微分方程模型

1972
t0
5730 ln 2
ln
38.37 29.78
2095
t0 1972 2095 123(年)
即马王堆墓入葬的年代大约在公元前123年左右的 西汉中期，这与马王堆出土文物的考证结果相一 致。
五 追踪问题
问题
在南海海域我缉私舰雷达发现在距舰艇d n mile处 有一艘走私船正以匀速a n mile/h朝垂直方向逃窜， 缉私舰立即以最大速度v n mile/h追赶。在雷达向导 下，缉私舰的速度方向始终指向走私船，试求缉私 舰的追踪轨迹及追上所用的时间。
模型求解
解微分方程Hale Waihona Puke Baidu
x(t)
x e (tt0 ) 0
当t -
t0=T 时
x(t)
1 2
x0
代入上式得
1 2
x0
x0eT
ln 2
T
从而
x(t)
x e
ln 2 T
(
t
t0
)
0
t
t0
T ln 2
ln
x0 x(t)
将t=1972，T=5730，x0=38.37，x(1972)=29.78代入 上式，得
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现 象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复 杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象， 建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上 求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际 情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际 现象。
三、物体达到的最大高度
问题：在地面上以初速度 v铅0 直向上射一物体，
生物体死亡后，动植物的尸体停止了吸收C14， 其体内的C14将由于衰变不断减少。
模型建立
设 t 时刻生物体内C14含量为x( t )，放射性物质 的半衰期为T，生物体死亡的时刻为t0，则
dx
x
dt
x(t0 ) x0
0 为衰变系数，由放射性物质所决定，x0为生物
体死亡时刻t0的C14含量。
四 古尸年代鉴定问题
1972年发掘长沙市马王堆一号汉墓时，对 其棺外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它的 碳-C14的蜕变次数为29.78次/min，而新烧成的同 种木材中的-C14原子蜕变次数为38.37次/min。已 知碳-C14的半衰期为5730年，据此，推断此女尸 下葬的年代？
背景
C14年代测定方法是1949年美国芝加哥大学利比 （W.F.Libby）建立的，是考古工作者研究断代 的重要手段之一。
F=－mg
k mgR2
所以
F
mg
R2 (R s)2
由牛顿第二定律：F=ma
mg
R2 (R s)2
m
d 2s dt2
d 2s dt 2
gR2 (R s)2
二阶微分方程
s(0) 0 初始条件 s(0) v0
令
ds v dt
d 2s dv dv ds dv v
dt2 dt ds dt ds
二 建立微分方程模型的方法
（1）根据变化规律列方程 利用熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中
的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规 律等。对某些实际问题直接列出微分方程．
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式， 与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数 及其导数应用规律。
（3）模拟近似法
设地球引力与物体到地心距离平方成反比，求 物体可能达到的最大高度。若物体脱离太阳系，
则 应为多少v？ 0
解：已知地球半径R＝6370公里，假设空气阻力不计 （仅讨论此简单情况）。
设在t 时刻物体的高度为s＝s( t )，
所以物体受地球的引力为：
F
(R
k
s)2
k 0
求比例系数k
因为当物体在地面上时 s＝0,
基本原理
放射性元素衰变的速率不受环境的影响，总是和 该元素当前的量成正比。
宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引 起核反应而生成具有放射性的C14。从古至今，
C14不断产生，同时其本身又在不断的放出 射
线而裂变为氮。大气中C14处于动态平衡状态。
C14经过一系列交换过程进入活体内，活着的 生物体由于不断的新陈代谢，体内的C14的也处于 动态平衡，其含量在活体内所占的百分比自古至 今不变。
gR
0
因此物体的最大高度为
smax
v02 R 2gR v02
如果物体脱离太阳系，必须 s→+∞，
而由上式知，当2gR v02 0时， s→+∞ 所以应取 v0 2gR
将g＝9.8米／秒2 R＝6370 km代入上式
v0 2gR ≈11.2公里／秒
—第二宇宙速度 思考题： 若有空气阻力，如何建立其数学模型？
模型建立 v a 缉私舰不可能追上走私船。
下面考虑 v a
以缉私舰发现走私船是的位置为O，走私船行驶的 方向为y轴方向建立坐标系。
设缉私舰的追踪轨迹为y=y(x)，经过时间t缉私舰 位于P(x,y), 走私船到达Q(d,at)。
由于缉私舰始终指向走私船， y 所以PQ就是追踪曲线在P处 的切线，故
微分方程模型(I)
• 微分方程解题步骤 • 建立微分方程模型的方法 • 物体达到的最大高度 • 古尸年代鉴定问题 • 追踪问题
一、微分方程模型建模步骤
1、翻译或转化：
实际问题中许多表示导数的词，如 “速率”、 “增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰 变” (在放射性问题中)，以及“边际的”(在经 济学中)等．
y dy at y dx d x
(d x)y y at
由于用时相等，则弧OP的长度
与AQ之比为v/a，即
O
x 1 ydx v at
0
a
(d x)y y a x 1 y2 dx v0
则有
dv
gR2
v ds (R s)2
分离变量
gR2 vdv (R s)2 ds
积分得
1 v2 gR2 c 2 Rs
由初始条件
s(0) 0 s(0) v0
c
1 2
v02
gR
故
1 2
v2
gR2 Rs
1 2
v02
gR
又因为当物体达到最大高度时 v＝0,
令 v＝0，
gR2 Rs
1 2
v02
2、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变△t 时，因变量的增
量△w，建立起在时段△t上的增量表达式，令 △t →0，即得到 dw的表达式．
dt
3、配备物理单位： 在建模中应注意每一项采用同样的物理单位．
4、确定条件：
这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确 定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学 陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。