2017-2018学年八年级数学下册1.3线段的垂直平分线(第1课时)课件(新版)北师大版
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明第8课 线段垂直平分线的性质与判定课件
几何语言：∵CD是AB的垂直平分线， 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离________. P点在AB的垂直平分线上
∴∠ABN＝∠A. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.
中正确的是( D ) ∴∠ABC－∠MBC＝∠ACB－∠MCB，
∴∠BAF＝∠B＝30°. 即直线AO垂直平分BC ∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C
A.AO＝BO 如图，AB＝AD，则添加一个条件_________，即可得到AC是BD的垂直平分线.
(1)若BC＝15，求△APQ的周长； (1)AD＝________，∠ADC＝________°，AC＝________； 求证：直线AO垂直平分线段BC.
4.(例2)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF， 求∠AFC的度数. 解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝(180°－120°)÷2＝30°. ∵EF垂直平分AB，∴BF＝AF. ∴∠BAF＝∠B＝30°. ∵∠AFC为△ABF的外角， ∴∠AFC＝∠BAF＋∠B＝30°＋30°＝60°.
＝BP＋PQ＋C80° ∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－105°＝75° ∵MP，NQ分别垂直平分AB和AC ∴AP＝BP，AQ＝CQ ∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C ∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝75° ∴∠PAQ＝∠BAC－(∠BAP＋∠CAQ)＝105°－75°＝30°
∵∠BNC是△ABN的外角， ∴∠ABC－∠MBC＝∠ACB－∠MCB，
北师大版八年级下册数学1课件
B
C
A
郑州市第七十一中学
作业设计
1.请你找出生活中哪些设计会用到线段的 垂直平分线的相关知识。 2.尝试利用线段垂直平分线的尺规作图探 究角平分线的尺规作图理论依据。
郑州市第七十一中学
北师大版数学八年级下册
第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线（2）
温故知新
活动探究
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学以致用
分享提升
目标检测
垂直平分线性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等
M P
∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴PA=PB
AC
B
N
温故知新
活动探究
学以致用
分享提升
目标检测
温故知新
活动探究
学以致用
分享提升
目标检测
活动一：
折一折：拿出准备好的三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂 直平分线（画出折痕），观察这三条垂直平分线，你发现了什 么?
学习要求： 1.自主完成 2.组内交流 3.用时：2分钟。
温故知新
活动探究
学以致用
分享提升
目标检测
活动一：
画一画：请利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，观察这三 条垂直平分线，和你刚才的发现一样吗?
(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)． 即 边AC的垂直平分线经过点P.
B
目标检测
A P
C
温故知新
活动探究
学以致用
分享提升
目标检测
活动二：已知三角形的一条边为5cm及这条边上的高3cm，你能 作出三角形吗?如果能，请作在学案上.
活动要求：1.自主完成 2.组内交流 3.用时：2分钟。
北师大数学八下课件3.线段的垂直平分线
∴ BE垂直平分CD．
点评 证明线段的垂直平分线与证明点在线段的垂直平 分线上不同，证明点在线段的垂直平分线必须要证明有两个 点到这条线段的两个端点的距离相等．
举一反三
如图1-3-7，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥
AC于点F.求证：AD垂直平分EF.
证明：∵AD为∠BAC的平分线, ∴∠BAD=∠CAD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC, ∴∠AED=∠AFD=90°. 又∵AD=AD, ∴△AED≌△AFD（AAS）. ∴AE=AF，DE=DF. ∴点A在EF的垂直平分线上, 点D在EF的垂直平分线上. ∴AD垂直平分EF.
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数学
八年级下册
配北师大版
第一章
3
三角形的证明
线段的垂直平分线
课前预习
1． 到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ A ） A． 三边垂直平分线的交点 B． 三条角平分线的交点 C． 三条高的交点 D． 三边中线的交点 2. 如图1-3-1，在△ABC中， ∠B＝30°，BC的垂直平分线交 AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB， 若BE＝2，则AE的长为 （ B ） A. B. 1 C. D. 2
新知3
用直尺和圆规作线段的垂直平分线
用直尺和圆规可以作已知线段的垂直平分线. 【例3】已知线段AB（如图1-3-8），求作线段AB的垂直平分 线．
作法 （1）分别以点A和点B为圆心、以大于AB的长为半
径作弧，两弧相交于点C和D；
（2）作直线CD. 直线CD就是线段AB的垂直平分线（如图1-3-9）．
【例4】如图1-3-10，在一条河岸边有两个仓库A，B，现在要
在公路（曲线部分）上寻找一处建货 要使公路上的点C到A，B两处的距离相等，则点C 一定在线段AB的垂直平分线上，因此只需作线段AB的垂直平 分线，它与公路的交点即为货栈的位置．
线段的垂直平分线(第1课时)-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
情况一：当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，
∴点P为线段AB的中点，
A 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
P
B
命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
情况二：当点P在线段AB外时，如图. ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC.
你能证明这个定理吗 ？
M P
A
CB
N
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 已知: 如图, 直线MN⊥AB, 垂足是C，且AC=BC, P是MN上任意一点. 求证: PA=PB.
证明：∵MN⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=90°
M P
∵AC=BC, PC=PC
∴△APC≌△BPC(SAS)
内容 作用
内容 判定
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点 的距离相等 见垂直平分线，得线段相等
到线段的两个端点距离相等的点在线段的 垂直平分线上
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
六、布置作业
完成课本P23习题1.7中第1、2、3、4题
学习数学就像一个圆，思考的越多，半径越大，思维接触的区域 就越辽阔。
解：（2）∵EF垂直平分AC，AD垂直平分BE， ∴AC＝2CF＝2×3＝6cm，CE＝AE＝AB，DB＝ DE， ∴C△ABC＝AC+CB+AB
＝AC+CD+DB+AB ＝AC+CD+（DE+CE） ＝AC+2CD ＝6+2×4＝14（cm），
北师大版八年级下册第一章1.3.2线段的垂直平分线课件
三角形的 垂直平分
线
如 图
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
交点所 处位置
在三角形的内部
交于斜边的中点
在三角形的外部
交点性 质
到三角形三个顶点的距离相等
学
定理：三角形三边的垂直平分线 相交于一点， 并且这一点到三个顶点距离相等.
几何语言：如图，
三角形.
a
已知：如图，线段 a，h. h
求作：△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，
高 AD = h.
作法:
（1）作线段BC=a(如图)
A
（2）作线段BC的垂直平分线m，交BC于点D （3）在m上作线段DA，使DA=h
B （4）连接AB,AC△ABC为所求的等腰三角形
h a DC
m
学 1.点在直线上时：
C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等
2m+2n C.
2 已知底边和底边上的高，能用尺规作等腰三角形.
（2）B作．线段到BC的三垂直角平分形线m三，交个BC于顶点D点的距离相等
1 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是( )
例5 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.
测 1 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝
30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是( )
A．10°
B．20°
C．பைடு நூலகம்0°
D．40°
2. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，DE垂直
二三、条判 垂定直平定平理分分：线到的A一交B条点，线C.段交两个A端点B距于离相点等的E点.，若在这A条C线段＝的垂m直平，分线B上C＝n，则△BDE的周长为
北师大版八年级数学(下)第一章 线段的垂直平分线
1.3线段的垂直平分线一、知识点梳理1.线段垂直平分线性质定理：①线段垂直平分线垂直平分某条线段②线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2.线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3.作图要求：掌握尺规作图做已知线段的垂直平分线4.三角形外心：三角形三条边垂直平分线的交点二、经典题型总结题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用三、解题技巧点睛1.若题目中出现“求一点到某几个点的距离相等”则可以想到运用垂直平分线的性质画出中垂线2.三角形外心也是三角形外接圆的圆心，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在三角形的斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部3.求两条线短的最短距离，通常是想到过一个已知点做已知直线的对称点，连接对称点与另一个已知点的连线即为最短距离。
4.灵活运用垂直平分线逆定理解决题目四、易错点分析在运用线段垂直平分线计算周长的时候容易出现错误五、典型例题分析题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长例题：在△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线DE交AB、AC于点E、D.（1）若△BCD的周长为8,求BC之长. （2）若BC=4,求△BCD的周长.题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度例题：如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°,则∠DBC=___∘.题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题例题：如图,在直角中,∠BAC=90∘,AB=8 ,AC=6 ,DE 是AB 边的垂直平分线,垂足为D ,交BC 于点E ,连接AE ,则△ACE 的周长为________.题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题例题：如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C 之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：点D在AB的垂直平分线上．六、中考真题再现（2019.长沙.9题）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是A．20° B．30° C．45° D．60°（2019.江苏.15题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD 平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长．七、习题巩固训练1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC的度数是（）A．15°B．20°C．65°D．100°2.如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（）A．45°B．60°C．50°D．55°3.如图，在等腰中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则的度数是A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是______.5.如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC=10cm，则B点到P点的距离为______.6.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=__________．7.如图，AD和EF分别是△ABC中BC与AB垂直平分线，且BE+CE＝20cm，则AB＝．8.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝．9.在Rt△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,AC的垂直平分线MN分别与AB,AC交于点D,E,则∠BCD的度数为10.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则的周长的最小值为______．11.如图，某校两个班的学生分别在C，D两处参加植树活动，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个茶水供应点M，使点M到两条路的距离相等，且MD=MC，这个茶水供应点应建在何处?12.如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）根据要求用尺规作图：作斜边AB边上的高CD，垂足为D；（2）求CD的长．13.如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE（垂足为D）交BC的延长线于点E，求线段CE的长．14.如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD,BC的交点,E是AB的中点.求证:OE 是线段AB的垂直平分线.15.如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F，若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．16.两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）17.尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．18.铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.19.已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：（1）到两村的距离相等；（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？20.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在AB上，且AF垂直平分CD，BG垂直平分CE（1）求∠ECD的度数；（2）若∠ACB为α，则∠ECD的度数能否用含α的式子来表示．22.已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．①求证：BE=CF；②若AF=6，BC=7，求△ABC的周长．23.如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC、∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．。
北师大版数学八年级下册1.3线段的垂直平分线(第1课时) 教学设计(含教学反思)
北师大版数学八年级下册《1.3线段的垂直平分线（第1课时）》教学设计课堂预学----学前准备：1.知识储备：①等腰三角形的性质1②等腰三角形的性质2 课堂互学----组内研学、学生展学、自我归纳任务一：探索线段的垂直平分线的性质（指向目标1）问题一 (检测目标1)2. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?学习提示：线段是一个 图形，其中 就是它的对称轴．用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到 ．归纳在这个问题中，要求在“A、B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．问题二性质探索与证明(检测目标1)证明“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．”问题1：证明这个推论需要完成哪些步骤 问题2：如何书写合理的演绎推理过程？已知：△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF求证：△ABC ≌△DEF证明：∵MN ⊥AB ，∴∠ =∠ =90°（ ）在△PCA 和△PCB 中，F E DC B A∵，（已知）, （公共边）（已证）∴△PCA≌△PCB(SAS)．∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．归纳文字语言：线段垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等。
P图形语言：数学符号语言：A B∵P在线段AB的垂直平分线上∴PA=PB学习提示：学生在导学案先独立完成部分或全部过程，然后相互讨论交流，（老师巡视，收集有代表性的书写过程）利用电脑再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，强调：∵（因为）∴（所以）的逻辑思维合理性.课堂固学----即时评价一（检测目标1）每题5分.3已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E,F是AB上的两点。
求证：∠ECF=∠EDF△APC≌△BPC(SAS)．∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P 点在线段AB 的垂直平分线上．证法四：过P 作线段AB 的垂直平分线PC ．∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴P 在AB 的垂直平分线上．学习提示：在教师的引导和合作下，通过自主探索，合作交流，发现问题，解决问题，同时感受证明方法的多样性，提高学生问题拓广能力，发展学生学习的自主性，从推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．任务三：巩固应用4已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC ，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC 。
八年级数学下册第一章第1课时线段垂直平分线的性质与判定作业pptx课件新版北师大版
则BC的长是（ C
A.2
）
B.4
1
2
3
C.6
4
5
6
7
8
9
D.8
10
11
12
13
14
3.【教材P23习题T1改编】如图，在△ABC中，AC的垂直平分
线交AB于点D，CD平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数
为（
B ）
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分
10
_______cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
点拨：∵点M是点P关于AO的对称点，
∴AO垂直平分MP，∴EP＝EM.
同理，PF＝FN.
∵MN＝ME＋EF＋FN，∴MN＝EP＋EF＋PF，
∵△PEF的周长为10 cm，
∴MN＝EP＋EF＋PF＝10 cm.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12
13
14
9.如图，已知∠B＝20°，∠C＝30°，若MP和QN分别垂直平
分AB和AC，则∠PAQ等于（
A.50°
B.75°
C.80°
D.105°
1
2
3
4
5
6
7
北师大版八年级下册数学课件1.3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质与判定
证明：∵GB＝GC，AB＝AC， 【点拨】如图所示，已知点P在线段AB外，且PA＝PB.
【点拨】如图所示，已知点P在线段AB外，且PA＝PB. ∴点B在线段AF的垂直平分线上．
又(2)∵点两D点在确AG定上一，条求直∴证线：，点DBG＝D，C. 点A在BC的垂直平分线上．
探究培优
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点 N，交BC的延长线于点M. (1)若∠A＝40°，求∠NMB的度数．
解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠B＝∠ACB＝180°－ 2 40°＝70°. 又∵MN⊥AB， ∴∠NMB＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.
探究培优
(2)点D在AG上，求证：DB＝DC.
A中作∠APB的平分线PC交AB于点C，只需再证明AC＝BC 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M.
选项A中作∠APB的平分线PC交AB于点C，只需再证明AC＝BC及PC⊥AB即可得到PC是线段AB的垂直平分线．故作法正确；
夯实基础
*4.如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB 和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在 点E的左侧，BC＝6 cm，则△ADE的周长是( D ) A．3 cm B．12 cm C．9 cm D．6 cm
【点拨】∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点 D，E，∴BD＝AD，AE＝EC，∴△ADE的周长 ＝AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6 cm.
整合方法
(2)点D在AG上，求证：DB＝DC. 解：∵AG垂直平分BC，点D在AG上， ∴DB＝DC.
《线段的垂直平分线》第1课时示范公开课教案【八年级数学下册北师大版】
《线段的垂直平分线》教学设计第1课时一、教学目标1.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力.2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.3.能用尺规做出已知线段的垂直平分线.4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.二、教学重难点重点：证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力.难点：能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答.问题1：线段的垂直平分线具有什么特征？预设：垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线.如图，MN是线段AB的垂直平分线，交AB于点O，则MN⊥AB，且AO=OB.问题2：等腰三角形顶角平分线有哪些性质？预设：由等腰三角形三线合一的性质可得等腰三角形的顶角平分线垂直底边，并且平分底边．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC 的平分线AD所在的直线即线段BC的垂直平分线．【合作探究】拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′，FB和FB′的关系.可以发现折痕EB=EB′，FB=FB′.我们曾经用上面折纸的办法得到：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论吗？试一试.教师活动：引导学生回忆之前学习的轴对称图形中关于线段平分线的知识内容.并带领学生梳理证明思路，注意强调“要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表”.让学生写出已知、求证，并自主证明，最后再进行总结.已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.求证：P A = PB.分析：要证明P A=PB，只需证明△PCA ≌△PCB.注意：如果点P与点C重合，那么结论显然成立，因此证明过程中的点P与点C不重合.证明：∵MN∵AB，∵ ∵PCA=∵PCB=90 °.∵ AC=BC，PC=PC，∵∵PCA∵∵PCB（SAS）.∵ P A=PB(全等三角形的对应边相等).【归纳】线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.几何语言:如图，直线MN∵AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的点，则P A=PB.应用：经常用来证明两条线段相等.【想一想】你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它.教师活动：引导学生运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理.预设：逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.是真命题已知：如图，线段AB，P A=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：∵过点P作直线MN∵AB，垂足为点C，则PC是∵P AB的高.∵ P A=PB，∵∵P AB是等腰三角形.∵ PC是∵P AB的中线(三线合一).∵ AC=BC.∵直线MN是线段AB的垂直平分线.∵点P在线段AB的垂直平分线上.【归纳】线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.几何语言：如图，线段AB，P A=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上(即PC∵AB且AC=CB)．应用:经常用来证明点在直线上或直线经过某一点.【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.分析：由已知AB=AC，OB=OC，结合线段垂直平分线的判定定理，可以分别证出点A和点O为线段BC垂直平分线上的点，从而证出结论.证明：∵AB = AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).同理，点O 在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).教师活动：进一步提出思考，你还有其他的证明方法吗？方法2分析：可以用全等三角形证明:设AO交BC于点D，先依据基本事实SSS证明△ABO≌△ACO得到∠BAO=∠CAO，再证明△ABD≌△ACD，从而使问题得证.证明：延长AO交BC于点D，∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO(SSS).∴∠BAO=∠CAO，∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS).∴BD＝CD，∠ADB=∠ADC=90°.即直线AO垂直平分线段BC.教师活动：引导学生对比两种证明方法，会发现使用垂直平分线的判定定理证明更加简便.【做一做】(1)用尺规做出线段AB的垂直平分线.教师活动：让学生回忆前面学习过的作图知识，尝试作图，引导学生先写出已知及求作，作法不做要求，做出正确图形即可.已知:线段AB，如图.求作:线段AB的垂直平分线.作法:1.分别以点A和B为圆心，以大于线段AB长度的一半为半径作弧，两弧交于点C和D.2. 作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线.(1)请你就尺规作线段AB的垂直平分线方法的正确性给出证明，并与同伴进行交流. 预设：证明：∵AC=BC∴点C在线段AB的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上).同理，点D在线段AB的垂直平分线上.∴直线CD是线段AB的垂直平分线(两点确定一条直线).教师活动：进行总结说明，并提示CD 与线段AB的交点就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点.2.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有() A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．以上都不正确3.如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点E，D.(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；(2)若BC＝4，求△BCD的周长．答案：1.7 602. A3.解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周长为8，∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：。