新北师大版七年级数学下《第三章三角形》导学案

第四章 三角形 4.1 认识三角形（1）
三角形中角的关系：（1）三角形的三个内角之和是 ；（2）直角三角形的两个锐角 三角形的分类：按角分为三类： 三角形； 三角形和 三角形。

变式训练：已知△ABC 中，0
90,2,A B B C ∠-∠=∠=∠试判断此三角形是什么形状？
例5 如图，已知0
60,30,20,A B C BOC ∠=∠=∠=∠求的度数。

变式训练：如图在锐角三角形ABC 中，BE 、CD 分别垂直AC 、AB ，
若0
40A ∠=，求BHC ∠的度数。

2、如图在△ABC 中，已知1,2,,A B ABC ACB ACB ∠=∠∠=∠∠=∠∠求的度数。

4.1认识三角形（2）
变式训练：1、已知两条线段的长为5cm 和8cm ，要订成一个三角形，试求： （1） 第三条线段的长度范围；
（2） 若第三条线段的长度为奇数，求此时三角形的周长。

2、已知等腰三角形中，有两边长为3和7，求此等腰三角形的底边和腰长 拓展：1、若设,,a b c 是△ABC 的三边，则a b c a b c +++--=
回顾小结：
掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。

4.1认识三角形（3）
画出下图三角形的三条高
O
C
B
A
H
E D
C
B
A
2
1
D C
B
A
（一） 学习过程
1、在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做
2、在三角形中， 的线段，叫做这个三角形的中线。

3、从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 之间的线段叫做三角形的高。

例1 （1）如图1，D 为S △ABC 的变BC 边的中点，若S △ADC =15, 那么S △ABC =
(2)如图2，已知AD 、BE 分别是△ABC 中BC 、AC 边上的高，若00
70,120,2C ∠=∠=∠=那么
D C
B
A
2
1
E
D
C
B
A
图1 图2
变式训练：如图在△ABC 中，BD 平分0
,66,24,ABC C ABD A ∠∠=∠=∠那么=
例2 如图，已知在△ABC 中，ABC ACB ∠∠与的平分线交于点O ，试说明：
01
902
BOC A ∠=+∠
变式训练：如图在△ABC 中，已知I 是△ABC 三个内角平分线的交点，
0130BIC BAC ∠=∠,则为（ ）
A 、40°
B 、50°
C 、65°
D 、80°
2、如图1在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠BAC ，∠B=40°， ∠C=65°，求∠EAD 的度数.
回顾小结：(1)三角形的角平分线、中线、高线的定义;
(2) 三角形的角平分线、中线、高线是线段.
4.3 探索三角形全等的条件（1）
[例1]如图，1、如图，△ABC 中 AB=AC ， D 为BC 中点
求证：①△ABD ≌△ACD ．
②∠BAD=∠CAD ③AD ⊥BC
B D
C
B A
O
C
B A
I
C
B
A
图1
E D C
B
A
变式训练：
如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB ．要用“边边边”证明△ABC ≌△FDE ，除了已知
中的AC=FE ，BC=DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？ 例2、如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D
拓展延伸
1、 如图，AC 与BD 交于点O ，AD=CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE=CF ，DE=BF. 请推导下列结论：
⑴∠D=∠B ；⑵AE ∥CF ．
2、已知如图，A 、E 、F 、C 四点共线，BF=DE ，AB=CD.
⑴请你添加一个条件，使△DEC ≌△BFA ；⑵在⑴的基础上，求证：DE ∥BF.
3、 已知：AB =AC, D 为△ABC 内部一点， 且BD = CD,
连接AD 并延长，交BC 于点E. 试找出图中的一对全等的三角形，并证明你的结论。

小结：
1、证明三角形全等的一般步骤：
①把非直接条件（公共边、公共角、对顶角，平行线，平行四边形等图形中的隐含条件）转化为直接条件（三角
形中的对应相等的边或角）
②在△ 与△ 中 ∵⎩
⎨⎧ ∴△ ≌△
2、证明不在同一个三角形中的边与角相等时，不要忘记证它们所在的三角形全等
A
B
C
E
D
F
D
C
B
E
A
4.3探索三角形全等的条件（2）
训练：如图：已知BD ＝CE ，∠B ＝∠C ，△ABD 与△ACE 全等吗？为什么？
例2、如图，OP 是∠MON 的角平分线，C 是OP 上一点，CA ⊥OM ，CB ⊥ON ， 垂足分别为A 、B ，△AOC ≌△BOC 吗？为什么？
变式训练：
已知：如图，AB=DC ，∠A=∠D ．试说明：∠1=∠2．
4.3探索三角形全等的条件（3） 例.如图：
①已知AB=A ′B ′,BC=B ′C ′,那只要再知道____=____,就可以根据“SAS ”
得到△ABC ≌△A ′B ′C ′.
②已知AB=A ′B ′,∠BAC ＝∠B ′A ′C ′,那只要再知道____=____,就可以根据“SAS ”
得到△ABC ≌△A ′B ′C ′.
③已知∠C ＝∠C ′,那只要再知道_____=_____ , _____=_____ ,就可以根据“SAS ” 得到△ABC ≌△A ′B ′C ′ 变式训练：
如图：若AB= DE ，BF=EC ,∠B ＝ ∠E ，那么 △ ABC 和△ DEF 全等吗？
A
D
E
B
C
M O
A B
C
D
O 1 2
A
B C
C ′
B ′
A ′
A
D
拓展延伸
1．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．△ABD ≌△ ACE。

2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，
BE∥DF，BE＝DF．求证：AB∥CD
3、如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C,求证AC=AB+BD
4.4 用尺规作三角形
已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.
已知：线段∠α，∠β，线段c 。

求作：ΔABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。

45 利用三角形全等测距离
一、探索练习：
1．如图，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距离。

在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO，请你能完成右边的图形。

2．如图，要量河两岸相对两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF
3．上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E
4．在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，试说明理由。

3．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，完成下图并求出A、B的距离
拓展练习：
如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

第四章三角形回顾与思考
（一）知识回顾
1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2、全等三角形的特征：大小相等，形状相同．
3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
全等三角形周长相等，面积相等．
4、三角形全等的判定：重叠法（定义法），SAS，ASA，AAS，SSS．
注意：（1）“分别对应相等”是关键；
（2）两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等；
（3）三角分别对应相等的两个三角形不一定全等．
5、要证明两条线段或两个角相等，最常用的方法之一是利用全等三角形去证明，因此，首先筛选或构造恰当的三角形，使所要证明的线段或角分别为这两个三角形的对应元素，然后证明这两个三角形全等．。