(完整word版)专题椭圆的离心率解法大全
七法破解椭网离心率的取值范围问题
七法破解椭圆离心率的取值范围问题ʏ贵州省仁怀市周林高中 孔祥庆椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度,是椭圆的一个重要的几何特征㊂求离心率的范围是比较棘手的问题,本文就此类问题提出七种求解策略,供同学们参考㊂一㊁由题设直接得a ,b ,c 的齐次不等关系例1 过椭圆C :x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为k 的直线l ,直线l 与椭圆C 的另一个交点B 在x 轴上的射影为椭圆C 的左焦点F ㊂若32ɤk ɤ53,则椭圆C 的离心率e 的取值范围是㊂解析:设F (-c ,0),B (-c ,y ),将x =-c 代入x 2a 2+y 2b 2=1,得(-c )2a 2+y 2b2=1㊂又y >0,则y =b 2a ,即B -c ,b 2a㊂从而k =b 2a (a -c )=a 2-c 2a (a -c )=a +c a =1+e ㊂由32ɤk ɤ53,解得12ɤe ɤ23㊂评注:此类题型中不等关系很明显,一般先将不等关系中的参变量用a ,b ,c 表示,得到齐次不等式再解之,应注意b 2=a 2-c 2的转换及0<e <1的范围限制㊂二㊁利用平面几何知识例2 已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点,若满足M F 1ʅM F 2的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率e 的取值范围是㊂解析:因为M F 1ʅM F 2,所以点M 在以F 1F 2为直径的圆上㊂要使点M 总在椭圆内部,则圆的半径c <b ,即c 2<a 2-c 2,解得离心率e 的取值范围是0,22㊂评注:求解本题时将抽象的语言描述转化为椭圆与圆的位置关系问题,得到的不等关系使得求解过程简单明了,可见平面几何知识可以简化复杂的计算过程㊂三㊁利用椭圆的取值范围例3 已知椭圆M :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)与圆N :x 2+y 2=b 2,若在椭圆M 上存在点P ,使得由点P 所作的圆N 的两条切线互相垂直,则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )㊂A.12,1B .22,32C .22,1D .32,1解析:设两切点分别为A ,B ,坐标原点为O ,P (x 0,y 0),连接O A ,O B ,O P ,易知四边形O A P B 是边长为b 的正方形㊂则|O P |=2|O A |,即x 20+y 20=2b ,化简整理可得y 20=2b 2-x 20㊂由x 20a 2+y 20b2=1,得y 20=b 2-b 2x 20a2=2b 2-x 20,则x 20=a 2(a 2-c 2)c2㊂由椭圆的取值范围知0ɤx 20ɤa 2,结合0<e <1,解得22ɤe <1,即e 的取值范围是22,1㊂故选C ㊂评注:本题是从坐标的角度考虑,先将x 20分离出来,再利用-a ɤx 0ɤa 获得关于a ,c 的不等关系㊂事实上也可以将y 20分离,再利用-b ɤy 0ɤb 获得不等关系㊂四㊁利用不等式的性质例4 已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆上一点,若øF 1P F 2=120ʎ,则此椭圆离心率e 的取22 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年11月值范围是㊂解析:由余弦定理,得|F 1F 2|2=|P F 1|2+|P F 2|2-2|P F 1||P F 2|c o s øF 1P F 2,即(2c )2=(|P F 1|+|P F 2|)2-|P F 1||P F 2|㊂从而4a 2-4c 2=|P F 1||P F 2|ɤ|P F 1|+|P F 2|22=a 2,即3a 2ɤ4c 2,得e =c 2a2ȡ32,当且仅当|P F 1|=|P F 2|=a 时,e 取最小值32㊂又0<e <1,故椭圆离心率e 的取值范围是32,1㊂评注:本题通过基本不等式的变形式x y ɤx +y22获取不等关系,解此类最值问题,应判断等号成立的条件是否满足㊂五㊁转化为函数的值域例5 若椭圆C 1:x 2(m +1)2+y 2m 2=1与椭圆C 2:x 23m -1+y2n =1有相同的焦点,求椭圆C 1的离心率e 的取值范围㊂解析:由椭圆C 2的方程知,m >13㊂又由椭圆C 1的方程知,椭圆C 1的焦点在x 轴上,设椭圆C 1的焦距为2c ,长轴长为2a ,离心率为e ,则c 2=(m +1)2-m 2=2m +1㊂因为椭圆C 1与椭圆C 2的焦点相同,所以(3m -1)-n =2m +1,且3m -1>n =m -2>0,即m >2㊂则e 2=c 2a 2=2m +1(m +1)2=-1(m +1)2+2m +1㊂设1m +1=t ,则0<t <13,e 2=-t 2+2t ㊂又设f (t )=-t 2+2t ,则f (t )在0,13上为增函数,即f (0)<f (t )<f 13 ,即f (0)<e 2<f 13 ,则0<e <53㊂又0<e <1,故椭圆C 1的离心率e 的取值范围是0,53㊂评注:解决本题的关键是将离心率e 的范围问题转化为一元二次函数的值域问题,求解时应注意自变量t 的限制条件㊂六㊁利用三角形的三边关系例6 已知F 1㊁F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左㊁右焦点,若椭圆上存在一点M ,使得|M F 1|=3|M F 2|,则椭圆离心率e 的取值范围是㊂解析:由椭圆的定义,得|M F 1|+|M F 2|=2a ㊂联立|M F 1|=3|M F 2|,得|M F 1|=32a ,|M F 2|=12a ㊂设椭圆的焦距为2c ,根据三角形的两边之差小于第三边,得|M F 1|-|M F 2|<2c ㊂当M 在椭圆右顶点时,|M F 1|-|M F 2|=2c ,故32a -12a ɤ2c ,解得12ɤe <1,即椭圆离心率e 的取值范围是12,1㊂评注:本题利用三角形三边关系及三点共线关系,得到|M F 1|-|M F 2|ɤ|F 1F 2|,从而获取关于a ,c 的齐次不等关系式,可得离心率e 的取值范围㊂七㊁利用判别式例7 已知F 1㊁F 2是椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左㊁右焦点㊂若椭圆上存在一点M ,使得|M F 1|㊃|M F 2|=3b 2,则椭圆离心率e 的取值范围是㊂解析:由椭圆的定义,得|M F 1|+|M F 2|=2a ㊂又|M F 1|㊃|M F 2|=3b 2,所以|M F 1|,|M F 2|是方程x 2-2a x +3b 2=0的两个正实数根㊂Δ=(-2a )2-4ˑ3b 2ȡ0,即4a 2-12(a 2-c 2)ȡ0,解得63ɤe <1,即椭圆离心率e 的取值范围是63,1㊂评注:利用判别式的符号得到不等关系式,应考虑方程中实根的分布情况,即结合对应的一元二次函数图像,才能得到椭圆离心率的取值范围㊂(责任编辑 徐利杰)32解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年11月。
高中数学椭圆离心率的解法
椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。
题型变化很多，难以驾驭。
以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。
一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2c ∴有③。
题目1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3c c+3c=2a ∴e= ca= 3-1变形1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF1｜= b2a｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=aPF2 ∥AB ∴｜PF1｜｜F2 F1｜=ba又∵b= a2-c2∴a2=5c2 e=5 5点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。
椭圆的离心率求解策略(含答案)
椭圆离心率的求法课程学习目标知识目标：掌握求解椭圆离心率及其取值范围的几类方法；能力目标：培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力；情感目标：通过独立思考，互相交流使学生主动领悟、吸收、内化解题规律，提高学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇于创新的精神.学习重难点重点：椭圆离心率的求法；难点：通过回归定义，结合几何图形，建立目标函数以及观察图形、设参数、转化等途径确定离心率离心率在椭圆中的几何表示如图，O 为椭圆的中心，F为焦点，A 为顶点， 准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD⊥L 于 D ，QF ⊥AO 于F,设椭圆的离心率为e ， 证明：①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜探究一：利用定义直接求a ,c例1．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于 ．练习1．已知12(1,0),(1,0)F F -为椭圆若椭圆上一点P 满足，则椭圆的离心率e =( )A C ． 2练习2．一个圆柱形容器里装有水，放在水平地面上，现将该容器倾斜，这时水面是一个椭圆面（如上图），当圆柱的母线AB 与地面所成角时，椭圆的离心率是 ．探究二：构造焦点三角形求离心率例2．椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两边，则椭圆的离心率e ．练习3．以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆,使此圆过椭圆的中心,交椭圆于点M 、N,若直线MF 1(F 1为椭圆左焦点)是圆F 2的切线,则椭圆的离心率为( ) A.2 1练习4的右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆交于,M N 两点，以MN 为直径的圆恰好过左焦点，则椭圆的离心率等于 ．练习5．椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ，求e?探究三：构造关于e 的(a,b,c 的齐次)方程例3的上焦点为F ，左、右顶点分别为12,B B ，下顶点为A ，直线2AB 与直线1B F 交于点P ，若22AP AB =，则椭圆的离心率为___________．练习6>0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 ．练习7．F A 使AOF ∆为正三角形，那么椭圆的离心率为 ．BAF 2 F 1x y探究四：结合几何条件与第二定义求解例4．如图，点PF 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过点P 作椭圆右准线的垂线，垂足为M ，若四边形12PF F M 为菱形，则椭圆的离心率是 ．例5F 1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F 1A ｜=2｜BF 1｜, 则椭圆的离心率是 ．练习8．已知椭圆Ca>b>0）的离心率为F 且斜率为k （k >0）的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。
【高考】二轮复习椭圆中离心率问题ppt课件
建立关于a，c的齐次等式或不等式．
椭圆的第三定义
解法提炼
求椭圆离心率的值： (1)解题方向：建立关于a，c的齐次等式． (2)实现策略
几何转化：利用椭圆的定义寻找线段之间的等量关系． 方程思想：利用点在椭圆上，将点的坐标代入椭圆方程．
典例剖析
2)要正确理解对外开放和独立自主的含义，对外开放并不等于一切依靠外援，甚至依赖外国实现现代化;独立自主也决不是闭关自守，盲目排外; 16、为了求恋爱成功而尽量隐藏自己的缺点的人，其实是愚蠢的。——傅雷 40、忙碌是一种幸福，让我们没时间体会痛苦；奔波是一种快乐，让我们真实地感受生活；疲惫是一种享受，让我们无暇空虚。 8.正路并不一定就是一条平平坦坦的直路，难免有些曲折和崎岖险阻，要绕一些弯，甚至难免误入歧途。 78、什么时候，雨水把眼泪悄悄覆盖，回忆在心里开始残落。 17、我一个人的力量。能去闯，就算要飞越海洋，也不能住当我对梦的渴望！ 55、自由，我离开前送你的最好的礼物。你对我的习惯，便是你给我的最好的回报。 15.志向和热爱是伟大行为的双翼。 6. 坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。 ——白哲特 自己对自己负责的意义：“只有对自己负责的人，才能享有真正的自尊，也才有资格、有自信、有能力承担起对他人、对社会的责任”; 20.古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。
1、学会求椭圆离心率的值或范围： 根据直角三角形中斜边与直角边的不等关系，得到关于a，c的齐次不等式． 建立关于a，c的齐次等式或不等式． 方程思想：利用点在椭圆上，将点的坐标代入椭圆方程． 根据椭圆的范围(点坐标分量的有界性)，得到关于a，c的齐次不等式． 转化思想，方程思想，函数思想等． 根据曲线的范围，得到关于e的不等式． 根据椭圆的范围(点坐标分量的有界性)，得到关于a，c的齐次不等式． 2、体悟数学思想方法的运用： 根据直角三角形中斜边与直角边的不等关系，得到关于a，c的齐次不等式． (1)解题方向：建立关于a，c的齐次等式． 椭圆的第一定义和第二定义 建立关于a，c的齐次等式或不等式． 方程思想：利用点在椭圆上，将点的坐标代入椭圆方程． (1)解题方向：建立关于a，c的齐次等式． 几何转化：利用椭圆的定义寻找线段之间的等量关系． 离心率是圆锥曲线的一个重要知识点，同时也是圆锥曲线的重要几何性质．纵观近几年江苏高考，求离心率的值或范围的题目屡见不鲜．这节课以椭圆为例，复习求椭圆离心率的 值或范围的一些方法．
椭圆双曲线的离心率专题
3．一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值 范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几 何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是 利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式．
x
e c
1
a sin cos
2
1
sin(
)
2 2
B2
4
从而可得 2 e 1 2
思路4：利用二次方程有实根
由椭圆定义知
| PF1|| PF2 | 2a | PF1|2 | PF2 |2 2| PF1|| PF2 | 4a 2
又由F1PF2 90，知 | PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2 4c2 则可得 | PF1 || PF2 | 2(a2 c2 )这样，| PF1 | 与 | PF2 | 是 方程u2 2au 2(a2 c2 ) 0的两个实根，因此
4a2
8(a2
c2) 0
e2
c2 a2
1 2
e
2 2
因此e [ 2 ，1) 2
题型二:求离心率的取值范围： 练习、已知椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的焦点分别为 F1，F2，
若该椭圆上存在一点 P，使得∠F1PF2＝60°，则椭
圆离心率的取值范围是
．
y
B1 P
1、根据条件先求出 a，c，利用 e=ac求解
练习、已知双曲线 y2 3x2 3，求双曲线 的离心率的值。
解析：先化成标准方程 x2 y2 1
高中数学椭圆离心率求法专题-高中课件精选
关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a b a2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe解法4：利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x ca e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222≤-<∈c a e ae 得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221解法6：巧用图形的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。
微专题24椭圆、双曲线、抛物线的离心率问题(解析)
微专题24 椭圆、双曲线的离心率问题考题导航题组一 根据条件或几何特征构造a ，b ，c 的齐次等式求离心率1. 53或54 解析：当m>0，n>0时，n m ＝169，e 2＝m ＋n m ＝259，e ＝53；当m<0，n<0时，nm ＝169，e 2＝m ＋n n ＝2516，e ＝54，所以e ＝53或54. 2. 55 解析：直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，联立⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，解得点A 的坐标为(2a 2c a 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2)，则点C 的坐标为(2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c ＝b 33a 2c ＋c 3.又k AB＝－bc ，由F 1C ⊥AB 得b 33a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，即b 4＝3a 2c 2＋c 4，所以 (a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4，化简得e ＝c a ＝55.1. 6－3 解析：由题意设|AB →|＝|AF 2→|＝m ，因为AB →·AF 2→＝0，所以|BF 2→|＝2m ，所以AF 1＝2m 2，F 1F 2＝6m 2，所以e ＝c a ＝2c 2a ＝F 1F 2AF 1＋AF 2＝6m 2m ＋2m2＝6－ 3.题组二 利用曲线自身变量范围或几何特征构造不等关系解决离心率范围问题 1. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，6－22 解析：圆M 与x 轴相切于焦点F ，不妨设M(c ，y)，因为M 在椭圆上，所以y ＝b 2a 或y ＝－b 2a ，所以圆的半径为b 2a ，过点M 作MN ⊥y 轴，垂足为N ，则PN ＝NQ ，MN ＝c ，所以PN ＝NQ ＝⎝⎛⎭⎫b 2a 2－c 2.因为∠PMQ 为钝角，则∠PMN ＝∠QMN>45°，即PN ＝NQ>MN ＝c ，所以⎝⎛⎭⎫b 2a 2－c 2>c ，即b 4a 2－c 2>c 2，得（a 2－c 2）2a 2>2c 2，a 2－2c 2＋c 2e 2>2c 2，e 4－4e 2＋1>0，(e 2－2)2－3>0.因为0<e<1，所以e 2－2<－3，e 2<－3＋2，所以0<e<6－22. 2. ⎝⎛⎭⎫12，1 解析：设点P(x 0，y 0)，点M(x M ，y M )．因为F 1M →＝2MP →，所以F 1M →＝23F 1P →＝23(x 0＋c ，y 0)＝(x M ＋c ，y M )，所以M ⎝⎛⎭⎫23x 0－13c ，23y 0，所以F 2M →＝⎝⎛⎭⎫23x 0－43c ，23y 0.因为PO ⊥F 2M ，所以⎝⎛⎭⎫23x 0－43c x 0＋23y 20＝0，即x 20＋y 20＝2cx 0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝2cx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1，解得x 0＝a （a ＋c ）c 或x 0＝a （a －c ）c .因为－a<x 0<a ，所以x 0＝a （a －c ）c ∈(0，a)，所以0<a 2－ac<ac ，解得12<e<1，所以e ∈⎝⎛⎭⎫12，1.1. (1，2＋1) 解析：由已知及正弦定理知，a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，即a PF 2＝cPF 1，所以PF 1PF 2＝c a .因为P 在双曲线的右支上，所以PF 1－PF 2＝2a ，所以ca ·PF 2－PF 2＝2a ，所以PF 2＝2a 2c －a .由双曲线的几何性质知PF 2>c －a ，所以2a 2c －a >c －a ，即c 2－2ac －a 2<0，所以e 2－2e －1<0，解得－2＋1<e<2＋1，因为e>1，所以双曲线的离心率的范围是(1，2＋1)． 题组三 利用条件构造函数模型求离心率范围1. ⎣⎡⎦⎤22，63 解析：设左焦点为F 1，连结AF 1，BF 1，可得四边形AF 1BF 是矩形，所以AO ＝OF ＝OB ＝c ，所以AB ＝2c.又AF ⊥BF ，所以AF ＝2c sin α，BF ＝2c cos α.又因为AF 1＝BF ，AF 1＋AF ＝2a ，所以2c sin α＋2c cos α＝2a ，即c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4.因为α∈⎣⎡⎦⎤π12，π4，所以62≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤2，所以22≤c a ≤63. 【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2c sin α＋2c cos α＝2a ，然后借助已知条件α∈⎣⎡⎦⎤π12，π4，利用三角函数的图象求解离心率的范围．1. ⎝⎛⎭⎫22，1 解析：因为椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1，所以a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 21＝m ＋2＋n ，e 21＝m ＋2＋n m ＋2＝1＋n m ＋2.因为双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1，所以a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n ，所以由题意得，m ＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1，所以e 21＝1－1m ＋2.因为m>0，所以1－1m ＋2>12，即e 21>12，因为0<e<1，所以22<e 1<1. 【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式e 21＝1－1m ＋2，进而根据m 的范围，借助反比例函数求解离心率的范围．冲刺强化训练(24)1. 3 解析： a ＝3，c ＝3＋6＝3，故离心率为 3.2. 22 解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，可得焦点为F 1(－c ，0)、F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2.因为以F 1F 2为直径的圆恰好过短轴的两顶点，短轴端点到原点的距离等于焦距的一半，即b ＝c ，可得a 2－c 2＝c ，化简得a ＝2c ，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝22.3. 1＋2 解析：由题可知c －a 2c ＝2a ，故e 2－1＝2e ，又e>1，故e ＝1＋ 2.4. 12 解析：根据题意得，直线AB 2的方程为：y ＝b a x ＋b.直线B 1F 的方程为y ＝b c x －b ，两直线方程联立可解得x ＝2ac a －c .又由题意可得2ac a －c ＝a 2c ，化简可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0，又因为0<e<1，所以解得离心率e ＝12.5. 23解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由题意得y 1<0，y 2>0.直线l 的方程为y ＝3(x－c)，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －c ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0，解得y 1＝－3b 2（c ＋2a ）3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2（c －2a ）3a 2＋b 2.因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2（c ＋2a ）3a 2＋b 2＝2·－3b 2（c －2a ）3a 2＋b 2，则离心率e ＝23.6. 22 解析：设F 1(－c ，0)，将x ＝－c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，得y ＝±b 2a ，所以PF 1＝b 2a ，OF 1＝c.因为AB ∥OP ，所以tan ∠POF 1＝tan ∠BAO ＝ba ，所以在直角三角形中POF 1中，tan ∠POF 1＝PF 1OF 1＝b 2ac ＝b a ，所以b ＝c ，所以a ＝2c ，所以e ＝c a ＝22.7. 53 解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＝4PF 2，所以⎩⎨⎧PF 1＝8a3，PF 2＝2a 3，在△PF 1F2中，由余弦定理得4c 2＝⎝⎛⎭⎫8a 32＋⎝⎛⎭⎫2a 32－2×8a 3×2a 3cos ∠F 1PF 2＝689a 2－329a 2cos ∠F 1PF 2.两边同时除以a 2，得4e 2＝689－329cos ∠F 1PF 2，又cos ∠F 1PF 2∈[－1，1)，所以4<4e 2≤1009，1<e ≤53.当点P 、F 1、F 2共线时，∠F 1PF 2＝180°，e ＝53，则1<e ≤53，e 的最大值为53.8. ⎣⎡⎭⎫22，1 解析：由于线段OM 的垂直平分线经过点F ，则MF ＝OF ＝c ，利用平面几何折线段大于或等于直线段(中心到准线之间的距离)，则有2c ≥a 2c 所以e ≥22.又e<1，故22≤e<1.9. 2 解析：不妨设椭圆方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m>n)，双曲线方程为x 2a －y 2b ＝1(a>0，b>0)，点P 为图象在第一象限的交点．在椭圆方程里根据定义有PF 2＋PF 1＝2m ，在双曲线方程里根据定义有PF 1－PF 2＝2a ，从而可得PF 1＝m ＋a ，PF 2＝m －a ，而根据PF 1→·PF 2→＝0，得△PF 1F 2为直角三角形，根据勾股定理有PF 12＋PF 22＝F 1F 12，即(m ＋a)2＋(m －a)2＝(2c)2，化简为m ＋a ＝2c 2，则e 21＋e 22（e 1e 2）2＝1e 21＋1e 22＝m c 2＋a c 2＝2.10.33解析：由椭圆的定义可得PF 1＋PF 2＝2a ，联立PF 1·PF 2＝2c 2，解得PF 2＝a －a 2－2c 2或PF 2＝a ＋a 2－2c 2.因为a －a 2－2c 2≤a ＋a 2－2c 2，由a －a 2－2c 2≥a －c ，得c ≥a 2－2c 2， 所以c 2≥a 2－2c 2，即3c 2≥a 2, 所以e ≥33，即椭圆的离心率的最小值为33. 11. 解析：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由题意得OP →·PA →＝0，所以x 20－ax 0＋y 20＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 20－ax 0＋y 20＝0，消去y 20，得(a 2－b 2)x 20－a 3x 0＋a 2b 2＝0. 因为方程的一个根为a ，由根与系数关系知ax 0＝a 2b 2a 2－b 2，所以x 0＝ab 2a 2－b 2.由0<x 0<a ，得22<e<1. 12. 解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a 2c ＝4，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2) 设点M(x 1，y 1)，点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y 0. 由A ，M ，P 三点共线得y 1x 1＋a ＝y 0a2c＋a ，所以y 0＝y 1⎝⎛⎭⎫a 2c ＋a x 1＋a.因为点M 在椭圆C 上， 所以y 21＝b 2（a 2－x 21）a2. 又MP 为直径，所以OP ⊥BM ，所以k OP ·k BM ＝cy 1⎝⎛⎭⎫a 2c ＋a a 2（x 1＋a ）·y 1x 1－a ＝y 21（a ＋c ）a （x 21－a 2）＝－b 2（a ＋c ）a 3＝－（a 2－c 2）（a ＋c ）a 3＝－1，所以c 2＋ac －a 2＝0， 所以e 2＋e －1＝0.又0<e<1，解得e ＝5－12.。
高中数学课件-椭圆离心率小微专题
小微专题3：离心率求法
一、直接法（直接求a,b,c中的两个）
e c a
e2
1
b2 a2
二、方程法 (建立一个 a,b, c的齐次方程 )
小技：当未知数较多时，可令a=1,则e=c
1、平面几何知识： 解三角形
中位线（中点）
勾股定理 线段成比例（平行）
三线合一
2、平面向量知识： 向量加法 垂直
焦点三角形的离心率另类计算方法
e sin sin sin
例1：
例题2
练习1
练2
例题3
例题4：向量条件的处理
小微专题4：离心率范围求法
方法：建立一个 a,b, c的齐次不等式 （1）通过已有范围9;xin焦半径:[a-c,a+c] 焦点三角形中的张角:max在短轴取到
P78 6
a2 kPA kPB b2
已知A, B是椭圆 x 2 y 2 1(a b 0)长轴的两个端点，M , N是椭圆上的关于x轴对称的两点， a2 b2
直线AM、BN的斜率分别为k1, k2 , 且(k1k2 0)。若 k1 k2 的最小值为1， 则椭圆的离心率为：____
例题1
例题2
例题3
练习：
3、方程思想： 算两次
减法 共线
数量积 模长
二级结论6（空些位置）：
x 2 y 2 1(a b) a2 b2
x 2 y 2 1(a b) b2 a2
(1)当A, B为椭圆顶点时，则
k PA
kPB
b2 a2
k PA
kPB
a2 b2
（2）当A, B关于原点对称时，则
k PA
kPB
b2 a2
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专题：椭圆的离心率 一，利用定义求椭圆的离心率（ace 或 221abe） 1，已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率e 32 2，椭圆1422myx的离心率为21，则m [解析]当焦点在x轴上时，32124mm； 当焦点在y轴上时，316214mmm， 综上316m或3 3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是53
4，已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆122nymx的离心率为 [解析]由02222mnnmnnmn42nm，椭圆122nymx的离心率为2
2
5，已知)0.0(121nmnm则当mn取得最小值时，椭圆12222nymx的的离心率为23 6，设椭圆2222byax=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是21。
二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率e 1，在RtABC中，90A，1ACAB，如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点在
AB上，求这个椭圆的离心率 36e 2， 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线1AB与BF交于D,且901BDB,则椭圆的离心率为( )
[解析] eaccacbab221)(2
15
3，以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是13 变式（1）：以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是13 4,椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？ 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e= c a = 3-1
变式（1）：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1 为正三角形，求椭圆离心率？ 解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1 变式（2） 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？ 解：∵｜PF1｜= b2 a ｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= ba 又 ∵b= a2-c2
∴a2=5c2 e=55 变式(3):将上题中的条件“PF2 ∥AB”变换为“PO∥AB(O为坐标原点)”
相似题：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e? 解：｜AO｜=a ｜OF｜=c ｜BF｜=a ｜AB｜=a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+5 2 e=-1-52(舍去)
变式(1):椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，e=-1+5 2, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e=5-12的椭圆为优美椭圆。 性质：（1）∠ABF=90° （2）假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。 （3）焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
变式(2): 椭圆12222byax(a＞b＞0)的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则
椭圆的离心率e = 215 ． 提示：内切圆的圆心即原点，半径等于c，又等于直角三角形AOB斜边上的高，∴由面积得：22barab，但cr
4，设椭圆）（0ba1byax2222的左、右焦点分别为21FF、，如果椭圆上存在点P，使90PFF21，求离心率e的取值范围。 解：设0,cF,0,cF,y,xP21 法1：利用椭圆范围。
由PFPF21得222cyx，将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得2222222babacax2222)(eaca。
由椭圆的性质知22ax0，得），以122[e。 附：还可以用参数的方法也能求出离心率的范围（与法1类似） 法2：判别式法。 由椭圆定义知||||||||||||PFPFaPFPFPFPFa121222122224，又因为9021PFF， 可得222122214||||||cFFPFPF，则)(2||||2221caPFPF22b，
1PF，2PF是方程02222bazz的两个根，则22210)(84222222eacecaa
解法3：正弦定理 设记PFFPFF1221，，由正弦定理有 ||sinsin||||90sin||sin||sin||21212121FFPFPFFFPFPF 又因为cFFaPFPF2||2||||2121，，且90 则
)4sin(21cossin1sinsin1ace
20 4344 则1)4sin(22，2)4sin(21
所以122e 解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212aPFPF||||平方后得 42228212221212221222aPFPFPFPFPFPFFFc||||||||(||||)||
得ca2212所以有，）e[221 解法6：巧用图形的几何特性 由FPF1290，知点P在以||FFc122为直径的圆上。 又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P，故有cbcbac2222 变式(1)：圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求椭圆的离心率e 分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
解：由正弦定理：｜F1F2｜sin F1PF2 = ｜F1P｜sin F1F2P 212sinFPFPF 根据和比性质： ｜F1F2｜sin F1PF2 = ｜F1P｜+｜PF2｜ sinF1F2P+sin PF1F2 变形得： ｜F1F2｜ ｜PF2｜+｜F1P｜ =sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 ac2
2=e
∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° e= sin90° sin75°+sin15° =63 点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 变式(2)：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2 =60°，求椭圆离心率e的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。 x y A1 B2 A2 O T
M
F2 M F1 O
解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 = sin60° sinα+sin(120°-α) = 1 2sin(α+30°)≥12 ∴12≤e<1
变式(3)：过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率e的值
解析：因为2(,)bPca，再由1260FPF有232,baa从而得33cea 变式(4)：若BA,为椭圆)0(12222babyax的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使0120AQB，求此椭圆离心率的最小值。{136e} 变式(5)：8、椭圆012222babyax上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若BFAF，设ABF
，且4,12，则椭圆的离心率的取值范围为
解析：设F为椭圆左焦点，因为对角线互相平分，所以四边形FAFB为平行四边形且为矩形，cAB2，cos2,sin2cBFcAF
，acc2cos2sin2，所以4sin21cossin1ace，由
4,
12
得3622e。
6，如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,,,AABB为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1BF相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 .
直线21BA的方程为1byax，直线FB1的方程为1bycx，两式联立得T
的坐标cacabcaac)(,2，所以中点M的坐标为)(2)(,cacabcaac，因为点M在椭圆上，代人方程得2224)(4cacac 则03102ee 1,0e 所以275e 7，椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满足→MF1·→MF2 =0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？ 分析：∵→MF1·→MF2 =0∴以F1F2 为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。