结构动力响应计算的精细积分法_55346
力学中的结构动力学响应与优化
力学中的结构动力学响应与优化力学是研究物体静态和动态力学性质的学科，而结构动力学响应与优化则是力学中的一个重要分支，通过分析结构体在外部力作用下的波动响应，找到最优的结构设计方案。
一、结构动力学响应在力学中，结构动力学响应是指结构体在受到外部力作用后所产生的振动与变形情况。
结构动力学响应可以分为静力响应和动力响应两种情况。
1. 静力响应静力响应是指结构体在受到稳定作用力后的平衡状态。
通过分析材料的力学性质和结构体的几何形状，可以计算出结构体在受力状态下的内力和变形情况。
静力响应的分析方法通常采用力平衡方程和材料本构关系进行计算。
2. 动力响应动力响应是指结构体在受到动态作用力或振动载荷时的响应情况。
动力响应的分析需要考虑结构的惯性和阻尼特性。
通过求解结构的振动方程，可以得到结构体在不同频率下的振动模态和共振情况。
动力响应的分析方法通常采用有限元法、模态分析等数值计算方法。
二、结构动力学优化结构动力学优化是在给定一定的约束条件下，通过调整结构体的形状、材料和结构参数，使得结构体在外部力作用下具有更好的响应性能。
结构动力学优化可以分为静力优化和动力优化两种情况。
1. 静力优化静力优化是指通过调整结构体的形状和几何参数，以使结构体在受力状态下具有更小的应力和变形。
静力优化的目标可以是最小化结构的重量、最大化结构的刚度或满足特定的结构性能要求。
静力优化的方法有拓扑优化、形状优化和尺寸优化等。
2. 动力优化动力优化是指通过调整结构体的参数和材料特性，以使结构体在受到动态作用力或振动载荷时具有更好的阻尼特性和振动响应控制能力。
动力优化的目标可以是最小化结构的振动幅值、最大化结构的振动模态频率或实现特定的振动控制要求。
动力优化的方法有结构参数优化、材料优化和阻尼控制优化等。
结构动力学响应与优化在工程领域具有广泛的应用。
例如，在建筑工程中，通过分析房屋结构在地震作用下的动力响应，可以设计出具有良好抗震性能的建筑物；在航空航天工程中，通过优化飞机结构的动力响应特性，可以提高飞机的飞行稳定性和安全性。
计算结构动力响应的分段精细时程积分方法
计算结构动力响应的分段精细时程积分方法
王超;李红云;刘正兴
【期刊名称】《计算力学学报》
【年(卷),期】2003(020)002
【摘要】利用钟万勰等发展的精细时程积分方法,提出了解线性定常结构动力系统响应的分段精细时程积分方法.它能适用于各种激励作用下系统的动力响应.对于载荷项采用线性和两次多项式进行拟合,采用精细时程积分方法和叠代方法对动力响应进行计算.与传统的离散积分方法如纽马克方法和威尔逊方法等及状态方程直接积分方法进行数值比较,本方法具有很高的精度和计算效率.
【总页数】5页(P175-178,203)
【作者】王超;李红云;刘正兴
【作者单位】上海交通大学,建筑工程与力学学院,上海,200030;上海交通大学,建筑工程与力学学院,上海,200030;上海交通大学,建筑工程与力学学院,上海,200030【正文语种】中文
【中图分类】O332
【相关文献】
1.求解一维饱和土固结方程的时程精细积分方法 [J], 蓝林华;富明慧
2.基于精细时程积分方法的时域格林函数计算 [J], 童晓旺;任慧龙;李辉;单鹏昊
3.饱和两相介质动力固结问题时域求解的精细时程积分方法 [J], 李亮;高超;吴利华
4.大型结构动力响应的状态方程的Krylov精细时程积分法 [J], 陈臻林
5.结构动力响应的精细时程积分并行算法 [J], 李红云;沈为平
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
受迫振动之动力响应(含精细积分知识与程序)
式（9.20）对应的线性插值是一种粗糙的近似，也可采用其他插值形式，如： （1）多项式 （2）指数函数 （3）正弦或余弦函数 （4）上述函数的乘积 等。 对于齐次方程， F (t ) = 0 ，由式(9.15)得 f = 0 ，故计算出上式中的指数矩阵 T，就可 得到齐次微分方程的时程积分。即 V1 = TV0 , V2 = TV1 , L,V n = TVn −1 为求出其中的指数矩阵，把指数函数写成如下形式 exp( Hτ ) = [exp( H∆t / s)] s (9.22) (9.23)
(9.4)
其中 θ 是常数，其值介于 1/2 和 1 之间。 考虑到阻尼矩阵的关系式（9.2），在积分区间上的前后两个时刻存在动力学方程如 下 d 2 u0 du M + (αM + βK ) 0 + Ku0 = f 0 (9.5) 2 dt dt d 2u du M 21 + (αM + βK ) 1 + Ku1 = f1 (9.6) dt dt 联立上述方程，可得下面三个类推关系： 1 M + (β + θ∆t )K u1 = θ∆tf1 + (1 − θ )∆tf 0 + α + ∆ θ t (9.7) du0 1 1 α + θ∆t M + (β + θ∆t − ∆t )K u0 + θ M dt du1 1 1 − θ du 0 = (u1 − u0 ) − (9.8) dt θ∆t θ dt d 2u1 1 du1 du 0 1 − θ d 2u 0 = − (9.9) − θ∆t dt dt θ dt 2 dt 2 特别地，当 θ = 1 / 2 时，这种方法就是纽马克法中的“ β = 1 / 4 ”法，也是最常用的积 分方法。
结构动力学第五章
i = 0 ,1,2 ,L
而这种离散化正符合计算机存贮的特点。 • 与运动变量的离散化相对应，体系的运动微分方程也不一定要 求在全部时间上都满足，而仅要求在离散时间点上满足，这相 当于放松了对运动变量的约束。
采用等时间步长离散时，ti = iΔ t ,i = 1,2 ,3, L
&& & mui + cui + kui = Pi
• 根据是否需要联立求解耦联方程组，逐步积分法可分为两 大类：
– 隐式方法：逐步积分计算公式是耦联的方程组，需联立求 解，计算工作量大，通常增加的工作量与自由度的平方成正 比，例如Newmark-β 法、Wilson -θ 法。 – 显式方法：逐步积分计算公式是解耦的方程组，无需联立求 解，计算工作量小，增加的工作量与自由度成线性关系，如 中心差分方法（无阻尼时）。 • 下面先介绍分段解析算法，然后重点介绍两种常用的时域逐步积 分法—中心差分法和Newmark-β 法，同时也介绍Wilson -θ 法，最后介绍非线性问题分析方法。
5.2 分段解析法 （Piecewise Exact Method）
分段解析法对外荷载进行离散化处 理，假设在ti≤t≤t i+1时段内 P
实际荷载
P(τ ) = Pi + α iτ
Pi+1 Pi
插值荷载：P(τ)
α i = ( Pi +1 − Pi )/Δti
如果荷载P( t )采用计算机采样，即 离散数值采样，则以上定义可认为 是“精确”的。 • 分段解析法一般适用于单自由度体系动 力反应分析，对于多自由度体系，有时 可以采用等效方法在满足一定近似的条 件下将多自由度体系化为单自由度问题 进行分析，这时 也可以采用分段解析 法完成体系的动力反应分析。
混凝土结构静力和动力响应分析技术
混凝土结构静力和动力响应分析技术一、前言混凝土结构是建筑领域中最常见的结构形式之一，其性能直接关系到建筑的耐久性、稳定性和安全性。
因此，对混凝土结构的静力和动力响应分析技术的研究和应用具有重要的理论和实践意义。
本文将从混凝土结构的静力和动力响应分析基础、分析方法和应用实例三个方面进行详细阐述。
二、混凝土结构静力和动力响应分析基础1.混凝土材料的力学性质混凝土材料的力学性质是混凝土结构静力和动力响应分析的基础。
混凝土的材料性质包括弹性模量、泊松比、强度等。
其中，弹性模量是指材料在弹性阶段内应力和应变之比，泊松比是指材料在一定应力下垂直于应力方向的应变与应力方向应变之比，强度是指材料在破坏前所能承受的最大应力。
这些参数的确定需要进行试验和计算。
2.混凝土结构的力学模型混凝土结构的力学模型是指将结构抽象为一些理想化的杆件或板件，以便于进行力学分析。
混凝土结构的力学模型可以分为线性和非线性两种。
线性模型是指结构在弹性阶段内的力学行为可以用弹性理论描述，非线性模型是指结构在破坏前后力学行为都呈现出非线性特性。
3.混凝土结构静力分析方法混凝土结构静力分析方法根据结构的力学模型可以分为刚度法和力法。
刚度法是指通过计算结构的刚度矩阵和荷载向量，从而求解结构的内力和位移。
力法是指通过计算结构的受力平衡方程和变形方程，从而求解结构的内力和位移。
在实际工程中，通常采用有限元方法进行混凝土结构静力分析。
4.混凝土结构动力分析方法混凝土结构动力分析方法是指通过计算结构在地震、风等自然荷载下的响应，从而评估结构的抗震性能。
混凝土结构动力分析方法可以分为等效静力法和动力时程分析法。
等效静力法是指通过把地震荷载等效为静力荷载，从而进行静力分析。
动力时程分析法是指通过计算结构在时间上的响应，从而求得结构的内力和位移。
三、混凝土结构静力和动力响应分析方法1.混凝土结构静力响应分析方法混凝土结构静力响应分析方法可以采用有限元法进行计算。
海洋工程结构动力响应分析考核试卷
6.海洋工程结构动力响应分析中，多物理场耦合效应在浅水区域的结构中更为显著。（）
7.在进行海洋工程结构动力响应分析时，不需要考虑结构的疲劳累积损伤。（）
8.海洋工程结构动力响应分析中，地震载荷对浮式结构的影响比对固定结构的影响小。（）
A.时间历程分析法
B.长期统计分析法
C.疲劳累积损伤法
D.稳态响应法
17.以下哪些类型的海洋工程结构在动力响应分析中主要受到海流力的影响？（）
A.浮式结构
B.海底管线
C.潮汐能发电装置
D.锚链结构
18.在动力响应分析中，以下哪些方法可以用来模拟结构在复杂环境下的响应？（）
A.多物理场耦合分析法
B.多尺度分析法
B.海域地理条件
C.结构设计参数
D.海浪载荷
14.在海洋工程结构动力响应分析中，下列哪种方法主要用于研究结构的疲劳寿命问题？（）
A.疲劳累积损伤法
B.极限状态法
C.响应谱法
D.稳态响应法
15.下列哪种类型的海洋工程结构在动力响应分析中主要受到风载荷的影响？（）
A.深水油气平台
B.浮式风力发电装置
C.海底管线
D.实验研究
12.海洋工程结构动力响应分析中，以下哪些因素会影响结构的稳态响应？（）
A.结构的固有频率
B.载荷的频率
C.结构的阻尼比
D.海域的环境条件
13.以下哪些类型的海洋工程结构在动力响应分析中主要受到潮汐力的影响？（）
A.浮式结构
B.潮汐能发电装置
C.塔式结构
D.海底管线
14.在海洋工程结构动力响应分析中，以下哪些方法可以用来提高分析的精度？（）
于开平-结构动力学第十五讲
xt t
( xt t xt ) (1 ) xt (1 )txt t 2
K K a0 M a1C
将它们同时代入第三个方程，只剩下待求时刻的位移，整理得 Kxt t Qt t
Qt t Qt M (a6 xt a2 xt a3 xt ) C (a1 xt a4 xt a5 xt )
x(t ) lim
x(t t ) x(t ) xt t xt t 0 t t
1 x x x x xt t t t t t t 2 t t
x(t ) lim
x(t ) x(t t ) xt xt t t 0 t t
2.3 纽马克方法(Newmark method)
对待求的下一时刻的位移、速度和加速度在当前时刻������进行泰勒展开
1 1 x (t t ) x (t ) tx (t ) t 2 x (t ) t 3 x (t ) O(t 4 ) 2 6 1 x (t t ) x (t ) tx (t ) t 2 x (t ) O(t 3 ) 2 x (t t ) x (t ) x (tn ) O(t ) x(t t ) x(t ) tx (t ) O(t 2 ) t
(2) 确定初始值
x 0 , x 0 , x0
x0 = M 1 (Q (0) Cx0 - Kx0 )
1 1 2
(3) 选择时步长∆������ , 使它满足∆������ < ∆������������������ = ������������ /������(������������ 为系统的最小周期)
结 构 动 力 学
第五章 结构动力学中常用的数值算法
结构力学教学课件-10-2结构动力响应-文档资料
m y ( t ) c y ( t ) ky ( t ) F ( t ) P 其中 F ( t ) m ( t )
P
基底作水平运动时，对体系的作用效果相当 于在运动质量上沿加速度相反方向施加一个 等效水平力，振动方程的形式不变。
10.3 单自由度体系的自由振动
1 1 2 2 1
2
（1）低阻尼和无阻尼 （2）临界阻尼 （3）超阻尼
1 , 0
1 1
10.3 单自由度体系的自由振动
10.3.2低阻尼和无阻尼体系
2 1 1
当 （或 1 0 ） , 为正实数，有 1
1 i1 2 i2
得振动方程的通解：
i t i t t 1 1 y ( t ) e ( G e G e ) 1 2
利用欧拉公式
t 或 y ( t ) C e s i n ( t ) 1
振动方程的建立
10.2.1单自由度体系的力学模型
3) 阻尼体系
F c y ( t ) D
c阻尼常数，表示质点 m以 单位速度移动时所受阻 力 [力]长度时间
1
质量 — —弹簧 — —阻尼系统
振动方程的建立
• 以质量为m的隔离体作为研究对象，所受力为重力G和动 载荷 FP (t ) ,弹性回复力 F S ( t )和粘滞阻尼力 FD (t )，以及假想 作用于其上的惯性力 FI (t )。
上节课内容回顾
• • • • • • 动荷载的定义 动荷载的分类 动力自由度的概念 动力自由度的离散方法 频率、振型和阻尼的概念 单自由度体系的力学模型
上节课内容回顾
• • • • • 动荷载的定义 动荷载的分类 动力自由度的概念 动力自由度的离散方法 频率、振型和阻尼的概念 定义 在振动过程的任一时刻，确定体系全部质量 位置或变形状态所需的独立参数个数，称为体系 的自由度（degree of freedom，简记为DOF）。 振动自由度的求法附加支杆
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在合理的积分步长范围内，它是不会发生稳定性问题的。即使对高
度病态的问题，精细积分法仍具有很高的精度。
2
将状态方程： z(t) Hz(t) F(t) 的通解：
z(t) eH(tt0 )z(t0 ) eHt
t eHsF(s)dst0源自改写为齐次通解zh与特解z p 之和:
z(t) zh (t) z p (t)
假定在每一积分步长 t [tk ,tk1] 内荷载变化是线性的
即： F(t) r1 (t tk )r2
z(t) Hz(t) F(t)
应用待定系数法可求得特解： z p (t) (H1 tI)(H1r2 ) H1(r1 tkr2 ) z p (t) 代入 z(t) T( t)[z(tk ) z p (tk )] z p (t) 中 得：z(tk1) T(t)[z(t k ) H1(r1 H1r2 )] H1(r1 H1r2 tr2 )
F(t)
Fe(t ) m
1
方程 z(t) Hz(t) F(t) 为一阶线性微分方程组，通解为：
z(t) eH(tt0 )z(t0 ) eHt
t eHsF(s)ds
t0
二、精细积分法
钟万勰在2N 类算法计算指数矩阵的基础上，提出了精细积分法，
用于求解热传导、扩散对流问题以及结构动力学问题的暂态过程。
m
N一般取20，于是 m=1,048,576 106 t
4
t tk1 tk
T(t)=eHt (eH )m
令： t , m 2N
m
I
H
(H )2
2!
(H )3
3!
(H )4
4!
m
(I Ta0 )m
令 I Tai (I Ta,i1)2 I 2Ta,i1 T T a,i1 a,i1 (i 1, 2,...N )
结构动力响应计算的精细积分法 （兼谈 matlab 的学习）
一、状态空间(State space)
单自由度运动方程写为： x(t) 2x(t) 2x(t) Fe (t)
m
设状态向量：
z(t)
x(t)
x(t
)
运动方程可改写为： z(t) Hz(t) F(t)
其中
0 1
H
2
2
0
使用(2)式进行递推运算时排除了 I 参与加法运算的情况， 避免了 Tai 中的元素大数相减而严重丧失有效数字，从而 保证了各 Tai 以及 T(t ) 的高度精确。
这是 精细积分的关键之处 – 创新点!
6
T(t)=(eH )m
I
H
(H )2
2!
(H )3
3!
(H )4
4!
m
(I Ta0 )m
若荷载按简谐变化，则上式在计算机上给出精确的数值解。
9
3.指数衰减型简谐荷载精细积分格式 (HPD-E:High Precision Direct integration scheme-Exponential form):
假定在每一积分步长 t [tk ,tk1] 内荷载按下式变化：
F(t) et (r1 sint r2 cost) (a) z p (t) et (C1 sin t C2 cost)
可求得特解：C1 (2I H2 )1(r2 Hr1) C2 (2I H2 )1(r1 Hr2 )
z p (t) 代入 z(t) T( t)[z(tk ) z p (tk )] z p (t) 中
得：
z(tk1) T(t)[z(t k ) C1 sintk C2 costk ] C1 sintk1 C2 costk1
则 I TaN (I Ta,N1)2 (I Ta,N2 )4 ... (I Ta,0 )m T(t)
5
由递推公式 I Tai I 2Ta,i1 Ta,i1Ta,i1 (i 1, 2,...N ) ---(1) 可得 Tai 2Ta,i1 T T a,i1 a,i1 (i 1, 2,...N ) ---(2)
3
所以： z(t) zh (t) z p (t)
T( t)=eHt ( t t tk ) zh (t) T( t)c c z(tk ) z p (tk )
z(t) T( t)[z(tk ) z p (tk )] z p (t) 令 t tk1 就得到了积分步长终点处的状态
对给定时间步长 t tk1 tk 引入微小时段 令： t , m 2N
在某一积分步 t [tk ,tk1]中，其齐次通解为：
zh (t) T( t)c，其中T( t)=eHt ( t t tk )
当t tk 时：
z(tk ) zh (tk ) z p (tk ) T( t)c z p (tk )
注：当t tk 时
T( t)=eHt e0 I
所以：c z(tk ) z p (tk )
若荷载严格按线性变化，则上式在计算机上给出精确的数值解。
8
2.简谐荷载精细积分格式 (HPD-S:High Precision Direct integration scheme-Sinusoidal form):
假定在每一积分步长 t [tk ,tk1] 内荷载变化是简谐的
即：F(t) r1 sint r2 cost z p (t) C1 sin t C2 cost
上述展开式中略去了 5以及更高阶的项，其量级为： O( 5 ) 1030O(t5 )，已是一般计算机的舍入误差范围
之内。对于线性等步长时域积分而言，T(t )只需计算 一次，计算量是很小的。
7
1.线性荷载精细积分格式 (HPD-L:High Precision Direct integration scheme-Linear form):
可求得特解： C1 [(I H)2 2I]1[(I H)r1 r2 ] C2 [(I H)2 2I]1[(I H)r2 r1]
z p (t) 代入 z(t) T( t)[z(tk ) z p (tk )] z p (t) 中
得： z(tk1) T(t)[z(tk ) eatk (C1 sin tk C2 costk )] etk1 (C1 sin tk1 C2 costk1)