遂宁市高中2023届三诊考试数学(文科)试题

高三数学（文科）三诊试题第1页（共6页）遂宁市高中2023届三诊考试数学（文科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

总分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合{}|12M x x =≥－，{}10123N ＝-，，，，，则 R C M N =（）A ．{}012，， B ．{}12， C ．{}1012-，，， D ．{}23， 2．若复数z 满足(23)32z i i ⋅+=-，其中i 为虚数单位，则z =A ．0B ．1-C 13 D. 1 3．下图是遂宁市2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（℃）的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数r ＝0.88，则下列结论正确的是高三数学（文科）三诊试题第2页（共6页）A ．月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在8月B ．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性负相关C ．每月最高气温与最低气温的平均值在4-8月逐月增加D ．9﹣12月的月温差相对于5﹣8月，波动性更小 4．下列说法不正确的是A ．若22am bm <，则a b <B ．命题:p R x ∀∈，20x>，则p ⌝：0R x ∃∈，020x <C ．回归直线方程为 1.230.08y x =+，则样本点的中心可以为()4,5D ．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 则“A B >”是“sin sin a A b B +>+”的充要条件5．已知实数x ，y 满足22220x y x y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则3yx 的最小值为A ．83- B ．2- C ．-1 D ．1 6．已知数列{}n a 为等比数列，37,a a 是方程2840x x -+=的两个根，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若55b a =，则9S =A ．18-或18B ．18-C ．18D ．27．函数23()(1)cos 1x f x x =-⋅+的图像大致为 A.B.C.高三数学（文科）三诊试题第3页（共6页）D.8．已知函数()()πsin cos 06f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，()10f x =，()23f x =，且12πx x -的最小值为，则ω的值为A ．23 B ．12 C ．1 D ．29． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,E F （E 在F 的左边），且2EF =．下列说法不正确的是A. 异面直线1AB 与1BC 所成角为60B. 当,E F 运动时，平面EFA ⊥平面11ACC AC. 当,E F 运动时，存在点,E F 使得AE BF ∥D. 当,E F 运动时，三棱锥体积B -AEF 不变10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n n S a a +=，则20S = A ．210 B ．110 C ．50D ．55 11．已知1F 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点,过点1F 的直线与圆222:2O x y a +=交于,A B 两点（A 在1,F B 之间），与双曲线E 在第一象限的交点为P ,若190,F A BP AOB ∠︒==(O 为坐标原点),则双曲线E 的离心率为 A ．512- B ．51- C ．3 D ．5 12．已知定义在R 上的函数12()x x x ϕ≠满足:当时,恒有1212()()0x x x x ϕϕ->-，若,()()xx R e b ax ϕϕ∈-≥对任意恒成立，则ab 的最大值为 A ．e B ．2eC ．eD ．2e高三数学（文科）三诊试题第4页（共6页）第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量(4,),=(1,2)a x b =--，且(2)a b b -⊥，则x =___________.14．已知3541lg 2lg 5,log 3,,tan12m -⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，从这四个数中任取一个数m ，使函数()221x x x f m =++有两不相等的实数根的概率为15．如图，在ABC △中，2AB AC ==，23BAC π∠=，D 是BC 的中点，以AD 为折痕把ACD △折叠，使点C 到达点C '的位置，则当三棱锥C ABD '-体积最大时，其外接球的体积为___________.16．已知点F ()2,0为抛物线C ：22y px =()0p >的焦点，点M ()2,0-,若第一象限内的点P 在抛物线C 上，则PM PF的最大值为 ．三、解答题：共70分。

第17题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．（12分）习近平总书记在党史学习教育动员大会上强调：“回望过往的奋斗路，眺望前方的奋进路，必须把党的历史学习好、总结好，把党的成功经验传承好、发扬好．”为庆祝建党100周年，某市积极开展“青春心向党，建功新时代”系列主题活动．该市某中学为了解学生对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，全校高一和高二共选拔100名学生参加，其中高一年级50人，高二年级50人．并规定将分数不低于135分的得分者称为“党史学习之星”，这100名学生的成绩（满分为150分）情况如下表所示．高三数学（文科）三诊试题第5页（共6页）（1）能否有99%的把握认为学生获得“党史学习之星”与年级有关？（分层抽样﹐随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的党史知识竞赛，求这2人中至少有一人是高二年级的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0k2.7063.8415.0246.63510.828▲且cos cos 2ccos b A a B A += （1）求角A 的值；（2）已知D 在边BC 上，且3,3BD DC AD ==,求ABC ∆的面积的最大值▲19．（12分）如图，已知四棱锥中，290DAB ABC ABD ∠=∠=∠=︒，SAB △是面积322SD =12BC AD = （1）证明：AD SB ⊥直线； （2）求点C 到平面SBD 的距离.20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，124F F =，点P 为椭圆短轴的端点，且12PF F △的面积为4，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不在x 轴上）. （1）求椭圆C 的标准方程；获得“党史学习之星” 未获得“党史学习之星” 总计 高一年级 40 10 50 高二年级203050总计 60 40 100▲高三数学（文科）三诊试题第6页（共6页）（2）若点Q 在椭圆C 上，且0OQ AB ⋅=(O 为坐标原点），OQ取值范围.21．（12分）已知函数()()21e 12x f x x x =--.（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）若()21ln (2)12x x a x x f ≥+--+恒成立，求实数a 的取值范围做，则按所做的第一题计分。

22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线122cos :2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数,[]0,θπ∈）,在极坐标系中，曲线2C 是以π1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心且过极点O 的圆．（1）分别写出曲线1C 普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）直线()π:R 4l =∈θρ与曲线1C 、2C 分别交于M 、N 两点（异于极点O ），求MN ．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()f x x t x t =-++，t R ∈. （1）若1t =，求不等式()28f x x ≤-的解集；（2）已知4m n +=，若对任意x R ∈，都存在0m >，0n >使得()24m n f x+=，求实数t 的取值范围.遂宁市高中2023届三诊考试数学（理科）试题参考答案及评分意见二、填空题（4×5=20分）13. -7 14．1215．41π 16．1三、解答题17．（12分）解：（1）在ABC ∆中因为bcosA+acosB=2ccosA.由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，所以sin()2sin cos A B C A +=………………………………………2分因为A B C π++=，所以sin()sin A B C +=.故sin 2sin cos C C A =…4分又C 是ABC ∆的内角，所以sin 0C ≠.从而1cos 2A =. 而A 为ABC∆的内角，所以3A π=………………………………………6分（2）因为3BC DC =所以3()AD AB AC AD -=-所以1344AD AB AC =+…8分 从而22221931939916168161616AB AC AB AC c b bc =++⋅⇒=++………10分由基本不等式可得：339981616bc bc bc≥+=,当且仅当b c=故ABC∆的面积的最大值为1162⨯=12分18.（12分）（1）因为学生初试成绩X服从正态分布()2,Nμσ，其中65μ=，2215σ=，则651580μσ+=+=，所以()()()18010.68270.158652P X P Xμσ≥=≥+=⨯-=， (3)分所以估计初试成绩不低于80分的人数为0.158651000=158.65159⨯≈人………5分（3）Y的取值分别为0，10，20，30，………………6分则()23310114525P Y⎛⎫⎛⎫==-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………7分()212333336101+1C14545525P Y⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯--⨯⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………………8分()21233333920C1+14554520P Y⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯--⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (9)分()233273045100P Y⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，………………10分故Y的分布列为：所以数学期望为()16927010203019.5252520100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=……………12分 19（12分）（1）取AB 得中点E ，连接,SE DE ，如图所示：因为290DAB ABC ABD ∠=∠=∠=，所以AB AD =，因为SAB △32AB AD ==.在SDE ∆中，2222213,22,125SE SD DE -==+因为222SE DE SD +=，所以SE DE ⊥，………………2分因为SAB △是等边三角形，E 为线段AB 的中点，所以SE AB ⊥，又因为AB DE E =，,AB DE ⊂平面ABCD ，所以SE ⊥平面ABCD ，………………4分,,AD ABCD SE AD ⊂∴⊥平面 又,,,AD AB SE AB E AD SAB SB SAB ⊥⋂=∴⊥⊂平面又平面,AD SB ∴⊥直线………………6分（2）以E 为原点，,EA ES 分别为,y z 轴，平行AD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,1,0),(0,1,0),(1,1,0)E S D A C -，(0,1,SA =，(2,1,SD =，(1,1,SC =-，设(,,)n x y z =为平面SCD的法向量，则20x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取平面SCD的一个法向量为(2,n =-，………………9分取平面SAB法向量()1,0,0m =，………………………………………………10分平面SAB 与平面SCD 所成的角为α，则2cos cos ,22m n m n m nα⋅=<>===⋅，所以cos 2α=，所以平面SAB 与平面SCD ………12分 20（12分）解：（1）由题设10A G l bx ax ab +-=方程为因为22283A G l x y +=与圆相切， 所以：222228,3a b d a b ==+………………2分 22122a a cb =⇒=，所以228,4a b ==， 所以椭圆方程为22184x y +=………………5分（2）由（1）知1F 的坐标为()2,0-，①当直线l 的斜率不存在时，AB =，2||8OQ =，则1=；…………6分②当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为()2y k x =+且0k ≠，联立22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222218880k k x x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+，………………7分)22121k AB k +=+，………………8分设点00(,)Q x y ，则001y x k=-，即00x ky =-，代入椭圆方程得()2200184ky y -+=， 解得2282y k =+，220282k x k =+，所以()222200281||2k OQ x y k +=+=+，………………9分所以()()22222221612432112121812k k k k k k OQk +++===+++++，……………………………10分又2211k +>()1,4. ………………………………11分综上所述，的取值范围是[)1,4.…………………………………………12分21．（12分）解：（1）因为()2x f x me x =-，所以'()2xf x me =-…………………1分当0m ≤时，,'()0f x <，所以f(x)在 R 上单调递减；…………………2分当0m >时，令'()0f x >，得21x nm >，令'()0f x <，得21x n m> 综上所述，当0m ≤在R 上单调递减； 当0m >时，()f x 在2(1,)n m +∞上单调递增，()f x 在,2(,ln )m-∞)上单调递减.5分（2）因为23()2,()cos 2xf x me xg x x x =-=+， 所以23()2cos 2xh x me x x x =--- 则'()2sin 3x h x me x x=-+-.………………………………………………………6分令'()()2sin 3x F x h x me x x ==-+-，则'()cos 3.x F x me x =+-.①当0m ≤时，'()0F x <，则'()h x 在R 上单调递减，()h x 不可能存在两个极值点；②当0m >时，因为函数()h x 存在两个不同的极值点，所以'()h x =0有两个不同的实根，因为'sin 23()()x x x x h x e m e --=+，即sin 23xx xm e--+=0有两个不同的实根.令sin 23()x x x G x m e --+，则'cos sin 31()xx x x G x e -+-, 令()=cos sin 31H x x x x -+-，则'()=sin cos 30H x x x --+>所以()H x 单调递增.因为(0)0H =，所以()G x 在(.0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.所以min ()(0)2G x G m ==-…………………………………………9分 当2m ≥时，G(x)≥0,G(x)=0不可能有两个不等实根. 当02m <<时，min 23()(0)20,()0G x G m G m eπππ--+==-<-=+> ()G x 在(,0)-∞上连续且单调，所以存在唯一实数1(,0)x ∈-∞，使得1()0G x =.10分当0x >时，易证2xe x >,2()2sin 333x F x me x x mx x =-+->-- 取039122mx m++=，则0()0F x >，即0()0G x >因为()G x 在(0,)+∞上连续且单调所以存在唯一实数 2(0,)x ∈+∞，使得2()0G x =,则x1(,)x -∞1x1,2()x x2x2(,)x +∞h'(x) + 0 - 0 + h(x)极大值极小值所以函数()h x 存在两个不同的极值点.综上实数m 的取值范围为02m <<.……………………………………12分22．（10分） （1）由曲线122cos :2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数, []0,θπ∈），消去参数θ，得()222224cos 4sin 4x y θθ-+=+=……………2分所以曲线1C 的直角坐标方程为()2224(02)x y y -+=≤≤……………3分因为曲线2C 是以π1,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆，且过极点O ，所以圆心为()0,1，半径为1，故2C 的直角坐标方程为：()2211x y +-=， 即2220x y y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得：圆2C 的极坐标方程为2sin ρθ=………5分（2）因为曲线1C 的直角坐标方程为()2224(02)x y y -+=≤≤.即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简可得1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=（π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦），所以1C 的极坐标方程为π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为2sin ρθ=；…7分因为M 、N 是直线()π:R 4l =∈θρ与曲线1C 、2C 的两个交点， 不妨设12ππ,,,44M N ρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由（1）得1C ：π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，2C ：2sin ρθ=，所以21ππ4cos2sin 44===ρρ，从而12MN ρρ=-=，……………10分23．（10分）（1）解：当1t =时，2(1)()112(11)2(1)x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-≤<⎨⎪-<-⎩，()28f x x ≤-，当1x ≥时，即2281x x x ⎧≤-⎨≥⎩，12x ∴≤≤；当11x -≤<时，即22811x x ⎧≤-⎨-≤<⎩，11x ∴-≤<；当1x <-时，即2281x x x ⎧-≤-⎨<-⎩，21x ∴-≤<-，综上可得不等式的解集为[]2,2-……………………………………………………5分（2）解：()()()2x f x x x t t x t t t --=++-≥=+，当且仅当()()0x t x t -+≤时取等号，min ()2f x t ∴=，………………………………6分又0m >，0n >且4m n +=，24m m n n +∴=41419444m m m n m n m n ++=+≥+当且仅当44m n m n=，即45m =，165n =时等号成立， 所以249,4m n mn +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭………………………………………………………8分根据题意可得924t ≤，解得98t ≥或98t ≤-， t ∴的取值范围是9,,898⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.……………………………………………10分。