2020高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲命题充分条件与必要条件知能训练轻松闯关理北师大版
2019-2020年高考数学一轮总复习第1章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系充分条件与必要条件模拟演练理
(4 ，＋∞ ) 的真子集，故有 m≤－ 2，即 m的最大值为－ 2.
9．[xx ·苏州模拟
] 已知
p：A＝
{
x|
x2－
2x－3≤0，
x∈
R}
，q：B＝
{
x|
x
2
－
2mx＋
m2－ 9≤ 0，
x∈ R，m∈ R} ．
(1) 若 A∩ B＝ [1,3] ，求实数 m的值；
(2) 若 p 是綈 q 的充分条件，求实数 m的取值范围．
2
a＋ 1>1
1 或 a<2，
a＋1≥1，
1 故所求实数 a 的取值范围是 0，2 .
[ B 级 知能提升 ]( 时间： 20 分钟 ) 11．[xx ·金版创新 ] 已知条件 p：x＋y≠－ 2，条件 q：x，y 不都是－ 1，则 p 是 q 的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 ( 等价法 ) 因为 p：x＋ y≠－ 2，q：x≠－ 1 或 y≠－ 1，所以綈 p：x＋ y＝－ 2，綈 q： x＝－ 1 且 y＝－ 1，因为綈 q? 綈 p 但綈 p?/ 綈 q，所以綈 q 是綈 p 的充分不必要条件，即 p 是 q 的充分不必要条件．故选 A. 12． [x x·重庆高考 ] “ x>1”是“ log 1 ( x＋2)<0 ”的 ( )
2 A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由 log 1 ( x＋2)<0 可得 x＋ 2>1，即 x>－ 1，而 { x| x>1} { x| x>－1} ，所以“ x>
2020届高考数学一轮总复习第一单元集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件课件理
故真命题的个数为 2.
答案：B
4．(2018·天津卷)设 x∈R，则“x3>8”是“|x|>2”的( )
A．充分而不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解：因为 A∩B＝A⇔A⊆B， 所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件.
答案：C
四种命题及其真假判断 充要条件的判断 根据充要条件求解参数的取值范围
考点1·四种命题及其真假判断
【例 1】(2018·清远期末)原命题为“若 z1，z2 互为共轭复 数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性 的判断依次如下，正确的是
(2)解此类问题要注意：
①注意命题等价转化，如将﹁p 与﹁q 的关系转化为 p 与 q 的关系；
②注意区间端点值的检验．
1．判断一个语句是否为命题，关键是看能否判断真 假．数学中的定义、公理、定理都是命题，但命题与定理 是有区别的：命题有真假之分，而定理都是真命题．
2．一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两 个命题的真假无此规律，判断一个命题为真必须经过证明， 而判定一个命题为假只需举一个反例就行．
答案：C
2．(2018·马鞍山三模)命题 p：若 a>b，则 a－1>b－1， 则命题 p 的否命题为( )
A．若 a>b，则 a－1≤b－1 B．若 a≥b，则 a－1<b－1
C．若 a≤b，则 a－1≤b－1 D．若 a<b，则 a－1<b－1
解：根据一个命题的否命题的构成，即将条件和结论 均否定，因此所求命题的否命题是“若 a≤b，则 a－1≤b －1”．
2020届高考数学一轮复习第1章 集合与常用逻辑用语 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识批注——理解深一点1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论汇总——规律多一点1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．其他情况以此类推．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)“x 2＋2x －8<0”是命题．( )(2)一个命题非真即假．( )(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( )(4)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×(二)选一选1．“x ＝－3”是“x 2＋3x ＝0”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由x 2＋3x ＝0，解得x ＝－3或x ＝0，则当“x ＝－3”时一定有“x 2＋3x ＝0”，反之不一定成立，所以“x ＝－3”是“x 2＋3x ＝0”的充分不必要条件．2．命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cB ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC ．若a ＋c >b ＋c ，则a >bD ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．3．(2018·唐山一模)若x ∈R ，则“x >1”是“1x<1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当x >1时，1x <1成立，而当1x <1时，x >1或x <0，所以“x >1”是“1x<1”的充分不必要条件．(三)填一填4．“若a ，b 都是偶数，则ab 是偶数”的逆否命题为________．解析：“a ，b 都是偶数”的否定为“a ，b 不都是偶数”，“ab 是偶数”的否定为“ab 不是偶数”，故其逆否命题为“若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”．答案：若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数5．设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的____________条件．解析：a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，若a ⊥b ，则a·b ＝0，即(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，解得x ＝2或x ＝－12， ∴x ＝2⇒a ⊥b ，反之a ⊥b ⇒x ＝2或x ＝－12， ∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．答案：必要不充分考点一 四种命题及其真假判断[典例] (2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题是( )A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③[解析] ①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案] D[解题技法]1．由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．2．判断命题真假的2种方法[提醒] (1)对于不是“若p ，则q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．[题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( )A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D 命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若綈q ，则綈p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 解析：选C因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z ， 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二 充分、必要条件的判断判断充分、必要条件的三种常用方法为定义法、集合法、等价转化法.[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12， 即“x 3＜1” “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． (3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1， 因为綈q ⇒綈p 但綈p綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．[答案] (1)B (2)A (3)A[解题技法] 判断充分、必要条件的3种方法[提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别，要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若x 2<1，则－1<x <1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若m ，n 的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cos θ<0，则m·n <0成立；当θ＝π时，m·n ＝－|m |·|n |<0成立，但m ，n 的夹角不为钝角．故“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设p ：xy ≠1，q ：x ≠1或y ≠1，则綈p ：xy ＝1，綈q ：x ＝1且y ＝1.可知綈q ⇒綈p ，綈p 綈q ，即綈q 是綈p 的充分不必要条件．故p 是q 的充分不必要条件，即“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的充分不必要条件．考点三 根据充分、必要条件求参数的范围[典例] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．[答案] [0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，所以{ 1－m ＝－2，＋m ＝10，解得{m ＝3，m ＝9， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“若綈P 是綈S 的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且SP .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[解题技法] 根据充分、必要条件求参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．。
高考文科数学(新课标)一轮复习课件：第1章 集合与常用逻辑用语 第3讲
5．(选修1－1
P18
B组T(3)(4)改编)命题p：2＞3，q：8＋
B
7≠15，则“p∧q”的否定是( A．2≤3且8＋7＝15 C．2＞3或8＋7≠15
) B．2≤3或8＋7＝15 D．2≤3且8＋7≠15
解析：因为“p∧q”的否定是“(¬ p)∨(¬ q)”，故选B.
含有一个逻辑联结词的命题的真假性
解析：∵命题∃x0∈M，p(x0)的否定是∀x∈M，¬ p(x)，故 选B.
4．(选修1－1 P26A组T3(1)改编)命题p：∀x∈N，x2＞x3的否 定是(
C
) B．∀x∈N，x2≤x3 D．∀x∈N，x2＜x3
3 A．∃x0∈N，x2 ＞ x 0 0 3 C．∃x0∈N，x2 0≤x0
解析：∵命题∀x∈M，p(x)的否定是∃x0∈M，¬ p(x0)，故 选C.
D
)
解析：∵¬ p：∃x∈R，2x≥3x，要使(¬ p)∧q为真， ∴¬ p与q同时为真．由2 ≥3 ∴x≤0， 由x2＝2－x得x2＋x－2＝0， ∴x＝1或x＝－2，又x≤0， ∴x＝－2.
x x
2x 得3 ≥1，
2．已知命题 p：对任意x∈R，总有2x>0； q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件． 则下列命题为真命题的是( A．p∧q C．(¬ p)∧q
D
) B．(¬ p)∧(¬ q) D．p∧(¬ q)
解析：因为指数函数的值域为(0，＋∞)， 所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当 x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立， 故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧ q、¬ p为假命题，¬ q为真命题，(¬ p)∧(¬ q)、(¬ p)∧q为假命 题，p∧(¬ q)为真命题，故选D.
(浙江专用)2020版高考数学一轮总复习专题1集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条件检测
1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件挖命题【考情探究】分析解读 1.命题及其关系是高考命题的关联知识,往往会和函数、数列、向量、不等式、三角函数、立体几何、解析几何等相结合,主要考查命题真假的判断,如2015浙江第6题.2.充要条件是高考的必考点,考查重点仍为充要条件等基本知识点,但它可与函数、数列、向量、不等式、三角函数、立体几何、解析几何中的知识点进行综合.如2016浙江文第6题,针对这类问题,必须注意两点:(1)先分清条件和结论,再推理和判断;(2)正面判断较难时,可转化为该命题的逆否命题进行判断.3.预计2020年高考试题中,考查命题真假的判断和充要条件的可能性很大,复习时应加以重视.破考点【考点集训】考点一命题及其关系1.(2018浙江诸暨高三上学期期末,4)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.m∥α,n⊂α⇒m∥nB.m∥α,m∥β⇒α∥βC.m⊥α,n⊂α⇒m⊥nD.m⊥n,n⊂α⇒m⊥α答案 C2.(2018浙江新高考调研卷二(镇海中学),6)已知集合{a,b,c}={1,2,3},并给出下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠3.若其中有且只有一个正确,则关于椭圆ax2+by2=c性质的叙述,正确的是( )A.长轴长为B.长轴长为C.焦点坐标为(0,±1)D.焦点坐标为答案 D考点二充分条件与必要条件1.(2019届浙江名校协作体高三9月联考,5,4分)已知函数f(x)=ln x,则“f(x)>0”是“f(f(x))>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B2.(2019届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,5,4分)“直线3x+my+4=0与直线(m+1)x+2y-2=0平行”是“m=-3”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B炼技法【方法集训】方法1 命题真假的判断方法1.(2017浙江镇海中学阶段测试(二),5)给出下列四个命题:①已知向量a,b是非零向量,若a·b=|a|·|b|,则a∥b;②定义域为R的函数f(x)在(-∞,0)及(0,+∞)上都是增函数,则f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;③“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题为“若方程x2+x-m=0无实根,则m≤0”;④“若a≤2,则a2<4”的否命题是假命题.其中,真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 B2.(2017浙江杭州二模(4月),3)设α,β是两个不同的平面,m是一条直线,给出下列命题:①若m⊥α,m⊂β,则α⊥β;②若m∥α,α⊥β,则m⊥β.则( )A.①②都是假命题B.①是真命题,②是假命题C.①是假命题,②是真命题D.①②都是真命题答案 B方法2 由命题的真假求相应参数的取值范围的解题方法1.(2019届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,7)已知命题“函数f(x)=sin 2x+cos 2x-m在上有两个不同的零点”是真命题,则实数m的取值范围是( )A.[-,2)B.[-,)C.[,2)D.[0,2)答案 C2.若命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是( )A.a<0或a≥3B.a≤0或a≥3C.a<0或a>3D.0<a<3答案 A方法3 充分条件与必要条件的判定方法1.(2018浙江名校协作体期初,6)已知a=(cos α,sin α),b=(cos(-α),sin(-a)),则“a·b=0”是“α=kπ+ (k∈Z)”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B2.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,3)设a>0,b>0,则“log2a+log2b≥log2(a+b)”是“ab≥4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点一命题及其关系1.(2015浙江文,8,5分)设实数a,b,t满足|a+1|=|sin b|=t( )A.若t确定,则b2唯一确定B.若t确定,则a2+2a唯一确定C.若t确定,则sin唯一确定D.若t确定,则a2+a唯一确定答案 B2.(2015浙江,6,5分)设A,B是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中元素的个数.命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).()A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立,命题②不成立D.命题①不成立,命题②成立答案 A考点二充分条件与必要条件1.(2016浙江文,6,5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A2.(2015浙江文,3,5分)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 D3.(2014浙江文,2,5分)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 AB组统一命题、省(区、市)卷题组考点一命题及其关系(2017北京文,13,5分)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.答案-1,-2,-3(答案不唯一)考点二充分条件与必要条件1.(2018天津文,3,5分)设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A2.(2018天津理,4,5分)设x∈R,则“<”是“x3<1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A3.(2018北京文,4,5分)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B4.(2017天津文,2,5分)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B5.(2017天津理,4,5分)设θ∈R,则“<”是“sin θ<”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A6.(2016四川,7,5分)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足则p是q的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A7.(2015天津,4,5分)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A8.(2015重庆,4,5分)“x>1”是“lo(x+2)<0”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B9.(2015湖北,5,5分)设a1,a2,…,a n∈R,n≥3.若p:a1,a2,…,a n成等比数列;q:(++…+)(++…+)=(a1a2+a2a3+…+a n-1a n)2,则( )A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件10.(2015陕西,6,5分)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 AC组教师专用题组考点一命题及其关系1.(2016四川文,15,5分)在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P';当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题:①若点A的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A;②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;③若两点关于x轴对称,则它们的“伴随点”关于y轴对称;④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是(写出所有真命题的序号).答案②③2.(2015山东,5,5分)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0答案 D考点二充分条件与必要条件1.(2015四川,8,5分)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 B2.(2015湖南,2,5分)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2015北京,4,5分)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B4.(2014北京,5,5分)设{a n}是公比为q的等比数列.则“q>1”是“{a n}为递增数列”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 D5.(2014福建,6,5分)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB 的面积为”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案 A【三年模拟】选择题(每小题4分,共44分)1.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,5)已知a为实数,则“a>1”是“a2<a3”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C2.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,6)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),则“a>b”是“双曲线C的焦点在x轴上”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A3.(2019届台州中学第一次模拟,3)已知向量a=(1,m+1),b=(m,2),则“a∥b”是“m=1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B4.(2019届浙江“七彩阳光”联盟期中,2)设n∈N*,则“数列{a n}为等比数列”是“数列{}为等比数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A5.(2018浙江台州第一学期期末质检,4)已知a∈R,则“a≤1”是“|a+1|+|a-1|=2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B6.(2018浙江杭州第一学期教学质检,3)设数列{a n}的通项公式为a n=kn+2(n∈N*),则“k>2”是“数列{a n}为单调递增数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A7.(2018浙江诸暨高三上学期期末,5)等比数列{a n}中,a1>0,则“a1<a4”是“a3<a5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A8.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),2)已知m∈(0,+∞),则“m<3”是“函数y=sin mx 的最小正周期大于3”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B9.(2018浙江金华十校第一学期期末调研,7)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),则“a2-3b≤0”是“f(x)在R上只有一个零点”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A10.(2018浙江名校协作体,7)设函数f(x)=asin(2x+α)+bsin(2x+β)+csin(2x+γ),则“f=0”是“f(x)是偶函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C11.(2017浙江模拟训练卷(一),1)已知p:-2≤x≤6;q:-1+m≤x≤3+m,若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是( )A.(-1,3)B.[-1,3]C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D.(-∞,-1]∪[3,+∞)答案 B11。
高三数学(文 新课标)一轮复习课件：第一章 集合与常用逻辑用语 ppt
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
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2．常用逻辑用语 (1)理解命题的概念．
(2)了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题
与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． (3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． (4)了．解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义． (5)理解全称量词和存在量词的意义．
第一章 集合与常用逻辑用语
考纲链接
1．集合 (1)集合的含义与表示 ①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系． ②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． (2)集合间的基本关系 ①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． ②在具体情境中，了解全集与空集的含义． (3)集合的基本运算 ①理解两．个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． ③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．
＝∅，则实数 a 的取值范围为________．
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解：(1)因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0， 所以 a＋b＝0，ba＝－1，从而 b＝1， 所以 a＝－1，b＝1，所以 b－a＝2.故填 2. (2)由 A＝∅知方程 ax2＋3x－2＝0 无实根， 当 a＝0 时，x＝23不合题意，舍去；
(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定 ．
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• 1.1 集合及其运算
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1．集合的基本概念
2020版赢在微点数学(理科一轮复习(人教版)第一章 集合与常用逻辑用语 (3)
若 p∨q 为假命题，则实数 m 的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]
解析 依题意知 p，q 均为假命题，当 p 是假命题时，mx2＋1>0 恒成 立，则有 m≥0；当 q 是真命题时，则有 Δ＝m2－4<0，－2<m<2。因此由 p，
A．p∧q
B．p∧(綈 q)
C．(綈 p)∧q
D．(綈 p)∧(綈 q)
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解析 因为 x>0，所以 x＋1>1，ln(x＋1)>0，所以对于∀x>0，ln(x＋1)>0， 故 p 为真命题。由 1>－2,12<(－2)2 可知 q 是假命题，所以綈 q 为真命题。
(2)已知函数 f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝21x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]， 使得 f(x1)≥g(x2)，则实数 m 的取值范围是________。
根据复合命题真值表可知 p∧(綈 q)为真命题。故选 B。 答案 B
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4．(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得 n≥x2”的否定形式 是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得 n<x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得 n<x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得 n<x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得 n<x2
答案 (－∞，－2]
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微考点·大课堂
考点例析 对点微练
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2020版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语学案解析版
§1.2常用逻辑用语最新考纲考情考向分析1.了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系.2.理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度.1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“对顶角相等”是命题．( √ )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”．( × )(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( √ ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(5)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( √ ) (6)若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件．( √ ) 题组二 教材改编2．[P8T3]下列命题是真命题的是( ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题 答案 A3．[P12练习T2(2)]“x －3＝0”是“(x －3)(x －4)＝0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 题组三 易错自纠4．命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( ) A ．若x <y ，则x 2<y 2B ．若x ≤y ，则x 2≤y 2C ．若x >y ，则x 2>y 2 D ．若x ≥y ，则x 2≥y 2答案 B解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．5．(2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ ＝π2＋k π(k ∈Z )⇏φ＝π2. ∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．6．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2. 题型一 命题及其关系1．下列命题是真命题的是( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2答案 A2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( ) A ．不拥有的人们会幸福 B ．幸福的人们不都拥有 C ．拥有的人们不幸福 D ．不拥有的人们不幸福 答案 D3．(2019·温州模拟)下列命题： ①“若a 2<b 2，则a <b ”的否命题； ②“全等三角形的面积相等”的逆命题；③“若a >1，则ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ”的逆否命题； ④“若3x (x ≠0)为有理数，则x 为无理数”的逆否命题． 其中正确的命题是( ) A ．③④ B ．①③ C ．①②D ．②④答案 A解析对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确．故选A.4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是_______．答案若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．题型二充分条件、必要条件的判定例1 (1)(2018·浙江)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．跟踪训练1 (1)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件答案 D解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件． (2)(2017·浙江)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵S 4＋S 6＞2S 5⇔S 4＋S 4＋a 5＋a 6＞2(S 4＋a 5)⇔a 6＞a 5⇔a 5＋d ＞a 5⇔d ＞0， ∴“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件． 题型三 充分条件、必要条件的应用例2已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，求m 的取值范围． 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，知S ⊆P . 又因为集合S 非空， 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0,3]． 引申探究1．若本例条件不变，问是否存在实数m ，使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件． 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件．2．本例条件不变，若“x ∈∁R P ”是“x ∈∁R S ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解 由本例知P ＝{x |－2≤x ≤10}，因为“x ∈∁R P ”是“x ∈∁R S ”的必要不充分条件， 所以P S .即[－2,10][1－m,1＋m ]．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.所以m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练 2 (1)若“x 2－x －6＞0”是“x ＞a ”的必要不充分条件，则实数a 的最小值为________． 答案 3解析 由x 2－x －6＞0，解得x ＜－2或x ＞3. 因为“x 2－x －6＞0”是“x ＞a ”的必要不充分条件， 所以{x |x ＞a }是{x |x ＜－2或x ＞3}的真子集，即a ≥3， 故实数a 的最小值为3.(2)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4， 又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4. 当n ＝1,2时，方程没有整数根； 当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4.等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题．本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化．例设p ：|2x ＋1|<m (m >0)；q ：x －12x －1>0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为__________． 答案 (0,2]解析 由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ， ∴－m ＋12<x <m －12.由x －12x －1>0，得x <12或x >1. ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴m －12≤12，∴m ≤2，又m >0，∴0<m ≤2.1．命题“若函数f (x )＝e x－mx 在[0，＋∞)上是减函数，则m >1”的否命题是( ) A ．若函数f (x )＝e x－mx 在[0，＋∞)上不是减函数，则m ≤1 B ．若函数f (x )＝e x－mx 在[0，＋∞)上是减函数，则m ≤1 C ．若m >1，则函数f (x )＝e x－mx 在[0，＋∞)上是减函数 D ．若m ≤1，则函数f (x )＝e x－mx 在[0，＋∞)上不是减函数 答案 A解析 “若p ，则q ”形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定，故选A.2．已知命题：“若a ＞2，则a 2＞4”，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 原命题显然是真命题，其逆命题为“若a 2＞4，则a ＞2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题． 3．(2018·嘉兴基础测试)“α＞π3”是“sin α＞32”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 易知“α＞π3”不一定得到“sin α＞32”，比如α＝π＞π3，但sin α＝0＜32；反之亦然，如sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2＝1＞32，但－3π2＜π3.所以“α＞π3”是“sin α＞32”的既不充分也不必要条件，故选D.4．已知命题p ：若a <1，则a 2<1，则下列说法正确的是( ) A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若a <1，则a 2≥1” D ．命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a <1” 答案 B解析 若a ＝－2，则(－2)2>1，∴命题p 为假命题， ∴A 不正确；命题p 的逆命题是“若a 2<1，则a <1”，为真命题， ∴B 正确；命题p 的否命题是“若a ≥1，则a 2≥1”， ∴C 不正确；命题p 的逆否命题是“若a 2≥1，则a ≥1”， ∴D 不正确． 故选B.5．王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B.6．(2019·丽水、衢州、湖州三地市质检)若a ∈R ，则“|a －2|≥1”是“a ≤0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 记不等式|a －2|≥1的解集为A ，则A ＝{a |a ≤1或a ≥3}，记B ＝{a |a ≤0}，则B ⊆A ，即“a ≤0”能推出“|a －2|≥1”，反之不能，所以“|a －2|≥1”是“a ≤0”的必要不充分条件．故选B.7．(2018·浙江名校协作体考试)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(－α)，sin(－α))，那么“a ·b ＝0”是“α＝k π＋π4(k ∈Z )”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ∵a ·b ＝0＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α) ＝cos 2α－sin 2α＝cos2α，∴2α＝2k π±π2，解得α＝k π±π4(k ∈Z )．故“a ·b ＝0”是“α＝k π＋π4(k ∈Z )”的必要不充分条件．8．(2018·浙江“七彩阳光”联盟联考)若a ，b ∈R ，使|a |＋|b |＞4成立的一个充分不必要条件是( ) A ．|a ＋b |≥4 B ．|a |≥4 C ．|a |≥2且|b |≥2 D ．b ＜－4答案 D解析 对选项A ，若a ＝b ＝2，则|a |＋|b |＝2＋2＝4，不能推出|a |＋|b |＞4；对选项B ，若a ＝4≥4，b ＝0，此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项C ，若a ＝2≥2，b ＝2≥2，此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项D ，由b ＜－4可得|a |＋|b |＞4，但由|a |＋|b |＞4得不到b ＜－4.故选D.9．(2018·嘉兴模拟)已知命题p ：“若a 2＝b 2，则a ＝b ”，则命题p 的否命题为________________，该否命题是一个________(填“真”或“假”)命题． 答案 若a 2≠b 2，则a ≠b 真解析 命题p 的否命题需要将条件和结论同时否定，所以p 的否命题为“若a 2≠b 2，则a ≠b ”，显然该命题为真命题．10．对于原命题：“已知a ，b ，c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为______． 答案 2解析 原命题为真命题，故逆否命题为真；逆命题：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2. 11．设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的________条件，q 是p 的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要 必要不充分解析 当x >1，y >1时，x ＋y >2一定成立，即p ⇒q ， 当x ＋y >2时，可令x ＝－1，y ＝4，即q ⇏p ， 故p 是q 的充分不必要条件．12．已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x ＜0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 答案 (0,3)解析 令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ＋1＜4，解得0＜a ＜3.13．若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是_____．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N *都成立，于是可得3>2λ，即λ<32.故所求λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 14．已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12解析 方法一 命题p 对应的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1， 命题q 对应的集合为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <12， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a <12，∴0≤a ≤12.方法二 命题p ：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1， 命题q ：B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}， ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件． ∴p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞1，a ≤12，∴0≤a ≤12.15．(2019·浙江镇海中学月考)设a ＞0，b ＞0，则“lg(a ＋b )＞0”是“lg a ＋lg b ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由基本不等式知a ＋b ≥2ab ，所以lg(a ＋b )≥lg(2ab )＝lg2＋12lg(ab )，因而当lg a ＋lg b ＞0，即lg(ab )＞0时，有lg(a ＋b )＞0；反之，取a ＝12，b ＝2，显然lg(a ＋b )＞0，但lg a ＋lg b ＝0.综上，“lg(a ＋b )＞0”是“lg a ＋lg b ＞0”的必要不充分条件，故选B.16．(2018·温州模拟)已知函数f (x )＝x |x |，则下列命题错误的是( )A ．函数f (sin x )是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上是减函数 B ．函数sin(f (x ))是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上是增函数 C ．函数f (cos x )是偶函数，且在(0,1)上是减函数D ．函数cos(f (x ))是偶函数，且在(－1,0)上是增函数答案 A解析 ∵f (－x )＝－x |－x |＝－x |x |＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，又y ＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，∴f (sin x )和sin(f (x ))是奇函数，f (cos x )和cos(f (x ))是偶函数．又f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，∴f (x )在R 上是增函数，∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上是增函数， y ＝cos x 在(0,1)上是减函数．∴f (sin x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上是增函数， f (cos x )在(0,1)上是减函数，故A 错误，C 正确．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12时，f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，14.∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，14上是增函数， ∴sin(f (x ))在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上是增函数，故B 正确． 当x ∈(－1,0)时，f (x )∈(－1,0)， ∵y ＝cos x 在(－1,0)上是增函数，∴cos(f (x ))在(－1,0)上是增函数，故D 正确．。
2020版高考数学一轮复习训练： 第一部分 基础与考点过关 第一章 集合与常用逻辑用语学案.doc
第一章 集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念1. (必修1P 7练习1改编)用列举法表示集合{x|x 2－3x ＋2＝0}为______________． 答案：{1，2}解析：∵ x 2－3x ＋2＝0，∴ x ＝1或x ＝2.故集合为{1，2}．2. (必修1P 10习题5改编)由x 2，x 组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则实数x 的取值不可以是______________．答案：0和1解析：由 x 2＝x 可解得x ＝0或x ＝1.3. (必修1P 9练习1改编)集合A ＝{x|0≤x<3且x∈N }的真子集个数是__________． 答案：7解析：A ＝{x|0≤x<3且x∈N }＝{0，1，2}，∴ 真子集有7个． 4. (必修1P 10练习6改编)设A ＝{x|2<x<3}，B ＝{x|x<m}．若A ⊆B ，则m 的取值范围是____________．答案：[3，＋∞) 解析：A ＝{x|2<x<3}，B ＝{x|x<m}，A ⊆B ，将集合A ，B 在数轴上表示(图略)，可得m≥3.5. (必修1P 10习题5改编)A ＝{x|kx 2＋4x ＋4＝0}中只有一个元素，则实数k 的值为____________．答案：0或1解析：当k ＝0时，集合A ＝{x|kx 2＋4x ＋4＝0}＝{x|x＝－1}，满足条件，当k≠0时，由判别式等于0可得16－16k ＝0，解得k ＝1，此时，集合A ＝{x|kx 2＋4x ＋4＝0}＝{x|x 2＋4x ＋4＝0}＝{－2}，满足条件，综上可得，k ＝0或k ＝1.1. 集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(1) 若a 是集合A 的元素，记作a∈A；若b 不是集合A 的元素，记作b ∉A. (2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合的不同与元素的排列顺序无关． (3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{ }内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内． 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N ；正整数集记作N *或N ＋；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R ；复数集记作C ．2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．(2) 集合与集合之间的关系① 包含关系：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ，读作“集合A 包含于集合B”或“集合B 包含集合A”．② 真包含关系：如果A ⊆B ，并且A≠B，那么集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A ，读作“集合A 真包含于集合B”或“集合B 真包含集合A ”．③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素，则称这两个集合相等．(3) 简单关系 ① A ⊆A ； ② ∅⊆A ；③ 若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；④ 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个，真子集共有2n －1个，非空子集共有2n－1个，非空真子集有⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝0，2n －2，n ≥1个．[备课札记]1 集合的基本概念1 已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1.若－3∈A，试求实数a 的值． 解：∵ －3∈A，∴ －3＝a －3或－3＝2a －1，若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.变式训练已知集合A 中有且仅有三个数1，0，a ，若a 2∈A ，求a 的值．解：若a 2＝0，则a ＝0，不符合集合中元素的互异性，∴ a 2≠0.若a 2＝1，则a ＝±1，由元素的互异性知a≠1，∴ a ＝－1时适合．若a 2＝a ，则a ＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．综上可知a ＝－1.2 集合间的基本关系2 已知A ＝{－1，1}，B ＝{x|x 2－ax ＋b ＝0}≠∅.若B ⊆A ，求实数a ，b 的值．解：∵ B ⊆A ，A ＝{－1，1}，B ≠∅，∴ B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1，1}．若B ＝{－1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根－1，即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且(－1)2－a×(－1)＋b ＝0，此时a ＝－2，b ＝1.若B ＝{1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根1，即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且12－a×1＋b ＝0，此时a ＝2，b ＝1.若B ＝{－1，1}，则方程x 2－ax＋b ＝0有两个不相等的实数根－1，1，即(－1)2－a×(－1)＋b ＝0，12－a×1＋b ＝0，此时a ＝0，b ＝－1.综上所述，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1时，B ⊆A., 3) 已知集合M ＝{a ，a ＋d ，a ＋2d}，N ＝{a ，aq ，aq 2}(a 为非零常数)．若M ＝N ，求q 的值．解：由题意，若⎩⎪⎨⎪⎧a ＋d ＝aq ，a ＋2d ＝aq 2，则a(q －1)2＝0，q ＝1(a≠0)．然而q ＝1与集合中元素的互异性矛盾，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋d ＝aq 2，a ＋2d ＝aq ⇒a(q －1)(2q ＋1)＝0.因为a≠0，q ≠1，所以q ＝－12.故所求q 的值为－12.变式训练已知A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，B ⊆A ，求m 的取值范围．解：当m ＋1>2m －1，即m<2时，B ＝∅，满足B ⊆A ，即m<2；当m ＋1＝2m －1，即m ＝2时，B ＝{3}，满足B ⊆A ，即m ＝2；当m ＋1<2m －1，即m>2时，由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2<m≤3.综上，得m≤3.备选变式（教师专享）一个含有三个实数的集合可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，1，b a ，也可表示为{a ＋b ，0，a 2}，则a 2 018＋b2 018＝________．答案：1解析：若集合相等，则集合的元素对应相等，并且集合还需满足确定性、互异性、无序性，所以b a ＝0，得b ＝0，此时{a ，1，0}＝{a ，0，a 2}，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ≠1，故a ＝－1，所以a 2 018＋b 2 018＝1., 3 根据集合的关系求参数的取值范围), 4) 已知集合A ＝{x|x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：B ⊆A 可分为B A 和B ＝A 两种情况，易知A ＝{0，－4}．(1) 当A ＝B ＝{0，－4}时，∵ 0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧16－8（a ＋1）＋a 2－1＝0，a 2－1＝0， ∴ a ＝1.(2) 当B A 时，有B≠∅或B ＝∅.① 当B≠∅时，B ＝{0}或B ＝{－4}，∴ 方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有相等的实数根0或－4，∴ Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，∴ a ＝－1，∴ B ＝{0}满足条件．② 当B ＝∅时，Δ<0，∴ a<－1.综上，所求实数a 的取值范围是a≤－1或a ＝1. 变式训练已知集合A ＝{x|－2≤x≤a}，B ＝{y|y ＝2x ＋3，x ∈A}，C ＝{z|z ＝x 2，x∈A}，且C ⊆B ，求正数a 的取值范围．解：B ＝{x|－1≤x≤2a＋3}，当0<a≤2时，C ＝{x|0≤x≤4}，而C ⊆B ，则2a ＋3≥4，即a≥12，即12≤a ≤2；当a>2时，C ＝{x|0≤x≤a 2}，而C ⊆B ，则2a ＋3≥a 2，即 2<a≤3.综上，得 12≤a ≤3.备选变式（教师专享）设集合A ＝{1，2，3，…，10}，求集合A 的所有非空子集元素的和．解：含有1的子集有29个，含有2的子集有29个，含有3的子集有29个，…，含有10的子集有29个，∴ (1＋2＋3＋…＋10)×29＝28 160.1. (2018·溧阳中学周练)已知集合S ＝{0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x∈A时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个．答案：6解析：由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，这样的集合共有6个．2. 已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y)|x ，y ∈R ，且y ＝x}，则A∩B 的元素个数为________________________________________________________________________．答案：2解析：直接解方程组可得两组解，即A∩B 的元素个数为2.3. 若x∈A，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，{12，2}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.4. (2017·溧阳中学月考)若集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0}的子集至多有两个，则实数a 的取值范围是________．答案：{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 解析：若集合A 的子集只有两个，则A 中只有一个元素．当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴ a ＝98.故a ＝0或98.若集合A 的子集只有一个，则A ＝∅，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，a ≠0，解得a>98，故实数a 的取值范围是{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.5. 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x|0<x<5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B的集合C 的个数为________．答案：4解析： 用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数．由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴ A ＝{1，2}．由题意知B ＝{1，2，3，4}，∴ 满足条件的C 可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．, 1. 遗忘空集致误)典例 若集合M ＝{x|x 2＋x －6＝0}，N ＝{x|ax ＋1＝0}，且N ⊆M ，则由a 的可取值组成的集合为________．易错分析：从集合的关系看，N ⊆M ，则N ＝∅或N≠∅，易遗忘N ＝∅的情况． 解析：M ＝{－3，2}．当a ＝0时，N ＝∅，满足N ⊆M ；当a≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a，为满足N ⊆M 可使－1a ＝－3或－1a＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12特别提醒：(1) 根据集合间的关系求参数的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征；(2) 在解答本题时，一是不要忽略对空集的讨论，如a ＝0时，N ＝∅；二是注意对字母的讨论，如－1a可以为－3或2.一定要注意分类讨论，避免漏解．1. (2018·溧阳中学期初)已知集合A ＝{2＋a ，a}，B ＝{－1，1，3}，且A ⊆B ，则实数a 的值是________．答案：1解析：易知a>0.当a ＝1时，A ＝{1，3}，B ＝{－1，1，3}，满足题意；当a ＝3时，A ＝{3，2＋3}，B ＝{－1，1，3}，不满足题意．所以实数a 的值为1.2. 若集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，2}，则集合{z ︱z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为________．答案： 3解析：容易看出x ＋y 只能取－1、1、3这三个数值．故共有3个元素.3. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A，3∉A ，则实数a 的取值范围是________． 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2，3] 解析：因为2∈A，所以2a －12－a ＜0，即(2a －1)(a －2)＞0，解得a ＞2或a ＜12.①若3∈A，则3a －13－a ＜0，即(3a －1)(a －3)＞0，解得a ＞3或a ＜13，所以3∉A 时，13≤a≤3.②由①②可知，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2，3]． 4. 已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y )|x∈A，y ∈A ，x －y ∈A}，则B 中所含元素的个数为________．答案：10解析：由x －y∈A 及A ＝{1，2，3，4，5}得x>y.当y ＝1时，x 可取2，3，4，5，有4个；当y ＝2时，x 可取3，4，5，有3个；当y ＝3时，x 可取4，5，有2个；当y ＝4时，x 可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素是什么，然后再看元素的限制条件，即有何属性，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y ＝f(x)}、{(x ，y)|y ＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅和A≠∅两种可能的情况．3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．第2课时 集合的基本运算(对应学生用书(文)、(理)4～5页)1. (必修1P 13练习1改编)设集合A ＝{平行四边形}，B ＝{对角线相等的四边形}，则A∩B ＝________．答案：{矩形}解析：对角线相等的平行四边形为矩形．2. (必修1P 13练习3改编)已知集合A ＝{y|y ＝x 2－2x ，x ∈R }，B ＝{y|y ＝x 2＋6x ＋16，x ∈R }，则A∪B＝________.答案：[－1，＋∞)解析：依题意知A ＝[－1，＋∞)，B ＝[7，＋∞)，所以A∪B＝[－1，＋∞)． 3. (必修1P 9练习2改编)设全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{x|x ≤1}，B ＝{－2，0，2}，则∁U (A∩B)＝__________．答案：{－1，1，2}解析：∵ A∩B＝{－2，0}∴ ∁U (A∩B)＝{－1，1，2}．4. (必修1P 10习题4改编)已知集合A ＝{0，2，4，6}，∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∁U B ＝{－1，0，2}，则集合B ＝__________．答案：{1，4，6，－3，3} 解析：∵ ∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∴ U ＝{－1，1，0，2，4，6，－3，3}．又∁U B ＝{－1，0，2}，∴ B ＝{1，4，6，－3，3}．5. (必修1P 14习题10改编)设集合A ＝{4，5，7，9}，B ＝{3，4，7，8，9}，全集U ＝A∪B，则集合∁U (A∩B)中的元素共有__________个．答案：3解析：全集U ＝A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，A ∩B ＝{4，7，9}，∴ ∁U (A∩B)＝{3，5，8}，∴ ∁U (A∩B)中的元素共有3个．1. 集合的运算(1) 交集：由所有属于A 且属于B 的元素组成的集合，叫做集合A 与集合B 的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x ∈A 且x∈B}．(2) 并集：由所有属于A 或属于B 的元素组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x ∈A 或x∈B}．(3) 全集：如果集合S 含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U 来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集．(4) 补集：集合A 是集合S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做A 的补集，记作∁S A ，即∁S A ＝{x|x∈S，且x ∉A}．2. 常用运算性质及一些重要结论(1) A∩B＝B∩A，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A∩B＝A ⇔A ⊆B. (2) A∪B＝B∪A，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B. (3) ∁S (∁S A)＝A ，∁S ∅＝S ， (∁S A )∪(∁S B)＝∁S (A∩B)， (∁S A )∩(∁S B)＝∁S (A∪B)．[备课札记], 1 集合的运算), 1) 已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1x ≥1，B ＝{y|y ＝x 2＋x ＋1，x ∈R }．(1) 求A ，B ；(2) 求A∪B，A ∩(∁R B)．解：(1) 由1x ≥1，得1x －1＝1－xx≥0，即x(x －1)≤0且x≠0，解得0<x≤1，所以A ＝(0，1]．由y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，得B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.(2) 因为∁R B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34，所以A∪B＝(0，＋∞)，A ∩(∁R B)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34. 变式训练已知A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x|x 2－mx ＋2＝0}，且A∪B ＝A ，A ∩C ＝C ，求实数a 及m 的值．解：∵ A＝{1，2}，B ＝{x|(x －1)[x －(a －1)]＝0}，又A∪B＝A ，∴ B ⊆A. ∴ a －1＝2⇒a ＝3(此时A ＝B)， 或a －1＝1⇒a ＝2(此时B ＝{1})．由A∩C＝C ⇒C ⊆A ，从而C ＝A 或C ＝∅(当C ＝{1}或C ＝{2}时，可检验不符合题意)． 当C ＝A 时，m ＝3；当C ＝∅时，Δ＝m 2－8<0⇒－22<m<2 2.综上可知a ＝2或a ＝3，m ＝3或－22<m<2 2. 备选变式（教师专享）已知两个正整数集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{a 21，a 22，a 23，a 24}，其中a 1<a 2<a 3<a 4.若A∩B ＝{a 1，a 4}，且a 1＋a 4＝10，且A∪B 的所有元素之和是124，求集合A ，B.分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用．解：∵ 1≤a 1<a 2<a 3<a 4，∴ a 21<a 22<a 23<a 24，∵ A ∩B ＝{a 1，a 4}，∴ 只可能有a 1＝a 21⇒a 1＝1，而a 1＋a 4＝10，∴ a 4＝9，∴ a 24≠a 4.(1) 若a 22＝a 4，则a 2＝3，∴ A ∪B ＝{1，3，a 3，9，a 23，81}，∴ a 3＋a 23＋94＝124⇒a 3＝5；(2) 若a 23＝a 4，则a 3＝3，同样可得a 2＝5>a 3，与条件矛盾，不合题意． 综上，A ＝{1，3，5，9}，B ＝{1，9，25，81}．, 2 根据集合的运算求参数的取值范围), 2) 设A ＝{x|a≤x≤a＋3}，B ＝{x|x<－1或x>5}，当a 为何值时， (1) A∩B≠∅； (2) A∩B＝A ；(3) A∪(∁R B)＝∁R B. 解：(1) A∩B≠∅，∵ 集合A 的区间长度为3，∴ 由图可得a<－1或a ＋3>5，解得a<－1或a>2，∴ 当a<－1或a>2时，A ∩B ≠∅.(2) ∵ A∩B＝A ，∴ A ⊆B.由图得a ＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5时，A ∩B ＝A.(3) 由补集的定义知∁R B ＝{x|－1≤x≤5}， ∵ A ∪(∁R B)＝∁R B ，∴ A ⊆∁R B.由图得⎩⎪⎨⎪⎧a≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a≤2.变式训练设全集是实数集R ，A ＝{x|2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x|x 2＋a<0}． (1) 当a ＝－4时，求A∩B 和A∪B；(2) 若(∁R A )∩B＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1) A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x≤3.当a ＝－4时，B ＝{x|－2<x<2}，∴ A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x<2，A ∪B ＝{x|－2<x≤3}．(2) ∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<12或x>3. 当(∁R A )∩B＝B 时，B ⊆∁R A ，即A∩B＝∅. ① 当B ＝∅，即a≥0时，满足B ⊆∁R A ；② 当B≠∅，即a<0时，B ＝{x|－－a<x<－a}，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a<0.综上可得，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a≥－14.备选变式（教师专享）设集合A ＝{x|x 2－2x ＋2m ＋4＝0}，B ＝{x|x<0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围． 解：(解法1)命题⇔方程x 2－2x ＋2m ＋4＝0至少有一个负实数根，设M ＝{m|关于x 的方程x 2－2x ＋2m ＋4＝0两根均为非负实数}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（－2m －3）≥0，x 1＋x 2＝2>0，x 1x 2＝2m ＋4≥0，⇒－2≤m≤－32，∴ M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|－2≤m≤－32.设全集U ＝{m|Δ≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|m≤－32，∴ m 的取值范围是∁U M ＝{m|m<－2}．(解法2)命题⇔方程的小根x ＝1－－2m －3<0 ⇒－2m －3>1⇒－2m －3>1⇒m<－2., 3 集合的综合应用), 3) 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －5x ＋1≤0，B ＝{x|x 2－2x －m<0}． (1) 当m ＝3时，求A∩(∁R B)；(2) 若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m 的值．解：因为x －5x ＋1≤0，所以－1<x≤5，所以A ＝{x|－1<x≤5}．(1) 当m ＝3时，B ＝{x|－1<x<3}， 则∁R B ＝{x|x≤－1或x≥3}， 所以A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5}．(2) 因为A ＝{x|－1<x≤5}，A ∩B ＝{x|－1<x<4}，所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. 此时B ＝{x|－2<x<4}，符合题意， 故实数m 的值为8. 备选变式（教师专享）已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝1，x ∈R ，y ∈R ，B ＝{(x ，y)|y ＝ax ＋2，x ∈R ，y ∈R }，若A∩B＝∅，求实数a 的值．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －3x －2＝1，y ＝ax ＋2得(1－a)x ＝1，当a ＝1时，方程组无解；当a≠1时，x ＝11－a ，若11－a ＝2，即a ＝12，此时x ＝2为增根，所以方程组也无解． 从而a ＝1或a ＝12时，A ∩B ＝∅.反思：本题也可利用数形结合方法解．, 4 与集合运算有关的新定义问题), 4) 定义集合运算A*B ＝{x|x∈A，或x∈B，但x ∉A ∩B}，设A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，5，6，7}，则(A*B)*A ＝________．答案：{1，2，5，6，7}解析：A*B ＝{3，4，5，6，7}，∴ (A*B)*A ＝{1，2，5，6，7}．变式训练(必修1P 14习题13改编)设A ，B 是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且x ∉A ∩B}．若A ＝{x|y ＝x 2－3x}，B ＝{y|y ＝3x}，则A×B ＝__________．答案：(－∞，3)解析：集合A 即为函数f(x)＝x 2－3x 的定义域，由x 2－3x≥0⇒x ≤0或x≥3，故集合A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，集合B 即为函数g(x)＝3x的值域，故B ＝(0，＋∞)，从而有A∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)，由定义知A×B＝(－∞，3)．备选变式（教师专享）(2018·洪泽中学单元卷)对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x|x ∈A 且x ∉B}，A*B ＝(A －B)∪(B－A)，记A ＝{y|y ≥0}，B ＝{x|－3≤x≤3}，则A*B ＝________．答案：[－3，0)∪(3，＋∞) 解析：由题意知，A －B ＝{x|x ＞3}，B －A ＝{x|－3≤x＜0}，A*B ＝(A －B)∪(B－A)＝[－3，0)∪(3，＋∞)．反思：本题考查集合的运算新定义问题，属于难题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．本题定义一种运算A －B ＝{x|x∈A 且x ∉B}，A*B ＝(A －B)∪(B－A)达到考查集合运算的目的．1. (2018·四川雅安中学月考)已知M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y|x 2＋y 2＝1，x ∈R ，y ∈R }，则M∩N＝________．答案：[0，1]解析：由题意得M ＝[0，＋∞)，由x 2＋y 2＝1，得到－1≤y≤1，即N ＝[－1，1]，则M∩N ＝[0，1]．2. 已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}．若A∪B＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为__________． 答案：2解析：A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，A ∪B ＝{0，1，2，3}，则a ＝2. 3. 已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，那么A ∪(∁U B)＝__________． 答案：{1，2，5}解析：∵ ∁U B ＝{1，5}，∴ A ∪(∁U B)＝{1，2，5}．4. 已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，3，5，7，9}，C ＝A∩B，则集合C 的子集的个数为__________．答案：8解析：C ＝{1，3，5}，则集合C 的子集的个数为8.5. 设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{a －1，a ＋1a}，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为__________．答案：1解析：0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由 a ＋1a ≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1., 2. 集合关系不能转化)典例 设A ＝{(x ，y)|y 2－x －1＝0}，B ＝{(x ，y)|4x 2＋2x －2y ＋5＝0}，C ＝{(x ，y)|y ＝kx ＋b}，是否存在k ，b ∈N ，使得(A∪B)∩C＝∅，并证明你的结论．易错分析：难点在于对集合关系的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手．解：∵ (A∪B)∩C＝∅， ∴ A∩C＝∅且B∩C＝∅.∵ ⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋1，y ＝kx ＋b ，∴ k 2x 2＋(2bk －1)x ＋b 2－1＝0. ∵ A ∩C ＝∅，∴ Δ1＝(2bk －1)2－4k 2(b 2－1)<0，∴ 4k 2－4bk ＋1<0，此不等式有解，其充要条件是16b 2－16>0，即b 2>1 ①.∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋2x －2y ＋5＝0，y ＝kx ＋b ， ∴ 4x 2＋(2－2k)x ＋(5－2b)＝0.∵ B ∩C ＝∅，∴ Δ2＝(1－k)2－4(5－2b)<0，∴ k 2－2k ＋8b －19<0，从而8b<20，即b<2.5 ②.由①②及b∈N ，得b ＝2，代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2－8k ＋1<0，k 2－2k －3<0，∴k ＝1.故存在自然数k ＝1，b ＝2，使得(A∪B)∩C＝∅.特别提醒：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C＝∅转化为A∩C＝∅且B∩C＝∅.要能够借助Venn 图充分理解集合的交、并、补之间的关系及熟练转化．1. (2018·遂宁射洪中学入学考试)设集合U ＝{x|x ＜5，x ∈N *}，M ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}，则∁U M ＝________．答案：{1，4}解析：集合U ＝{x|x<5，x ∈N *}＝{1，2，3，4}，M ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}＝{2，3}，则∁U M ＝{1，4}．2. 设集合A ＝{x∈R |⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －3≤0}，B ＝{x ∈Z |x －2>0}，则A∩B＝________．答案：{3}解析：∵ A＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x∈Z |x>2}，∴ A ∩B ＝{x ∈Z |2<x ≤3}＝{3}．3. 设U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B＝∅，则m 的值是________．答案：1或2解析：A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B＝∅，得B ⊆A.∵ 方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴ B ≠∅. ∴ B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ① 若B ＝{－1}，则m ＝1；② 若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴ B ≠{－2}；③ 若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴ m 的值是1或2.4. 某校高一年级举行语、数、英三科竞赛，高一(2)班共有32名 同学参加三科竞赛，有16人参加语文竞赛，有10人参加数学竞赛，有16人参加英语竞赛，同时参加语文和数学竞赛的有3人，同时参加语文和英语竞赛的有3人，没有人同时参加全部三科竞赛，问：同时参加数学和英语竞赛的有多少人？只参加语文一科竞赛的有多少人？解：设所有参加语文竞赛的同学组成的集合用A 表示，所有参加数学竞赛的同学组成的集合用B 表示，所有参加英语竞赛的同学组成的集合用C 表示，设只参加语文竞赛的有x 人，只参加数学竞赛的有y 人，只参加英语竞赛的有z 人，同时参加数学和英语竞赛的有m 人．根据题意，可作出如图所示Venn 图，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＋3＋y ＋m ＋z ＝32，x ＋3＋3＝16，y ＋m ＋3＝10，z ＋m ＋3＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝3，z ＝9，m ＝4.答：同时参加数学和英语竞赛的有4人，只参加语文一科竞赛的有10人．1. 集合的运算结果仍然是集合．进行集合运算时应当注意： (1) 勿忘对空集情形的讨论； (2) 勿忘集合中元素的互异性；(3) 对于集合A 的补集运算，勿忘A 必须是全集的子集； (4) 已知两集合间的关系求参数或参数范围时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．还要注意“回代检验”，从而对所求数值进行合理取舍．2. 在集合运算过程中应力求做到“三化” (1) 意义化：首先明确集合的元素的意义，它是怎样类型的对象(数集、点集，图形等)？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？(2) 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．(3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．[备课札记]第3课时 简单的逻辑联结词、量词(对应学生用书(文)、(理)6～8页)1. 写出命题“若a ＝0，则ab ＝0”的逆否命题：________________________________________________________________________.答案：若ab≠0，则a≠02. 原命题“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有________个．答案：1 3. (改编题)已知集合A ＝{1，a}，B ＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A ⊆B ”的____________条件．答案：充分不必要解析：a ＝3时，A ＝{1，3}，显然A ⊆B.但A ⊆B 时，a ＝2或3.所以a ＝3是A ⊆B 的充分不必要条件．4. (改编题)函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1 对称的充要条件是____________．答案：m ＝－2解析：已知函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.5. (改编题)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1＜0，则綈p 为__________．答案：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0解析：含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0.1. 四种命题及其关系 (1) 四种命题① 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题；② 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；③ 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题．(2)(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2. 充分条件与必要条件(1) 如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充要条件，记作p⇔q.(3) 如果p⇒q，q⇒/__p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q⇒p，p⇒/__q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p⇒/ q，且q⇒/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3. 简单的逻辑联结词(1) “或”“且”“非”叫做逻辑联结词．①或：两个简单命题至少一个成立.②且：两个简单命题都成立.③非：对一个命题的否定．(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(4) 一个命题p的否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．(5) 命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p∧q中p，q有一假为假，p∨q中p，q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀x”表示“对任意x”．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃x”表示“存在x”．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“M中存在一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．5. 含有一个量词的命题的否定[备课札记], 1 四种命题及其相互关系), 1) (1) 命题“若a ＞b ，则2a ＞2b－1”的否命题为______________；(2) (2018·溧阳中学摸底)命题“∃x<0，有x 2>0”的否定是________________．(3) 命题“若x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0”是________命题．(选填“真”或“假”)答案：(1) 若a≤b，则2a ≤2b －1 (2) ∀x<0，有x 2≤0 (3) 真 解析：(3) 很可能许多同学会认为它是假命题(原因m ＝0时显然方程有根)，其实不然，由x 2＋x －m ＝0没有实根可推得m<－14，而⎩⎨⎧⎭⎬⎫m|m<－14是{m|m≤0}的真子集，由m<－14可推得m≤0，故原命题为真．其实，用逆否命题很容易判断它是真命题．【精要点评】 本题考查了命题间的关系，由原命题写出其否命题、逆否命题．原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．变式训练下列命题中不是真命题的是__________．(填序号) ① “若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题；② “若x 2＋y 2≠0，则x, y 不全为零”的否命题；③ “∃x ∈R ，使x 2＋1>3x”的否定；④ “若m>0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题． 答案：③解析：①中命题的逆命题为若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0，为真命题，故①正确；②中命题的否命题为若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零，为真命题，故②正确；③中命题的否定为∀x∈R ，使x 2－3x ＋1≤0 ，因为Δ＝(－3)2－4＝5>0，故③错误；④中命题x 2＋x －m ＝0有实根⇔Δ＝1＋4m≥0⇒m ≥－14⇒若m>0，则x 2＋x －m ＝0有实根为真命题⇒其逆否命题也为真命题，故④正确．故填③.备选变式（教师专享）命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是____________________________________．答案：若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数解析：由于“x，y 都是偶数”的否定表达是“x，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”., 2 充分条件和必要条件)●典型示例, 2) 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x|x ＋m 2≥1}．p ：x∈A，q ：x∈B，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【思维导图】 对集合进行化简→将条件间的关系转化为集合间的包含关系→利用集合间的关系列出关于m 的不等式→求出实数m 的范围【规范解答】 解： 化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716.∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴ y min ＝716，y max ＝2.∴ y∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.∴ A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|716≤y≤2.化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x≥1－m 2，B ＝{x|x≥1－m 2}．∵ 命题p 是命题q 的充分条件，∴ A ⊆B.∴ 1－m 2≤716，解得m≥34或m ≤－34.∴ 实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 【精要点评】 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．●总结归纳充要关系的几种判断方法(1) 定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2) 等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．●题组练透1. “m<14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的______________(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14.2. 已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)＜0，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是____________．答案：(2，＋∞)解析：由q ：(x ＋1)(2－x)＜0，得x ＜－1或x ＞2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k ＞2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)．3. 设n∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝__________． 答案：3或4解析：已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N *，逐个分析，当n ＝1，2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1，3；当n ＝4时，方程有整数根2.4. 若命题p ：∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1＜0，则綈p ：__________________．答案：∀x ∈R ，使x 2＋ax ＋1≥0 解析：存在性命题的否定需要将存在量词∃改为全称量词∀，并且将命题的结论进行否定．所以命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，使x 2＋ax ＋1≥0”．, 3 逻辑联结词), 3) 已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m 的取值范围是____________．答案：[2，＋∞)解析：依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m≥0，m ≤－2或m≥2，即m≥2. 变式训练已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是____________．答案：[e ，4]解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x，得a≥e ；由∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4.备选变式（教师专享）已知命题p ：|x 2－x|≥6，q ：x∈Z ，若“p∧q”与“綈q”都是假命题，求x 的值． 解：∵ 綈q 假，∴ q 真．又p∧q 假，∴ p 假．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－x|＜6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－6＜x 2－x ＜6，x ∈Z ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜3，x ∈Z ， ∴ x ＝－1，0，1，2., 4 全称命题与存在性命题), 4) 已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R ，使4x －2x ＋1＋m ＝0”．若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是________．答案：(－∞，1]解析：命题綈p 是假命题，即命题p 是真命题，由4x －2x ＋1＋m ＝0得m ＝－(4x －2x ＋1)，令f(x)＝－(4x －2x ＋1)，由于f(x)＝－(2x －1)2＋1，所以当x ∈R 时f(x)≤1，因此实数m 的取值范围是m≤1.备选变式（教师专享）若命题“∃x ∈R ，有x 2－mx －m<0”是假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案：[－4，0]解析：“∃x ∈R ，有x 2－mx －m<0”是假命题，则“∀x ∈R ，有x 2－mx －m≥0”是真命题，即Δ＝m 2＋4m≤0，∴ －4≤m≤0.1. 已知命题p ：∃x ∈R ，使ax 2＋2x ＋1<0.当綈p 为真命题时，实数a 的取值范围是____________．答案：{a|a≥1}解析：綈p ：∀x ∈R ，使ax 2＋2x ＋1≥0.若此命题为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧a>0，4－4a≤0，即a≥1，从而所求a 的取值范围是{a|a≥1}．2. (2016·全国Ⅰ卷)命题“∃x ∈R ，2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是____________．答案：[－22，22]解析：因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x ∈R ，2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即－22≤a ≤2 2.3. (2018·衡水中学周测)设p ：2x －1x －1≤0，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)<0，若p 是q的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 解析：因为p ：12≤x<1，q ：a<x<a ＋1，所以由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a<12，a ＋1≥1⇒0≤a<12.4. (2018·阳春一中月考)设命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x；命题q ：∃x ∈(－∞，0)，3x>2x ，则下列命题为真命题的是________．(填序号)① p ∧q ；② p∧(綈q)；③ (綈p)∧q；④ (綈p)∧(綈q)． 答案：②解析：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x，所以命题p 为真命题；∀x ∈(－∞，0)，3x<2x ，所以命题q 为假命题，因此p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题，p ∧(綈q)为真命题，填②.点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可．5. (2017·溧阳中学月考)已知函数f(x)＝x 1＋|x|＋e x，则x 1＋x 2>0是f(x 1)＋f(x 2)>f(－x 1)＋f(－x 2)的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案：充要解析：当x>0时， y ＝x 1＋x ＝1－11＋x ，易知y ＝x 1＋x 在(0，＋∞)上单调递增，又y ＝x1＋|x|。
第1章 第2讲 充分条件与必要条件
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
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(2)方法一：由(1)若 x∈P 是 x∈S 的必要条件，则 0≤m≤3，
当 m＝0 时，S＝{1}，满足题意；当 m＝3 时，S＝{x|－2≤x≤4}满
足题意，故 m 的取值范围为[0，3]．
方法二：若 x∈P 是 x∈S 的必要且充分条件，则 P＝S，即
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(2)“1x>1”是“ex－1<1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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(A )
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[ 解 析 ] (1) ① 显 然 x ∈ (A ∪ B) 不 一 定 有 x ∈ B ， 但 x ∈ B 一 定 有 x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分条件．
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题组一 走出误区
1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．
(√ )
(2)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B. ( √ )
(3)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件． ( √ )
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(A )
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6．(2021·浙江，3，4分)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是
“a＝b”的
(B )
A．充分不必要条件
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2019年 【2019最新】精选高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲命题
充分条件与必要条件知能训练轻松闯关理北师大版
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析：选B.依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数． 2．(2016·大连质检)命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( ) A．“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac” B．“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac” C．“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列” D．“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列” 解析：选D.根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”． 3．(2016·蚌埠质检)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期大于π的充分不必要条件是( ) A．ω＝1 B．ω＝2 C．ω<1 D．ω>2 解析：选A.f(x)的最小正周期大于π⇔T＝>π⇔0<|ω|<2，故选A. 4．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.由题意得A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，故A∪B＝C，则“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件． 5．(2016·江西省八校联考)在△ABC中，“·＝·”是“||＝||”成立的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.·＝·⇔·(＋)＝0⇔AB与AB边上的中线垂直⇔||＝||. 6．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为( ) A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题 B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题 C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题 D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题 2019年 解析：选C.根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，
故选C. 7．(2016·宿州质检)“a>－1”是“函数f(x)＝x＋a|x－1|在R上是增加的”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.函数f(x)＝x＋a|x－1|＝在R上是增加的充要条件是即－18．已知直线l，m，其中只有m在平面α内，则“l∥α”是“l∥m”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.当l∥α时，直线l与平面α内的直线m平行、异面都有可能，所以l∥m不成立；当l∥m时，根据直线与平面平行的判定定理知直线l∥α，即“l∥α”是“l∥m”的必要不充分条件，故选B. 9．(2015·高考浙江卷)设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D.特值法：当a＝10，b＝－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0⇒/ ab＞0；当a＝－2，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，所以ab＞0⇒/ a＋b＞0.故“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件． 10．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( ) A．p：x＝1，q：x2＝x B．p：|a|>|b|，q：a2>b2 C．p：x>a2＋b2，q：x>2ab D．p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d 解析：选D.A中，x＝1⇒x2＝x，x2＝x⇒x＝0或x＝1x＝1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为|a|>|b|，根据不等式的性质可得a2>b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2＋b2≥2ab，由x>a2＋b2，得x>2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a＝－1，b＝1，c＝0，d＝－3，满足a＋c>b＋d，但是ad，反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d⇒a＋c>b＋d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D. 11．(2016·郑州联考)已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2019年 解析：选C.因为f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2，且f(x)＝(ax＋b)2为偶函数，
所以2a·b＝0，即a·b＝0，所以a⊥b；若a⊥b，则有a·b＝0，所以f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2＝a2x2＋b2为偶函数，所以“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，故选C. 12．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是( ) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，－1] 解析：选B.由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B. 13．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________． 解析：原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题个数为3. 答案：3 14．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是________． 解析：已知函数f(x)＝x2－2x＋1的图像关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立． 所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 答案：m＝－2 15．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，得
a<0，
Δ＝4a2＋12a≤0， 解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.
答案：[－3，0] 16．(2016·榆林一模)已知命题p：实数x满足－2≤1－≤2；命题q：实数x满足x2－2x＋(1－m2)≤0(m>0)．若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________． 解析：令A＝{x|－2≤1－≤2} ＝{x|－2≤x≤10}， B＝{x|x2－2x＋(1－m2)≤0，m>0}＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}． 因为“若綈p，则綈q”的逆否命题为“若q，则p”， 而綈p是綈q的必要不充分条件， 所以q是p的必要不充分条件， 所以p⇒q，即AB，故(等号不同时取到)，解得m≥9. 答案：[9，＋∞) 1．(2015·高考福建卷)“对任意x∈(0，)，ksin xcos x＜x”是“k＜1”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 2019年 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.令f(t)＝sin t－t，则f′(t)＝cos t－1≤0恒成立，所以f(t)＝sin t－t在[0，π]上是减函数，f(t)≤f(0)＝0，所以sin t＜2x(0必要性成立；当x＝时，ksin 2x<2x可化为k<＝，而>，取k＝，不等式成立，但此时k>1，故充分性不成立． 2．已知集合A＝，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________． 解析：A＝＝{x|－1＜x＜3}， 因为x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A， 所以AB， 所以m＋1＞3，即m＞2. 答案：(2，＋∞) 3．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 解：化简集合A，由y＝x2－x＋1. 配方得y＝＋. 因为x∈， 所以ymin＝，ymax＝2. 所以y∈. 所以A＝. 化简集合B，由x＋m2≥1，得x≥1－m2， B＝. 因为命题p是命题q的充分条件，所以A⊆B. 所以1－m2≤，解得m≥或m≤－. 所以实数m的取值范围是∪. 4．已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件． 解：因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程， 所以m≠0. 又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，
所以
Δ1＝16（1－m）≥0，
Δ2＝16m2－4（4m2－4m－5）≥0， 解得m∈.
因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
所以
4m∈Z，
4m∈Z，4m2－4m－5∈Z. 所以m为4的约数．