第10讲 离散系统的数学模型及其响应

零输入响应与零状态响应
y(n) 5 y(n 1) 6 y(n 2) f (n)
f (n) (n) y(1) 3 y(2) 2
求零输入响应 y zi (n) 、零状态响应y zs (n) 和全响应
解 （3）全响应。
y(n) y zi (n) y zs (n)
i m 1

N
C i pin
2. 特解yp(n)（强迫响应）
特解的函数形式与激励信号的形式有关。
激励
A
f (n)
C
k
特解形式
C k n k C k 1 n k 1 C 1 n C 0
C 1 sin n C 2 cos n
n
cos( n ) sin( n )
任意序列作用下的零状态响应
激励 单位响应： (n)
LTI离散系统
零状态
响应 h(n) h(n-k) f(k)h(n-k)
k -
(n-k)
f(k)(n-k)
k -
（时不变性） （齐次性） ‖


f ( k ) ( n - k )
f (n)
‖

f ( k )h( n - k ) （可加性）
f (n) (n) y(1) 3 y(2) 2
求零输入响应 y zi (n) 、零状态响应y zs (n) 和全响应
解 （2）求零状态响应。 系统的特征函数为 fT (n) 3n (n) 2n (n) 强迫函数为 f (n) (n)
则零状态响应为
yzs (n) fT (n) f (n) 3n (n) 2 n (n) (n) 9 1 ( 3 n 4 2 n ) (n) 2 2
任意离散序列f(n) 可表示为：
n
f ( n ) f ( 1) ( n 1) f ( 0 ) ( n ) f (1) ( n 1) f ( 2 ) ( n 2 ) f ( i ) ( n i )

i


f ( i ) ( n i )
5）根据初始值确定y(n) 中 yc(n)部分的待定系数；
6）将上步得到的系数带入通解表达式。
1. 齐次解yc(n)（自由响应）
齐次解是齐次差分方程
a N y(n) a N 1 y(n 1) a1 y(n N 1) a0 y(n N ) 0
的解。 yc(n) 的函数形式差分方程的特征根确定。 系统特征方程： a p N a p N 1 a p a 0 N N 1 1 0 1）若特征根为相异单根 p1 , p2 , , p N
零输入响应与零状态响应
y(n) 5 y(n 1) 6 y(n 2) f (n)
f (n) (n) y(1) 3 y(2) 2
求零输入响应 y zi (n) 、零状态响应y zs (n) 和全响应
解 （1）求零输入响应。 特征方程为 2 5 6 0
y(n) yh (n) y p (n)
经典解法基本步骤
1) 写出特征方程，并求出特征根； 2）根据特征根，求对应齐次方程齐次解yc(n)； 3）根据激励形式、特征根，写出差分方程的特解形式， 代入差分方程，求非齐次方程特解yp(n) ；
4）写出差分方程通解 y(n) = yc(n) + yp(n) ；
n0
n n 1 2C 2 n 2 2 n 代入差分方程： C 2 3C 2
可得
( 3)
y p ( n)
1 (2n ) 3
n0
1 (2n ) 3 n0
全 响 应 为y ( n ) C 1 ( 1) n C 2 ( 2 ) n
（4）代入初始条件：C1=2/3， C2= -1
初始条件y(0)=0， y(1)=2，求系统的响应 y(n)。
解：
( 2)
(1)
p1 1 p2 2 p2 3 p 2 0 n yc (n) C1 (1) C2 (2)n 激 励 为f ( n ) 2 n ( n ) y p ( n ) C ( 2 n )
N
零输入响应
（1）若这些特征根都是单根，则零输入响应为
yzi (n) (c11n c22n cN N n ), n 0
（2）若特征根中含有重根，则零输入响应为
yzi (n) [(c1 c2n cr nr 1 )1n cr 1r 1n cN N n ], n 0
y zs (n) f (n) h(n)
卷积和
利用h(n)求解零状态响应yzs(n)
yzs (n) f (n) h(n)
某线性时不变离散时间系统的单位序列响应 h(n) a (n)
n
m


f (m)h(n m)
求当激励为
n
f (n) bn (n)
时系统的零状态响应 yzs (n)
第2章 系统的时域分析---导读




本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型---常系数线性微分 方程。 然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初 始条件求待定系数。 为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入 响应和零状态响应。 仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得 到；零状态响应的求解则用卷积方法。 冲激响应和阶跃响应是两种很重要的零状态响应，在求解系统 响应和进行系统特性分析都起到了很重要的作用。
(n)
(n)
离散时间系统 （零状态）
h(n)
s(n)
(n) 的零状态响应，称为系统 阶跃响应： 离散系统对单位序列 （单位阶跃响应） 的单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为s(n) 。
离散LTI系统的冲激响应与阶跃响应
单位冲激响应与单位阶跃响应都是零状态响应。 根据零状态响应的求法易得
h(n ) fT (n ) f (n )
全响应为 y ( n )
2 1 ( 1) n ( 2) n ( 2 n ) 3 3
n0
零输入响应和零状态响应
系统的全响应y(n)可以分解为 零输入响应yzi(n)和零状态响应yzs(n) 。
y(n) = yzi(n) + yzs(n)
零输入响应和零状态响应可以分别求解。
零输入响应
a n bn ( n) yzs (n) a b (n 1)b n (n) ab a b
yzs (n) f (n) h(n) a n (n) b n (n) a mbn m bn a mb m
m0 m0 n
本章主要内容

2.1 连续LTI系统的数学模型 2.2 经典的微分方程的求解方法 2.3 零状态响应和零输入响应 2.4 系统的冲激响应和阶跃响应 2.5 离散LTI系统的模型与求解
第11讲 离散LTI系统的时域分析
离散系统的时域分析

离散系统的差分方程描述 离散系统的零输入响应 离散系统的零状态响应 离散系统的冲激响应和阶跃响应
y(n) yc (n) yp (n)
离散系统 差分方程
卷积积分
( t ), ( t )
卷积和
( n), ( n)
h(t ), s(t )
h(n), s(n)
离散系统的差分方程描述
LTI离散系统的数学模型是N阶常系数线性差分方程
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) aN y(n N ) b0 f (n) b1 f (n 1) bM f (n M )
，
1 3
2 2
n n 则零输入响应为 yzi (n) c1 3 c2 2 , n 0
利用初始条件
y(1) 3
y(2) 2
c1 9
c2 12
yzi (n) (9 3n 12 2n ), n 0
零输入响应与零状态响应
y(n) 5 y(n 1) 6 y(n 2) f (n)
n n n 齐次解形式为： y c ( n ) C 1 p1 C 2 p2 C N pN
C
i 1
N
i
pin
2）若特征根包含一个 m 阶重根 p1 ，其它为单根 齐次解形式为：
n yc ( n ) (C 1 n m 1 C 2 n m 2 C m 1 n C m ) p1
差分方程的解法
1.时域经典法：齐次解+特解
2.零输入响应+零状态响应
零输入响应：特征方程-特征根-齐次解形式-待定系数 零状态响应：卷积和 3. z变换法 反变换 y(n)
差分方程时域经典分析法
与微分方程经典解类似，差分方程的解由齐次解和 特解两部分组成。
齐次解 用 yh(n) 表示； 特解 用 yp(n) 表示， 即:
C sin( n )
r
e an enjn
Ce an
C e j n
rn
（r与特征根不相重） （r与特征根重）
Cr n
C 1 nr n C 2 r n
例：已知描述系统的差分方程为：
y ( n ) 3 y ( n 1) 2 y ( n 2 ) 2 n ( n )
在零输入条件下，系统差分方程可写为齐次方程：
y(n) a1 y(n 1) a2、 y(n 2) aN y(n N ) 0
其特征方程为
2 N a1N 1 a2 N aN 1 aN 0 。
解得 N 个特征根为 1
2 、…、
待定系数可利用个起始状态值得到。
零状态响应
在零状态情况下，系统的差分方程的形式为
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2wk.baidu.com aN y(n N ) f (n)
强迫函数为 f (n) b0 f (n) b1 f (n 1) bM f (n M ) 特征函数为 fT (n) 1n (n) 2n (n) N n (n) 类似于连续系统，离散LTI系统的零状态响应为 yzs (n) fT (n) f (n)
差分方程式中N为差分方程的阶数，ai和bj为实常数
离散系统的差分方程描述
例1：某人每月初均存入银行固定款 f(n) ，月息为a ，
每月本息不取，试求第n个月初存入款时的本息之和 y(n) 为多少？ y(n) = (1+a)y(n-1) + f(n) y(n) - (1+a)y(n-1)= f(n)
f ( n ) ( n )
s(n ) f T (n ) f (n )
s(n) h(n m)
m 0
f ( n ) ( n )
冲激响应与单位阶跃响应的关系
h(n) s(n) s(n 1)
利用h(n)求解零状态响应yzs(n)
f ( n)
任意序列的时域分解：
9 1 (9 3n 12 2n ) ( 3n 4 2 n ) 2 2 1 1 (2 n 3 3n 2 ), n 0 2 2
离散LTI系统的冲激响应与阶跃响应
冲激响应： 离散系统对单位序列 (n) 的零状态响应，称为系 （单位冲激响应） 统的单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(n) 。
离散系统与连续系统的比较
描述 求解
系统分析 运算 基本信号 基本响应
y(t ) yc (t ) yp (t )
连续系统 微分方程
y(t ) yzi (t ) yzs (t ) yzs (t ) f (t ) h(t )
y(n) yzi (n) yzs (n) yzs (n) f (n) h(n)