遂宁市高中2023届三诊考试数学(文科)试题
高三数学（文科）三诊试题第1页（共6页）遂宁市高中2023届三诊考试数学（文科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
总分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合{}|12M x x =≥－，{}10123N ＝-，，，，，则 R C M N =（）A ．{}012，， B ．{}12， C ．{}1012-，，， D ．{}23， 2．若复数z 满足(23)32z i i ⋅+=-，其中i 为虚数单位，则z =A ．0B ．1-C 13 D. 1 3．下图是遂宁市2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温（℃）的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数r ＝0.88，则下列结论正确的是高三数学（文科）三诊试题第2页（共6页）A ．月温差（月最高气温﹣月最低气温）的最大值出现在8月B ．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性负相关C ．每月最高气温与最低气温的平均值在4-8月逐月增加D ．9﹣12月的月温差相对于5﹣8月，波动性更小 4．下列说法不正确的是A ．若22am bm <，则a b <B ．命题:p R x ∀∈，20x>，则p ⌝：0R x ∃∈，020x <C ．回归直线方程为 1.230.08y x =+，则样本点的中心可以为()4,5D ．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 则“A B >”是“sin sin a A b B +>+”的充要条件5．已知实数x ，y 满足22220x y x y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则3yx 的最小值为A ．83- B ．2- C ．-1 D ．1 6．已知数列{}n a 为等比数列，37,a a 是方程2840x x -+=的两个根，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若55b a =，则9S =A ．18-或18B ．18-C ．18D ．27．函数23()(1)cos 1x f x x =-⋅+的图像大致为 A.B.C.高三数学（文科）三诊试题第3页（共6页）D.8．已知函数()()πsin cos 06f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，()10f x =，()23f x =，且12πx x -的最小值为，则ω的值为A ．23 B ．12 C ．1 D ．29． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,E F （E 在F 的左边），且2EF =．下列说法不正确的是A. 异面直线1AB 与1BC 所成角为60B. 当,E F 运动时，平面EFA ⊥平面11ACC AC. 当,E F 运动时，存在点,E F 使得AE BF ∥D. 当,E F 运动时，三棱锥体积B -AEF 不变10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n n S a a +=，则20S = A ．210 B ．110 C ．50D ．55 11．已知1F 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点,过点1F 的直线与圆222:2O x y a +=交于,A B 两点（A 在1,F B 之间），与双曲线E 在第一象限的交点为P ,若190,F A BP AOB ∠︒==(O 为坐标原点),则双曲线E 的离心率为 A ．512- B ．51- C ．3 D ．5 12．已知定义在R 上的函数12()x x x ϕ≠满足:当时,恒有1212()()0x x x x ϕϕ->-，若,()()xx R e b ax ϕϕ∈-≥对任意恒成立，则ab 的最大值为 A ．e B ．2eC ．eD ．2e高三数学（文科）三诊试题第4页（共6页）第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量(4,),=(1,2)a x b =--，且(2)a b b -⊥，则x =___________.14．已知3541lg 2lg 5,log 3,,tan12m -⎧⎫⎪⎪⎛⎫∈+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，从这四个数中任取一个数m ，使函数()221x x x f m =++有两不相等的实数根的概率为15．如图，在ABC △中，2AB AC ==，23BAC π∠=，D 是BC 的中点，以AD 为折痕把ACD △折叠，使点C 到达点C '的位置，则当三棱锥C ABD '-体积最大时，其外接球的体积为___________.16．已知点F ()2,0为抛物线C ：22y px =()0p >的焦点，点M ()2,0-,若第一象限内的点P 在抛物线C 上，则PM PF的最大值为 ．三、解答题：共70分。
第17题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12分）习近平总书记在党史学习教育动员大会上强调：“回望过往的奋斗路，眺望前方的奋进路，必须把党的历史学习好、总结好，把党的成功经验传承好、发扬好．”为庆祝建党100周年，某市积极开展“青春心向党，建功新时代”系列主题活动．该市某中学为了解学生对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，全校高一和高二共选拔100名学生参加，其中高一年级50人，高二年级50人．并规定将分数不低于135分的得分者称为“党史学习之星”，这100名学生的成绩（满分为150分）情况如下表所示．高三数学（文科）三诊试题第5页（共6页）（1）能否有99%的把握认为学生获得“党史学习之星”与年级有关？（分层抽样﹐随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的党史知识竞赛，求这2人中至少有一人是高二年级的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 0k2.7063.8415.0246.63510.828▲且cos cos 2ccos b A a B A += （1）求角A 的值；（2）已知D 在边BC 上，且3,3BD DC AD ==,求ABC ∆的面积的最大值▲19．（12分）如图，已知四棱锥中，290DAB ABC ABD ∠=∠=∠=︒，SAB △是面积322SD =12BC AD = （1）证明：AD SB ⊥直线； （2）求点C 到平面SBD 的距离.20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，124F F =，点P 为椭圆短轴的端点，且12PF F △的面积为4，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不在x 轴上）. （1）求椭圆C 的标准方程；获得“党史学习之星” 未获得“党史学习之星” 总计 高一年级 40 10 50 高二年级203050总计 60 40 100▲高三数学（文科）三诊试题第6页（共6页）（2）若点Q 在椭圆C 上，且0OQ AB ⋅=(O 为坐标原点），OQ取值范围.21．（12分）已知函数()()21e 12x f x x x =--.（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）若()21ln (2)12x x a x x f ≥+--+恒成立，求实数a 的取值范围做，则按所做的第一题计分。
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xoy 中，已知曲线122cos :2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数,[]0,θπ∈）,在极坐标系中，曲线2C 是以π1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心且过极点O 的圆．（1）分别写出曲线1C 普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）直线()π:R 4l =∈θρ与曲线1C 、2C 分别交于M 、N 两点（异于极点O ），求MN ．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()f x x t x t =-++，t R ∈. （1）若1t =，求不等式()28f x x ≤-的解集；（2）已知4m n +=，若对任意x R ∈，都存在0m >，0n >使得()24m n f x+=，求实数t 的取值范围.遂宁市高中2023届三诊考试数学（理科）试题参考答案及评分意见二、填空题（4×5=20分）13. -7 14．1215．41π 16．1三、解答题17．（12分）解：（1）在ABC ∆中因为bcosA+acosB=2ccosA.由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，所以sin()2sin cos A B C A +=………………………………………2分因为A B C π++=，所以sin()sin A B C +=.故sin 2sin cos C C A =…4分又C 是ABC ∆的内角，所以sin 0C ≠.从而1cos 2A =. 而A 为ABC∆的内角，所以3A π=………………………………………6分（2）因为3BC DC =所以3()AD AB AC AD -=-所以1344AD AB AC =+…8分 从而22221931939916168161616AB AC AB AC c b bc =++⋅⇒=++………10分由基本不等式可得：339981616bc bc bc≥+=,当且仅当b c=故ABC∆的面积的最大值为1162⨯=12分18.（12分）（1）因为学生初试成绩X服从正态分布()2,Nμσ，其中65μ=，2215σ=，则651580μσ+=+=，所以()()()18010.68270.158652P X P Xμσ≥=≥+=⨯-=， (3)分所以估计初试成绩不低于80分的人数为0.158651000=158.65159⨯≈人………5分（3）Y的取值分别为0，10，20，30，………………6分则()23310114525P Y⎛⎫⎛⎫==-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………7分()212333336101+1C14545525P Y⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯--⨯⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………………8分()21233333920C1+14554520P Y⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯--⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (9)分()233273045100P Y⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，………………10分故Y的分布列为：所以数学期望为()16927010203019.5252520100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=……………12分 19（12分）（1）取AB 得中点E ，连接,SE DE ，如图所示：因为290DAB ABC ABD ∠=∠=∠=，所以AB AD =，因为SAB △32AB AD ==.在SDE ∆中，2222213,22,125SE SD DE -==+因为222SE DE SD +=，所以SE DE ⊥，………………2分因为SAB △是等边三角形，E 为线段AB 的中点，所以SE AB ⊥，又因为AB DE E =，,AB DE ⊂平面ABCD ，所以SE ⊥平面ABCD ，………………4分,,AD ABCD SE AD ⊂∴⊥平面 又,,,AD AB SE AB E AD SAB SB SAB ⊥⋂=∴⊥⊂平面又平面,AD SB ∴⊥直线………………6分（2）以E 为原点，,EA ES 分别为,y z 轴，平行AD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,1,0),(0,1,0),(1,1,0)E S D A C -，(0,1,SA =，(2,1,SD =，(1,1,SC =-，设(,,)n x y z =为平面SCD的法向量，则20x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取平面SCD的一个法向量为(2,n =-，………………9分取平面SAB法向量()1,0,0m =，………………………………………………10分平面SAB 与平面SCD 所成的角为α，则2cos cos ,22m n m n m nα⋅=<>===⋅，所以cos 2α=，所以平面SAB 与平面SCD ………12分 20（12分）解：（1）由题设10A G l bx ax ab +-=方程为因为22283A G l x y +=与圆相切， 所以：222228,3a b d a b ==+………………2分 22122a a cb =⇒=，所以228,4a b ==， 所以椭圆方程为22184x y +=………………5分（2）由（1）知1F 的坐标为()2,0-，①当直线l 的斜率不存在时，AB =，2||8OQ =，则1=；…………6分②当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为()2y k x =+且0k ≠，联立22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222218880k k x x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+，………………7分)22121k AB k +=+，………………8分设点00(,)Q x y ，则001y x k=-，即00x ky =-，代入椭圆方程得()2200184ky y -+=， 解得2282y k =+，220282k x k =+，所以()222200281||2k OQ x y k +=+=+，………………9分所以()()22222221612432112121812k k k k k k OQk +++===+++++，……………………………10分又2211k +>()1,4. ………………………………11分综上所述，的取值范围是[)1,4.…………………………………………12分21．（12分）解：（1）因为()2x f x me x =-，所以'()2xf x me =-…………………1分当0m ≤时，,'()0f x <，所以f(x)在 R 上单调递减；…………………2分当0m >时，令'()0f x >，得21x nm >，令'()0f x <，得21x n m> 综上所述，当0m ≤在R 上单调递减； 当0m >时，()f x 在2(1,)n m +∞上单调递增，()f x 在,2(,ln )m-∞)上单调递减.5分（2）因为23()2,()cos 2xf x me xg x x x =-=+， 所以23()2cos 2xh x me x x x =--- 则'()2sin 3x h x me x x=-+-.………………………………………………………6分令'()()2sin 3x F x h x me x x ==-+-，则'()cos 3.x F x me x =+-.①当0m ≤时，'()0F x <，则'()h x 在R 上单调递减，()h x 不可能存在两个极值点；②当0m >时，因为函数()h x 存在两个不同的极值点，所以'()h x =0有两个不同的实根，因为'sin 23()()x x x x h x e m e --=+，即sin 23xx xm e--+=0有两个不同的实根.令sin 23()x x x G x m e --+，则'cos sin 31()xx x x G x e -+-, 令()=cos sin 31H x x x x -+-，则'()=sin cos 30H x x x --+>所以()H x 单调递增.因为(0)0H =，所以()G x 在(.0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.所以min ()(0)2G x G m ==-…………………………………………9分 当2m ≥时，G(x)≥0,G(x)=0不可能有两个不等实根. 当02m <<时，min 23()(0)20,()0G x G m G m eπππ--+==-<-=+> ()G x 在(,0)-∞上连续且单调，所以存在唯一实数1(,0)x ∈-∞，使得1()0G x =.10分当0x >时，易证2xe x >,2()2sin 333x F x me x x mx x =-+->-- 取039122mx m++=，则0()0F x >，即0()0G x >因为()G x 在(0,)+∞上连续且单调所以存在唯一实数 2(0,)x ∈+∞，使得2()0G x =,则x1(,)x -∞1x1,2()x x2x2(,)x +∞h'(x) + 0 - 0 + h(x)极大值极小值所以函数()h x 存在两个不同的极值点.综上实数m 的取值范围为02m <<.……………………………………12分22．（10分） （1）由曲线122cos :2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数, []0,θπ∈），消去参数θ，得()222224cos 4sin 4x y θθ-+=+=……………2分所以曲线1C 的直角坐标方程为()2224(02)x y y -+=≤≤……………3分因为曲线2C 是以π1,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆，且过极点O ，所以圆心为()0,1，半径为1，故2C 的直角坐标方程为：()2211x y +-=， 即2220x y y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得：圆2C 的极坐标方程为2sin ρθ=………5分（2）因为曲线1C 的直角坐标方程为()2224(02)x y y -+=≤≤.即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简可得1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=（π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦），所以1C 的极坐标方程为π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为2sin ρθ=；…7分因为M 、N 是直线()π:R 4l =∈θρ与曲线1C 、2C 的两个交点， 不妨设12ππ,,,44M N ρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由（1）得1C ：π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，2C ：2sin ρθ=，所以21ππ4cos2sin 44===ρρ，从而12MN ρρ=-=，……………10分23．（10分）（1）解：当1t =时，2(1)()112(11)2(1)x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-≤<⎨⎪-<-⎩，()28f x x ≤-，当1x ≥时，即2281x x x ⎧≤-⎨≥⎩，12x ∴≤≤；当11x -≤<时，即22811x x ⎧≤-⎨-≤<⎩，11x ∴-≤<；当1x <-时，即2281x x x ⎧-≤-⎨<-⎩，21x ∴-≤<-，综上可得不等式的解集为[]2,2-……………………………………………………5分（2）解：()()()2x f x x x t t x t t t --=++-≥=+，当且仅当()()0x t x t -+≤时取等号，min ()2f x t ∴=，………………………………6分又0m >，0n >且4m n +=，24m m n n +∴=41419444m m m n m n m n ++=+≥+当且仅当44m n m n=，即45m =，165n =时等号成立， 所以249,4m n mn +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭………………………………………………………8分根据题意可得924t ≤，解得98t ≥或98t ≤-， t ∴的取值范围是9,,898⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.……………………………………………10分。
四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学(文科)试题
一、单选题二、多选题1. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成).已知米，米，线段、线段､弧､弧的长度之和为米，圆心角为弧度，则关于的函数解析式是答（）A．B．C．D．2. 已知集合，，则A．B．C．D．3. 已知a ，b均为正数，且，则的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．24D ．324. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的斜率的取值范围是A．B．C．D．5.数列中，，.若数列是等差数列，则的最大项为（ ）A ．9B ．11C．D ．126. 如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（）A．B．C．D．7. 设随机变量X 服从正态分布N (1，)，若，则（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.68. 已知，，且，则实数（ ）A．B ．1C ．0或D ．0或19. 已知，若不等式在上恒成立，则a 的值可以为（ ）A．B．C ．1D．10.如图，直三棱柱中，所有棱长均为1，点为棱上任意一点，则下列结论正确的是（ ）四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学（文科）试题三、填空题四、解答题A ．直线与直线所成角的范围是B．在棱上存在一点，使平面C ．若为棱的中点，则平面截三棱柱所得截面面积为D．若为棱上的动点，则三棱锥体积的最大值为11.已知抛物线的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD的中点，且，点M 是抛物线上间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A ，B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的有（ ）A ．抛物线焦点F的坐标为B ．过点N作抛物线的切线，则切点坐标为C ．在△FMN 中，若，，则t的最小值为D ．若抛物线在点M 处的切线分别交BT ，AT 于H ，G两点，则12. 下列说法正确的的有（ ）A ．已知一组数据的方差为10， 则的方差也为10B ．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是C．已知随机变量服从正态分布，若，则D．已知随机变量服从二项分布，若，则13. 已知，，则___________．14. 随机选取集合{地铁5号线，BRT,莘南线}的非空子集和且的概率是_________．15.已知向量，且，则__________，在方向上的投影向量的坐标为__________.16. 在中，角，，的对应边分别是，，，，．（1）若，求的面积；（2）求边上的中线长的取值范围．17.在数列中，(1)求，，；(2)求数列的前n 项和．18. 如图1，已知四边形BCDE 为直角梯形，，，且，A 为BE 的中点将沿AD 折到位置如图，连结PC ，PB 构成一个四棱锥．（Ⅰ）求证；（Ⅱ）若平面．①求二面角的大小；②在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为，求的值．19. 在平面直角坐标系中，已知的周长是18，，是轴上关于原点对称的两点，若，动点满足.(1)求动点的轨迹方程；(2)设动直线过定点与曲线交于不同两点A，（点在轴上方），在线段上取点使得，证明：当直线运动过程中，点在某定直线上.20. 为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(3)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为，求的分布列及均值．21. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，，的面积是的面积的倍．(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若E为BC的中点，F为线段PE上的任意一点，当DF与平面PBC所成角的正弦值最大时，求平面FAD与平面ABCD所成角的正切值．。
四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学(文科)试题(2)
一、单选题二、多选题1. 时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为（ ）A．B．C．D．2.设，，则A．B．C．D．3. 若集合，则的真子集的个数为A ．3B ．4C ．7D ．84. 设集合，，则中元素的个数是A．B．C．D．5.设等差数列的前n项和为，若，则（ ）A ．4B ．17C ．68D ．1366.函数的单调递减区间是（ ）A．B．C．D．7.正项等比数列中，，且与的等差中项为，则的公比是（ ）A．B．C．D．8. 设抛物线C ：的焦点是F ，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且，过弦AB 的中点P 作的垂线，垂足为Q，则的最小值为（ ）A．B ．3C．D．9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为M ，N ，O 为坐标原点．直线交双曲线C 的右支于P ，Q 两点（不同于右顶点），且与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，则（ ）A ．为定值B．C ．点P到两条渐近线的距离之和的最小值为D ．存在直线使10. 某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：学校人数平均运动时间方差甲校2000103乙校300082记这两个学校学生一周运动的总平均时间为，方差为，则（ ）A．B．C．D．四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学（文科）试题(2)四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学（文科）试题(2)三、填空题四、解答题11. 已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．712. “心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：，和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是（）A ．抛物线的方程为B．的最小值为5C．的最大值为7D．若在上，则的最小值为13. 已知，，，，当取最小值时，_____________.14. 已知，且，则____________．15. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为__________．16. 对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”．（Ⅰ）写出数列的“收缩数列”；（Ⅱ）证明：数列的“收缩数列”仍是；（Ⅲ）若，求所有满足该条件的数列．17. 在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，.（I）证明：平面；（II）若，求二面角的余弦值.18. 设函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，记，是否存在整数t ，使得关于x 的不等式有解?若存在，请求出t 的最小值；若不存在，请说明理由.19. 已知经过原点O的直线与离心率为的椭圆交于A，B两点，、是椭圆C的左、右焦点，且面积的最大值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图所示，设点P是椭圆C上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C的切线与交于点M.记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值，并求出该定值.20. 在中，.(1)求；(2)若为边的中点，且，求的值.21. 如图，在矩形中，，，是的中点，以为折痕将向上折起，变为，且平面平面.（1）求三棱锥的体积；（2）求证：；（3）求证：平面平面。
四川省遂宁市2021届高三三诊考试数学(文)试题
【解析】
因为函数 在区间 上都是单调递增函数，所以函数 在区间 上也是单调递增函数， ，即函数 的值域是 ，应填答案 ．
附公式： ， .
20．已知点 是拋物线 的焦点,若点 在 上,且 ．
（1）求 的值；
（2）若直线 经过点 且与 交于 函数 .
（1）当 时，求 的极值点；
（2）讨论 在区间 上的单调性；
（3） 对任意 恒成立时， 的最大值为1，求 的取值范围.
A．2B．
C． 或2D．1
6．表面积为24的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为
A． B．
C． D．
7．函数 的部分图象如图所示，则其在区间 上的单调递减区间是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则整数 的值为
A． B． C． D．
9．已知 ，则 的值是
四川省遂宁市2021年高三三诊考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ， ，则 为
A． B．
C． D．
2．复数 在复平面内对应的点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则
点睛：解答本题的思路是先依据题设中提供的图象信息待定出其中的参数，再借助正弦函数的图象和性质求出其单调递减区间，最后与答案中的区间进行比对求出答案而获解.
8．A
【解析】
试题分析：第一次： ；第二次： ；第三次： ，退出循环，故选A
考点：程序框图
9．D
【解析】
四川省遂宁市高中2020届高三三诊考试数学(文科)试题 含答案
f
(x)
f
( y)
=
f
(x
+
y)
，若
a1
=
1 2
，
an = f (n)(n N+ ) ，则数列an 的前 n 项和 Sn 的取值范围是
A.
1 2
,1
B.
1 3
,2
C.
1 2
,2
D.
1 3
,1
2
10.
已知点 (3,28)在函数 f (x) = xn +1的图象上，设 a =
f
3 3
，
b
=
f (ln ) ， c =
30
女生
30
（1）求二等奖代表队的男生人数；
二等奖 代表队
？
20
三等奖 代表队
20
30
（2）从前排就坐的三等奖代表队员 5 人（2 男 3 女）中随机抽取 3 人上台领奖，请求出只有一个男生上台领奖
的概率；
（3）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生 − 2,2内的两个均匀随机数 x ， y ，随后电脑自动
A． 5 + 2 2
B． 5 + 3 2
C． 5 + 5 2
D． 5 + 6 2
12. 若存在 a 0 ，使得函数 f (x) = 6a2 ln x + 4ax 与 g(x) = x 2 − b 在这两函数图象的公共点处的切线相同，则 b
的最大值为
1 A． e2
1 C． 3e 2
1 B． 2e2
3 D． e2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.）
3
四川省遂宁市2023届高三第三次诊断考试数学(文)试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 设函数，则（ ）A．B．C ．1D ．32. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D ．3.在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则（ ）A ．5B ．6C ．7D ．84. 已知，若复数，复数z 的实部是4，则z 的虚部是（ ）A．B．C．D ．25. 已知为虚数单位，则等于（ ）A ．B ．1C．D ．06. 已知，，，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．7. 矗立在上饶市市民公园的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点，，处测得铜雕顶端处仰角分别为，，，且，则四门通天的高度为（）A．B．C．D．8.已知,则（ ）A．B．C．D．9. 已知函数，下列说法正确的是（ ）A ．在处的切线方程为四川省遂宁市2023届高三第三次诊断考试数学（文）试题(高频考点版)四川省遂宁市2023届高三第三次诊断考试数学（文）试题(高频考点版)三、填空题四、解答题B．C ．若函数的图象与的图象关于坐标原点对称，则D．有唯一零点10. 全市高三年级第二次统考结束后，李老师为了了解本班学生的本次数学考试情况，将全班50名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图．已知该班级学生的数学成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将数学成绩按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组．按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图，则下列结论正确的是（）A ．第七组的频率为0.008B ．该班级数学成绩的中位数的估计值为101分C ．该班级数学成绩的平均分的估计值大于95分D ．该班级数学成绩的标准差的估计值大于611. 下图是某汽车公司100家销售商2022年新能源汽车销售数据频率分布直方图（单位：辆），则（）．A ．a 的值为0.004B ．估计这100家销售商新能源汽车销量的平均数为135C ．估计这100家销售商新能源汽车销量的分位数为212.5D ．若按分层抽样原则从这100家销售商抽取20家，则销量在内的销售商应抽取5家12. 下列命题成立的是（ ）A ．若，则B ．若，，，则C ．若，，则D ．若，，则13. 2020年4月16日，某州所有61个社区都有新冠病毒感染确诊病例，第二天该州新增这种病例183例．这两天该州以社区为单位的这种病例数的中位数，平均数，众数，方差和极差5个特征数中，一定变化的是______（写出所有的结果）14. 已知函数的图象和直线有三个交点，则__________．15. 若命题为假命题，则实数a 的取值范围是___________.16.已知数列的前n项和为，正项等比数列的首项为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)求使不等式（）成立的所有正整数n 组成的集合．17. 在中，内角的对边分别为，，，的面积为．（1）求的值；（2）求的值．18. 在如图所示的多面体中，平面，，，，，，，是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19. 如图所示，经过村庄B有两条夹角为的公路BA和BC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F，分别在两条公路边上建两个仓库D和E（异于村庄B），设计要求（单位：千米）.(1)若，求的值（保留根号）；(2)若设，当为何值时，工厂产生的噪音对村庄B的居民影响最小（即工厂F与村庄B的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1，取）20. 中药藿香产业化种植已经成为某贫困山区农民脱贫攻坚的重要产业之一，藿香在环境温度为15~28℃时生长旺盛，环境温度高于28℃或低于15℃时生长缓慢或停止．藿香的株高（单位：）与生长期内环境温度（单位：℃）中的有关，现收集了13组藿香生长期内环境温度中的和株高（，2，…，13）观测数据，得到如图所示的散点图．根据散点图判断，可以利用模型或建立关于的回归方程，令，，统计处理得到一些数据：的线性相关系数，的线性相关系数．，，，，，，，，．用线性相关系数说明上面的两种模型哪种适宜作为关于的回归方程，并求这种模型的回归方程，由此预测这种中药藿香在生长期内的环境温度为20℃时的株高（株高精确到1）．附：对于一组数据（，2，3，…，），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．21. 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点①；②．。
四川省遂宁市2023届高三第三次诊断考试数学(文)试题(2)
一、单选题二、多选题1. 在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么化学和生物至多有一门被选中的概率是（ ）A．B．C．D．2. 复数，则（ ）A ．1B．C ．2D ．43. 已知函数对任意都有，则正数t 的最小值为（ ）A．B．C ．e D．4. 已知复数满足，则（ ）A．B ．C ．1D ．-15.已知，则（ ）．A．B．C．D．6. 已知复数z满足（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A ．双曲线的一支B ．双曲线C ．一条射线D ．两条射线7. 程大位（1533~1606），明朝人，珠算发明家.在其杰作《直指算法统宗》里，有这样一道题：荡秋千，平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步（古人将一步算作五尺）即10尺，秋千的踏板就和人一样高，此人身高5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，请问绳索有多长？（ ）A ．14尺B ．14.5尺C ．15尺D ．15.5尺8.已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于（ ）A ．1B．C．D．9. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A 表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B 表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C 表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中正确的是（ ）A．B．事件与事件相互独立C ．与和为D ．事件A 与事件B 互斥10. 已知，是上的两个动点，且.设，，线段的中点为，则（ ）A．B．点的轨迹方程为C．的最小值为6D ．的最大值为11. 函数在区间的图象如下图，则下列说法正确的是（ ）四川省遂宁市2023届高三第三次诊断考试数学（文）试题(2)四川省遂宁市2023届高三第三次诊断考试数学（文）试题(2)三、填空题四、解答题A．函数的最小正周期为B ．函数的最小正周期为C．函数的图象关于对称D ．函数在单调递减12. 下列说法正确的是（ ）A ．甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．设事件A 表示由从甲袋中取出的球是红球，事件B 表示从乙袋中取出的球是红球，则事件A 与事件B 相互独立B ．某班有50名学生，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，则该班学生此次数学考试的成绩在115分以上的有3人C ．已知事件A 与B 相互独立，当时，若，则D．指数曲线两边同时取自然对数进行线性变换后得到的经验回归方程为，则函数的最小值为13.设为数列的前项和，，，则______.14.已知函数，若存在，使得，则的取值范围为______．15. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，是边长为的等边三角形，的面积为，则球的体积为______．16.如图，在直三棱柱中，，，，分别是与的中点，为的重心.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.17. 江西省新高考改革自2021年执行，在取消文理科后实行“”考试模式，即除语数外三科，学生需从物理、历史2科中任选1科，化学、生物、政治、地理4科任选2科参加高考．某学校为了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，从该校高一年级的500名男生和400名女生中按男女分层随机抽样抽取90人进行模拟选科，经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．选择全理不选择全理合计男生15女生合计(1)完成上面的列联表并判断是否有99.5%的把握认为选择全理与性别有关；(2)为了解学生选科的理由，随机选取了男生4名，女生2名进行座谈，再从中抽取2名代表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．附：，其中．0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82818. 如图，已知三棱柱，平面平面ABC，，，E，F分别是AC，的中点．请你用几何法解决下列问题：（1）证明：；（2）求直线EF与平面所成角的余弦值；（3）求二面角的正弦值19. 右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠A l B l C1＝90°，AA l＝4，BB l＝2，CC l＝3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求二面角B—AC—A1的大小；（3）求此几何体的体积．20. 已知数列满足，，数列的前项和为，证明：当时，（1）；（2）；（3）.21. 已知函数（且）的图象与x轴交于P，Q两点，且点P在点Q的左侧．(1)求点P处的切线方程，并证明：时，．(2)若关于x的方程（t为实数）有两个正实根，证明：．。
四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学(文科)试题(1)
一、单选题二、多选题1. 在中，角，，所对的边分别为，，，是边上一点，平分，且，若，则的最小值是（ ）A．B ．6C．D ．42. 空间中两条直线和平面，在下列条件中，能得到的是（ ）A ．与所成角相等B．在内的射影分别为且C．D．3. 在中，，，则（ ）A．B．C．D．4. 函数y ＝sin （x ）的图象与函数y ＝cos （2x）的图象A ．有相同的对称轴，但无相同的对称中心B ．有相同的对称中心，但无相同的对称轴C ．既有相同的对称轴，也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心，也无相同的对称轴5. 若，则（ ）A．B．C．D．6. 设函数是函数的导函数，，则使得成立的的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 已知双曲线C ：的右焦点为F ，左顶点为A.以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P,Q 两点，的一个内角为60，则C 的离心率为A．B．C．D．8. 命题“”的否定是A．B．C．D．9.已知的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线C交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（ ）A．B ．F 为线段的中点C．D．10. 如图，四棱锥是所有棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，为的中点，则下列结论正确的是（）四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学（文科）试题(1)四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学（文科）试题(1)三、填空题四、解答题A．四点共面B．平面C．D ．平面平面11. 已知函数，为的导函数，则（ ）A．的最小值为2B ．在单调递增C ．直线与曲线相切D ．直线与曲线相切12. 随着人民生活水平的提高以及高新电影制作技术的研发，人们利用周末和假期去电影院感受电影的魅力．我国2010年至2018年年底电影年度票房总收入与观影总人数统计如图所示，则下列说法正确的是（）A ．这九年中，票价的增加导致年度总票房收入逐年攀升B ．这九年中，票房收入与观影人数两个变量之间是正相关C ．这九年中，观影人数的增长率是逐年上升的D ．这九年中，年度总票房收入增速最快的是2015年13.等比数列的前项和为，若，，则__________．14. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则m =______．15. 已知圆C 与y 轴相切于点T （0，1），与x 轴正半轴交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为_____16. 已知函数，.（Ⅰ）若函数是R 上的增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）讨论函数在上的零点个数.17. 在中，角的对边分别是，且.(1)求证：；(2)若，求的面积.18. 已知函数是偶函数．(1)求的值；(2)若函数，且在区间上为增函数，求m 的取值范围．19. 某面包店的面包师声称自己店里所出售的每个面包的质量均服从期望为，标准差为的正态分布．(1)已知如下结论：若，从X 的取值中随机抽取K （，）个数据，记这K 个数据的平均值为Y ，则随机变量请利用该结论解决问题；假设面包师的说法是真实的，那么从面包店里随机购买25个面包，记这25个面包质量的平均值为Y ，求；(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其它都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黄色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黄色面包有3个，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包，求取出黄色面包个数的分布列及数学期望．附：随机变量服从正态分布，则，，．20. 已知.(1)当时，判断函数在区间上的单调性；(2)求证：曲线不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线.21. 在下面①和②这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答. 已知数列满足，.______. （注：如果求解了①和②两个问题，则按照①问题解答给分）①若.设，求证：数列是等比数列，若数列的前项和满足，求实数的最小值；②若数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，且，，求数列的通项公式. 若数列的前项和，求.。
四川省遂宁市2023届高三下学期三诊考试(三模) 数学(理)参考答案
高三数学（理科）三诊试题参考答案第1页（共7页）遂宁市高中2023届三诊考试数学（理科）试题参考答案及评分意见二、填空题（4×5=20分）13. -7 14．1215．41π 16．1三、解答题17．（12分）解：（1）在ABC ∆中因为bcosA+acosB=2ccosA.由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，所以sin()2sin cos A B C A +=………………………………………2分 因为A B C π++=，所以sin()sin A B C +=.故sin 2sin cos C C A =…4分 又C 是ABC∆的内角，所以sin 0C ≠.从而1cos 2A =. 而A 为ABC ∆的内角，所以3A π=………………………………………6分（2）因为3BC DC =所以3()AD AB AC AD -=-所以1344AD AB AC =+…8分 从而22221931939916168161616AB AC AB AC c b bc =++⋅⇒=++………10分 由基本不等式可得：339981616bc bc bc ≥+=,当且仅当b c ==故ABC ∆的面积的最大值为1162⨯=12分18. （12分）（1）因为学生初试成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中65μ=，2215σ=，则651580μσ+=+=，高三数学（理科）三诊试题参考答案第2页（共7页）所以()()()18010.68270.158652P X P X μσ≥=≥+=⨯-=，………………3分所以估计初试成绩不低于80分的人数为0.158651000=158.65159⨯≈ 人………5分 （3）Y 的取值分别为0，10，20，30，………………6分则()23310114525P Y ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………7分 ()212333336101+1C 14545525P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯--⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………………8分 ()21233333920C 1+14554520P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯--⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………………9分()233273045100P Y ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， ………………10分 故Y 的分布列为：所以数学期望为()16927010203019.5252520100E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=……………12分 19（12分）（1）取AB 得中点E ，连接,SE DE ，如图所示：因为290DAB ABC ABD ∠=∠=∠=，所以AB AD =，因为SAB △3等边三角形，所以2AB AD ==.在SDE ∆中，2222213,22,125SE SD DE -==+Y 0 10 20 25 P12562592027100高三数学（理科）三诊试题参考答案第3页（共7页）222SE DE SD +=，所以SE DE ⊥，………………2分因为SAB △是等边三角形，E 为线段AB 的中点，所以SE AB ⊥，又因为AB DE E =，,AB DE ⊂平面ABCD ，所以SE ⊥平面ABCD ，………………4分 ,,AD ABCD SE AD ⊂∴⊥平面又,,,AD AB SE AB E AD SAB SB SAB ⊥⋂=∴⊥⊂平面又平面,AD SB ∴⊥直线………………6分（2）以E 为原点，,EA ES 分别为,y z 轴，平行AD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),3),(2,1,0),(0,1,0),(1,1,0)E S D A C -，(0,1,3)SA =，(2,1,3)SD =-，(1,1,3)SC =--，设(,,)n x y z =为平面SCD 的法向量，则23030x y z x y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取平面SCD 的一个法向量为(2,3n =-，………………9分 取平面SAB 法向量()1,0,0m =，………………………………………………10分 平面SAB 与平面SCD 所成的角为α，则22cos cos ,222m n m n m nα⋅=<>===⋅，所以2cos α=，所以平面SAB 与平面SCD 2.………12分 20（12分）解：（1）由题设10A G l bx ax ab +-=方程为因为22283A G l x y+=与圆相切， 所以：222228,3a b d a b ==+………………2分 22122a a cb =⇒=，所以228,4a b ==，高三数学（理科）三诊试题参考答案第4页（共7页）所以椭圆方程为22184x y +=………………5分 （2）由（1）知1F 的坐标为()2,0-，①当直线l的斜率不存在时，AB =，2||8OQ =1=；…………6分②当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为()2y k x =+且0k ≠，联立22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222218880k k x x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+，………………7分)22121k AB k +==+，………………8分 设点00(,)Q x y ，则001y x k =-，即00x ky =-，代入椭圆方程得()2200184ky y -+=， 解得20282y k =+，220282k x k =+，所以()222200281||2k OQ x y k +=+=+，………………9分 ()()222222221612432112121812k k k k k k OQk +++===+++++，……………………………10分又2211k +>()1,4. ………………………………11分[)1,4.…………………………………………12分21．（12分）解：（1）因为()2x f x me x =-，所以'()2xf x me =-…………………1分当0m ≤时，,'()0f x <，所以f(x)在 R 上单调递减；…………………2分 当0m >时，令'()0f x >，得21x nm >，令'()0f x <，得21x n m> 综上所述，当0m ≤在R 上单调递减；高三数学（理科）三诊试题参考答案第5页（共7页）当0m >时，()f x 在2(1,)nm +∞上单调递增，()f x 在,2(,ln )m-∞)上单调递减.5分 （2）因为23()2,()cos 2xf x me xg x x x =-=+， 所以23()2cos 2xh x me x x x =---则'()2sin 3x h x me x x =-+-.………………………………………………………6分 令'()()2sin 3x F x h x me x x ==-+-，则'()cos 3.x F x me x =+-.①当0m ≤时，'()0F x <，则'()h x 在R 上单调递减，()h x 不可能存在两个极值点； ②当0m >时，因为函数()h x 存在两个不同的极值点，所以'()h x =0有两个不同的实根， 因为'sin 23()()x x x x h x e m e --=+，即sin 23xx xm e--+=0有两个不同的实根. 令sin 23()x x x G x m e --+，则'cos sin 31()xx x x G x e-+-, 令()=cos sin 31H x x x x -+-，则'()=sin cos 30H x x x --+> 所以()H x 单调递增.因为(0)0H =，所以()G x 在(.0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. 所以min ()(0)2G x G m ==-…………………………………………9分 当2m ≥时，G(x)≥0,G(x)=0不可能有两个不等实根. 当02m <<时，min 23()(0)20,()0G x G m G m eπππ--+==-<-=+> ()G x 在(,0)-∞上连续且单调，所以存在唯一实数1(,0)x ∈-∞，使得1()0G x =.10分当0x >时，易证2xe x >,2()2sin 333x F x me x x mx x =-+->--取0x =0()0F x >，即0()0G x >因为()G x 在(0,)+∞上连续且单调高三数学（理科）三诊试题参考答案第6页（共7页）所以存在唯一实数 2(0,)x ∈+∞，使得2()0G x =,则x1(,)x -∞1x1,2()x x2x2(,)x +∞h'(x) +0 - 0 + h(x)极大值极小值所以函数()h x 存在两个不同的极值点.综上实数m 的取值范围为02m <<.……………………………………12分22．（10分）（1）由曲线122cos :2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数, []0,θπ∈），消去参数θ，得()222224cos 4sin 4x y θθ-+=+=……………2分 所以曲线1C 的直角坐标方程为()2224(02)x y y -+=≤≤……………3分 因为曲线2C 是以π1,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆，且过极点O ，所以圆心为()0,1，半径为1，故2C 的直角坐标方程为：()2211x y +-=，即2220x y y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得：圆2C 的极坐标方程为2sin ρθ=………5分（2）因为曲线1C 的直角坐标方程为()2224(02)x y y -+=≤≤.即2240x y x +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入化简可得1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=（π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦），所以1C 的极坐标方程为π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为2sin ρθ=；…7分 因为M 、N 是直线()π:R 4l =∈θρ与曲线1C 、2C 的两个交点， 不妨设12ππ,,,44M N ρρ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由（1）得1C ：π4cos 02ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，2C ：2sin ρθ=，所以21ππ4cos 22,2sin 244====ρρ，从而122MN ρρ=-=，……………10分 23．（10分）高三数学（理科）三诊试题参考答案第7页（共7页）（1）解：当1t =时，2(1)()112(11)2(1)x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-≤<⎨⎪-<-⎩，()28f x x ≤-，当1x ≥时，即2281x x x ⎧≤-⎨≥⎩，12x ∴≤≤；当11x -≤<时，即22811x x ⎧≤-⎨-≤<⎩，11x ∴-≤<；当1x <-时，即2281x x x ⎧-≤-⎨<-⎩，21x ∴-≤<-，综上可得不等式的解集为[]2,2-……………………………………………………5分 （2）解：()()()2x f x x x t t x t t t --=++-≥=+，当且仅当()()0x t x t -+≤时取等号，min ()2f x t∴=，………………………………6分又0m >，0n >且4m n +=，24m m n n +∴=41419444m m m n m n m n ++=+≥+当且仅当44m n m n=，即45m =，165n =时等号成立， 所以249,4m n mn +⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭………………………………………………………8分 根据题意可得924t ≤，解得98t ≥或98t ≤-， t ∴的取值范围是9,,898⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.……………………………………………10分。
四川省遂宁市2020届高三三诊考试数学(文科)试题 Word版含解析
2020年四川省遂宁市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1.若集合A ＝{x |0≤x 2＜1}，B ＝{x |1≤x ＜2}，则A ∪B ＝（ ） A. {x |0＜x ＜1}B. {x |﹣1＜x ＜0}C. {x |1＜x ＜2}D. {x |﹣1＜x ＜2}【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B 得到答案.【详解】∵集合A ＝{x |0≤x 2＜1}＝{x |﹣1＜x ＜1}，B ＝{x |1≤x ＜2}，∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜2}. 故选：D.【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.已知a 为实数，i 为虚数单位，且a ii R i++∈（R 为实数集），则a ＝（ ） A. ﹣1 B. ﹣2C. 2D. 1【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0列式求解a 值. 【详解】∵()()()211a i i a ii i a i i i +-++=+=+--∈R ，∴1﹣a ＝0，即a ＝1. 故选：D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3.函数()020x xe x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，，的大致图象为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】当x →+∞时，()f x →+∞，可排除AD ；当0x <时，()0f x <，可排除C ，得到答案. 【详解】当x →+∞时，||()x f x xe =→+∞，可排除AD ；当0x <时，||0()x f x xe <=，可排除C. 故选：B.【点睛】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题.4.某人口大县举行“《只争朝夕,决战决胜脱贫攻坚》扶贫知识政策答题比赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定：初赛成绩小于等于90分的会被淘汰,某校有1000名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间（30,150]内,其频率分布直方图如图所示,则会被淘汰的人数为（ ）A. 350B. 450C. 480D. 300【答案】A 【解析】 【分析】由频率分布直方图得初赛成绩小于等于90分的频率为0.35,由此能求出能会被淘汰的人数. 【详解】由频率分布直方图得：初赛成绩小于等于90分的频率为：（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.35, ∴会被淘汰的人数为1000×0.35＝350. 故选：A.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 5.已知α满足123cos πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则cos 2α＝（ ）A.79 B.718C. 79-D. 718-【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合诱导公式先进行化简，然后结合二倍角余弦公式即可求解. 【详解】因为﹣sin α123cos πα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以sin 13α=， 则cos 2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣21799⨯=. 故选：A.【点睛】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题. 6.等差数列{a n }中,a 1+2a 7＝10,则a 3+a 5+a 7＝（ ） A. 5 B. 10C. 15D. 20【答案】B 【解析】 【分析】利用基本量法可求得510a =,再根据等差数列的性质35753a a a a =++求解即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的通项公式可得：a 1+2a 7＝10＝3a 1+12d , ∴a 1+4d 103==a 5,则a 3+a 5+a 7＝3a 5＝10. 故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式及其性质等基础知识,考查运算求解等数学能力,属于基础题.7.用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体1111ABCD A B C D -的棱长为4，则平面11AB D 与平面1BC D 间的距离为（ ） A. 3 B.6C.43D. 23【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，可得1A C ⊥平面11AB D ，结合面面平行可知1A C ⊥平面1BC D ，求出正方体的棱长，再由等体积法求得1A E ，则可求得所求距离.【详解】由题意知：正六面体1111ABCD A B C D -是棱长为4的正方体，11//AB C D ，11//B D BD ，1111AB B D B =，1C DBD D =，∴平面11//AB D 平面1BC D ，连接1A C ，1111B D AC ⊥，111⊥B D AA ，1111A C AA A =，11B D ∴⊥平面1AA C ，又AC ⊂平面1AA C ，111B D A C ∴⊥，同理可证得：11AD AC ⊥，又111,B D AD ⊂平面1ABD ，1111B D AD D ⋂=，1A C ∴⊥平面11AB D ，1A C ∴⊥平面1BC D ，设垂足分别为,E F ，则平面11AB D 与平面1BC D 间的距离为EF . 22244443++=在三棱锥111A ABD -中，由等体积法求得：1144443213424222A E ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯， ∴平面11AB D 与平面1BC D 间的距离为：834343-=. 故选：C .【点睛】本题考查立体几何中平面与平面间距离的求解问题，关键是能够找到两面的公垂线，进而可知夹在两平面间的公垂线段的长度即为所求距离；本题中同时涉及到三棱锥高的求解问题，解决此类问题通常采用等体积法.8.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A.43B.53C.158D. 2【答案】B 【解析】 【分析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，利用平面向量的坐标运算建立有关λ、μ的方程组，求出这两个量的值，可得出λμ+的值.【详解】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1， 由此，()()11,1,1,,1,12AC AM BD ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，故11,12λμλμ=-=+， 解得415,,333λμλμ==+=.故选B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查平面向量的基底表示，解题时也可以利用坐标法来求解，考查运算求解能力，属于中等题.9.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是( )A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1[,2]2D. 1[,1]2【答案】A 【解析】 【分析】根据f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），令x ＝n ，y ＝1，可得数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，进而可以求得S n ，进而S n 的取值范围．【详解】∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ）， ∴令x ＝n ，y ＝1，得f （n ）•f （1）＝f （n +1），即()()11n n f n a a f n ++==f （1）12=， ∴数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列， ∴a n ＝f （n ）＝（12）n，∴S n 11122112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-1﹣（12）n ∈[12，1）． 故选C ．【点睛】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ）得到数列{a n }是等比数列，属中档题．10.已知点（3，28）在函数f （x ）＝x n+1的图象上，设a f =⎝⎭，b ＝f （ln π），c f =⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. b ＜a ＜c B. a ＜b ＜cC. b ＜c ＜aD. c ＜a ＜b【答案】D 【解析】 【分析】将（3，28）代入函数的解析式，计算可得n 的值，即可得函数的解析式，分析可得f （x ）在R上为增函数，又由535433==＜＜1＜ln π，分析可得答案. 【详解】根据题意，点（3，28）在函数f （x ）＝x n+1的图象上，则有28＝3n+1，解可得n ＝3；则f （x ）＝x 3+1，易得f （x ）在R 上为增函数， 又由535433412123==＜＜1＜ln π，则有c ＜a ＜b . 故选：D.【点睛】本题考查函数的单调性的性质以及应用，求出n 的值，确定函数的解析式是解题的关键.11.已知双曲线()22221x y a b a b-=＞＞0的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1作圆x 2+y 2＝a 2的切线交双曲线右支于点M ，若tan ∠F 1MF 2＝2，又e 为双曲线的离心率，则e 2的值为（ ） A.522+ B.532+ C.552+ D.562+ 【答案】C 【解析】 【分析】运用双曲线的定义可得|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，设|MF 2|＝t ，则|MF 1|＝2a +t ，sin ∠MF 1F 21ON aOF c==，然后在三角形MF 1F 2中由正、余弦定理列方程可解得离心率的平方. 【详解】如图：|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，设|MF 2|＝t ，则|MF 1|＝2a +t ，∵sin ∠MF 1F 21ON a OF c==， 若tan ∠F 1MF 2＝2，则sin ∠F 1MF2=，cos ∠F 1MF2=， 在△MF 1F 2中，由正弦定理得2121212MF F F sin MF F sin F MF =∠∠，即22t cac =， ∴t =，∴|MF 2|=，|MF 1|2）a ，由余弦定理得4c 2＝5a 2+（a 2﹣2×（2a 4c 2＝（a 2，∴c 22，∴e222c a ==.故选：C .【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，主要是双曲线的离心率的求法，考查圆的性质的运用，属于中档题.12.若存在a ＞0，使得函数f （x ）＝6a 2lnx +4ax 与g （x ）＝x 2﹣b 在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b 的最大值为（ ） A.21e B.212e C.213e D.23e 【答案】C 【解析】 【分析】设公共点为（x ，y ），然后根据公共点处函数值相等、导数值相等，列出关于公共点满足的方程组，将x 消去，得到关于b ，a 的等量关系式，整理成b ＝h （a ）的形式，求函数的最值即可.【详解】设公共点为（x ，y ），（x ＞0），且()()2642a f x a g x x x''=+=，.所以22264642a lnx ax x b a a x x⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩①②（a ＞0），由②得x 2﹣2ax ﹣3a 2＝0，解得x ＝3a 或﹣a （舍）.将x ＝3a 代入①式整理得：b ＝﹣3a 2﹣6a 2ln （3a ），（a ＞0）， 令h （a ）＝﹣3a 2﹣6a 2ln （3a ），（a ＞0）， ∴()()23612363h a a aln a a a ⎡⎤'=--+⨯=-⎢⎥⎣⎦12a [ln （3a ）+1]， 令()h a '＝0得，13a e =，且()110033x h a x e e ⎛⎫⎛⎫'∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，＞；，时，()h a '＜0. 故h （a ）在（0，13e）上递增，在（13e +∞，）上递减. 故h （a ）max ＝h （13e）213e =.故b 的最大值为213e.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义、以及利用导数研究函数的最值问题，还考查了函数与方程思想和化简运算能力，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.） 13.曲线22ln y x x x =--在点()1,1-处的切线的斜率为_____.【答案】1- 【解析】 【分析】先求出函数的导数,然后求出切点处的导数值即可. 【详解】由已知得1'22y x x=--, 所以k ＝y ′|x ＝1＝﹣1. 故答案为：﹣1.【点睛】本题考查导数的几何意义、导数的计算.属于基础题. 14.若向量(21,)m k k =-与向量(4,1)n =共线，则m n ⋅=_____． 【答案】172【解析】 【分析】先由向量共线求出k ，然后计算m n ⋅.【详解】解：因为m n ，所以214k k -=，解得12k =- 所以()174219k 42m n k k ⋅=-+=-=- 故答案为172-. 【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标表示，与向量数量积的坐标运算，属于基础题. 15.已知点()0,2M ，过抛物线24y x =的焦点F 的直线AB 交抛物线于A ，B 两点，若0AM FM ⋅=，则点B 的横坐标为_____.【答案】14【解析】 【分析】设直线AB ：1x my =+，由直线AB 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求得A 、B 坐标之间的关系，再结合0AM FM ⋅=，求出点B 的横坐标. 【详解】由题意，抛物线24y x =的焦点()1,0F ，设直线AB ：1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由214x my y x=+⎧⎨=⎩，联立得2440y my --=， 由韦达定理得，124y y m +=①，124y y =-②. ∵0AM FM ⋅=，()1,0F ，()0,2M ， ∴()11,2AM x y =--，()1,2FM =-， ∴()11022A x M FM y ⋅==+-， 又111x my =+，∴()1250m y -+=③. 由①②③联立解得：34m =，14y =，21y =-， ∴()223111144x my =+=⨯-+=. 故答案为：14【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系及向量的坐标运算，属于基础题.16.已知x ，y ，a 均为正实数，则225243y x a a x x y++-++的最小值为_____. 【答案】10 【解析】 【分析】化简表达式，利用基本不等式，以及完全平方式进行求解表达式的最小值，即可得到答案. 【详解】由题意，实数x ，y ，a 均为正实数，则222525243(1)33y x y a a a yx x y x x++-+=++++-++， 因为25253231033y y y y x x x x⎛⎫++≥+⋅= ⎪⎝⎭++，当且仅当y ＝2x 时取等号， 又由2(1)0a -≥，当1a =时取等号，所以225243y xa a x x y++-++的最小值为：10. 故答案为：10.【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式以及二次函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档试题.三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.函数f （x ）＝Asin （ωx +φ）（A ＞0,ω＞0,0＜φ＜π）的部分图象如图所示,又函数()8g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求函数()g x 的单调减区间；（2）设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,又3c =,且锐角C 满足()1g C =-,若sinB＝2sinA ,求a +b 的值. 【答案】（1）,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3 【解析】 【分析】(1)由函数f （x ）的部分图象可得A ,可求函数的周期,利用正弦函数的周期公式可求ω的值,又函数图象过点28π⎛⎫⎪⎝⎭，,结合范围0＜φ＜π,可求4πϕ=,可得f （x ）,g （x ）的解析式,进而利用余弦函数的图象和性质可求其单调减区间. (2)由()1g C =-,得cos 2C 12=-,结合范围02C π＜＜,可求C 的值,由正弦定理得2b a=,由余弦定理得3＝a 2+b 2﹣ab ,即可解得a ,b 的值,从而得解.【详解】解：（1）由函数f （x ）＝Asin （ωx +φ）（A ＞0,ω＞0,0＜φ＜π）的部分图象可得A ＝2,由于5288T ππ=-,即T ＝π, 则22Tπω==, 又函数图象过点28π⎛⎫⎪⎝⎭，, 则2282k ππϕπ⨯+=+,即2,4k k Z πϕπ=+∈,又0＜φ＜π, 即4πϕ=,即()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭, 则()222284g x sin x cos x ππ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,由2k π≤2x ≤2k π+π,k ∈Z ,得k π≤x ≤k π2π+,k ∈Z ,所以函数g （x ）的单调减区间为[k π,k π2π+],k ∈Z . （2）由()1g C =-,得cos 2C 12=-, 因为02C π＜＜,所以0＜2C ＜π, 所以2C 23π=,可得3C π=,又sinB ＝2sinA ,由正弦定理得2ba=,① 由余弦定理,得22223c a b abcosπ=+-,可得：223a b ab =+-,②.由①②：222342a a a =+-,解得a ＝1,b ＝2, 所以a +b ＝3.【点睛】本题主要考查了由y ＝Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式,余弦函数的图象和性质以及正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了数形结合思想和函数思想,属于中档题.18.某中学举行的“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖的代表队人数情况如下表，该校政教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中一等奖代表队有6人.（1）求二等奖代表队的男生人数；（2）从前排就坐的三等奖代表队员5人（2男3女）中随机抽取3人上台领奖，请求出只有一个男生上台领奖的概率；（3）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生[-2，2]内的两个均匀随机数x，y，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序，若电脑显示“中奖”，则代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求代表队队员获得奖品的概率.【答案】（1）30；（2）35；（3）1932.【解析】【分析】（1）先设季军队的男运动员人数为n，由分层抽样的方法得关于n的等式，即可解得n；（2）设男生为A1，A2，女生为B1，B2，B3，随机抽取3人，利用列举法写出所有基本事件和只有一个男生上台领奖基本事件，最后利用概率公式即可计算得解；（3）由框图得到，点（x，y）满足条件222212xyx yx y-≤≤⎧⎪-≤≤⎪⎨+≤⎪⎪+≥-⎩，其表示的区域是图中阴影部分，利用几何概型的计算公式即可得到代表队队员获得奖品的概率.【详解】（1）设代表队共有n人，则660 16n=，所以n＝160，则三等奖代表队的男生人数为160-（30+30+20+20+30）＝30，故所求二等奖代表队的男生人数为30人.（2）设男生为A1，A2，女生为B1，B2，B3，随机抽取3人，包括的基本事件为A1A2B1，A1A2B2，A 1A 2B 3，A 1B 1B 2，A 1B 1B 3，A 1B 2B 3，A 2B 1B 2，A 2B 1B 3，A 2B 2B 3，B 1B 2B 3，个数为10个，只有一个男生上台领奖基本事件为A 1B 1B 2，A 1B 1B 3，A 1B 2B 3，A 2B 1B 2，A 2B 1B 3，A 2B 2B 3，个数为6个， 所以只有一个男生上台领奖的概率为63105=. （3）试验的全部结果所构成的区域为Ω＝()22,22x x y y ⎧⎫-≤≤⎧⎪⎪⎨⎨⎬-≤≤⎩⎪⎪⎩⎭，面积为S Ω＝4×4＝16，事件A 表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为A ＝()2222,12x y x y x y x y ⎧⎫-≤≤⎧⎪⎪⎪-≤≤⎪⎪⎪⎨⎨⎬+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪+≥-⎩⎩⎭，如图阴影部分的面积为：S A ＝4111942233222⨯-⨯⨯-⨯⨯=， 这是一个几何概型，所以P （A ）191921632A S S Ω===.即代表队队员获得奖品的概率为1932. 【点晴】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、程序框图、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.19.如图，在长方体ABCD ﹣HKLE 中，底面ABCD 是边长为3的正方形，对角线AC 与BD 相交于点O ，点F 在线段AH 上且20AF HF +=，BE 与底面ABCD 所成角为3π.（1）求证：AC ⊥BE ；（2）M 为线段BD 上一点，且2BM =AM 与BF 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（223【解析】 【分析】（1）推导出DE ⊥AC ，AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面BDE .由此能证明AC ⊥BE . （2）推导出∠DBE 为直线BE 与平面ABCD 所成的角，∠DBE 3π=，在DE 上取一点G ，使DG 13=DE ，连接FG ，则四边形FBCG 为平行四边形，BF ∥CG ，在BD 上取一点N ，使DN ＝BM ，推导出AM ∥CN ，从而∠GCN （或其补角）为异面直线AM 与BF 所成的角，由余弦定理能求出异面直线AM 与BF 所成角的余弦值.【详解】解：（1）证明：因为在长方体ABCD ﹣HKLE 中，有DE ⊥平面ABCD ， 所以DE ⊥AC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 又BD ∩DE ＝D ，从而AC ⊥平面BDE . 而BE ⊂平面BDE ， 所以AC ⊥BE .（2）因为在长方体ABCD ﹣HKLE 中，有BE 与平面ABCD 所成角为3π， 由（1）知∠DBE 为直线BE 与平面ABCD 所成的角， 所以∠DBE 3π=，所以EDDB=.由AD ＝3可知DE =所以AH ＝， 又20AF HF +=， 即AF 13=AH ，故AF =在DE 上取一点G ，使DG 13=DE ， 连接FG ，则在长方体ABCD ﹣HKLE 中，有FG ∥AD ∥BC ， 且FG ＝AD ＝BC ，所以四边形FBCG 为平行四边形， 所以BF ∥CG ，在BD 上取一点N ，使DN ＝BM ，因为BM =BD ＝，所以DN ＝BM 13BD =， 所以在正方形ABCD 中，ON ＝OM ， 所以△CON ≌△AOM ， 所以∠CNO ＝∠AMO ， 所以AM ∥CN ，所以∠GCN （或其补角）为异面直线AM 与BF 所成的角，在△GNC 中，GC ＝BF ==在△AMB 中，由余弦定理得AM ==，则CN ＝AM =又GN == △GNC 中，由余弦定理得：cos ∠GCN 222232GC NC GN GC NC +-==⋅. 故异面直线AM 与BF 所成角的余弦值为235.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 20.已知函数f （x ）＝ax ﹣sinx （a ∈R ）.（1）当06x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，f （x ）<0恒成立，求正实数a 的取值范围；（2）当a ≥1时，探索函数F （x ）=f （x ）﹣cosx +a ﹣1在（0，π）上的零点个数，并说明理由.【答案】（1）20,π⎛⎤⎥⎝⎦；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由已知分离参数后构造函数，转化为求解函数的最值或范围，结合导数可求； （2）由已知结合导数分析函数的性质，然后结合函数的零点判定定理可求. 【详解】解：（1）因为06x π<<，所以sinx a x<， 令()sinx g x x =，()2'xcosx sinxg x x-=，再令m （x ）=xcosx ﹣sinx ，m '（x ）=cosx ﹣xsinx ﹣cosx =﹣xsinx <0， 所以m （x ）在（0，6π）上单调递减， 所以m （x ）<m （0）＝0.所以g '（x ）<0，则g （x ）在（0，6π）上单调递减， 所以g （x ）>g （6π）3π=， 所以a 3π≤，又a >0，即正实数a 的取值范围是（0，3π]. （2）F （x ）=f （x ）﹣cosx +a ﹣1=ax ﹣sinx ﹣cosx +a ﹣1，则()'4F x a cosx sinx x a π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为x ∈（0，π），(14x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 又a ≥1，故F ′（x ）>0对x ∈（0，π）恒成立， 即F （x ）在区间（0，π）单调递增； 又F （0）＝a ﹣2，F （π）＝a （1+π）>0，故当1≤a <2时，F （0）＝a ﹣2<0，此时F （x ）在区间（0，π）内恰好有1个零点； 当a ≥2时，F （0）＝a ﹣2≥0，此时F （x ）在区间（0，π）内没有零点.【点睛】本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围问题及利用导数，结合函数的性质及零点判定定理求解函数的零点个数问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用. 21.如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”.过椭圆第四象限内一点M 作x 轴的垂线交其“辅助圆”于点N ，当点N 在点M 的下方时，称点N 为点M 的“下辅助点”.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=＞＞上的点1⎛ ⎝⎭，的下辅助点为（1，﹣1）.（1）求椭圆E 的方程； （2）若△OMN 的面积等于2368，求下辅助点N 的坐标； （3）已知直线l ：x ﹣my ﹣t ＝0与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，若椭圆E 上存在点P ，满足OP OA OB =+，求直线l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值.【答案】（1）2212x y +=；（2）2622⎛- ⎝⎭或6222⎛- ⎝⎭；（3）24 【解析】 【分析】（1）直接根据定义先求得a ，进而得到b 即可；（2）设点N （x 0，y 0）（y 0＜1），则点M （x 0，y 1）（y 1＜0），根据椭圆方程以及面积可得x 0y 16=将其与220112x y +=联立得到N 坐标；（3）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立2212x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，结合韦达定理得12221222222mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为OP OA OB =+且P 在椭圆上可得4t 2＝m 2+2，表示出三角形面积结合基本不等式即可求其最小值.【详解】解：（1）∵椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞上的点（1，22-）的下辅助点为（1，﹣1），∴辅助圆的半径为R 221(1)2=+-=，椭圆长半轴为a ＝R 2=将点（1，-22212x y b +=中，解得b ＝1， ∴椭圆E 的方程为2212x y +=； （2）设点N （x 0，y 0）（y 0＜1），则点M （x 0，y 1）（y 1＜0），将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，x 02+y 02＝2，220112x y +=，故y 02＝2y 12，即y0=1， 又S △OMN 12=x 0（y 1﹣y 0）8=，则x 0y14=-， 将x 0y1=220112x y +=联立可解得0022x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0022x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴下辅助点N的坐标为（2，-2-）； （3）由题意可设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）. 联立2212x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得（m 2+2）y 2+2mty +t 2﹣2＝0，则△＝8（m 2+2﹣t 2）＞0. 根据韦达定理得12221222222mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 因为OP OA OB =+. 所以12222P mt y y y m -=+=+，()1212122422P t x x x my t my t m y y t m =+=+++=++=+ 因为点P 在椭圆E 上，所以()()22222221641222t m t m m +=++，整理得()()22224212m t m +=+，即4t 2＝m 2+2，在直线l ：x ﹣my ﹣t ＝0中，由于直线l 与坐标轴围成三角形，则t ≠0，m ≠0.令x ＝0，得t y m=-，令y ＝0，得x ＝t .所以三角形面积为211212128884t m S t m m m m ⎛⎫+=-=⋅=+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭, 当且仅当m 2＝2，t 2＝1时，取等号，此时△＝24＞0.所以直线l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为4. 【点睛】本题以新概念为载体，旨在考查直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查通性通法的运用，计算量较大，对计算能力的要求较高，属于较难题目.22.在平面直角坐标系xOy 中，将曲线方程()()22221164x y -++=，先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到曲线C .（1）点M （x ，y ）为曲线C 上任意一点，写出曲线C 的参数方程，并求出12x 的最大值； （2）设直线l 的参数方程为22x t y t =⎧⎨=-⎩，（t 为参数），又直线l 与曲线C 的交点为E ，F ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段EF 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【答案】（1）42x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；4；（2）2cos sin 30ρθρθ--=【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果.（2）利用中点坐标公式的应用和直线垂直的充要条件的应用求出结果. 【详解】解：（1）将曲线方程()()22221164x y -++=，先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到曲线C 的方程为()()2222221164x y -++-+=， 即221164x y +=， 故曲线C 的参数方程为42x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；又点M （x ，y ）为曲线C 上任意一点，所以12x =2cos θθ-=4cos （3πθ+）.所以12x 的最大值为4； （2）由（1）知曲线C 的直角坐标方程为221164x y +=， 又直线l 的参数方程为22x t y t =⎧⎨=-⎩，（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为x +2y ﹣4＝0， 所以有222401164x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得40x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩.所以线段EF 的中点坐标为（402022++，）， 即线段EF 的中点坐标为（2，1），直线l 的斜率为12-， 则与直线l 垂直的直线的斜率为2，故所求直线的直角坐标方程为y ﹣1＝2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣3＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得其极坐标方程为2ρcos θ﹣ρsin θ﹣3＝0.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式，直线与曲线位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.23.已知函数f （x ）=|2x ﹣3|，g （x ）=|2x +a +b |.（1）解不等式f （x ）<x 2；（2）当a >0，b >0时，若F （x ）=f （x ）+g （x ）的值域为[5，+∞），求证：112223a b +≥++. 【答案】（1）{|1x x >或3}x <-；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得|2x ﹣3|<x 2，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由a >0，b >0，根据绝对值三角不等式，化简可得F （x ）的最小值，可得a +b 的值，再由乘1法和基本不等式，即可得证. 【详解】（1）解：不等式f （x ）<x 2化为|2x ﹣3|<x 2，等价于23223x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩或23232x x x⎧<⎪⎨⎪-<⎩， 即为32x x R ⎧≥⎪⎨⎪∈⎩或3213x x x ⎧<⎪⎨⎪><-⎩或， 解得x 32≥或x <﹣3或1<x 32<， 所以不等式f （x ）<x 2的解集为{x |x >1或x <﹣3}； （2）证明：由a >0，b >0，根据绝对值三角不等式可知F （x ）=f （x ）+g （x ）=|2x ﹣3|+|2x +a +b |=|3﹣2x |+|2x +a +b | ≥|3﹣2x +2x +a +b |=|a +b +3|=a +b +3，又F （x ）=f （x ）+g （x ）的值域为[5，+∞），可得a +b +3=5，即a +b =2，即（a +2）+（b +2）=6， 故111226a b +=++[（a +2）+（b +2）]（1122a b +++）16=（22222b a a b ++++++）16≥（）23=， 当且仅当2222b a a b ++=++，即a =b =1时取等号时， 故222223b a a b +++≥++. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查均值不等式的运用：证明不等式，主要考查分类讨论思想和转化思想、化简运算能力和推理能力，属于中档题.。
四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学(文科)试题(解析版)
遂宁市高中2023届零诊考试数学（文科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上．并检查条形码粘贴是否正确．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后，将答题卡收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合}{1,2A =-，()}{20B x x x =->，那么A B ⋃等于（）A.{0x x <或}2x >B.{0x x <或}2x ≥C.{1x x <-或}2x ≥ D.{10x x -<<或}2x ≥【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B ⋃.【详解】()20x x ->，解得0x <或2x >，所以{|0B x x =<或}2x >，所以A B ⋃={0x x <或}2x ≥.故选：B2.已知复数(2i)(1i)z =+-（i 是虚数单位），则z 的虚部为（）A.i -B.3i- C.1- D.3-【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘法运算求解得3i z =-，再求虚部即可.【详解】解：因为2(2i)(1i)22i i i 3i z =+-=-+-=-，所以，z 的虚部为1-.故选：C3.设m ，n 为实数，则“2211log log m n>”是“0.20.2m n >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简0.20.2m n >和2211log log m n>，根据充分条件和必要条件的定义判断两者关系.【详解】因为函数2log y x =为()0+∞，上的单调递增函数，又2211log log m n >，所以110m n>>，所以0m n <<，又函数0.2x y =在()-∞+∞，上单调递减，所以0.20.2m n >，所以“2211log log m n>”是“0.20.2m n >”的充分条件，因为函数0.2x y =在()-∞+∞，上单调递减，又0.20.2m n >，所以m n <，当m 为负数时，1m没有对数值，所以“2211log log m n >”不是“0.20.2m n >”的必要条件，所以“2211log log m n>”是“0.2m n >”的充分不必要条件，A 正确，故选：A .4.若{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，4614a a +=，735S =，则31a a -等于（）A.7B.6C.5D.4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，进而建立方程组求解得2d =，再计算31a a -即可.【详解】解：根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为4614a a +=，735S =所以46171281472135a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得121d a =⎧⎨=-⎩，所以3124a a d -==.故选：D5.已知tan()3,tan()5αβαβ+=-=，则tan 2β等于（）A.18B.17C.47-D.18-【答案】D 【解析】【分析】由2()()βαβαβ=+--，然后根据正切的和差公式求解即可．【详解】解：tan()3αβ+= ，tan()5αβ-=，tan 2tan[()()]βαβαβ∴=+--tan()tan()1tan()tan()αβαβαβαβ+--=++-3511358-==-+⨯．故选：D ．6.若实数x ，y 满足32122x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则z x y =+的最大值为（）A.8B.7C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再结合图象求出目标函数的最值.【详解】由约束条件作出可行域，如图：联立322x y x =⎧⎨=-⎩，解得()3,4A由z x y =+，得y x z =-+，z 为直线y x z =-+的纵截距.由图可知，当直线y x z =-+过点()3,4A 时，直线的纵截距z 最大，且max 347z =+=.故选：B.7.{}n a 为公比大于1的正项等比数列，且3a 和26a a 是方程2540x x -+=的两根，若正实数x ，y 满足4x y a +=，则12x y+的最小值为（）A.1B.32+C.2D.3+【答案】B 【解析】【分析】先利用等比数列的性质得到2635a a a a =，结合韦达定理2365a a a +=，2364a a a =，得到233540a a -+=，求出31a =或4，结合公比1q >，求出2q =，得到432a a q ==，利用基本不等式“1”的妙用求出12x y+的最小值.【详解】由题意得：2365a a a +=，2364a a a =，因为{}n a 为公比大于1的正项等比数列，所以2635a a a a =，故3355a a a +=，2354a a =，由2354a a =得5234a a =，将其代入3355a a a +=得：233540a a -+=，解得：31a =或4，设公比为q ，则1q >，当31a =时，52344a a ==，所以2534a q a ==，因为1q >，解得：2q =当34a =时，523414a a ==，所以253116a q a ==，因为1q >，不合题意，舍去；所以432a a q ==，即2x y +=，()1211212131232222xx y x y x y y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎝+⎭⎭⎝，当且仅当2y x xy=，即2,4x y ==-时，等号成立，故选：B8.已知()f x 满足()()0f x f x +-=，且当0x <时，21()f x x x=+，则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为()A.10x y +-=B.320x y --=C.330x y --=D.20x y --=【答案】C 【解析】【分析】根据()()0f x f x +-=判断函数的奇偶性，再根据奇偶性和x ＜0时的解析式，求出f (x )在x ＞0时的解析式，再根据导数的几何意义即可求解．【详解】已知()f x 满足()()0f x f x +-=，∴()f x 为奇函数，当0x >时，0x -<，因此()()()2211f x x f x f x x x x -=-+=-⇒=-，则x ＞0时，()()332121f x xx-'=--=+，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线斜率()321131k f '==+=，又()211101f =-=，∴曲线()y f x =在点()1,(1)f ，即(1，0)处的切线方程为()031y x -=-，整理得330x y --=﹒故选：C ．9.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()cos 2()g x x xf x =-，对于[)0,∞+上任意两个不相等实数1x 和2x ，()g x 都满足1212()()0g x g x x x ->-，若12log 7.1a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.9(2)b g =， 1.1(3)c g =，则,,a b c 的大小关系为（）A.b a c <<B.c b a<< C.a b c<< D.b<c<a【答案】A 【解析】【分析】由题知函数()g x 为偶函数，在[)0,∞+上单调递增，进而根据0.91.1222log 7.133<<<<结合函数的性质比较大小即可.【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()cos 2()cos 2g x x x f x x xf x g x -=----=-=，即函数()g x 为偶函数，因为对于[)0,∞+上任意两个不相等实数1x 和2x ，()g x 都满足1212()()0g x g x x x ->-，所以函数()g x 在[)0,∞+上单调递增，因为()()1222log 7.1log 7.1log 7.1a g g g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，因为0.91.1222log 7.133<<<<，所以，()()()0.91.122log7.13g g g <<，即b a c <<.故选：A10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论错误的是（）A.若sin sin A B >，则A B>B.若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>C.若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形D.若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 可以是钝角三角形【答案】D 【解析】【分析】A.由正弦定理及三角形中大角对大边即可判断.B.通过内角和为π化简，再借助角C 为锐角得到角,A B 满足的关系，在再取角的正弦值化简即可.C.边化角，运用两角差的正弦公式化简，得到角,,A B C 的关系，再借助内角和为π计算即可得到.D.通过内角和为π化简角C ，再利用两角和的正切公式化简即可得到tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=>，然后判断即可.【详解】A.因为sin sin A B >，所以由正弦定理知a b >，又因为在三角形中大角对大边，所以A B >.故选项A 正确.B.因为ABC 为锐角三角形，所以2A B C ππ+=->，即2A B π>-，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭.故选项B 正确.C .由正弦定理边化角得()sin sin cos sin cos sin C A B B A A B =-=-,则C A B =-或C A B π+-=（舍），则A B C A π=+=-,即2A π=，则ABC 一定为直角三角形.故选项C 正确.D .()()tan tan tan tan tan 1tan tan A BC A B A B A Bπ+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦- ()tan tan tan tan tan 1A B C A B ∴+=-()tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan 0A B C C A B C A B C ∴++=-+=>又因为最多只有一个角为钝角，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，即三个角都为锐角,所以ABC 为锐角三角形.故选项D 错误.故选：D.11.在ABC 中，3AC =，5BC =，D 为线段BC 的中点，12AD BC =，E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点，则2AE CB ⋅=（）A.73B.4C.7D.6-【答案】C 【解析】【分析】先根据题意得ABC 为直角三角形，2A π=，进而得216AB =，再根据AE AD DE =+ ，CB AB AC =- ，DE CB ⊥得22722AE CB C D B A AB AC =-⋅==⋅ .【详解】解：因为在ABC 中，D 为线段BC 的中点，所以()12AD AB AC =+ ，即2AD AB AC =+ ，因为3AC =，5BC =，12AD BC =，所以22242cos AD AB AC AC AB A =++ ，即2166cos AB AB A =+，因为BC AC AB=-，所以2222cos BC AC AB AC AB A =+- ，即2166cos AB AB A =-，所以，22166cos 6cos AB AB A AB AB A =+=-，即12cos 0AB A = ，所以cos 0A =，因为()0,A π∈，所以2A π=，即ABC 为直角三角形，所以22216AB BC AC=-=因为E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点，所以AE AD DE =+ ，CB AB AC =- ，DE CB ⊥，所以()()22222AE CB CB C A AD DE AD A B B ACD ⋅⋅=⋅=⋅-=+ ()()221697AB AC AB AC AB AC =+-=-=-= 故选：C12.已知向量,a b的夹角为60°，22a b == ，若对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，122112112x nx x nx a b x x ->--，则m 的取值范围是（）A.)3e ,∞⎡+⎣ B.[)e,+∞ C.1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D.1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】根据向量数量积的定义求得1a b ⋅=，于是由数量积的应用可得22a b -= ，对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，则将1221121n 1n 2x x x x a b x x ->-- 转化为1221121n 1n 2x x x x x x ->-，即21211n 2ln 2x x x x --<，则构造函数()ln 2x f x x-=得函数在(),m +∞上单调递减，求导判断()f x 单调性，即可得m 的取值范围.【详解】解：已知向量,a b 的夹角为60°，22a b == ，则1cos 602112a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯=所以22a b -== 所以对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，1221121n 1n 2x x x x x x ->-，则1221121n 1n 22x x x x x x -<-所以2121211n 1n 22x x x x x x -<-，即21211n 2ln 2x x x x --<，设()ln 2x f x x-=，即()f x 在(),m +∞上单调递减又()0,x ∈+∞时，()23ln 0xf x x'-==，解得3e x =，所以()30,ex ∈，()0f x ¢>，()f x 在()30,e x ∈上单调递增；()3e ,x ∞∈+，()0f x '<，()f x 在()3e ,x ∞∈+上单调递减，所以3e m ≥.故选：A .第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上．2．试卷中横线的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答．本卷包括必考题和选考题两部分．第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(0,4)a m =- ，()21,b m m =+ ，若a 与b 垂直，则实数m 等于____．【答案】0或4【解析】【分析】根据向量坐标运算的垂直关系计算即可.【详解】向量(0,4)a m =- ，()21,b m m =+ ，若a 与b垂直，则22(0,4)(1,)40a b m m m m m ⋅=-⋅+=-=，解得0m =或4m =，故答案为：0或4.14.2353π8lg +2lg 2sin 22+-=__【答案】6【解析】【分析】根据指数、对数、三角函数等知识确定正确答案.【详解】原式()()232352lg lg 212=++--252lg 415lg105162⎛⎫=+⨯+=+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：615.若命题“2000,10∃∈-+≤x R ax ax ”是假命题，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[0,4)【解析】【分析】由题意，命题的否定为真命题，分别讨论0a =和0a ≠两种情况，根据二次函数的性质，即可得答案.【详解】因为命题“2000,10∃∈-+≤x R ax ax ”是假命题，所以命题的否定：2,10x R ax ax ∀∈-+>为真命题，当0a =时，10>恒成立，符合题意，当0a ≠时，由题意得：240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<.综上实数a 的取值范围是[0,4).故答案为：[0,4)16.正割（Secant ，sec ）是三角函数的一种，正割的数学符号为sec ，出自英文secant ．该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用，正割与余弦互为倒数，即1sec cos x x=．若函数()sec sin f x x x x =⋅-，则下列结论正确的有__①函数()f x 的图像关于直线x π=②函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线与x 轴平行，且与x 轴的距离为π；③函数()f x 在区间95,168ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④()f x 为奇函数，且()f x 有最大值，无最小值．【答案】②③【解析】【分析】根据(0)(2)f f π≠判断①；根据导数的几何意义求切线方程判断②；根据导数求解函数的单调性判断③；结合函数的单调性判断④.【详解】解：对于①，由题知(0)0f =，1(2)2sin 22cos 2f πππππ=⋅-=，显然(0)(2)f f π≠，故函数()f x 的图像不关于直线x π=对称，故①错误；对于②，1()sin cos f x x x x =⋅-，2cos sin ()cos cos x x x f x x x+'=-，所以2cos sin ()cos 0cos f ππππππ+'=-=，1()sin cos f πππππ=⋅-=-，所以，函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线方程为y π=-，所以，函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线与x 轴平行，且与x 轴的距离为π，故正确；对于③，因为()2322cos 1cos sin cos sin cos ()cos cos x x x xx x x x f x x x-++-'==2221sin 2sin cos sin sin 2cos cos x x x x x x x x x⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，令()1sin 22g x x x =+，则()cos 210g x x =+≥'恒成立，所以，()1sin 22g x x x =+在R 上单调递增，因为()00g =，所以，(),0x ∈-∞时，()0g x <；()0,x ∈+∞时，()0g x >，因为函数()f x 的定义域为,Z 2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭所以，当95,,1682x ππππ⎡⎤⎛∈⊆ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭时，()0g x >，()0f x '>，所以，函数()f x 在区间95,168ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故正确；对于④，函数的定义域为,Z 2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，()()()()1sin cos f x x x f x x -=-⋅--=--，故函数()f x 为奇函数；由③知，当02x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，函数()f x 为增函数，所以，当x 从0趋近于2π时，函数值()f x 趋近于+∞，故函数()f x 无最大值，当x 从π趋近于2π时，函数值()f x 趋近于-∞，故函数()f x 无最小值，故④错误.所以，正确的结论有：②③故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合}{32A x x =-<≤，函数()g x =的定义域为集合B ．（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）设命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(){}3,12A B =- （2）(](),42,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）根据题意得{|1B x x =<或2}x ≥，再求交集运算即可；（2）由题知|1{B x x a =≥+或}x a <，A B Ü，再根据集合关系求解即可.【小问1详解】解：当1a =时，()g x ==由题意201x x -≥-，解得1x <或2x ≥，所以{|1B x x =<或2}x ≥，又{}|32A x x =-<≤，所以(){}3,12A B =- .【小问2详解】解：由题意(1)0x a x a -+≥-，即()[(1)]00x a x a x a --+≥⎧⎨-≠⎩，解得：1x a ≥+或x a <，所以|1{B x x a =≥+或}x a <，因为p 是q 的充分不必要条件，所以，集合A 是集合B 的真子集，所以2a >或13a +≤-，解得2a >或4a ≤-故实数a 的取值范围(](),42,-∞-+∞ ．18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足3520a a +=，48a =，数列{}n b 的通项公式为212n n b +=（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n p q a b =，求数列12(1)n n p q n n ⎧⎫+-⎨⎬+⎩⎭的前n 项和T n ．【答案】（1）12n n a -=（2）21nn n ++【解析】【分析】(1)利用等比数列的通项公式化简条件，求出等比数列的公比，由此可得数列{}n a 的通项公式；(2)由(1)可得22n n p q -=，利用裂项相消法和组合求和法求数列21(1)n n ++的前n 项和T n .【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，由3520a a +=，48a =，可得2333208a a q a q ⎧+=⎨=⎩，即得22520q q -+=，解得2q =或12q =（舍去），故4414822n n n n a a q ---==⨯=，所以{}n a 的通项公式为12n n a -=；【小问2详解】若n n p q a b =，则12122n n p q -+=，故121n n p q -=+，即22n n p q -=，即1111222(1)(1)1n n p q n n n n n n +-=+=-++++所以1111112222231n T n n =-++-+++-++11111(12222311n nT n n n n n =-+-++-+=+++ .19.已知函数323()2a f x x x axb +=-++（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a =时，函数()y f x =的图象与抛物线25532y x x =-+恰有三个不同交点，求实数b 的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）1(,1)2.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再分类讨论求解不等式即可作答.（2）根据给定条件，构造函数，求出三次函数的极值，列出不等式求解作答.【小问1详解】函数323()2a f x x x ax b +=-++定义域R ，求导得()()()233313a f x x a x a x x ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭'，若3a >，当13a x <<时，()0f x '<，当1x <或3a x >时，()0f x ¢>，即()f x 在(1,)3a上单调递减，在(,1)-∞和(,)3a+∞上单调递增；若3a =，恒有()0f x '≥．即()f x 在R 上单调递增；若3a <，当13ax <<时，()0f x '<；当3a x <或1x >时，()0f x '>，即()f x 在(,1)3a 上单调递减，在(,3a-∞和(1,)+∞上单调递增，所以当3a <时，函数()f x 的递减区间是(,1)3a，递增区间是(,)3a -∞和(1,)+∞；当3a =时，函数()f x 在R 上单调递增；当3a >时，函数()f x 的递减区间是(1,)3a ，递增区间是(,1)-∞和(,)3a +∞.【小问2详解】当1a =时，32()2f x x x x b =-++，令23259()()(53)6322g x f x x x x x x b =--+=-++-，因函数()y f x =的图象与抛物线25532y x x =-+恰有三个不同交点，则函数()y g x =图象与x 轴有三个交点，而2()3963(1)(2)g x x x x x '=-+=--，由()0g x '>，解得1x <或2x >，由()0g x '<，解得12x <<，因此函数()y g x =在(,1),(2)-∞+∞上单调递增，在(1,2)上单调递减，于是得()g x 在1x =时取得极大值1(1)2g b =-，()g x 在2x =时取得极小值(2)1g b =-，依题意，1210b b ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解得112b <<，所以实数b 的取值范围为1(,1)2．20.已知函数21()cos sin sin()32f x x x x π=+⋅+-（1）求函数()f x 的对称中心及()f x 在[]0,π上的单调递增区间；（2）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，1()2f C =，22225b c a =-，求sin A 的值．【答案】（1）对称中心为1(,Z 2124k k -∈ππ；单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3（2）2114【解析】【分析】（1）由三角恒等变换得()11sin 2264f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据整体代换求解即可；（2）结合（1）得1sin(262C π+=，进而得3C π=，再根据余弦定理和已知条件得3b a =，c =，进而结合正弦定理求解即可.【小问1详解】解：函数2311()sin (cos sin )cos 222f x x x x x =++-()22211cos sin 1cos cos cos 22x x x x x x x =+-+=+111112cos2)sin 2224264x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．由26x k ππ+=，Z k ∈，解得212k x ππ=-，Z k ∈故所求对称中心为1,,Z 2124k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．由222262k x k πππππ-≤+≤+，Z k ∈，解得36k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈令0k =，有36x ππ-≤≤，令1k =，有2736x ππ≤≤又[]0,x π∈，所以所求的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3【小问2详解】解：因为1()2f C =，所以111sin(2)2642C ++=π，即1sin(262C π+=又在ABC 中(0,)C π∈，132,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以5266C ππ+=，即3C π=，由余弦定理知，2222cos a b c ab C ab +-==，又22225b c a =-所以22230b ab a --=，解得3b a =，c =，由正弦定理知，sin sin a c A C=，所以sin sin 14a C A c ===21.已知函数()ln f x x x =+，()e x g x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）令42e ()4e 11x x x τ=+---，求证：对[)2,x ∀∈+∞，有()()g x x τ>成立；（3）若不等式()()()0R g x af x a +≥∈在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）210x y --=；（2）证明见解析；（3）[)e -+∞.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线的斜率，利用点斜式求切线方程；（2）利用导数求函数()g x 的最小值，利用基本不等式求()x τ的最大值，由此证明()()g x x τ>；（3）由已知可得e ln(e )0x x x a x +≥在()1,+∞上恒成立，设e x x μ=，则ln a μμ-≥在(e,)+∞上恒成立，利用导数求函数ln y μμ-=的最大值，可求a 的取值范围．【小问1详解】因为()ln f x x x =+，所以1()1f x x'=+，所以(1)1f =，(1)2f '=，所以曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线的斜率为2，故切线方程为()121y x -=-，即210x y --=；【小问2详解】因为()e x g x x =，当2x ≥时，()(1)e 0x g x x '=+>，故()g x 在[)2,+∞上单调递增，所以2min ()(2)2e g x g ==，又4422e e ()4e 14e (1)11x x x x x τ⎡⎤=+--=--+⎢⎥--⎣⎦，因为[)2,x ∞∈+，所以11x -≥，4e 01x >-，所以()224e 2e x τ≤-，当且仅当4e 11x x -=-，即[)2e 12,x =+∈+∞时取等号，即当2e 1x =+时，[]2max ()2e x τ=，由于()g x 的最小值等于()x τ的最大值，且不是在同一点取得，故有()()g x x τ>成立【小问3详解】由不等式()()0g x af x +≥在()1,+∞上恒成立，即不等式e (ln )0x x a x x ++≥在()1,+∞上恒成立，得e ln(e )0x x x a x +≥在()1,+∞上恒成立，令e x x μ=，由(2)e x x μ=在()1,+∞上单调递增，所以e μ>，则ln 0a μμ+≥在(e,)+∞上恒成立，ln a μμ-≥在(e,)+∞上恒成立，令()(e)ln μϕμμμ-=>，则21ln (0(ln )μϕμμ-'=<()ϕμ∴在(e,)+∞递减，()(e)eϕμϕ<=-所以实数a 的取值范围是[),e -+∞【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)()a f x ≥恒成立⇔()max a f x ≥；(2)()a f x ≤恒成立⇔()min a f x ≤.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程］22.平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 与2C 交于M ，N 两点，求与直线MN 平行且过原点的直线l 的极坐标方程及MN 的值．【答案】（1）221x y +=；220x y x +-=（2）5()6R πθρ=∈【解析】【分析】（1）求曲线1C 的普通方程只需把,x y 平方即可，求曲线2C 的方程只需极坐标与直角坐标的转化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化简即可.（2）两圆方程联立即可求相交弦方程，即直线MN 的方程，再根据平行求出直线l 的方程，进而可求直线l 的极坐标方程，再利用圆的弦长与圆心到直线的距离，半径之间的关系即可求出MN 的值．【小问1详解】由曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），可得2222cos sin 1x y αα+=+=，即曲线1C 的普通方程为221x y +=；曲线2C 的极坐标方程为2sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭⇒2sin cos ρθρθ+⇒22x y x +=+.故曲线2C的直角坐标方程为220x y x +--=.【小问2详解】由（1）得22221100x y x x y x ⎧+=⎪⇒+-=⎨+--=⎪⎩即直线MN的方程为10x +-=，则与直线MN 平行且过原点的直线l 的方程为33y x =-，其倾斜角为56π所以直线l 的极坐标方程为()56R πθρ=∈；设曲线221:1C x y +=的圆心(0,0)到直线MN 的距离为d ，则12d =，故MN ==．故：MN =.［选修4—5：不等式选讲］23.已知函数()()2R f x x x a x a =-+∈（1）当1a =时，解不等式()1f x >；（2）若()2f x x <+对于任意的13,42x Î恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1{12xx <<∣或1}x >（2）5,26⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论求解即可；（2）根据题意1x a x -<且1a x x<+对任意的13,42x Î恒成立，再求对应的最值即可得答案.【小问1详解】解：当1a =时，不等式()1f x >，即2|1|1x x x -+>，所以12(1)1x x x x ≥⎧⎨-+>⎩或12(1)1x x x x <⎧⎨-+>⎩，即得21210x x x ≥⎧⎨-->⎩或212310x x x <⎧⎨-+<⎩，解得112x <<或1x >，所以不等式()1f x >的解集为1{|12x x <<或1}x >【小问2详解】解：因为()2f x x <+对任意的13,42x Î恒成立，所以，||1x x a -<对任意的13,42x Î恒成立，即1||x a x -<，即11x a x x x-<<+，故只要1x a x -<且1a x x<+对任意的13,42x Î恒成立即可，因为12x x +≥=，13,42x Î，当且仅当1x x =时，即1x =时等号成立，所以min 1()2x x+=，令1()g x x x=-，13,42x Î，因为函数1,y x y x==-在13,42x Î上单调递增，所以()g x 在13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增，从而max 35()()26g x g ==，所以，526a <<，即实数a 的取值范围是5,26⎛⎫⎪⎝⎭第21页/共21页。