一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.2 函数的定义域和值域课时规范训练

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第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.2 函数的定义域和值域课时
规范训练 理 北师大版
[A级 基础演练]
1．(2016·济南质检)函数y＝xx－1＋x的定义域为( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}

解析：由题意得 xx－1≥0x≥0，即 x≤0或x≥1，x≥0.
所以{x|x≥1}∪{0}．
答案：C

2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)

解析：由已知有 0≤2x≤2x－1≠0，得0≤x＜1，
∴定义域为[0,1)．
答案：B

3．已知函数f(x)＝ 3－x2，x∈[－1，2]，x－3，x∈2，5]，则方程f(x)＝1的解是( )
A.2或2 B.2或3
C.2或4 D．±2或4
解析：当x∈[－1,2]时，由3－x2＝1⇒x＝2；
当x∈(2,5]时，由x－3＝1⇒x＝4.
综上所述，f(x)＝1的解为2或4.
答案：C

4．函数y＝1－x2－3x＋4＋ln(x＋1)的定义域为________．

解析：由 x＋1>0，－x2－3x＋4>0，得－1答案：(－1,1)
5．函数y＝x－x(x≥0)的值域为________．
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解析：y＝x－x＝－(x)2＋x＝－x－122＋14，
∴ymax＝14.故值域为－∞，14.
答案：－∞，14
6．函数y＝f(x)的图像如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；
其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．

解析：由图像知，函数y＝f(x)的图像包括两部分，一部分是以点(－3,2)和(0,4)为两
个端点的一条曲线段，一部分是以(2,1)为起点，到(3,5)结束的曲线段，故其定义域是[－
3,0]∪[2,3]，值域为[1,5]，只与x的一个值对应的y值的取值范围是[1,2)∪(4,5]．
答案：[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
7．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝1－x－x；
(2)y＝log2(x2－2x＋1)；
(3)
x 0 1 2 3 4
5

y 2 3 4 5 6
7

解：(1)要使函数有意义，则 1－x≥0，x≥0.
∴0≤x≤1，函数的定义域为[0,1]．
∵函数y＝1－x－x为减函数，
由1≥ x≥0，得－1≤－ x≤0，
又0≤ 1－x≤1，所以－1≤y≤1.
∴函数的值域为[－1,1]．
(2)要使函数有意义，
则x2－2x＋1>0，∴x≠1，
函数的定义域为{x|x≠1，x∈R}，
∵x2－2x＋1∈(0，＋∞)，
∴函数的值域为R.
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(3)函数的定义域为{0,1,2,3,4,5}，
函数的值域为{2,3,4,5,6,7}．
8．某公司招聘员工，连续招聘三天，应聘人数和录用人数符合函数关系y＝






4x，1≤x≤10
2x＋10，101.5x，x>100
其中，x是录用人数，y是应聘人数．若第一天录用9人，第二

天的应聘人数为60，第三天未被录用的人数为120.求这三天参加应聘的总人数和录用的总
人数．
解：由1<9<10，
得第一天应聘人数为4×9＝36.
由4x＝60，得x＝15∉[1,10]；
由2x＋10＝60，得x＝25∈(10,100]；
由1.5x＝60，得x＝40<100.
所以第二天录用人数为25.
设第三天录用x人，则第三天的应聘人数为120＋x.
由4x＝120＋x，得x＝40∉[1,10]；
由2x＋10＝120＋x，得x＝110∉(10,100]；
由1.5x＝120＋x，得x＝240>100.
所以第三天录用240人，应聘人数为360.
综上，这三天参加应聘的总人数为36＋60＋360＝456，
录用的总人数为9＋25＋240＝274.
[B级 能力突破]
1．函数y＝16－4x的值域是( )
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
解析：∵16－4x≥0且4x>0，∴0≤16－4x<16，
∴0≤16－4x<4，故选C.
答案：C

2．(2014·高考上海卷)设f(x)＝ x－a2，x≤0，x＋1x＋a，x＞0.若f(0)是f(x)的最小值，
则a的取值范围为( )
A．[－1,2] B．[－1,0]
C．[1,2] D．[0,2]
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解析：∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0.当x＞0时，
f(x)＝x＋1x＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x
)的最小值，需2＋

a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解之，得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a
≤2.选D.

答案：D

3．(2016·龙岩质检)已知函数f(x)＝log12(4x－2x＋1＋1)的值域是[0，＋∞)，则它的
定义域可以是( )
A．(0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1] D．(－∞，0]
解析：依题意得0<4x－2x＋1＋1≤1，即0<(2x－1)2≤1，∴－1<2x－1≤1且2x－1≠0，即
0<2x≤2且2x≠1，∴x≤1且x≠0，可排除C、D；对于B，当x∈(0,1)时，f(x)∈(0，＋∞)，
故选A.
答案：A

4．已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a，b](a，b为整数)，值域是[0,1]，则满
足条件的整数数对(a，b)共有________个．
解析：由0≤4|x|＋2－1≤1，得0≤|x|≤2.满足条件的整数数对有(－2,0)、(－2,1)、
(－2,2)、(0,2)、(－1,2)，共5个．
答案：5
5．(2016·北京东城测试)已知定义域为D的函数y＝f(x)，若对于任意x∈D，存在正
数K，都有|f(x)|≤K|x|成立，那么称函数y＝f(x)是D上的“倍约束函数”．已知下列函

数：①f(x)＝2x；②f(x)＝2sinx＋π4；③f(x)＝x3－2x2＋x；④f(x)＝x2x2＋x＋1(x>0)．
其中是“倍约束函数”的是________．(将你认为正确的函数序号都填上)
解析：对于①，f(x)＝2x，|2x|≤K|x|⇒K≥2，故存在正数K，对任意x∈R，都有

|f(x)|≤K|x|成立，故①满足；对于②，如图，由函数y＝2sinx＋π4和y＝K|x|的图像
可知，无论K取何正值，总存在x∈(0，x0)不满足不等式成立，故②不满足；对于③，若
|fx|
|x|
＝|x2－2x＋1|≤K恒成立，需K≥|x2－2x＋1|max，但|x2－2x＋1|无最大值，故
K

不存在，③不满足；对于④，|fx||x|＝x2x2＋x＋1|x|＝xx2＋x＋1＝1x＋1x＋1≤13，只需K≥
1
3

即可，故④满足．综上，满足题意的为①④.
5

答案：①④
6．设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在[0,1]上的值域
为[－2,5]，则f(x)在[0,3]上的值域为________．
解析：设x1∈[0,1]，f(x1)＝x1＋g(x1)∈[－2,5]．∵函数g(x)是以1为周期的函数，
∴当x2∈[1,2]时，f(x2)＝f(x1＋1)＝x1＋1＋g(x1)∈[－1,6]，
当x3∈[2,3]时，f(x3)＝f(x1＋2)＝x1＋2＋g(x1)∈[0,7]．
综上可知，当x∈[0,3]时，f(x)∈[－2,7]．
答案：[－2,7]
7．(创新题)已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6(a∈R)．
(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数的值域为非负数，求函数g(a)＝2－a|a＋3|的值域．
解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，
∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0，

∴2a2－a－3＝0，∴a＝－1或a＝32.
(2)∵对一切x∈R函数值均为非负，
∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝8(2a2－a－3)≤0.

∴－1≤a≤32.
∴a＋3>0，
∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2

＝－a＋322＋174a∈－1，32.

∵二次函数g(a)在－1，32上单调递减，
∴g32≤g(a)≤g(－1)，
即－194≤g(a)≤4.
∴g(a)的值域为－194，4.