高考复数专题及答案42705

复数专题及答案（一）

1.【2015高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B

【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 【考点定位】复数的运算．

【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．

2.【2015高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32

i i

-( )

（A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i 【答案】C 【解析】

32222i

i i i i i i i

-

=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.

【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.

3.【2015高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）

A ．32i -

B ．32i +

C ．23i +

D ．23i - 【答案】D ．

【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ． 【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．

【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-． 4.【2015高考新课标1，理1】设复数z 满足

11z

z

+-=i ，则|z|=( )

（A ）1 （B （C （D ）2

【答案】A 【解析】由

11z i z +=-得，11i z i -+=

+=(1)(1)

(1)(1)

i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.

【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性. 5.【2015高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ） A ．12i +

B ．12i -

C ．12i -+

D ．12i --

【答案】A

考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-. 【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.

6.【2015高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．

为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 【答案】A

【解析】i i i i -=?=?31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数. 【

名

师

点

睛

】

复

数

中

，

i

是虚数单

位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，， 7.【2015高考山东，理2】若复数z 满足

1z

i i

=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+

【答案】A 【解析】因为

1z

i i

=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.

【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解.

本题属于基础题，注意运算的准确性.

8.【2015高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i

i

-在复平面内所对应的点位于（ ）

（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B 【解析】由题意

22(1)2211(1)(1)2

i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.

【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.

【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，

要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .

9.【2015高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ，则（a +bi ）（a -bi ）=________. 【答案】3

【解析】由a bi +=得

=，即223a b +=，所以

22()()3a bi a bi a b +-=+=. 【考点定位】复数的运算.

【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要

相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a bi +=据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-

2

2a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．

10.【2015高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 . 【答案】2-

【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-. 【考点定位】复数相关概念与复数的运算.

【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.

11.【2015江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 【答案】5

【解析】22|||34|5||5||5z i z z =+=?=?= 【考点定位】复数的模

【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复

数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：

2211121222||

||||||||||.

||z z z z z z z z z z ==?=，， 12.【2015高考湖南，理1】已知

()2

11i i z

-=+（i 为虚数单位）

，则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i -- 【答案】D.

【考点定位】复数的计算.

【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学

生对复数代数形式四则运

算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数

的乘法进行计算，而复数

的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.

13.【2015高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则

z = ．

【答案】11

42

i +

【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则1

13()141214

2

a bi a bi i a

b z i ++-=+?==?=+且 【考点定位】复数相等，共轭复数

【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加. 【2015高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件 【答案】B

【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B. 【考点定位】复数概念，充要关系

【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.

复数专题及答案（二）

一、选择题

1．(2010·全国Ⅰ理)复数3＋2i

2－3i

＝()

A．i B．－i C．12－13i D．12＋13i [答案] A

[解析]3＋2i

2－3i

＝

(3＋2i)(2＋3i)

(2－3i)(2＋3i)

＝

6＋9i＋4i－6

13＝i.

2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()

A．4＋8i

B．8＋2i

C．2＋4i

D．4＋i

[答案] C

[解析]由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－2

2＝2，y＝

5＋3

2

＝4，

∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.

3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是()

A．－1

B．4

C．－1和4

D．－1和6

[答案] C

[解析]由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.

[点评]复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点．

4．(文)已知复数z ＝11＋i

，则z －·i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B

[解析] z ＝1－i 2，z －＝12＋i 2，z －·i ＝－12＋12i .实数－12，虚部12，对应点? ???

?

－12，12在第二象限，故选B.

(理)复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z 2＋1

z ( ) A ．是纯虚数 B ．是虚数但不是纯虚数 C ．是实数 D ．只能是零 [答案] C

[解析] 解法1：∵z 的对应点P 在单位圆上， ∴可设P (cos θ，sin θ)，∴z ＝cos θ＋i sin θ. 则z 2＋1z ＝cos2θ＋i sin2θ＋1cos θ＋i sin θ＝2cos 2θ＋2i sin θcos θcos θ＋i sin θ

＝2cos θ为实数．

解法2：设z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )， ∵z 的对应点在单位圆上，∴a 2＋b 2＝1， ∴(a －bi )(a ＋bi )＝a 2＋b 2＝1，

∴z 2＋1z ＝z ＋1

z ＝(a ＋bi )＋(a －bi )＝2a ∈R . 5．(2010·广州市)复数(3i －1)i 的共轭复数．．．．是( ) A ．－3＋i B ．－3－i C ．3＋i

D．3－i

[答案] A

[解析](3i－1)i＝－3－i，其共轭复数为－3＋i.

6．(2010·湖南衡阳一中)已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为()

A．－4

B．4

C．－1

D．1

[答案] A

[解析]由(x－1)i－y＝2＋i得，x＝2，y＝－2，所以(1＋i)x－y＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故选A.

7．(文)(2010·吉林市质检)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

[答案] D

[解析]∵z＝z1z2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i，∴选D.

(理)现定义：e iθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对e iθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋C54cosθsin4θ，b＝C51cos4θsinθ－C53cos2θsin3θ＋C55sin5θ，那么复数a＋b i等于() A．cos5θ＋isin5θ

B．cos5θ－isin5θ

C．sin5θ＋icos5θ

D．sin5θ－icos5θ

[答案] A

[解析]a＋b i＝C50cos5θ＋iC51cos4θsinθ＋i2C52cos3θsin2θ＋i3C53cos2θsin3θ＋i4C54cosθsin4θ＋i5C55sin5θ＝(cosθ＋isinθ)5＝(e iθ)5＝e i(5θ)＝cos5θ＋isin5θ，选A.

8．(文)(2010·安徽合肥市质检)已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋xi (其中i 为虚数单位)，若复数a

b ∈R ，则实数x 的值为( )

A ．－6

B ．6 C.83 D ．－83 [答案] C

[解析] a b ＝3＋2i 4＋xi ＝(3＋2i )(4－xi )

16＋x 2

＝

12＋2x 16＋x 2＋? ????8－3x 16＋x 2 i ∈R ，∴8－3x 16＋x 2

＝0，∴x ＝

83. (理)(2010·山东邹平一中月考)设z ＝1－i (i 是虚数单位)，则z 2＋2

z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i [答案] C

[解析] ∵z ＝1－i ，∴z 2＝－2i ，2z ＝21－i ＝1＋i ，

∴z 2＋2

z ＝1－i ，选C.

9．(2010·山东聊城市模拟)在复平面内，复数2

1－i

对应的点到直线y ＝x ＋1的距离是( )

A.22

B. 2 C ．2 D ．2 2 [答案] A

[解析]∵2

1－i ＝

2(1＋i)

(1－i)(1＋i)

＝1＋i对应点为(1,1)，它到直线x－y＋1＝0距离

d＝1

2

＝

2

2，故选A.

10．(文)(2010·山东临沂质检)设复数z满足关系式z＋|z－|＝2＋i，则z等于() A．－

3

4＋i

B.

3

4－i

C.

3

4＋i

D．－

3

4－i

[答案] C

[解析]由z＝2－|z－|＋i知z的虚部为1，设z＝a＋i(a∈R)，则由条件知a＝2

－a2＋1，∴a＝3

4，故选C.

(理)(2010·马鞍山市质检)若复数z＝a＋i

1－2i

(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则|a

＋2i|等于()

A．2

B．2 2

C．4

D．8

[答案] B

[解析]z＝a＋i

1－2i

＝

(a＋i)(1＋2i)

5＝

a－2

5＋

2a＋1

5i是纯虚数，∴

??

?

??a－25＝0

2a＋1

5≠0

，

∴a＝2，

∴|a＋2i|＝|2＋2i|＝2 2.

二、填空题

11．规定运算??

????a

b c d ＝ad －bc ，若????

?? z i －i 2＝1－2i ，设i 为虚数单位，则复数z ＝________.

[答案] 1－i

[解析] 由已知可得??

??

??

z i －i 2＝2z ＋i 2＝2z －1＝1－2i ，∴z ＝1－i . 12．(2010·南京市调研)若复数z 1＝a －i ，z 2＝1＋i (i 为虚数单位)，且z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为________．

[答案] －1

[解析] 因为z 1·z 2＝(a －i )(1＋i )＝a ＋1＋(a －1)i 为纯虚数，所以a ＝－1. 13．(文)若a 是复数z 1＝1＋i

2－i

的实部，b 是复数z 2＝(1－i )3的虚部，则ab 等于________．

[答案] －25

[解析] ∵z 1＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋3

5i ，

∴a ＝15.

又z 2＝(1－i )3＝1－3i ＋3i 2－i 3＝－2－2i ，∴b ＝－2. 于是，ab ＝－2

5. (理)如果复数2－bi

1＋2i

(i 是虚数单位)的实数与虚部互为相反数，那么实数b 等于________．

[答案] －2

3

[解析] 2－bi 1＋2i ＝2－bi 1＋2i ·1－2i 1－2i ＝2－2b 5－b ＋4

5i ，

由复数的实数与虚数互为相反数得，2－2b 5＝b ＋4

5， 解得b ＝－2

3.

14．(文)若复数z ＝sin α－i (1－cos α)是纯虚数，则α＝________.

[答案] (2k ＋1)π (k ∈Z )

[解析] 依题意，??? sin α＝01－cos α≠0，即???

α＝k πα≠2k π，所以α＝(2k ＋1)π (k ∈Z )． [点评] 新课标教材把《复数》这一章进行了精简，不再要求复数的三角形式以及复杂的几何形式和性质；对于复数的模的要求很低，了解概念就行．主要考查复数的代数形式以及复数的四则运算，这是我们复习的重点，不要超过范围．

(理)(2010·上海大同中学模考)设i 为虚数单位，复数z ＝(12＋5i )(cos θ＋i sin θ)，若z ∈R ，则tan θ的值为________．

[答案] －5

12

[解析] z ＝(12cos θ－5sin θ)＋(12sin θ＋5cos θ)i ∈R ， ∴12sin θ＋5cos θ＝0，∴tan θ＝－5

12. 三、解答题

15．(2010·江苏通州市调研)已知复数z ＝a 2－7a ＋6

a ＋1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )．

试求实数a 分别为什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

[解析] (1)当z 为实数时，???

a 2－5a －6＝0

a ＋1≠0，

∴a ＝6，∴当a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，???

a 2－5a －6≠0

a ＋1≠0，

∴a ≠－1且a ≠6，

故当a ∈R ，a ≠－1且a ≠6时，z 为虚数．

(3)当z 为纯虚数时，???

a 2－5a －6≠0

a 2

－7a ＋6＝0

a ＋1≠0

∴a ＝1，故a ＝1时，z 为纯虚数．

16．(2010·上海徐汇区模拟)求满足????

??z ＋1z －1＝1且z ＋2

z ∈R 的复数z .

[解析] 设z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )， 由??

????

z ＋1z －1＝1?|z ＋1|＝|z －1|， 由|(a ＋1)＋bi |＝|(a －1)＋bi |，

∴(a ＋1)2＋b 2＝(a －1)2＋b 2，得a ＝0， ∴z ＝bi ，又由bi ＋2

bi ∈R 得， b －2

b ＝0?b ＝±2，∴z ＝±2i .