是纯虚数 C．是实数 D．只能是零 [答案] C [解析]解法1：∵z的对应点P在单位圆上，∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋i sinθ. 则z2＋1 z＝ cos2θ＋i sin2θ＋1 cosθ＋i sinθ ＝ 2cos2θ＋2i sinθcosθ cosθ＋i sinθ ＝2cosθ为实数． 解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)， ∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1，∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1， ∴z2＋1 z＝z＋ 1 z＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R. 5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数 ．．．．是() A．－3＋i B．－3－i C．3＋i D．3－i 《复数》高考真题汇编 1、（2017北京文）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 2、（2017新课标Ⅱ理）． 3i 1i +=+ A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 3、（2017新课标Ⅲ理数）设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12 B ． C D ．2 4、（2017山东理）已知a R ∈,i 是虚数单位，若,4z a z z =?=，则a= （A ）1或-1 （B （C ） （D 5、（2017新课标Ⅰ理数）设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为（ ） A.13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 6、（2017新课标Ⅱ文）．(1i)(2i)++=（ ） A ．1i - B ．13i + C ．3i + D ．33i + 7、（2017北京理）若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 A （–∞，1） B （–∞，–1） C （1，+∞） D （–1，+∞） 8、（2017新课标Ⅲ文数）复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9、（2017新课标Ⅰ文数）下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A ．i(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．(1+i)2 D ．i(1+i) (1i)(i)a -+a (,1)-∞(,1)-∞-(1,)+∞(1,)-+∞ 2011年——2016年高考题专题汇编 专题2 复数 1、（16年全国1 文）设（1+2i ）（a +i ）的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 2、（16年全国1 理）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B （C 3、（16年全国3 文）若43i z =+，则|| z z = （A ）1 （B ）1- （C ）43+i 55 （D ） 43i 55- 4、（16年全国3 理）若z=1+2i ，则41 i zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i 5、（16年全国2 文）设复数z 满足i 3i z +=-，则z = （A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i - 6、（16年全国2 理）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）(31) -， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 7、（15年全国2 文）若a 为实数，且 231ai i i +=++，则a = A ．-4 B ．-3 C ．3 D ．4 8、（15年全国2理）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 9、（15年全国1 文）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z= （A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i 10、（15年全国1 理）设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B （C （D ）2 11、（14年新课标3 理）设103i z i =+，则z 的共轭复数为（ ） ※ 1.设复数z 1=－1+i ，z 2 = 2 3 21+ i ，则arg 21z z 等于（ ） A.－ 125π B.12 5 π C.127π D.1213π 2.复数z = i i m 212+-（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ※ 3.如果θ∈（ 2 π，π），那么复数（1＋i ）（cos θ＋i sin θ）的辐角的主值是（ ） A.θ＋ 4 9π B.θ＋ 4 π C.θ4 π - D.θ＋ 4 7π 4．复数（ 2 3 21+i ）3的值是（ ） A. －i C.－1 5.如图12—1，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ） ※ 6.已知复数ｚ＝ i 62+，则arg z 1 是（ ） A. 6 π B. 6 11π C. 3 π D. 3 5π ※ 7.设复数z 1＝－1－i 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转 6 5 π后得到向量2OZ ，令2OZ 对应的复数z 2的辐角主值为θ，则tan θ等于（ ） 图12—1 －3 B.－2＋3 ＋ 3 D.－2－ 3 ※ 8.在复平面内，把复数3－ 3i 对应的向量按顺时针方向旋转 3 π，所得向量对应的 复数是（ ） 3 B.－23i C. 3－3i + 3i ※ 9.复数z ＝)5 sin 5 (cos 3π π i --（i 是虚数单位）的三角形式是（ ） ［cos （5π- ）＋i sin （5 π-）］ （cos 5 π ＋i sin 5 π） （cos 54π＋i sin 5 4π） （cos 56π＋i sin 5 6π ） 10.复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.设复数z 1＝2sin θ＋i cos θ（ 4 π＜θ＜ 2 π )在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转 4 3 π后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为z 2＝ r （cos ?＋i sin ?），则tan ?等于（ ） A. 1 tan 2tan 2-θθ B. 1 tan 21 tan 2+-θθ C.1 tan 21+θ D.1 tan 21-θ ※ 12.复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是（ ） A. i 2 1 23± B.i 2 123±- 高考数学复数习题 1．复数3－i 1－i 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i 2．复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝ ( ) A ．0 B ．2 C ．－2i D ．2i 3．已知z 是纯虚数，z ＋2 1－i 是实数，那么z 等于 ( ) A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 4．若f (x )＝x 3－x 2 ＋x －1，则f (i)＝ ( ) A ．2i B ．0 C ．－2i D ．－2 5．复数z ＝2－i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a 的值为（ ） A ．－2 B ．－12 C ．2 D.1 2 7．设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 8．过原点和3－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B ．－π6 C.23 π D.5 6 π 9．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋bi c ＋di 为实数，则 ( ) A ．bc ＋ad ≠0 B ．bc －ad ≠0 C ．bc －ad ＝0 D ．bc ＋ad ＝0 10．已知复数z ＝1－2i ，那么1 z ＝ ( ) A.55＋255i B. 55－255i C.15＋25i D.15－25 i 11．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z1 z2 是实数，则实数b 的值为 ( ) A ．6 B ．－6 C ．0 D.1 6 12．如果复数 2－bi 1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( ) 全国卷高考题大全—复数 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 2011年——2016年高考题专题汇编 专题2 复数 1、（16年全国1 文）设（1+2i ）（a +i ）的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a= （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 2、（16年全国1 理）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B （C 3、（16年全国3 文）若43i z =+，则|| z z = （A ）1 （B ）1- （C ）43+i 55 （D ）43i 55- 4、（16年全国3 理）若z=1+2i ，则41 i zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i 5、（16年全国2 文）设复数z 满足i 3i z +=-，则z = （A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i - 6、（16年全国2 理）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）(31) -， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 7、（15年全国2 文）若a 为实数，且 231ai i i +=++，则a = A ．-4 B ．-3 C ．3 D ．4 8、（15年全国2理）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a= （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 9、（15年全国1 文）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z= （A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i 10、（15年全国1 理）设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B （C （D ）2 11、（14年新课标3 理）设103i z i =+，则z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i - 12、（14年新课标2 文）131i i +=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）1-2i (D) 1-2i - 13、（14年新课标2 理）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 14、（14年新课标1 文）设i i z ++= 11，则=||z A. 2 1 B. 2 2 C. 2 3 D. 2 15、（14年新课标1 理）3 2(1)(1) i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 16、（13年新课标2 文） 21i =+ (A) (B) 2 (D) 1 17、（13年新课标2 理）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z= （ ） （A ）-1+i （B ）-1-i （C ）1+i （D ）1-i 18、（12年新课标2 文）复数z ＝－3+i 2+i 的共轭复数是 （A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i 高考复习试卷(附参考答案) 一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1．(2013·山东)复数3－i 1－i 等于 ( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i 答案：C 解析：3－i 1－i ＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i) ＝4＋2i 2＝2＋i.故选C. 2．(2013·宁夏、海南)复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝ ( ) A ．0 B ．2 C ．－2i D ．2i 答案：D 解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13 －－13i 13＝i ＋i ＝2i. 3．(2013·陕西)已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z 等于 ( ) A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 答案：D 解析：由题意得z ＝a i.(a ∈R 且a ≠0)． ∴z ＋21－i ＝(2＋a i)(1＋i)(1－i)(1＋i) ＝2－a ＋(a ＋2)i 2， 则a ＋2＝0，∴a ＝－2.有z ＝－2i ，故选D. 4．(2013·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2＋x －1，则f (i)＝ ( ) A ．2i B ．0 C ．－2i D ．－2 答案：B 解析：依题意，f (i)＝i 3－i 2＋i －1＝－i ＋1＋i －1＝0，选择B. 5．(2013·北京朝阳4月)复数z ＝2－i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D 解析：z ＝2－i 1＋i ＝12－32 i ，它对应的点在第四象限，故选D. 6．(2013·北京东城3月)若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a 的值为 ( ) A ．－2 B ．－12 C ．2 D.12 答案：A 解析：2＋i i ＝1－2i ，把它表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a 的值为－2，故选A. 7．(2013·北京西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 答案：B 解析：z ＝tan45°－i·sin60°＝1－32i ，z 2＝14 －3i ，故选B. 8．(2013·黄冈中学一模)过原点和3－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B ．－π6 C.23π D.56 π高考数学各地试题知识点分类汇编复数
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