练习题5第二类曲面积分
第二类曲面积分例题
第二类曲面积分例题曲面积分是对曲面上某个量进行积分的数学工具，用于计算曲面上的各种物理量或几何特性。
下面我会给出一个例题，并从多个角度进行解答。
例题，计算曲面积分 $\iint_S (x^2+y^2+z^2)dS$，其中曲面$S$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$，且法向量与 $z$ 轴的夹角小于$\frac{\pi}{2}$。
解答：1. 参数化法：我们可以使用球坐标系来参数化球面 $S$，令$x=a\sin\phi\cos\theta$，$y=a\sin\phi\sin\theta$，$z=a\cos\phi$，其中 $0\leq\phi\leq\frac{\pi}{2}$，$0\leq\theta\leq2\pi$。
计算曲面积分可转化为计算参数化后的积分：$$\iint_S (x^2+y^2+z^2)dS =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2\pi}(a^2\sin^2\phi\cos^2\theta + a^2\sin^2\phi\sin^2\theta +a^2\cos^2\phi)a^2\sin\phi d\theta d\phi$$。
化简后可得结果。
2. 法向量法，由于曲面 $S$ 是球面，其法向量可以表示为$\mathbf{N} = \frac{\mathbf{r}}{a}$，其中 $\mathbf{r} =x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ 是曲面上的任意一点。
计算曲面积分可转化为计算 $\iint_S(\mathbf{r}\cdot\mathbf{N})dS$。
代入球面方程和法向量表达式后，进行积分即可得结果。
3. 散度定理法，根据散度定理，曲面积分可以转化为对曲面所围立体的体积分。
因为球面 $S$ 是闭合曲面，所以可以使用散度定理。
计算散度 $\nabla\cdot(\mathbf{F})$，其中 $\mathbf{F} = (x^2+y^2+z^2)\mathbf{i} + (x^2+y^2+z^2)\mathbf{j} +(x^2+y^2+z^2)\mathbf{k}$。
第二型曲线曲面积分
一.选择题:
.设L : 4x2 y2 1,正向，
则L
ydx 4x2
xdy y2
( A) 2 (B) 2
(C )
(D) 0
二. 计算:
1
x2 y2 z2 5
1.L
x2
y2
z 2 ds,
L:
z 1
2.L(2xy 3x2
4 y2 )ds,
L:
x2 4
y2 3
1,
L的周长为a。
（1）没有分片计算 （2）忽视了曲面的侧，将对坐标的曲面积分
化为二重积分时，忘记考虑二重积分 前面的正负号
（3）不了解若曲面积分在坐标面的投影不 形成区域时（是曲线或算 xdy dz时
只能向yoz面投影，而不能向其它
坐标面投影
3. L( x y cos x)dx ( xy sin x)dy,
L : ( x 1)2 y2 1,正向.
4. 设L是xy平面上顺时针方向的光滑闭曲线,且
L( x2 4 y)dx (2x y2 )dy 18 .求L围成的
区域D的面积
5. I L (e y 12 xy)dx ( xe y cos y)dy,
8.
计算曲线积分L－4yxdx2
xdy y2
,
其中L是
由点A（1,0）经半圆周y＝ 1－x2到
点B（－1，0）在沿直线x＋y＝－1到
点E（1,－2）的路径。
第二型曲面积分
1. 计算 xy d y d z yz d z d x zx d x d y
S
其中 S 是由平面 x = y = z = 0 和 x + y + z = 1 所围的四面
L : y x2上从A(1,1)到B(1,1)一段.
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.2.2)--第二类曲线积分和第二类曲面积分
习题10.21. 把下列第二类曲线积分化为第一类曲线积分.(1) 2d d Cx y x x y -⎰, 其中C 为曲线3y x =上从点(1,1)--到点(1,1)的弧段； (2) d d d LP x Q y R z ++⎰, 其中L 为曲线32===t z t y t x ,,上相应于参数t 从0变到1的弧段.2. 计算曲线积分22()d d OAx y x xy y -+⎰，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,1)：(1) OA 为直线段x y =； (2) OA 为抛物线段2=x y ； (3) OA 为0=y ,1=x 的折线段. 3. 计算下列第二类曲线积分：(1)d d ||||C x yx y ++⎰，其中C 为1||y x =-上从点(1,0)经点(0,1)到点(1,0)-的折线段；(2) d d C y x x y +⎰, 其中C 为⎩⎨⎧==t a y t a x sin ,cos π:04t ⎛⎫→ ⎪⎝⎭； (3) 222()d 2d d Ly z x yz y x z -+-⎰, 其中L 为⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y t x ,,(:01)t →.(4) ()d ()d ()d L z y x x z y y x z -+-+-⎰, 其中L 为椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩且从z 轴正向看去, L 取顺时针方向.4. 计算下列变力F 在质点沿指定曲线移动过程中所作的功.(1) ),(2xy y x -=F , 沿平面曲线34()(,)t t t =r 从参数0t =到1t =的点. (2) ),,(22z xy x =F , 沿空间曲线2()(sin ,cos ,)t t t t =r 从参数0t =到π2t =的点. 5. 设变力F 在点(,)M x y 处的大小||||||||k =F r ，方向与r 成2π的角, 其中OM =r (图10-38)，试求当质点沿下列曲线从点)0,(a A 移到点),(a B 0时F 所作的功：(1) 圆周222=+a y x 在第一象限内的弧段； (2) 星形线323232=+a y x 在第一象限内的弧段.6. 在过点(0,0)O 和(π,0)A 的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线C ，使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)d (2)d Cy x x y y +++⎰的值最小.7. 把第二类曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化为第一类曲面积分：(1) ∑为平面x z a +=被柱面222x y a +=所截下的部分, 并取上侧；图 10-38xyOM (x , y )Fr(2) ∑为抛物面222y x z =+被平面2y =所截下的部分, 并取左侧. 8. 计算下列第二类曲面积分：(1) 2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分, 并取上侧；(2) 22d d xy z x y ∑⎰⎰, 其中∑为球面2222=++R z y x 的下半部分, 并取外侧；(3)2e d d e d d d d yxy z y z x xy x y ∑++⎰⎰, 其中∑为抛物面22z x y =+ (01x ≤≤,1≤≤0y ), 并取上侧；(4)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2221xy z ++=位于第二卦限部分,并取外侧； (5)d d d d d d xy y z yz z x zx x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(6) 2222d d d d x y z z x y x y z ∑+++⎰⎰, 其中∑为圆柱面222x y R +=与平面z R =和z R =- (0)R >所围立体的表面, 并取外侧；(7)d d (1)d d y z x z x y ∑-++⎰⎰, 其中∑为圆柱面4=+22y x被平面2=+z x 和0=z 所截下的部分, 并取外侧； (8)2d d d d d d y y z x z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为螺旋面cos x u v =，sin y u v =，z v =，(01u ≤≤, 0πv ≤≤), 并取上侧.9. 计算下列流场在单位时间内通过曲面∑流向指定侧的流量：(1) ),(),,(222z y x z y x =v , ∑为球面1=++222z y x 第一卦限部分, 流向上侧； (2) ),,(),,(22y xy x z y x =v , ∑为曲面22+=y x z 和平面1=z 所围立体的表面, 流向外侧.。
第二类曲线积分与第二类曲面积分
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy ≤ MC ，
L
其中 C 是曲线 L 的弧长， M = max{ P 2 (x, y) + Q 2 (x, y) |(x, y) ∈ L}。记圆周
2
x2 + y2 = R2 为 LR ，利用以上不等式估计
∫ ( ) IR
=
LR
ydx − xdy x2 + xy + y 2
−x
，则
x2 + xy + y2 2
P2 (x, y) + Q2 (x, y) =
x2 + y2
≤
16
，
(x 2 + xy + y 2 )4 (x 2 + y 2 )3
于是
IR
≤
4 R3
C
=
8π R2
，所以
lim
R→+∞
I
R
=
0。
3. 方向依纵轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标的平方的力构
成一个力场。求质量为 m 的质点沿抛物线 y2 = 1 − x 从点 (1,0) 移到 (0,1)
∂( y, ∂(θ ,
z) z)
+
cosθ
∂(z, x) ∂(θ , z)
+
sinθ
∂(x, ∂(θ ,
y) ⎤ z) ⎥⎦
dθ
dz
∫ ∫ ∫ ∫ =
2π cosθ dθ
4
zdz +
2π sinθ cosθ dθ
4 dz = 0 。
0
0
0
0
解法二
由于曲面Σ的单位法向量为 ( x , y , 0) ，可知
05 第五节 第二类曲面积分
第五节第二类曲面积分
分布图示
★有向曲面的概念
★引例流向曲面制定侧的流量
★第二类曲面积分的概念
★第二类曲面积的计算
★例1 ★例2 ★例3
★内容小结★课堂练习
★习题11-5
★返回
内容要点
一、有向曲面：双侧曲面单侧曲面
在科学幻想故事“一列名叫麦比乌斯的地铁”②“另一个”面上跑它的正常路线. 面对极度惊愕的市政官员, 他耐心地解释了这种系统的拓扑奇异性. 在经过一段时间——确切地说是十星期之后——这列丢失的列车又重新出现了，它的乘客都安然无恙，只是有一点累.
二、第二类曲面积分的概念与性质
定义1设为光滑的有向曲面, 其上任一点处的单位法向量又设
其中函数在上有界, 则函数
则上的第一类曲面积分
(5.5)
称为函数在有向曲面上的第二类曲面积分.
三、第二类曲面积分的计算法
设光滑曲面：，与平行于轴的直线至多交于一点，它在面上的投影区域为, 则.
. (5.9)
上式右端取“+”号或“-”号要根据是锐角还是钝角而定.
例题选讲
第二类曲面积分的计算法
例1 (E01) 计算曲面积分其中是长方体
的整个表面的外侧.
解如图(见系统演示), 把有向曲面分成六部分.除外，其余四片曲面在面上的投影值为零,因此
类似地可得
于是所求曲面积分为
例2 (E02) 计算其中是球面外侧在的部分.
解把分成和两部分
利用极坐标
例3 (E03) 计算其中是旋转抛物面介于平面及之间的部分的下侧.
解
在曲面上，有
课堂练习
1.当是面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系?
2.计算曲面积分其中为平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.。
9-5第二类曲面积分
12
存在条件:
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在 有 向 光 滑 曲 面 Σ 上 连 续 时 ,对 坐 标 的 曲 面 积 分 存 在 .
组合形式:
P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy
co s yx 1 yx yz
2 2
,
co s
1 1 yx yz
2 2
,
co s
yz 1 yx yz
2 2
.
25
若 由方程 z z ( x , y ) 给出， 取上侧，则
上各点处的法向量 n ( z x , z y ,1 )
即 cos dS
n
类似可定义
i 1 n
P ( x , y, z )dydz lim P ( i , i , i )( Si ) yz 0
即cos dS
Q ( x , y, z )dzdx lim Q ( i , i , i )( Si ) zx 0
第五节 第二类曲面积分 ---向量值函数在定向曲面上的积分
一、基本概念 二、概念的引入 三、定义及性质 四、计算法 五、两类曲面积分之间的联系
1
一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
2
1.曲面的分类: 典 型 双 侧 曲 面
(1)双侧曲面
(2)单侧曲面.
令 A ( P, Q, R), n (cos , cos , cos )
5-曲面积分
2
2
2
2
2
2
其中 L 是球面
2 2
x + y + z = 2bx 与柱面
2
2
2
x + y = 2 ax ( b > a > 0 ) 的交线 ( z ≥ 0 ),
从 L 正向看 L 所围球面部分总在左侧.
答案:
2bπa
2
14、求
I = ∫ ( y − z )dx + ( z − x)dy + ( x − y )dz
x + y + z − 2ax − 2ay − 2az + a = 0
其中常数 a > 0. 证明:
2
2
2
2
I =
( x + y + z − 3 a ) dS ≤ 12 π a . ∫∫
S
3
练习 5 计算
∫∫ ( x + 2 y + 3 z − 4 )
S
2
dS .
其中 S 为正八面体的表面积.
S : x
S 为平面 x = ± a , y = ± b , z = ± c
围成的长方体的全表面的外侧.求：
∫∫
S
f ( x ) dydz + g ( y ) dzdx + h ( z ) dxdy
答案:
8[bcf (a) + cag (b) + abh(c)]
注: 用高斯公式 ① P , Q , R 一阶偏导连续; ② Σ 要封闭; ③ 取外侧,否则加负号.
x + y + z = 0 的交线,从 ox 轴正向向负
向看去, L 的取向为逆时针方向.
曲面积分
2,计算曲面积分 ,其中 是上半个球面 与平面 围成封闭曲面外侧.
解：
本题需用高斯公式计算，化为三重积分后，再用球坐标计算
=
=
=
3,计算曲面积分 ,其中 是长方体 的整个表面的外侧，
解：（1）直接计算法
将有向曲面分成以下六个部分
上侧；
下侧；
前侧；
后侧；
左侧；
右侧；
对于 ，需将 向xoy坐标面做投影.显然，除 外，其余四片曲面在xoy坐标面上的投影均为零，故
曲面积分
一，第一类（对面积）的曲面积分
内容要点
第一类（对面积）的曲面积分的计算
设函数 在曲面 上连续，曲面 的方程为 ，且 有一阶连续偏导数，则曲面积分
其中 为 在 坐标面上的投影区域.
例题
1计算曲面积分 ，其中 是平面 在第一挂限部分.
解： ，
=
=
=
=
2计算曲面积分 ， 在xoy坐标面的上方部分
解：
=
=
=
= .
练习题
1设 为平面 在第一卦限部分，求
2设 为平面 在第一卦限部分，求
3计算曲面积分 ， 在xoy坐标面的上方部分
[答案：1, ; 2, ; 3, .]
二，第二类（对坐标）的曲面积分
内容要点
1,第二类（对坐标）曲面积分的计算
对于曲面积分 的计算，首先应将 的方程表为 ，然后将 向xoy坐标面做投影，若投影区域为 ，则曲面积分便可化为二重积分
[答案：1, ; 2, 3, 4, 5, . ]
同理可得
总之
=
(2)高斯公式法
=
=
其中
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第九章练习题5：对坐标的曲面积分 王克金基本概念1. 设∑为平面326x y ++=在第一卦限的部分的上侧 ，将⎰⎰∑++Qdzdx Pdydz Rdxdy 化为对面积的曲面积分的结果为答案：32()555P Q R dS ∑++⎰⎰ 解第二型曲面化为第一型曲面积分，平面法向量为(3,2,，单位化得32(,55(cos cos cos )Rdxdy Pdydz Qdzdx P Q R dSαβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰32()555P Q R dS ∑=++⎰⎰变成二重积分2.设∑为Z=0（222R y x ≤+）的上侧 ，则⎰⎰∑+dxdy y x )(22=（ ） （A ）42222R dxdy R R y x π=⎰⎰≤+ （B ）42222R dxdy R R y x π-=-⎰⎰≤+ （C ）24203R dr r d Rπθπ=⎰⎰ （D ）0答案：（C ） 解2222222()()x y R xy dxdy x y dxdy ∑+≤+=+=⎰⎰⎰⎰24203R dr r d Rπθπ=⎰⎰，选C2.设曲面∑为Z=0，1,1≤≤y x ，方向向下，D 为平面区域：1,1≤≤y x ，则⎰⎰∑dxdy =（ ）C（A ）1 （B ）Ddxdy ⎰⎰（C ）Ddxdy -⎰⎰ （D ）0答案：（C ）解 投影区域为D ，下侧取负，选C ，B 与C 矛盾，计算结果为-2，A,D 不成立。
3.已知曲面∑为x+y+z =1在第一卦限部分且方向向下，则()2d d xy z x y ∑++⎰⎰2=（ ）()()112200d 1d ;xA x xy x y y -+--+⎰⎰ ()()11220d 1d ;xB x x y x y y --+--+⎰⎰()()1122d d ;xC y x y z x -++⎰⎰ ()()11220d d xD x xy z y --++⎰⎰答案：（B ）解 ∑在xoy 面的投影D 由0,0,1x y y x ===-围成。
由于平面取下侧，化为二重积分取负号，()2d d xy z x y ∑++⎰⎰2()21d d Dx y x y x y =-++--⎰⎰2()112200d 1d ;xx xy x y y -=-+--+⎰⎰C,D 被积函数错误，A 符号错误，故选B 4.计算zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰，其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧. 解zdxdy xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx ∑∑∑∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为221x y +=中没有z ，在xoy 的投影为0，所以0zdxdy ∑=⎰⎰:x ∑=yoz 面的投影:01,03yz D y z ≤≤≤≤33d 4yzD xdydz y z π∑===⎰⎰⎰⎰:y ∑=xoz 面的投影:01,03xz D x z ≤≤≤≤；33d 4zxD ydzdx x z π∑===⎰⎰⎰⎰zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰3.2π=5. ∑为柱面222a y x =+被平面Z=1和Z=4所截得的在第一卦限内的部分，方向向外,则⎰⎰∑++ydzdx xdydz zdxdy =答案：232a π解 zdxdy xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx ∑∑∑∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为222a y x =+中没有z ，所以0zdxdy ∑=⎰⎰:4)x z ∑=≤≤42013d 4yzD xdydz y z a π∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰:4)y z ∑=≤≤42013d4zxDydzdx x z aπ∑===⎰⎰⎰⎰234zdxdy xdydz ydzdx aπ∑++=⎰⎰6.计算⎰⎰∑xyzdxdy，其中∑是球面1222=++zyx外侧在0,0≥≥yx的部分。
解利用曲面积分的可加性，“一代二投三定向”，并注意利用极坐标计算二重积分。
21∑+∑=∑2211:yxz--=∑的上侧；2221:yxz---=∑的下侧⎰⎰∑xyzdxdy⎰⎰∑=1xyzdxdy⎰⎰∑+2xyzdxdy⎰⎰--=xyDdxdyyxxy221)1()1(22----+⎰⎰xyDdxdyyxxy.1521sincos212122222=⋅-⋅=--=⎰⎰⎰⎰rdrrrddxdyyxxyxyDθθθπ7.计算22x y zdxdy∑⎰⎰,其中∑是球面2222x y z R++=的下半部分的下侧.解利用“一代二投三定向”计算2222()xyDx y zdxdy x y dxdy∑=-⎰⎰⎰⎰242200cos sinRd rπθθ=⎰⎰222770082cos sin4105105Rd r R Rπππθθθ=⋅=⋅=⎰⎰注:后一积分作代换sinr R t=8.计算⎰⎰∑-+zdxdydydzxz)(2，其中∑是抛物面)(2122yxz+=介于0=z及2=z之间的部分的下侧。
解利用积分的可加性，并注意用对称性。
首先，计算2()z x dydz∑+⎰⎰其中21∑+∑=∑，212:yzx-=∑，前侧；222:yzx--=∑，后侧。
=+⎰⎰∑dydzxz)(2++⎰⎰∑1)(2dydzxz⎰⎰∑+2)(2dydzxz2z=(⎰⎰⎰⎰---+-+=yzyzD D dydz y z z dydz y z z))(2()2(2222π422222222222=-=-=⎰⎰⎰⎰-y D dz y z dydydz y z yz其次，πθπ421))((21222022=⋅=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑rdr r d dxdy y x zdxdy xyD于是，原积分π8= 9.计算()cos I x z zdxdy ∑=+⎰⎰，其中∑是曲面222z x y =+介于0,1z z ==之间部分的下侧。
解 将积分曲面投影到xoy 面，并注意利用对称性.∑在xoy 面的投影为22:1xy D x y +≤(xyxyD D I x =-=-⎰⎰21cos 2(sin12cos1)d r r rdr πθπ=-⋅=-⎰⎰10.计算⎰⎰∑++=dxdy z h dxdz y g dydz x f I )()()(，式中)(),(),(z h y g x f 连续，∑是长方体c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0的外表面。
解 利用曲面积分的可加性，直接计算654321∑+∑+∑+∑+∑+∑=∑ 0:1=∑x 的后侧；a x =∑:2的前侧；0:3=∑y 的左侧；b y =∑:4的右侧； 0:5=∑z 的下侧；c z =∑:6的上侧。
则dxdy z h dxdy z h )()()(654321⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑∑∑+++++=)]0()([()()0(0000h c h ab dxdy c h dxdy h xyxyD D -=+-++++=⎰⎰⎰⎰同理可得：))0()(()(f a f bc dydz x f -=⎰⎰∑))0()(()(g b g ac dxdz y g -=⎰⎰∑所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=c h c h b g b g a f a f abc I )0()()0()()0()(奇偶性，对称性1.设∑为球面2221x y z ++=,1∑为其上半球面,则( )式正确. (A)12zdS zdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰; (B)12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C)1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰. (D) 122z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 答案：（B ）解 (A)和(D)为第一类曲面积分，曲面没有方向221::1xy z D x y ∑=+≤，222::1xy z D x y ∑=+≤(A)的左边1212(0zdS zdS zdS dS ∑∑∑∑∑=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (D)的左边1212122222z dS z dS z dS z dS ∑∑∑∑∑∑=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故(A)和(D)都错第一类曲面积分的偶倍奇零定理若∑关于xOy 面对称（∑的方程中z 以偶函数形式出现） （1）(,,)f x y z 关于z 为奇函数，则(,,)0f x y z dS ∑=⎰⎰；（2）(,,)f x y z 关于z 为偶函数，则1(,,)2(,,)f x y z dS f x y z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(B)和(C)都是第二类曲面积分，曲面有方向∑为球面2221x y z ++=外侧221::1xy z D x y ∑=+≤，上侧222::1xy z D x y ∑=+≤，下侧(B)的左边12zdxdy zdxdy zdxdy ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2xyxyxyD D D dxdy =-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)正确 (D)的左边12222z dxdy z dxdy z dxdy ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2222(1)(1)0xyxyD D x y dxdy x y dxdy =-----=⎰⎰⎰⎰第二类曲面积分的偶零奇倍定理若∑关于xOy 面对称（∑的方程中z 以偶函数形式出现） （1）(,,)f x y z 关于z 为奇函数，则1(,,)d d 2(,,)d d f x y z x y f x y z x y ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（2）(,,)f x y z 关于z 为偶函数，则(,,)0f x y z dxdy ∑=⎰⎰若∑关于yOz 面对称（∑的方程中x 以偶函数形式出现） （1）(,,)f x y z 关于x 为奇函数，则1(,,)d d 2(,,)d d f x y z y z f x y z y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（2）(,,)f x y z 关于x 为偶函数，则(,,)0f x y z dydz ∑=⎰⎰2．设∑是球面2222a z y x =++的外侧，则⎰⎰∑zdzdy =（ ）A（A ）0 （B ） 334a π （C ）34a π （D ）421a π答案：（A ）解 积分变量y 和z ，∑关于yOz 面对称，被积函数关于x 为偶函数，结果为零 或0d d d 0zdzdy x y z Ω∑==⎰⎰⎰⎰⎰3. 设∑为球面2221x y z ++=的上半部分的上侧，则下列式子错误的是（ ）(A)20x dydz ∑=⎰⎰; (B)d d 0y y z ∑=⎰⎰; (C)d d 0x y z ∑=⎰⎰ (D) 2d d 0y y z ∑=⎰⎰ 答案：（C ）解 积分变量y 和z ，∑关于yOz 面对称，A,B ，D 的被积函数关于x 为偶函数，都正确C 的被积函数关于x 为奇函数，C 错了。